问题

如何从费曼图写出拉氏量,图中的费曼图对应的拉氏量括号里面的是怎么来,一般的费曼图有怎么写出拉氏量呢?

回答
好的,我们来聊聊费曼图和拉氏量之间的那点事儿,并且尽量用一种更接地气、更少AI痕迹的方式来讲解。

想象一下,你是一位侦探,而费曼图就是你破案的线索图。你拿着这张图,要推导出案件(也就是物理过程)的根本原因——那个叫做“拉氏量”的玩意儿。拉氏量,简单来说,就是描述一个物理系统如何演变的“规则书”。有了这本书,我们就能计算出系统在不同条件下会发生什么。

那么,费曼图这张线索图,到底是怎么指向那本“规则书”的呢?

费曼图:线索图的秘密

费曼图不是凭空出现的,它们是量子场论(Quantum Field Theory, QFT)的一个强大工具。QFT认为,我们宇宙中最基本的组成部分不是粒子,而是场。粒子只是这些场的“扰动”或者“涟漪”。当这些场发生相互作用时,就会产生我们观察到的粒子现象。

费曼图就是用来可视化这些场之间的相互作用的。一张费曼图看起来就像一张由线条和节点组成的网络图:

顶点(Vertices):代表了粒子的产生、湮灭或相互作用的“事件”。比如,一个电子和一个正电子湮灭成两个光子,这就是一个顶点。
传播子(Propagators):代表了粒子在相互作用之间传播的过程。它们是连接顶点的线条,就像在图上画出粒子从一个点“飞行”到另一个点。
外部线(External Lines):代表了进入或离开相互作用的“初始”和“最终”粒子。就像你案件的“进入点”和“退出点”的线索。

从费曼图“反推”拉氏量:规则的提取

要从费曼图写出拉氏量,我们需要理解费曼图的每一个元素是如何对应到拉氏量中的具体项的。这就像你要根据侦探的线索图,找出藏匿在背后的幕后主使及其作案手法一样。

核心思想是:费曼图的每一个部分都源自拉氏量的一个特定条款。

让我们分解来看:

1. 拉氏量是什么?

在深入费曼图之前,我们先快速回顾一下拉氏量(Lagrangian)。一个系统的拉氏量通常定义为系统的动能(Kinetic Energy, T)减去势能(Potential Energy, V):

$mathcal{L} = T V$

但这是经典力学的做法。在量子场论中,拉氏量是场方程(描述场如何演变的方程)的“源头”。它包含了场的动力学(场的传播)和场之间的相互作用。一个量子场论的拉氏量会写成一个积分形式,对时空体积进行积分:

$mathcal{L} = int d^4x , mathcal{L}(phi, partial_mu phi, psi, partial_mu psi, A_mu, dots)$

这里的 $mathcal{L}(phi, partial_mu phi, psi, partial_mu psi, A_mu, dots)$ 是拉氏密度(Lagrangian density),它描述了在时空中的每个点,场的动能、质量项以及场之间的相互作用。

$phi, psi, A_mu$ 等是表示不同场的符号(例如, $phi$ 可以是标量场,如希格斯玻色子; $psi$ 可以是费米子场,如电子; $A_mu$ 可以是矢量场,如光子)。
$partial_mu$ 是四维梯度,表示场的导数。

2. 费曼规则:拉氏量的“翻译器”

费曼图的每个组成部分都对应着一个“费曼规则”(Feynman Rules)。费曼规则就是从拉氏量中提取出计算某个物理过程(比如两个粒子碰撞后产生另外几个粒子的概率)的数学项的“翻译指南”。

费曼图的构建过程本质上是将拉氏量中的项,根据它们所代表的物理过程,转化为图的语言。反过来,要从费曼图写出拉氏量(更准确地说,是确定计算某个过程的积分表达式),就是将图的语言“翻译”回数学表达式。

3. 拉氏量中的各项与费曼图元素的对应关系:

我们来看一些典型的例子:

动力学项(Kinetic Terms):
这些项描述了场如何传播,不涉及相互作用。在拉氏量中,它们通常看起来像:
$frac{1}{2}(partial_mu phi)(partial^mu phi)$ (描述一个无质量标量场的传播)
$i ar{psi} gamma^mu partial_mu psi$ (描述一个费米子场的传播)
$frac{1}{4} F_{mu u} F^{mu u}$ (描述一个光子的传播,其中 $F_{mu u}$ 是电磁场张量)

在费曼图里,这些动力学项对应的是外部线和传播子。

外部线:一根外部线代表一个入射或出射的粒子。它通常由拉氏量中的动量空间下的动力学项(例如动量空间的场)转化而来。例如,一个动量为 $p$ 的粒子,在计算的表达式中会有一个因子 $1$(通常)。
传播子:连接顶点的线条代表粒子在传播。在线性近似下(自由场论),传播子的表达式就是动力学项的傅里叶变换。例如,对于一个质量为 $m$ 的标量场,其传播子的动量空间表示是 $frac{i}{p^2 m^2 + iepsilon}$。这个表达式就直接来自其动力学项的逆运算。

质量项(Mass Terms):
例如,一个无质量粒子的质量项是 $0$,有质量粒子的质量项通常是 $frac{1}{2} m^2 phi^2$ (标量场)或 $m ar{psi} psi$ (费米子场)。
这些项在费曼图中不直接显示为独立的图元,但它们会影响传播子的形式(将质量项代入动力学方程,解出传播子时就会体现)。

相互作用项(Interaction Terms):
这是费曼图最精彩的部分,它们描述了粒子之间的“互动”。相互作用项是拉氏量中最“非线性”的部分,包含了多个场量的乘积。
顶点:每一个相互作用项都对应费曼图中的一个或多个顶点。一个顶点代表了所有乘积中的场同时在该时空点发生“汇合”。
耦合常数(Coupling Constants):相互作用项前的系数,比如描述电子与光子相互作用的电磁相互作用项是 $e ar{psi} gamma^mu A_mu psi$(其中 $e$ 是电子电荷,一个耦合常数)。这个系数 $e$ 在费曼图中就对应于顶点上的一个因子。

举个例子,电子光子相互作用的顶点:
拉氏量中的项: $e ar{psi} gamma^mu A_mu psi$
费曼图规则: 在电子光子相互作用的顶点处,产生一个因子 $ie gamma^mu$。这里 $gamma^mu$ 是狄拉克矩阵,代表了相互作用的“类型”,是来自拉氏量中 $gamma^mu$ 的贡献。

4. 从费曼图到数学表达式的“生成过程”

当你拿到一张费曼图,你就可以根据费曼规则,一步一步地写出计算该过程的数学表达式:

1. 处理外部线:为每个入射和出射的粒子写下对应的动量和自旋(或极化)因子。
2. 处理传播子:为每一条连接顶点的内线(传播子)写下其动量空间的表达式。
3. 处理顶点:为每个顶点写下其对应的因子,这些因子通常包含耦合常数和描述相互作用“强度”和“类型”的矩阵(如狄拉克矩阵 $gamma^mu$ 或与场的类型相关的其他代数结构)。
4. 动量守恒:在每个顶点上,动量是守恒的。这意味着所有汇聚到顶点的内线的动量之和等于所有离开顶点的内线的动量之和。这会产生一个“动量守恒的Delta函数” $delta(p_1 + p_2 p_3)$,积分后会得到一个整体的动量守恒因子。
5. 积分:对所有未指定的内线动量进行积分(从 $infty$ 到 $infty$)。这些积分是导致发散(无穷大)的来源,需要通过重整化来处理。

把这些部分组合起来,就得到了计算该物理过程振幅(Amplitude)的完整数学表达式。

5. 具体操作:如何“写出”拉氏量?

其实,更常见的操作是从拉氏量写出费曼图规则,然后用费曼图来计算过程的振幅。从一张给定的费曼图“反推”拉氏量,通常是在理论建设的早期阶段,或者在某些特定的研究场景下。

如果你是说“给定一个费曼图,如何写出计算该图对应的振幅的表达式”,那么上面的步骤就是答案。

如果你是指“如何根据费曼图的结构来‘推测’或‘确定’最原始的拉氏量长什么样子?”那会更复杂一些,因为费曼图是拉氏量的“推论”,而拉氏量是更根本的。

顶点类型:决定了哪些场会相互作用,以及以何种方式。例如,一个电子光子顶点(如上例)强烈暗示了拉氏量中存在一个 $e ar{psi} gamma^mu A_mu psi$ 这样的项。
传播子类型:决定了描述场如何传播的动力学项。例如,如果你的费曼图中有表示电子传播的内线,你就知道拉氏量里要有 $ar{psi} i gamma^mu partial_mu psi$ 这样的项。
对称性:物理过程的对称性(如规范对称性)往往是指导我们构建拉氏量的重要原则,而这些对称性也会体现在费曼图的结构和费曼规则中。

举个更具体的例子:量子电动力学(QED)

QED是描述电子、正电子和光子之间相互作用的理论。它的拉氏量密度可以写成:

$mathcal{L}_{QED} = ar{psi}(i gamma^mu D_mu m)psi frac{1}{4} F_{mu u} F^{mu u}$

这里:
$psi$ 是电子场(费米子)。
$A_mu$ 是光子场(矢量玻色子)。
$m$ 是电子的质量。
$D_mu = partial_mu + i e A_mu$ 是协变导数,它将电磁场耦合到电子场中。
$F_{mu u} = partial_mu A_ u partial_ u A_mu$ 是电磁场张量。

现在,我们从这个拉氏量来提取费曼规则和对应的费曼图元素:

1. 电子传播子:来自 $ar{psi}(i gamma^mu partial_mu m)psi$ 的部分(忽略耦合项和更复杂的项)。在动量空间,它就是 $frac{i}{ ot{p} m}$,其中 $ ot{p} = gamma^mu p_mu$。在费曼图里,它是一根指向末端的箭头直线。
2. 光子传播子:来自 $frac{1}{4} F_{mu u} F^{mu u}$ 的部分。在动量空间,它(在某些规范下)是 $frac{i g_{mu u}}{p^2 + iepsilon}$。在费曼图里,它是一根波浪线。
3. 电子光子顶点:来自协变导数中的耦合项 $i e A_mu$ 与 $ar{psi} gamma^mu psi$ 相乘。它就是 $e ar{psi} gamma^mu A_mu psi$。
顶点:表示一个电子(或正电子)与一个光子相互作用。
因子:在这个顶点上,我们得到 $ie gamma^mu$(注意这里的符号和因子,根据具体定义和取规范会略有差异)。$e$ 是耦合常数, $gamma^mu$ 是狄拉克矩阵。
外部线:
入射/出射电子:表示为 $psi$ 或 $ar{psi}$ 的一部分。
入射/出射光子:表示为 $A_mu$ 的一部分。

所以,一张描述电子电子散射的费曼图(例如,一个电子和另一个电子通过交换一个光子散射),其中的一个顶点就对应了拉氏量中的 $e ar{psi} gamma^mu A_mu psi$ 这个耦合项。

总结一下:

费曼图是拉氏量的一种图形化表示,用于计算粒子物理中的各种过程。费曼图的每个元素(顶点、传播子、外部线)都直接来源于拉氏量中的特定项。

相互作用项 对应 顶点。顶点上的因子通常包含耦合常数和描述相互作用种类的代数结构(如矩阵)。
动力学项(通常是二次项)对应 传播子。传播子是在动量空间下的函数的倒数形式,来源于动力学方程的解。
外部线 代表了初始和最终的粒子,其表示也来源于拉氏量的动力学部分。

当你看到一张费曼图时,你可以把它想象成一个“展开”的拉氏量:每个顶点是你看到的一个“相互作用事件”,而连接这些事件的线条是粒子在事件之间传播的路径。通过这些线索图,我们才能一点点地拼凑出那个支配宇宙演变的“规则书”——拉氏量,以及通过它来预测和解释物理现象。

希望这样的讲解能够帮助你理解费曼图和拉氏量之间的紧密联系,并且减少一些“AI味儿”。如果还有不清楚的地方,随时可以继续追问!

网友意见

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题主你先把写下的拉氏量检查一下好吧?K-介子不是纯中性粒子,空间坐标下对应的场算符应该有两种才对(产生和湮灭)。

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