无穷个集合的交（或者并）运算总是成立的吗？为什么？
无穷个集合的交（或者并）运算在数学上是总是成立的，但理解其成立的原因和蕴含的深刻含义需要一些细致的解释。
我们分别来详细探讨无穷集合的交和并运算。
无穷集合的交运算
定义：
设 ${A_alpha}_{alpha in I}$ 是一个集合族，其中 $I$ 是一个非空指标集（它可以是有限的，也可以是无穷的）。
无穷集合的交运算定义为：
$$ igcap_{alpha in I} A_alpha = {x mid forall alpha in I, x in A_alpha} $$
也就是说，交集中的元素必须属于集合族中的每一个集合。
为什么总是成立？
1. 概念上的清晰性：
定义本身就是明确的。我们只需要找到那些“全部”属于每个集合的元素。即使集合的数量是无穷的，这个逻辑依然有效。一个元素要么属于每一个集合，要么不属于每一个集合。
2. 集合论的基础：
在标准的集合论公理系统中（如策梅洛弗兰克尔集合论，ZFC），集合的构造是被严格定义的。无穷集合的交运算可以通过分离公理模式（Axiom schema of separation） 和 幂集公理（Power set axiom） 等结合起来间接保证其存在性。
更直接地，我们可以考虑交的正则化定义。对于一个集合族 ${A_alpha}_{alpha in I}$，存在一个集合 $U$ 使得 $A_alpha subseteq U$ 对所有 $alpha in I$ 都成立（例如，可以取 $U$ 为包含所有 $A_alpha$ 的并集，如果并集存在的话，或者更普遍地，存在一个“全集”的概念）。然后，交集 $igcap_{alpha in I} A_alpha$ 可以被看作是 $U$ 中那些属于每个 $A_alpha$ 的元素构成的子集。
更具体的说明（使用 ZFC 公理）：
我们可以利用 替换公理模式（Axiom schema of replacement） 和 并集公理（Axiom of union） 来保证交集的存在。
假设我们有一个集合族 ${A_alpha}_{alpha in I}$。
并集公理保证了所有 $A_alpha$ 的并集 $igcup_{alpha in I} A_alpha$ 是一个集合。我们称这个并集为 $U$。
现在我们考虑集合 $U$。我们可以使用分离公理模式来构造交集。分离公理模式允许我们从一个已知集合中选择满足特定性质的元素。
对于交集 $igcap_{alpha in I} A_alpha$，我们需要选择 $U$ 中的元素 $x$，使得 $x$ 满足性质 "$x in A_alpha$ 对所有 $alpha in I$"。这个性质可以用逻辑公式来表达。
具体来说，对于集合 $U$，我们可以构造子集 $S = {x in U mid forall alpha in I, x in A_alpha}$。
根据分离公理模式，这个集合 $S$ 是存在的。而 $S$ 正是 $igcap_{alpha in I} A_alpha$ 的定义。
3. 结果的性质：
存在性： 即使指标集 $I$ 是无穷的，交集 $igcap_{alpha in I} A_alpha$ 也总是一个集合。它可能是一个空集，也可能包含元素。
非空交集的要求： 一个非空集合的交集不一定非空。例如，考虑指标集为自然数 $mathbb{N}$，集合族为 ${A_n}_{n in mathbb{N}}$，其中 $A_n = {k in mathbb{Z} mid k ge n}$。那么 $igcap_{n in mathbb{N}} A_n = emptyset$（因为对于任何一个整数 $k$，总存在一个自然数 $n > k$，使得 $k otin A_n$）。
空交集的可能性： 当指标集 $I$ 是无穷集时，交集比有限个集合的交集更容易为空集。这是因为一个元素需要同时满足无穷多个条件才能存在于交集中。
举例说明：
自然数集： $igcap_{n=1}^{infty} {k in mathbb{Z} mid k ge n} = emptyset$。
闭区间： 设 $I = mathbb{N}$，$A_n = [0, 1/n]$。那么 $igcap_{n=1}^{infty} A_n = {0}$。
集合族为空： 如果指标集 $I$ 是空集（这是一个特殊但重要的边缘情况），那么按照定义， $igcap_{alpha in emptyset} A_alpha$ 是“满足对所有 $alpha$ 都成立的性质”的元素的集合。在这个情况下，任何元素都满足这个 Vacuously True（空真）的性质，所以 $igcap_{alpha in emptyset} A_alpha$ 是全集（或者我们考虑的论域中的所有元素）。然而，通常我们讨论非空指标集的集合族。
无穷集合的并运算
定义：
设 ${A_alpha}_{alpha in I}$ 是一个集合族，其中 $I$ 是一个非空指标集。
无穷集合的并运算定义为：
$$ igcup_{alpha in I} A_alpha = {x mid exists alpha in I, x in A_alpha} $$
也就是说，并集中的元素至少属于集合族中的一个集合。
为什么总是成立？
1. 概念上的清晰性：
并集的定义也很直观：我们把所有集合中的元素都“收集”起来。即使集合的数量是无穷的，这个收集过程在概念上是明确的。
2. 集合论的基础（并集公理）：
在 ZFC 集合论中，并集公理（Axiom of union） 直接保证了无穷集合的并运算总是成立的，并且结果是一个集合。
并集公理的内容是：对于任何集合 $X$，存在一个集合 $Y$ 使得 $Y = igcup_{A in X} A$。
在我们的无穷集合族 ${A_alpha}_{alpha in I}$ 的情况下，我们可以构造一个包含所有 $A_alpha$ 的集合（例如，利用分离公理和选择公理可以构造出包含所有 $A_alpha$ 的集合，或者考虑所有子集构成的幂集的一部分）。
更简便地理解，我们可以构造一个集合 $X = {A_alpha mid alpha in I}$。根据并集公理， $igcup_{A in X} A$ 是一个集合，而这正是 $igcup_{alpha in I} A_alpha$ 的定义。
3. 结果的性质：
存在性： 无穷集合的并集总是存在且为一个集合。
非空性： 如果集合族中至少有一个集合非空，那么并集也一定非空。如果集合族中的所有集合都是空集，那么它们的并集也是空集。
包含关系： 并集包含了集合族中的每一个集合，即对所有 $alpha in I$，都有 $A_alpha subseteq igcup_{alpha in I} A_alpha$。
举例说明：
自然数集： $igcup_{n=1}^{infty} {k in mathbb{Z} mid k ge n} = mathbb{Z}$（所有的整数）。
闭区间： 设 $I = mathbb{N}$，$A_n = [0, 1/n]$。那么 $igcup_{n=1}^{infty} A_n = (0, 1]$（或者如果我们从 $n=0$ 开始，则为 $[0, 1]$，取决于定义）。
集合族为空： 如果指标集 $I$ 是空集，那么 $igcup_{alpha in emptyset} A_alpha = emptyset$。因为不存在任何一个 $alpha in emptyset$ 使得 $x in A_alpha$。
总结
无穷集合的交运算和并运算在数学上都是成立的，它们的结果也总是集合。
并运算直接由并集公理保证其存在性，且概念上是把所有元素收集起来。
交运算虽然概念上是找共同的元素，但其存在性也是由集合论公理（如分离公理）保证的。
关键在于理解“集合”的定义和公理体系。 在数学中，“成立”意味着可以被定义并且其结果是一个被承认的数学实体（在本例中是集合）。无穷集合的交和并运算都满足这个标准。
需要注意的是：
交集可能为空集，尤其是在无穷交的情况下。
并集则永远不会比集合族中的任何一个集合“小”（在包含关系上）。
理解这一点对于学习实分析、拓扑学、测度论等许多数学分支至关重要，因为这些领域经常会遇到无穷集合的交和并。
我们分别来详细探讨无穷集合的交和并运算。
无穷集合的交运算
定义：
设 ${A_alpha}_{alpha in I}$ 是一个集合族，其中 $I$ 是一个非空指标集（它可以是有限的，也可以是无穷的）。
无穷集合的交运算定义为：
$$ igcap_{alpha in I} A_alpha = {x mid forall alpha in I, x in A_alpha} $$
也就是说，交集中的元素必须属于集合族中的每一个集合。
为什么总是成立？
1. 概念上的清晰性：
定义本身就是明确的。我们只需要找到那些“全部”属于每个集合的元素。即使集合的数量是无穷的，这个逻辑依然有效。一个元素要么属于每一个集合，要么不属于每一个集合。
2. 集合论的基础：
在标准的集合论公理系统中（如策梅洛弗兰克尔集合论，ZFC），集合的构造是被严格定义的。无穷集合的交运算可以通过分离公理模式（Axiom schema of separation） 和 幂集公理（Power set axiom） 等结合起来间接保证其存在性。
更直接地，我们可以考虑交的正则化定义。对于一个集合族 ${A_alpha}_{alpha in I}$，存在一个集合 $U$ 使得 $A_alpha subseteq U$ 对所有 $alpha in I$ 都成立（例如，可以取 $U$ 为包含所有 $A_alpha$ 的并集，如果并集存在的话，或者更普遍地，存在一个“全集”的概念）。然后，交集 $igcap_{alpha in I} A_alpha$ 可以被看作是 $U$ 中那些属于每个 $A_alpha$ 的元素构成的子集。
更具体的说明（使用 ZFC 公理）：
我们可以利用 替换公理模式（Axiom schema of replacement） 和 并集公理（Axiom of union） 来保证交集的存在。
假设我们有一个集合族 ${A_alpha}_{alpha in I}$。
并集公理保证了所有 $A_alpha$ 的并集 $igcup_{alpha in I} A_alpha$ 是一个集合。我们称这个并集为 $U$。
现在我们考虑集合 $U$。我们可以使用分离公理模式来构造交集。分离公理模式允许我们从一个已知集合中选择满足特定性质的元素。
对于交集 $igcap_{alpha in I} A_alpha$，我们需要选择 $U$ 中的元素 $x$，使得 $x$ 满足性质 "$x in A_alpha$ 对所有 $alpha in I$"。这个性质可以用逻辑公式来表达。
具体来说，对于集合 $U$，我们可以构造子集 $S = {x in U mid forall alpha in I, x in A_alpha}$。
根据分离公理模式，这个集合 $S$ 是存在的。而 $S$ 正是 $igcap_{alpha in I} A_alpha$ 的定义。
3. 结果的性质：
存在性： 即使指标集 $I$ 是无穷的，交集 $igcap_{alpha in I} A_alpha$ 也总是一个集合。它可能是一个空集，也可能包含元素。
非空交集的要求： 一个非空集合的交集不一定非空。例如，考虑指标集为自然数 $mathbb{N}$，集合族为 ${A_n}_{n in mathbb{N}}$，其中 $A_n = {k in mathbb{Z} mid k ge n}$。那么 $igcap_{n in mathbb{N}} A_n = emptyset$（因为对于任何一个整数 $k$，总存在一个自然数 $n > k$，使得 $k otin A_n$）。
空交集的可能性： 当指标集 $I$ 是无穷集时，交集比有限个集合的交集更容易为空集。这是因为一个元素需要同时满足无穷多个条件才能存在于交集中。
举例说明：
自然数集： $igcap_{n=1}^{infty} {k in mathbb{Z} mid k ge n} = emptyset$。
闭区间： 设 $I = mathbb{N}$，$A_n = [0, 1/n]$。那么 $igcap_{n=1}^{infty} A_n = {0}$。
集合族为空： 如果指标集 $I$ 是空集（这是一个特殊但重要的边缘情况），那么按照定义， $igcap_{alpha in emptyset} A_alpha$ 是“满足对所有 $alpha$ 都成立的性质”的元素的集合。在这个情况下，任何元素都满足这个 Vacuously True（空真）的性质，所以 $igcap_{alpha in emptyset} A_alpha$ 是全集（或者我们考虑的论域中的所有元素）。然而，通常我们讨论非空指标集的集合族。
无穷集合的并运算
定义：
设 ${A_alpha}_{alpha in I}$ 是一个集合族，其中 $I$ 是一个非空指标集。
无穷集合的并运算定义为：
$$ igcup_{alpha in I} A_alpha = {x mid exists alpha in I, x in A_alpha} $$
也就是说，并集中的元素至少属于集合族中的一个集合。
为什么总是成立？
1. 概念上的清晰性：
并集的定义也很直观：我们把所有集合中的元素都“收集”起来。即使集合的数量是无穷的，这个收集过程在概念上是明确的。
2. 集合论的基础（并集公理）：
在 ZFC 集合论中，并集公理（Axiom of union） 直接保证了无穷集合的并运算总是成立的，并且结果是一个集合。
并集公理的内容是：对于任何集合 $X$，存在一个集合 $Y$ 使得 $Y = igcup_{A in X} A$。
在我们的无穷集合族 ${A_alpha}_{alpha in I}$ 的情况下，我们可以构造一个包含所有 $A_alpha$ 的集合（例如，利用分离公理和选择公理可以构造出包含所有 $A_alpha$ 的集合，或者考虑所有子集构成的幂集的一部分）。
更简便地理解，我们可以构造一个集合 $X = {A_alpha mid alpha in I}$。根据并集公理， $igcup_{A in X} A$ 是一个集合，而这正是 $igcup_{alpha in I} A_alpha$ 的定义。
3. 结果的性质：
存在性： 无穷集合的并集总是存在且为一个集合。
非空性： 如果集合族中至少有一个集合非空，那么并集也一定非空。如果集合族中的所有集合都是空集，那么它们的并集也是空集。
包含关系： 并集包含了集合族中的每一个集合，即对所有 $alpha in I$，都有 $A_alpha subseteq igcup_{alpha in I} A_alpha$。
举例说明：
自然数集： $igcup_{n=1}^{infty} {k in mathbb{Z} mid k ge n} = mathbb{Z}$（所有的整数）。
闭区间： 设 $I = mathbb{N}$，$A_n = [0, 1/n]$。那么 $igcup_{n=1}^{infty} A_n = (0, 1]$（或者如果我们从 $n=0$ 开始，则为 $[0, 1]$，取决于定义）。
集合族为空： 如果指标集 $I$ 是空集，那么 $igcup_{alpha in emptyset} A_alpha = emptyset$。因为不存在任何一个 $alpha in emptyset$ 使得 $x in A_alpha$。
总结
无穷集合的交运算和并运算在数学上都是成立的，它们的结果也总是集合。
并运算直接由并集公理保证其存在性，且概念上是把所有元素收集起来。
交运算虽然概念上是找共同的元素，但其存在性也是由集合论公理（如分离公理）保证的。
关键在于理解“集合”的定义和公理体系。 在数学中，“成立”意味着可以被定义并且其结果是一个被承认的数学实体（在本例中是集合）。无穷集合的交和并运算都满足这个标准。
需要注意的是：
交集可能为空集，尤其是在无穷交的情况下。
并集则永远不会比集合族中的任何一个集合“小”（在包含关系上）。
理解这一点对于学习实分析、拓扑学、测度论等许多数学分支至关重要，因为这些领域经常会遇到无穷集合的交和并。
网友意见
第一：集合论（ZF）规定，对于任意一个集合S（其元素也是集合），一定能够对他的所有元素集合取并。
第二：无穷多个闭集的并集不一定是闭集，例如[1/2, 1]，[1/3, 1], ..., [1/n, 1], ...他们的并集是(0, 1]。无穷多个开集的交集不一定是开集。这都是开集和闭集的基本性质。
第三：任意（可能无穷）多个闭集的交集一定还是闭集，任意（可能无穷）多个开集的并集一定还是开集。这两条是更重要的开集和闭集的基本性质。
第四：第三种提到的性质事实上就是拓扑中对于广义的『开集』应当满足的性质，即某种意义上的开集的定义。
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