为什么回归分析中相关系数范围一定是-1到1？
回归分析中的相关系数，通常指的是皮尔逊积矩相关系数（Pearson ProductMoment Correlation Coefficient），用符号 $r$ 表示。它衡量的是两个变量之间线性关系的强度和方向。要理解它为什么范围是1到1，我们需要深入理解它的计算公式和它所代表的数学含义。
皮尔逊相关系数的计算公式
首先，我们来看一下皮尔逊相关系数的计算公式：
$r = frac{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})(y_i ar{y})}{sqrt{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} (y_i ar{y})^2}}$
其中：
$n$ 是观测值的数量。
$x_i$ 和 $y_i$ 分别是第 $i$ 个观测值中变量 $X$ 和变量 $Y$ 的值。
$ar{x}$ 和 $ar{y}$ 分别是变量 $X$ 和变量 $Y$ 的平均值。
$(x_i ar{x})$ 和 $(y_i ar{y})$ 分别是变量 $X$ 和变量 $Y$ 的离差（deviation）。
这个公式可以理解为，它是两个变量的离差乘积之和，除以它们各自离差平方和的平方根（即标准差的乘积）。
为什么范围是1到1？理解分子的贡献
核心在于分子部分：$sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})(y_i ar{y})$。这个分子衡量了两个变量同时偏离其平均值的“协同”程度。
同向变动： 当一个变量的值高于其平均值时，另一个变量的值也高于其平均值（即 $(x_i ar{x}) > 0$ 和 $(y_i ar{y}) > 0$），或者当一个变量低于其平均值时，另一个变量也低于其平均值（即 $(x_i ar{x}) < 0$ 和 $(y_i ar{y}) < 0$），那么它们的乘积 $(x_i ar{x})(y_i ar{y})$ 就是正的。所有这些正的乘积累加起来，分子就会很大。这对应于正相关。
反向变动： 当一个变量的值高于其平均值时，另一个变量的值却低于其平均值（即 $(x_i ar{x}) > 0$ 和 $(y_i ar{y}) < 0$），或者相反（即 $(x_i ar{x}) < 0$ 和 $(y_i ar{y}) > 0$），那么它们的乘积 $(x_i ar{x})(y_i ar{y})$ 就是负的。所有这些负的乘积累加起来，分子就会很小（接近负无穷）。这对应于负相关。
无系统性变动： 如果两个变量之间没有线性的关系，那么它们同时高于或低于平均值的倾向就不会一直持续，正的乘积和负的乘积会相互抵消，分子会接近于零。
为什么范围是1到1？理解分母的作用
分母部分是 $sqrt{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} (y_i ar{y})^2}$。这个分母是变量 $X$ 的标准差乘以变量 $Y$ 的标准差（或者说，是变量 $X$ 的总变异量和变量 $Y$ 的总变异量的一种度量）。
标准化： 分母的作用是将分子进行“标准化”。它确保了相关系数的大小不会受到变量自身离散程度（方差或标准差）的影响。无论变量 $X$ 的变化范围有多大，或者变量 $Y$ 的变化范围有多大，分母都会相应地调整。这使得我们可以直接比较不同变量对之间的相关性。
关键数学证明（柯西施瓦茨不等式）
从数学上讲，相关系数 $r$ 的范围被限制在 1 到 1 是由 柯西施瓦茨不等式 (CauchySchwarz Inequality) 保证的。
对于任意两个向量 $mathbf{u}$ 和 $mathbf{v}$（在本例中，我们可以将离差 $(x_i ar{x})$ 和 $(y_i ar{y})$ 看作向量的分量），柯西施瓦茨不等式指出：
$|sum_{i=1}^{n} u_i v_i| le sqrt{sum_{i=1}^{n} u_i^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} v_i^2}$
如果我们令 $u_i = (x_i ar{x})$ 和 $v_i = (y_i ar{y})$，那么不等式就变成了：
$|sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})(y_i ar{y})| le sqrt{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} (y_i ar{y})^2}$
现在，我们再来看相关系数 $r$ 的公式：
$r = frac{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})(y_i ar{y})}{sqrt{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} (y_i ar{y})^2}}$
根据柯西施瓦茨不等式，分子的绝对值（即 $|sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})(y_i ar{y})|$）永远不会大于分母（即 $sqrt{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} (y_i ar{y})^2}$）。
因此，将分子除以分母（假设分母不为零），其绝对值必然小于或等于 1：
$|r| = left| frac{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})(y_i ar{y})}{sqrt{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} (y_i ar{y})^2}} ight| le 1$
这意味着 $1 le r le 1$。
极端情况：什么时候会达到1和1？
$r = 1$（完全正相关）： 当所有数据点都落在一条从左下到右上的直线上时，$r$ 会等于 1。这时，所有 $(x_i ar{x})$ 和 $(y_i ar{y})$ 的符号都是相同的，并且它们之间的比例关系是恒定的。即，对于所有 $i$，存在一个常数 $k > 0$ 使得 $(y_i ar{y}) = k (x_i ar{x})$。
$r = 1$（完全负相关）： 当所有数据点都落在一条从左上到右下的直线上时，$r$ 会等于 1。这时，所有 $(x_i ar{x})$ 和 $(y_i ar{y})$ 的符号总是相反的，并且它们之间的比例关系是恒定的。即，对于所有 $i$，存在一个常数 $k < 0$ 使得 $(y_i ar{y}) = k (x_i ar{x})$。
什么时候$r$接近于0？
当变量之间没有线性关系时，$r$ 会接近于 0。这意味着，随着 $X$ 的增加，没有一个明显的趋势是 $Y$ 也随之增加（正相关），或者 $Y$ 随之减少（负相关）。数据点可能呈散乱分布，或者围绕一条曲线而不是直线分布。
总结
相关系数的范围是 1 到 1，是其数学定义和性质的必然结果。分母通过标准化消除了变量自身离散程度的影响，使得相关系数只反映了两个变量线性变动的协同程度。而柯西施瓦茨不等式则在数学上严格证明了这种协同程度（除以标准化因子后）的最大绝对值只能是 1，对应于完全的线性关系。1 代表了最强的正线性关系，1 代表了最强的负线性关系，而 0 则代表了没有线性关系。
皮尔逊相关系数的计算公式
首先，我们来看一下皮尔逊相关系数的计算公式：
$r = frac{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})(y_i ar{y})}{sqrt{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} (y_i ar{y})^2}}$
其中：
$n$ 是观测值的数量。
$x_i$ 和 $y_i$ 分别是第 $i$ 个观测值中变量 $X$ 和变量 $Y$ 的值。
$ar{x}$ 和 $ar{y}$ 分别是变量 $X$ 和变量 $Y$ 的平均值。
$(x_i ar{x})$ 和 $(y_i ar{y})$ 分别是变量 $X$ 和变量 $Y$ 的离差（deviation）。
这个公式可以理解为，它是两个变量的离差乘积之和，除以它们各自离差平方和的平方根（即标准差的乘积）。
为什么范围是1到1？理解分子的贡献
核心在于分子部分：$sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})(y_i ar{y})$。这个分子衡量了两个变量同时偏离其平均值的“协同”程度。
同向变动： 当一个变量的值高于其平均值时，另一个变量的值也高于其平均值（即 $(x_i ar{x}) > 0$ 和 $(y_i ar{y}) > 0$），或者当一个变量低于其平均值时，另一个变量也低于其平均值（即 $(x_i ar{x}) < 0$ 和 $(y_i ar{y}) < 0$），那么它们的乘积 $(x_i ar{x})(y_i ar{y})$ 就是正的。所有这些正的乘积累加起来，分子就会很大。这对应于正相关。
反向变动： 当一个变量的值高于其平均值时，另一个变量的值却低于其平均值（即 $(x_i ar{x}) > 0$ 和 $(y_i ar{y}) < 0$），或者相反（即 $(x_i ar{x}) < 0$ 和 $(y_i ar{y}) > 0$），那么它们的乘积 $(x_i ar{x})(y_i ar{y})$ 就是负的。所有这些负的乘积累加起来，分子就会很小（接近负无穷）。这对应于负相关。
无系统性变动： 如果两个变量之间没有线性的关系，那么它们同时高于或低于平均值的倾向就不会一直持续，正的乘积和负的乘积会相互抵消，分子会接近于零。
为什么范围是1到1？理解分母的作用
分母部分是 $sqrt{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} (y_i ar{y})^2}$。这个分母是变量 $X$ 的标准差乘以变量 $Y$ 的标准差（或者说，是变量 $X$ 的总变异量和变量 $Y$ 的总变异量的一种度量）。
标准化： 分母的作用是将分子进行“标准化”。它确保了相关系数的大小不会受到变量自身离散程度（方差或标准差）的影响。无论变量 $X$ 的变化范围有多大，或者变量 $Y$ 的变化范围有多大，分母都会相应地调整。这使得我们可以直接比较不同变量对之间的相关性。
关键数学证明（柯西施瓦茨不等式）
从数学上讲，相关系数 $r$ 的范围被限制在 1 到 1 是由 柯西施瓦茨不等式 (CauchySchwarz Inequality) 保证的。
对于任意两个向量 $mathbf{u}$ 和 $mathbf{v}$（在本例中，我们可以将离差 $(x_i ar{x})$ 和 $(y_i ar{y})$ 看作向量的分量），柯西施瓦茨不等式指出：
$|sum_{i=1}^{n} u_i v_i| le sqrt{sum_{i=1}^{n} u_i^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} v_i^2}$
如果我们令 $u_i = (x_i ar{x})$ 和 $v_i = (y_i ar{y})$，那么不等式就变成了：
$|sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})(y_i ar{y})| le sqrt{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} (y_i ar{y})^2}$
现在，我们再来看相关系数 $r$ 的公式：
$r = frac{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})(y_i ar{y})}{sqrt{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} (y_i ar{y})^2}}$
根据柯西施瓦茨不等式，分子的绝对值（即 $|sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})(y_i ar{y})|$）永远不会大于分母（即 $sqrt{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} (y_i ar{y})^2}$）。
因此，将分子除以分母（假设分母不为零），其绝对值必然小于或等于 1：
$|r| = left| frac{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})(y_i ar{y})}{sqrt{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2} sqrt{sum_{i=1}^{n} (y_i ar{y})^2}} ight| le 1$
这意味着 $1 le r le 1$。
极端情况：什么时候会达到1和1？
$r = 1$（完全正相关）： 当所有数据点都落在一条从左下到右上的直线上时，$r$ 会等于 1。这时，所有 $(x_i ar{x})$ 和 $(y_i ar{y})$ 的符号都是相同的，并且它们之间的比例关系是恒定的。即，对于所有 $i$，存在一个常数 $k > 0$ 使得 $(y_i ar{y}) = k (x_i ar{x})$。
$r = 1$（完全负相关）： 当所有数据点都落在一条从左上到右下的直线上时，$r$ 会等于 1。这时，所有 $(x_i ar{x})$ 和 $(y_i ar{y})$ 的符号总是相反的，并且它们之间的比例关系是恒定的。即，对于所有 $i$，存在一个常数 $k < 0$ 使得 $(y_i ar{y}) = k (x_i ar{x})$。
什么时候$r$接近于0？
当变量之间没有线性关系时，$r$ 会接近于 0。这意味着，随着 $X$ 的增加，没有一个明显的趋势是 $Y$ 也随之增加（正相关），或者 $Y$ 随之减少（负相关）。数据点可能呈散乱分布，或者围绕一条曲线而不是直线分布。
总结
相关系数的范围是 1 到 1，是其数学定义和性质的必然结果。分母通过标准化消除了变量自身离散程度的影响，使得相关系数只反映了两个变量线性变动的协同程度。而柯西施瓦茨不等式则在数学上严格证明了这种协同程度（除以标准化因子后）的最大绝对值只能是 1，对应于完全的线性关系。1 代表了最强的正线性关系，1 代表了最强的负线性关系，而 0 则代表了没有线性关系。
网友意见
据描述，相关系数多是指皮尔森相关系数
看下百度介绍：
在统计学中，皮尔逊相关系数，又称皮尔逊积矩相关系数，是用于度量两个变量X和Y之间的相关性（线性相关），其值介于-1与1之间。
其实根据计算公式即可推导，皮尔逊相关系数值的范围。
例：
所以，相关系数范围就是[-1,1]
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