为什么有理数 1/49 看起来这么像是个无限不循环小数？循环节在哪里？

你观察得太仔细了！1/49 确实会让人产生“无限不循环”的错觉，但它其实是一个 无限循环小数。只是它的循环节相对来说比较长，所以不容易一眼看穿。

我们来一步一步揭开它的面纱。

为什么我们会有“看起来像无限不循环”的错觉？

首先，我们习惯了对一些简单分数进行十进制转换。比如：

1/2 = 0.5 (有限小数)
1/4 = 0.25 (有限小数)
1/3 = 0.333... (循环节为“3”)
1/7 = 0.142857142857... (循环节为“142857”)

这些分母比较小的数，它们的循环节要么很短，要么是有限小数，都比较容易辨认。而 49 这个数，分母比较大，它的循环节就变得不那么显眼了。

如何确定一个分数是否是无限循环小数？

一个最基本的数学原理是：只有当一个分数（化为最简分数后）的分母，其质因数只包含 2 和 5 时，它的小数表示才是有限的。 否则，它就是无限循环小数。

我们来看 1/49：

1. 最简分数： 1/49 已经是化为最简的分数了，因为 1 和 49 没有大于 1 的公因数。
2. 分母的质因数分解： 49 的质因数分解是 $7 imes 7 = 7^2$。
3. 判断： 分母 49 的质因数只有 7，不包含 2 或 5。因此，1/49 必然 是一个无限循环小数。

那么，那个隐藏的循环节到底在哪里？

要找到循环节，最直接的方法就是进行长除法。我们来手动模拟一下 1 除以 49 的过程：

```
0.020408163265306122448979591836734693877551
_________________________________________________
49 | 1.00000000000000000000000000000000000000000000000000
0

1 00
98 (49 x 2)

20
0 (49 x 0)

200
196 (49 x 4)

40
0 (49 x 0)

400
392 (49 x 8)

80
49 (49 x 1)

310
294 (49 x 6)

160
147 (49 x 3)

130
98 (49 x 2)

320
294 (49 x 6)

260
245 (49 x 5)

150
147 (49 x 3)

30
0 (49 x 0)

300
294 (49 x 6)

60
49 (49 x 1)

110
98 (49 x 2)

120
98 (49 x 2)

220
196 (49 x 4)

240
196 (49 x 4)

440
441 (49 x 9) < 这里需要借位，实际上是 440 392 (49 x 8)

480 (这里实际应该是在440减去392后余48，然后后面添0)
Let's correct the long division. The remainders are key.

Let's restart the long division more systematically, focusing on the remainders:

When we divide 1 by 49:

1. 1 ÷ 49 = 0 with remainder 1. We bring down a 0, making it 10.
2. 10 ÷ 49 = 0 with remainder 10. Bring down a 0, making it 100.
3. 100 ÷ 49 = 2 with remainder 2 (100 98). Bring down a 0, making it 20.
4. 20 ÷ 49 = 0 with remainder 20. Bring down a 0, making it 200.
5. 200 ÷ 49 = 4 with remainder 4 (200 196). Bring down a 0, making it 40.
6. 40 ÷ 49 = 0 with remainder 40. Bring down a 0, making it 400.
7. 400 ÷ 49 = 8 with remainder 8 (400 392). Bring down a 0, making it 80.
8. 80 ÷ 49 = 1 with remainder 31 (80 49). Bring down a 0, making it 310.
9. 310 ÷ 49 = 6 with remainder 16 (310 294). Bring down a 0, making it 160.
10. 160 ÷ 49 = 3 with remainder 13 (160 147). Bring down a 0, making it 130.
11. 130 ÷ 49 = 2 with remainder 32 (130 98). Bring down a 0, making it 320.
12. 320 ÷ 49 = 6 with remainder 26 (320 294). Bring down a 0, making it 260.
13. 260 ÷ 49 = 5 with remainder 15 (260 245). Bring down a 0, making it 150.
14. 150 ÷ 49 = 3 with remainder 3 (150 147). Bring down a 0, making it 30.
15. 30 ÷ 49 = 0 with remainder 30. Bring down a 0, making it 300.
16. 300 ÷ 49 = 6 with remainder 6 (300 294). Bring down a 0, making it 60.
17. 60 ÷ 49 = 1 with remainder 11 (60 49). Bring down a 0, making it 110.
18. 110 ÷ 49 = 2 with remainder 12 (110 98). Bring down a 0, making it 120.
19. 120 ÷ 49 = 2 with remainder 22 (120 98). Bring down a 0, making it 220.
20. 220 ÷ 49 = 4 with remainder 24 (220 196). Bring down a 0, making it 240.
21. 240 ÷ 49 = 4 with remainder 44 (240 196). Bring down a 0, making it 440.
22. 440 ÷ 49 = 8 with remainder 48 (440 392). Bring down a 0, making it 480.
23. 480 ÷ 49 = 9 with remainder 39 (480 441). Bring down a 0, making it 390.
24. 390 ÷ 49 = 7 with remainder 47 (390 343). Bring down a 0, making it 470.
25. 470 ÷ 49 = 9 with remainder 29 (470 441). Bring down a 0, making it 290.
26. 290 ÷ 49 = 5 with remainder 45 (290 245). Bring down a 0, making it 450.
27. 450 ÷ 49 = 9 with remainder 9 (450 441). Bring down a 0, making it 90.
28. 90 ÷ 49 = 1 with remainder 41 (90 49). Bring down a 0, making it 410.
29. 410 ÷ 49 = 8 with remainder 18 (410 392). Bring down a 0, making it 180.
30. 180 ÷ 49 = 3 with remainder 33 (180 147). Bring down a 0, making it 330.
31. 330 ÷ 49 = 6 with remainder 36 (330 294). Bring down a 0, making it 360.
32. 360 ÷ 49 = 7 with remainder 17 (360 343). Bring down a 0, making it 170.
33. 170 ÷ 49 = 3 with remainder 23 (170 147). Bring down a 0, making it 230.
34. 230 ÷ 49 = 4 with remainder 34 (230 196). Bring down a 0, making it 340.
35. 340 ÷ 49 = 6 with remainder 46 (340 294). Bring down a 0, making it 460.
36. 460 ÷ 49 = 9 with remainder 19 (460 441). Bring down a 0, making it 190.
37. 190 ÷ 49 = 3 with remainder 43 (190 147). Bring down a 0, making it 430.
38. 430 ÷ 49 = 8 with remainder 38 (430 392). Bring down a 0, making it 380.
39. 380 ÷ 49 = 7 with remainder 37 (380 343). Bring down a 0, making it 370.
40. 370 ÷ 49 = 7 with remainder 27 (370 343). Bring down a 0, making it 270.
41. 270 ÷ 49 = 5 with remainder 25 (270 245). Bring down a 0, making it 250.
42. 250 ÷ 49 = 5 with remainder 5 (250 245). Bring down a 0, making it 50.
43. 50 ÷ 49 = 1 with remainder 1.

循环开始了！

注意到，我们在第 43 步的余数是 1。在长除法中，当一个余数重复出现时，接下来的商和余数就会重复出现，从而形成一个循环。

我们最开始计算 1/49 的时候，是从 1 开始的。在第 43 步，我们又得到了余数 1。这意味着，从第一次得到余数 1 开始，到第二次得到余数 1 之前的所有计算过程（包括商和余数），都会完全重复。

循环节的长度

一个分数 $1/n$ 的循环节长度，有一个重要的性质：它的长度最多为 $n1$。更准确地说，如果 $n$ 的质因数不含 2 和 5，那么循环节的长度是 $n$ 的乘法阶（modulo $n$）。

对于 49，$49 = 7^2$。循环节的长度跟 $phi(49)$ 有关，其中 $phi$ 是欧拉函数。
$phi(49) = 49(1 1/7) = 49 imes 6/7 = 42$。
所以，循环节的长度最多是 42 位。

让我们仔细看一下我们手动计算时产生的商（小数点后的数字）：

0. 020408163265306122448979591836734693877551 ...

我们得到余数 1 的时候，之前所有的余数是什么呢？
10, 20, 4, 40, 8, 31, 16, 13, 32, 26, 15, 3, 30, 6, 11, 12, 22, 24, 44, 48, 39, 47, 29, 45, 9, 41, 18, 33, 36, 17, 23, 34, 46, 19, 43, 38, 37, 27, 25, 5, 1.

等等，上面我列出的余数列表不完全对，因为我没有精确地列出每一步的余数。让我们换个更系统的方法来确定循环节。

利用数学性质寻找循环节

一个更可靠的方法是利用 模运算。
我们知道，$1/49$ 的小数表示是 $0.d_1 d_2 d_3 dots$。
那么，$10/49$ 的整数部分是 $d_1$，余数是 $r_1$。
$100/49$ 的整数部分是 $10 d_1 + d_2$，余数是 $r_2$。
依此类推，$10^k/49$ 的整数部分是 $10^k pmod{49}$，小数表示就是 $10^k/49 = ext{整数部分} + 0.d_{k+1} d_{k+2} dots$。

循环节的出现是因为 $10^k equiv 1 pmod{49}$。我们需要找到最小的正整数 $k$ 使得 $10^k equiv 1 pmod{49}$。这个 $k$ 就是循环节的长度。

让我们来计算 $10$ 的幂模 49：

$10^1 equiv 10 pmod{49}$
$10^2 = 100 equiv 2 pmod{49}$ (因为 $100 = 2 imes 49 + 2$)
$10^3 equiv 10^2 imes 10 equiv 2 imes 10 = 20 pmod{49}$
$10^4 equiv 10^3 imes 10 equiv 20 imes 10 = 200 equiv 4 pmod{49}$ (因为 $200 = 4 imes 49 + 4$)
$10^5 equiv 10^4 imes 10 equiv 4 imes 10 = 40 pmod{49}$
$10^6 equiv 10^5 imes 10 equiv 40 imes 10 = 400 equiv 8 pmod{49}$ (因为 $400 = 8 imes 49 + 8$)
$10^7 equiv 10^6 imes 10 equiv 8 imes 10 = 80 equiv 31 pmod{49}$ (因为 $80 = 1 imes 49 + 31$)
$10^8 equiv 10^7 imes 10 equiv 31 imes 10 = 310 equiv 16 pmod{49}$ (因为 $310 = 6 imes 49 + 16$)
$10^9 equiv 10^8 imes 10 equiv 16 imes 10 = 160 equiv 13 pmod{49}$ (因为 $160 = 3 imes 49 + 13$)
$10^{10} equiv 10^9 imes 10 equiv 13 imes 10 = 130 equiv 32 pmod{49}$ (因为 $130 = 2 imes 49 + 32$)
$10^{11} equiv 10^{10} imes 10 equiv 32 imes 10 = 320 equiv 26 pmod{49}$ (因为 $320 = 6 imes 49 + 26$)
$10^{12} equiv 10^{11} imes 10 equiv 26 imes 10 = 260 equiv 15 pmod{49}$ (因为 $260 = 5 imes 49 + 15$)
$10^{13} equiv 10^{12} imes 10 equiv 15 imes 10 = 150 equiv 3 pmod{49}$ (因为 $150 = 3 imes 49 + 3$)
$10^{14} equiv 10^{13} imes 10 equiv 3 imes 10 = 30 pmod{49}$
$10^{15} equiv 10^{14} imes 10 equiv 30 imes 10 = 300 equiv 6 pmod{49}$ (因为 $300 = 6 imes 49 + 6$)
$10^{16} equiv 10^{15} imes 10 equiv 6 imes 10 = 60 equiv 11 pmod{49}$ (因为 $60 = 1 imes 49 + 11$)
$10^{17} equiv 10^{16} imes 10 equiv 11 imes 10 = 110 equiv 12 pmod{49}$ (因为 $110 = 2 imes 49 + 12$)
$10^{18} equiv 10^{17} imes 10 equiv 12 imes 10 = 120 equiv 22 pmod{49}$ (因为 $120 = 2 imes 49 + 22$)
$10^{19} equiv 10^{18} imes 10 equiv 22 imes 10 = 220 equiv 24 pmod{49}$ (因为 $220 = 4 imes 49 + 24$)
$10^{20} equiv 10^{19} imes 10 equiv 24 imes 10 = 240 equiv 44 pmod{49}$ (因为 $240 = 4 imes 49 + 44$)
$10^{21} equiv 10^{20} imes 10 equiv 44 imes 10 = 440 equiv 8 pmod{49}$ (因为 $440 = 8 imes 49 + 48$. 哎呀，这里是 48。 $440 = 9 imes 49 1$. 应该更小心。 $440 = 8 imes 49 + 48$. $10^{21} equiv 48 pmod{49}$. )

更正：

$10^{20} equiv 240 equiv 44 pmod{49}$ (240 = 4 49 + 44)
$10^{21} equiv 44 imes 10 = 440 equiv 48 pmod{49}$ (440 = 8 49 + 48). $48 equiv 1 pmod{49}$。

这很重要！

$10^{22} equiv 48 imes 10 = 480 equiv 39 pmod{49}$ (480 = 9 49 + 39)
$10^{23} equiv 39 imes 10 = 390 equiv 47 pmod{49}$ (390 = 7 49 + 47)
$10^{24} equiv 47 imes 10 = 470 equiv 29 pmod{49}$ (470 = 9 49 + 29)
$10^{25} equiv 29 imes 10 = 290 equiv 45 pmod{49}$ (290 = 5 49 + 45)
$10^{26} equiv 45 imes 10 = 450 equiv 9 pmod{49}$ (450 = 9 49 + 9)
$10^{27} equiv 9 imes 10 = 90 equiv 41 pmod{49}$ (90 = 1 49 + 41)
$10^{28} equiv 41 imes 10 = 410 equiv 18 pmod{49}$ (410 = 8 49 + 18)
$10^{29} equiv 18 imes 10 = 180 equiv 33 pmod{49}$ (180 = 3 49 + 33)
$10^{30} equiv 33 imes 10 = 330 equiv 36 pmod{49}$ (330 = 6 49 + 36)
$10^{31} equiv 36 imes 10 = 360 equiv 17 pmod{49}$ (360 = 7 49 + 17)
$10^{32} equiv 17 imes 10 = 170 equiv 23 pmod{49}$ (170 = 3 49 + 23)
$10^{33} equiv 23 imes 10 = 230 equiv 34 pmod{49}$ (230 = 4 49 + 34)
$10^{34} equiv 34 imes 10 = 340 equiv 46 pmod{49}$ (340 = 6 49 + 46)
$10^{35} equiv 46 imes 10 = 460 equiv 19 pmod{49}$ (460 = 9 49 + 19)
$10^{36} equiv 19 imes 10 = 190 equiv 43 pmod{49}$ (190 = 3 49 + 43)
$10^{37} equiv 43 imes 10 = 430 equiv 38 pmod{49}$ (430 = 8 49 + 38)
$10^{38} equiv 38 imes 10 = 380 equiv 37 pmod{49}$ (380 = 7 49 + 37)
$10^{39} equiv 37 imes 10 = 370 equiv 27 pmod{49}$ (370 = 7 49 + 27)
$10^{40} equiv 27 imes 10 = 270 equiv 25 pmod{49}$ (270 = 5 49 + 25)
$10^{41} equiv 25 imes 10 = 250 equiv 5 pmod{49}$ (250 = 5 49 + 5)
$10^{42} equiv 5 imes 10 = 50 equiv 1 pmod{49}$

找到了！

我们发现 $10^{42} equiv 1 pmod{49}$。这意味着，当我们在进行长除法时，余数会在 42 步之后第一次回到 1。
我们之前手动进行的除法，虽然过程有点繁琐，但如果我们能精确地跟踪余数，就会发现当余数出现 1 的时候，之前的计算就已经结束了一个循环。

循环节是：

0. 020408163265306122448979591836734693877551

这个数字串就是 1/49 的循环节，它由 42 个数字组成。

为什么长除法那么长？

这就是分母 49 的“魔力”所在。它的质因数 7 相对比较“原始”，不像 2 或 5 那样能够轻易地“终结”小数。当分母的质因数不是 2 或 5 时，我们就可以预期它会产生一个无限循环小数，而循环节的长度则与分母的结构密切相关。49 的情况，由于 $7^2$ 的存在，导致了 42 位的循环节，这比我们熟悉的 1/3（1位）或 1/7（6位）要长得多，所以初看起来确实像是个“怪胎”，但它严格遵守了数学规则。

所以，下次当你看到一个分母稍大，但又无法一眼看出循环节的分数时，别忘了它的背后隐藏着一个精心构造的、由数字组成的“无限舞蹈”。

恶老师秘制数学小汉堡，富含维生素abcdefg，大体难度不超过★★★☆☆，非常适合智力中等及以上人类食用。

强行掺入微量初等数论，用以提鲜，剂量极小绝不致死……

仪式完毕，正文马上开始！^_^

弱弱斗胆说一句：本答案应该是目前所有回答里最全最细致最明白的，写作中途我也遇到了困难整整想了3天才解决。

说实话这个问题看似极其简单，深挖起来简直深不见底。

本文从计算1/49循环节这样小学生都会的难度，一直层层递进，带你穿过欧拉定理，直至触碰到世界未解数论难题，这其中的冒险实在是非常刺激，一路上我已经为大家披荆斩棘，难度压到最低，欢迎来我的数学胎教乐园玩耍！^_^（强行诱捕上车）

全文手码为爱发电！！望点赞！！有任何bug欢迎指出，因为我写字真的特别粗心，复制黏贴都会弄错的那种，感谢！！！

（文末有彩蛋福利，请大家坚持看完！）

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！！重要更新！！

关于正整数倒数循环节长度问题，我已经有了更为一般性的解答！！欢迎取阅！！

趣味详解版：

无情精简版：

如果你的数学基础比较差，建议先阅读本文哦～～～

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〇、你的计算器不对劲，你更不对劲（难度：★☆☆☆☆）

首先我真的要吐槽题主，你那个计算器屏幕太小了，连1/49的循环节都显示不完整，你看看我的大屏计算器效果多好：

而且题主的描述也很不对劲：

所以你以为回答就到这里结束了吗？

天真！！！

恶老师的数学胎教～才刚刚开始！！！宝贝们快快上车！

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一、1/49，没在怕的！（难度：☆☆☆☆☆）

有一件事情是肯定的：能写成分数的必是循环小数（不循环小数可以看作循环节为0），并且循环节出现是因为余数有限（余数的数量必然小于除数）。

所以看到1/49，真没在怕的，它余数的数量不可能超过49，循环节位数也不可能超过49。

尽管你的计算器不行，但是你的手行啊！

笔算一下1/49的小数部分，很容……很难吗？！

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二、嘻嘻，1/49其实是一个2位有限小数（难度：★☆☆☆☆）

这个很有意思，并且我看了下，好几个回答已经提到了，但奇怪的是，点赞不多，估计是很多人脑子没转过来。

所以我再讲解下，在7进制的胎位下，你怀的崽子只有7根手指，他的世界里就是逢七进一，十进制的6还是6，十进制的7却成了10，49正好是7的平方，所以十进制的49就是七进制的100，化成分数1/100=0.01。

明白了吧？

不过正经人谁用7进制啊，你考试敢用7进制答题吗？

不敢吧！

所以我们还是得老老实实地回答这个问题：

为什么在10进制下，1/49写成小数，循环节那么长呢？有什么办法能够分分钟算出循环节长度吗？

这，才是一个好问题。

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三、配一把万能钥匙（难度：★☆☆☆☆）

对我来说，如果要确定循环节的长度，就必须先搞明白，任何一个循环小数写成分数应该是什么样子——这就是我要配的钥匙了。

为了方便，这边只考虑纯循环小数，就是从小数点后第一位就开始循环。

显然，在10进制下，纯循环小数分母的因数不能包含2或5，举几个例子：

       1/7的分母既不包含2也不包含5，所以它是纯循环小数0.142857 142857 142857...； 1/27的分母也是既不包含2也不包含5，所以它也是纯循环小数0.0370 0370 0370...； 1/15的分母包含5，所以它是混循环小数0.066666...，它可以看作纯循环小数2/3=0.666666...的十分之一； 1/6的分母包含2，所以它也是混循环小数0.166666...，它可以看作是上面的1/15再加上0.1。     

因为在本问题中，主要目标是确定循环节位数，所以就把混循环小数踢到一边，只需管好纯循环小数就够了。

现在，我们设这个纯循环小数的循环部分为 。

循环小数，感觉没完没了，怎么样和干净利索的分数产生关系呢？

当然是得想办法消掉循环小数的循环部分呀！

这个办法就是错位相减法。

比如5/11的循环部分是45，就给5/11乘上100让它小数点移2位，然后和5/11相减，循环部分就没啦！效果立竿见影：

观察一下上式规律，我们就可以打造出“纯循环小数化分数”的万能钥匙了：

好了，现在就用这把钥匙，把1/49变成循环小数的形式：

1/49的分母49的因数，既没有2，也没有5，判断1/49一定是纯循环小数，所以可以套用这把万能钥匙，把1/49写成这样的分数形式：

---

四、欧拉～o了？！（难度：★★☆☆☆）

刚刚我们已经得到了： 。

为了让式子更简洁，我们来把这个式子变个样：

这时候，就可以发现，这个式子是在说：10^m除以49余数为1，即：

我当时就胎动了一下，感受到了欧拉定理的召唤，赶紧把式子写成：

，即10^m与1对模49同余

很快啊！我赶紧和欧拉定理对接，欧拉定理长这样：

，即 与1对模n同余

你看看！前面那式子是不是和欧拉定理亲生的一样！

眼看就顺产成功了，还愣着干啥呀，赶紧把n=49代到欧拉函数 里！

我当时一看到42就以为哦了完事了，毕竟前面我的大屏计算器算出了m也的确是42没错。

然后我想当然地以为m= ，准备文章收尾的时候，突然感到不对劲：

如果循环节长度 ，根据欧拉函数特性当n为素数时 ，但尼玛1/3的循环小数位显然是1不是2啊！！！！！

我这时候慌了，赶紧翻了下这个问题下的其它回答，看到有几个提到结论是m是 的约数，再一算，n为素数43的时候， ，也就是说1/49和1/43的欧拉函数都是42，但1/43的循环节长度不是42，而是21！我当时就愣了，哪里错了？

嗯……我老实交代，上面那个问题居然让我想了2天，因为我误以为是前面万能钥匙那一步m设得有问题，验算了n遍，我以为我是傻，后来我才突然发现，我是瞎……

我竟然看着 和 想当然地以为 ，但事实是

这两个式子意思天差地别！前者 意味着m只有唯一解42，后者 意味着m的解不止一个，即m可能为42约数中的任何一个，m为1、2、3、6、7、14、21、42的其中一个！

所以光用欧拉定理还是不能完全确定m的值啊！！

偏偏这个42的约数还特别多，烦死了！！！（TAT），怎么办啊！！！枚举法我是拒绝的！！！更可恶的是这个问题看起来貌似极其简单……

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五、冒险越来越深入了……（难度：★★★☆☆）

高能预警：这段的难度主要在于术语理解，逻辑是很简单，难度相当于中国人看美国八卦报纸，你英语好看起来很容易，都是家长里短的破事，你英语菜看起来不知所云以为是什么高大上的东西。

温馨提示：这段对没有数学基础会有难度，可以直接跳到六，六是真刺激。

最终我又花了1天时间现啃了一堆资料，就硬啃，最终终于明白事情如此简单：

我要求的m，被称为“10模49的阶”。

抽象吧？不准下车，车门已经焊死了，你就陪陪我走到底吧！我这3天简直就像在黑暗里独自前行，永远不知道下一个坑在哪里！

嗯，回到刚刚那句话，“10模49的阶”，你就当阅读理解做，这其实不是一个数学题，而是一个语义疯狂套娃的脑筋急转弯！

“模“没什么好说的，就是取余数，至于这个”阶“是什么，真得好好解释下：

对于欧拉定理 ，当a和n互素（这句条件等价于1/n为纯循环小数），此时满足 的x存在最小正整数解，这个x称作a模n的阶，并且这个阶要么等于 ，要么是 的约数。

别慌，这句话的关键词就两个字“约数”。这足以一半解答了我们的疑惑。前面我们发现，1/49和1/43的欧拉函数同为42，但1/43的循环节长度为21，本质是因为循环节长度并不等于欧拉函数的值，而是这个值的约数，也就是说，目前的全部推理，只能确定它俩的循环节长度为1、2、3、6、7、14、21、42的其中一个，只不过1/49的循环节长度正好落在了最大值。

那么问题来了，这“阶”怎么求呢？哎，这时候又必须要谈“原根”：

若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。

这句话对于大多数人来说应该还是天书，但其实数学证明很多时候就是颠来倒去说同一件事。

可以肯定的是，10是模49的一个原根，且它的阶正好就是 ，所以1/49的循环节长度是42。

那么问题来了，有什么 ，阶却不是42的n呢？

因为 10 不是 43 的原根，所以 10模43的阶不是42，是21。

至于原因，我已经在开头给出的链接中非常详细解答了，欢迎大家阅读！！

六、后记

因为我是业余学习的数学，数论也是因为觉得这个 1/49 的问题有趣，临时学的

所以一开始我几乎没有任何知识储备，甚至天真地以为对于任意正整数 x ，人类应该已经有一个确定的什么函数 f(x) 可以无需枚举就能得出 1/x 的循环节长度，但到处都搜不到答案，

于是我就开始“闭门造车”，研究了很久，一直发现没有结果，这个过程非常煎熬

最终通过自己持续不断的思考，终于发现这个问题最终指向了一个终极难题：大数分解，本质上触及了黎曼猜想（关于这一点，我在开头给出的链接也详细解答了）

——嘻嘻，那我解不出也是理所应当的嘛！

这样的经历给我带来非常神奇的体验，以下是当时的心情记录：

……我就想办法自己找这个函数，因为我感觉这个问题看起来极其简单，诡异的是我研究了一整天都没找到办法……

我仔细翻看了这个问题下的所有答案，竟然没有人能解答我的问题。
难道……是我的问题太简单了吗？

我呆呆地写了十页纸，反反复复验算，希望不断被点亮、熄灭、点亮、熄灭，我逐渐感叹自己是不是智商不配碰数学，这么简单的问题，算不出来一定是因为我太笨了……

我很明显感觉到自己在一个怪圈里打转死都出不去。这种感觉非常恐怖，就好像在一片漆黑的森林里寻找回家的路，走了很久发现自己还在原地，感觉永远没有出头之日，然而心底却又有一个声音不停和我说，你再撑一下就到家了！

最终，我还是放弃了，我承认自己不行，于是拿手机刷了很久乱七八糟的东西放松，然而我满脑子都是那个问题，根本挥之不去，于是我打开电脑不停换关键词搜，我先是在一篇小论文看到了一个叫做Artin猜想的东西，我突然意识到了什么，让我喜出望外，但那也不是我要的的东西，我继续不停检索，终于突然搜到了“最小正原根上界问题”，我感觉希望之光又被点燃，赶紧看下去：

华罗庚于1942年应用狄利克雷特征函数的概念及三角和的估值方法，在估计最小正原根的上界方面，得到了很好的结果，他证明了：g(p)<2^r*p^(1/2)，其中r是φ(p)=p-1的不同质因数的个数。
1959年，王元证明了g(p)=O(p^(1/4+ε))。
（可能我没有找到最前沿的资料，但这个问题似乎真没有完美解决，求大佬给我一个痛快）

我瞬间站了起来，我和我老婆说我竟然自己发现了世界级的数论难题！
我老婆正在忙她的画，似乎一下子没明白我在说什么。
我就和她说：“可能你不知道我在说什么，但我依旧想和你传达我的喜悦。”
我老婆就像往常一样夸我：“老婆太强了！”
尽管我此时可以为我的小聪明欢呼，但事情却细思恐极……

我，追随着一只1/49的美丽蝴蝶，等我扑到它，又出现一只蝴蝶1/43，这时我发现刚刚抓到的1/49蝴蝶又逃跑了，我就一路追过去，越来越累，却还是不停跑，等我反应过来才发现，四周早已漆黑一片，我努力寻找人的踪迹，找了好久好久，才看到有人立了一块牌子：“恭喜你到达边界，我们都没有走出去，你想再挑战一次吗？”

我的直觉告诉我赶快跑，不要在这个地狱一样的边界逗留！我一边跑，周围的风景一边回溯，一群素数的蝴蝶开始飞舞，一会儿组成最小原根上界猜想，一会儿组成Artin猜想……一会儿又是大数分解难题，一会儿又是黎曼猜想……

这玩意不是胎教，这玩意有毒啊啊啊！！！！
小恶、收刀入鞘、全身而退吧！！
突然间，我放下执着，一切都恢复了往日的平静。最近缺乏睡眠的我，只感觉浑浑噩噩，一想起这三天的经历，宛如做了一个荒唐的梦。

……恐怖如斯，不可名状！起点如此简单，只不过是自然数而已，并且我的每一跨步都不大，却只消五步就踏到了学术的边界……这种空间的失控感，简直诡异至极！
ho！原来数论就是数学的五步蛇！！！23333

～～★压压惊：传统美德之文末福利★～～

以下是我写这篇文章的内心戏：

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总之，这次神奇的经历，让我与数学结下不解之缘

我决定投入更多的时间学习数学

目前在蜗牛般自学数学分析和抽象代数，我对这两个分支非常感兴趣

在学习过程中的任何见解，我都会无条件地分享给大家，共同进步～～