截断能与什么因素有关？
截断能，这个词听起来有点专业，但其实和我们生活中很多现象都息息相关，尤其是在材料科学、物理学和工程学领域。简单来说，截断能就是一种能量阈值，当一个系统的能量达到或超过这个阈值时，它就会发生某些特定的变化或者行为。那么，它到底和哪些因素扯上关系呢？咱们掰开揉碎了聊聊。
首先，最直接相关的就是材料本身的性质。
能带结构（Band Structure）： 这是最核心的因素。在固体材料中，电子并不是在任意能量上都可以存在的，它们被限制在特定的能量“带”中，这些带之间存在能量的“隙”。截断能很多时候就与这些能带的结构，特别是禁带宽度（Band Gap）密切相关。比如，在半导体中，电子需要获得至少等于禁带宽度的能量才能从价带跃迁到导带，从而导电。这个禁带宽度就是一个典型的截断能。不同的半导体材料，比如硅（Si）、锗（Ge）、砷化镓（GaAs）等，它们的禁带宽度都不一样，所以它们的导电性、作为电子元件的性能也就不同。
化学键的强度： 材料内部原子之间的化学键决定了维持这些原子在一起所需的能量。更强的化学键意味着需要更高的能量才能打破它们，使得原子分离或发生结构变化。例如，在高温下，如果施加的能量超过了材料中化学键的断裂能，材料就会熔化或分解，这里的键能就可以看作一种截断能。
晶体结构和缺陷： 材料的排列方式，也就是晶体结构，对电子的运动和能量分布有很大影响。原子排列得越紧密、越有序，通常电子在其中穿行的“阻力”就越小。反之，如果材料中有晶格缺陷、位错、杂质等，这些都会改变局部电子的能量状态，可能降低甚至引入新的截断能。比如，掺杂（在半导体中加入少量其他元素）就是人为引入缺陷来改变截断能，从而调整材料的导电性。
电子的有效质量（Effective Mass）： 电子在晶体中的运动不像在真空中那样自由，它会受到晶格的周期性势场的影响，表现出一种“有效质量”。有效质量小的电子更容易被加速，或者更容易在能量上发生变化。这个也间接影响着需要多少能量才能让电子发生特定的跃迁或运动。
其次，外部施加的条件也是关键。
能量的来源和类型： 截断能的“触发”需要某种形式的能量输入。这可能是：
光能（光子）： 光子的能量（由其频率或波长决定）如果大于或等于材料的某个截断能，比如激发电子的能量，就能引发光电效应，让电子脱离束缚。比如，光伏电池就是利用太阳光（光能）来克服材料的禁带宽度（截断能），产生电能。
热能： 温度升高，原子振动加剧，给电子提供了更多的能量。当热能足够打破某些束缚时，就会发生热激发，比如材料的导电性随温度升高而增加。
电场： 施加一个足够强的电场，可以“拉扯”电子，让它们获得足够的动能，越过势垒或发生隧穿。
机械应力： 对材料施加压力或拉力，会改变其晶体结构和电子能带，从而改变截断能。这被称为压电效应或焦电效应。
磁场： 磁场也能影响电子的运动和能量状态，尤其是在磁性材料中。
环境因素：
温度： 如上所述，温度可以提供热能，影响材料的电学、光学性质，从而间接影响截断能的体现。
压力： 外部压力可以直接改变材料的晶格常数，进而影响能带结构，改变截断能。
湿度、气氛等： 在某些敏感材料中，周围环境的化学性质也会影响其表面电子状态，从而可能改变其截断能。
最后，我们还要考虑作用的尺度和过程。
量子尺寸效应（Quantum Confinement）： 当材料的尺寸变得非常小，比如纳米级别时，电子的运动就会受到限制，其能量状态会变得分立，形成所谓的“量子点”或“量子线”。在这种情况下，截断能会随着尺寸的减小而增大。这在纳米科技领域非常重要，比如用于发光二极管（LED）或太阳能电池。
界面效应： 在多层材料的结构中，不同材料交界处的界面会形成特殊的电子结构，可能存在能量势垒或者陷阱，这些也会影响到能量的传递和电子的跃迁，形成新的截断能。
总而言之，截断能不是一个孤立的概念，它是由材料内在的属性（能带、键合、结构）与外在施加的条件（光、热、电、力）相互作用而产生的。理解了这些因素，我们就能更好地设计和利用各种材料，让它们在电子、能源、光学等领域发挥更大的作用。比如，设计一个高效的太阳能电池，就需要精确匹配太阳光谱和半导体材料的禁带宽度，让尽可能多的光子能量能够被有效利用。
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晶体结构和缺陷： 材料的排列方式，也就是晶体结构，对电子的运动和能量分布有很大影响。原子排列得越紧密、越有序，通常电子在其中穿行的“阻力”就越小。反之，如果材料中有晶格缺陷、位错、杂质等，这些都会改变局部电子的能量状态，可能降低甚至引入新的截断能。比如，掺杂（在半导体中加入少量其他元素）就是人为引入缺陷来改变截断能，从而调整材料的导电性。
电子的有效质量（Effective Mass）： 电子在晶体中的运动不像在真空中那样自由，它会受到晶格的周期性势场的影响，表现出一种“有效质量”。有效质量小的电子更容易被加速，或者更容易在能量上发生变化。这个也间接影响着需要多少能量才能让电子发生特定的跃迁或运动。
其次，外部施加的条件也是关键。
能量的来源和类型： 截断能的“触发”需要某种形式的能量输入。这可能是：
光能（光子）： 光子的能量（由其频率或波长决定）如果大于或等于材料的某个截断能，比如激发电子的能量，就能引发光电效应，让电子脱离束缚。比如，光伏电池就是利用太阳光（光能）来克服材料的禁带宽度（截断能），产生电能。
热能： 温度升高，原子振动加剧，给电子提供了更多的能量。当热能足够打破某些束缚时，就会发生热激发，比如材料的导电性随温度升高而增加。
电场： 施加一个足够强的电场，可以“拉扯”电子，让它们获得足够的动能，越过势垒或发生隧穿。
机械应力： 对材料施加压力或拉力，会改变其晶体结构和电子能带，从而改变截断能。这被称为压电效应或焦电效应。
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环境因素：
温度： 如上所述，温度可以提供热能，影响材料的电学、光学性质，从而间接影响截断能的体现。
压力： 外部压力可以直接改变材料的晶格常数，进而影响能带结构，改变截断能。
湿度、气氛等： 在某些敏感材料中，周围环境的化学性质也会影响其表面电子状态，从而可能改变其截断能。
最后，我们还要考虑作用的尺度和过程。
量子尺寸效应（Quantum Confinement）： 当材料的尺寸变得非常小，比如纳米级别时，电子的运动就会受到限制，其能量状态会变得分立，形成所谓的“量子点”或“量子线”。在这种情况下，截断能会随着尺寸的减小而增大。这在纳米科技领域非常重要，比如用于发光二极管（LED）或太阳能电池。
界面效应： 在多层材料的结构中，不同材料交界处的界面会形成特殊的电子结构，可能存在能量势垒或者陷阱，这些也会影响到能量的传递和电子的跃迁，形成新的截断能。
总而言之，截断能不是一个孤立的概念，它是由材料内在的属性（能带、键合、结构）与外在施加的条件（光、热、电、力）相互作用而产生的。理解了这些因素，我们就能更好地设计和利用各种材料，让它们在电子、能源、光学等领域发挥更大的作用。比如，设计一个高效的太阳能电池，就需要精确匹配太阳光谱和半导体材料的禁带宽度，让尽可能多的光子能量能够被有效利用。
网友意见
技术上, 已有的答案已经差不多了. 这里我回答下截断能的物理概念.
实空间下截断距离的含义
我们从实空间开始讲. 考虑一个最简单的二维方格子.
如果我们需要对这个格子上的波函数进行离散化 . 那么这个x, y的取点该多密集呢? 我们不妨选一个长度d, 每隔d取一个点. 显然, d越小, 能描述的波函数就越精确, 当然计算量也就越大.
那么, 我们可以设定一个标准, 例如总能 , 在 减小的过程中, 会逐渐收敛. 当d小到一定程度, 我们就认为这个计算已经很可靠了, 我们就把这个临界值叫截断, 我们记为 .
截断距离的取值依据
那么这个 和什么有关系?
显然, 下面那个图里蓝色波函数就比红色那个需要的点多, 也就是d更小. 因为红色更平滑, 较大的取点距离d就可以很好的近似红色波函数. 因此, 波函数越平滑, 取点就可以越少, 就越大.
那么问题就变成了, 哪些波函数更平滑? 有比较明确规则的常见情况有:
- 赝波函数. 上图就是这个对比. 全电子波函数显然接近原子的区域就震荡严重, 而赝波函数就比较平滑. 就目前的技术说, 对截断精度要求上, 超软赝势(US) < 投影缀加波(PAW) < 模守恒(NC) < 全电子.
- 外层电子波函数. 相比于内层电子波函数, 外层电子波函数显然更平滑.
因此, 的大小, 也就可以由这些因素进行判断:
- 是否与原胞大小有关? 无关, 晶格大小和取点密度的需求没有关系.
- 是否与材料有无磁性有关? 有关, 磁性往往涉及到更深的内层(d, f)电子.
- 是否与材料成键类型有关? 有关, 更为平滑的成键构型需要的截断能更小.
- 是否与材料维度有关? 无关, 通过增加真空层降低材料维度, 与增大原胞大小效果相同.
然而, 虽然截断距离的取值和原胞大小无关, 但显然, 保持同样取点密度(截断距离)时, 原胞越大总取点个数越多. 而不幸的是, 哈密顿量和波函数的维度等同于取点个数, 因此计算更大原胞的时间会按 急速增加, 即原胞变成2倍, 时间变成8倍.
倒空间中截断能的含义
明白实空间截断距离的意义, 那么还有一个问题: 和常用软件(VASP, Quantum Espresso, Abinit)的截断能有什么关系呢?
这里要涉及到一个技术问题, VASP等软件, 都是基于平面波基组. 所谓平面波基组, 可以简单认为是倒格子基组, 用G表示. 在下图中用黑色点表示.
既然倒格子和正格子是倒数关系, 上面的截断距离d, 就需要取个倒数成为 , 也就是上图中那个大圆的半径了. 所有大圆里面的点, 就会被用来做基矢, 外面的就不要了.
为了简便期间, 我们用 的平方 来标记这个截断半径. 注意 是个动量, 因此 在原子单位下就可以记作一个能量, 就称为截断能.
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