为什么会有数学家反对对无穷集合使用排中律？
数学家对在无穷集合上使用排中律（Law of Excluded Middle, LEM）持有保留或反对态度，这主要是因为他们所持有的不同哲学立场，特别是直觉主义（Intuitionism）和经典数学（Classical Mathematics）之间的根本分歧。要详细理解这一点，我们需要深入探讨排中律的含义、它在无穷集合上的运作方式，以及直觉主义数学如何挑战经典数学的基石。
排中律是什么？
排中律是经典逻辑中的三大基本公理之一（另外两个是同一律和无矛盾律）。它表述为：
对于任何一个命题 P，要么 P 为真，要么非 P 为真。不存在第三种情况。
用符号表示就是 $P lor eg P$。
在处理有限集合时，排中律通常不会引起争议。例如，考虑集合 ${1, 2, 3}$。对于任何一个关于这个集合的命题，比如“集合中存在偶数”，我们可以通过检验每个元素来确定其真假。如果集合中有一个偶数，命题为真；如果没有，命题为假。我们总能明确地决定命题的真假值。
无穷集合的挑战
问题出现在无穷集合上。一个典型的例子是自然数集 $mathbb{N} = {1, 2, 3, dots}$。考虑以下命题：
P：存在一个自然数 n，使得 n 是偶数并且 n > 100。
在经典数学框架下，我们无需找到这样一个数 $n$ 来确定这个命题的真假。我们只需要知道“存在一个偶数大于 100”这个概念的真假。即使我们不知道具体的那个数是什么，如果它“存在”，那么命题就是真的。
然而，直觉主义者认为，一个数学对象的“存在”必须是可构造的。也就是说，我们必须能够明确地给出构造这个对象的步骤，或者至少能够明确地构造出证明它存在的算法或方法。
直觉主义的视角与对排中律的反对
直觉主义数学家，以 L.E.J. Brouwer 为代表，认为数学不是对一个独立存在的、前定的数学现实的发现，而是人类心智的创造活动。数学对象必须是可构造的（constructible）。
从这个角度来看，对于涉及无穷集合的命题，排中律的应用就会出现问题。直觉主义者认为，对于一个关于无穷集合的命题 $P$，我们不能仅仅断言 $P$ 或 $ eg P$ 为真，除非我们能够构造出证明 $P$ 为真，或者构造出证明 $ eg P$ 为真（也就是构造出证明 $P$ 为假的证明）。
直觉主义者反对对无穷集合使用排中律的原因在于：对于许多关于无穷集合的命题，我们可能既无法构造出证明该命题为真的方法，也无法构造出证明该命题为假（即证明其否定为真）的方法。
举例说明：哥德巴赫猜想
考虑哥德巴赫猜想：任何大于 2 的偶数都可以表示为两个素数之和。
用数学语言表示，对于任何偶数 $N > 2$，存在素数 $p_1$ 和 $p_2$，使得 $N = p_1 + p_2$。
现在，我们考虑这个命题 $P$: "所有大于 2 的偶数都可以表示为两个素数之和"。
在经典数学中，我们相信 $P$ 要么为真，要么为假。如果 $P$ 为真，那么就存在一个证明（可能我们还没找到）。如果 $P$ 为假，那么就存在一个偶数 $N > 2$ 不能表示为两个素数之和。一旦我们找到了这样一个 $N$，我们就证明了 $P$ 为假。
直觉主义者的问题在于：
1. 缺乏构造性证明： 直觉主义者认为，要证明“所有大于 2 的偶数都可以表示为两个素数之和”，我们必须为每一个大于 2 的偶数 $N$，给出一个找到 $p_1$ 和 $p_2$ 的方法。目前，我们还没有这样的通用方法。我们只能通过逐个检查来验证少数几个偶数。
2. 无法否定其否定： 同理，要证明哥德巴赫猜想为假（即 $ eg P$ 为真），我们必须构造出一个反例，即找到一个大于 2 的偶数 $N$，能够证明它不能表示为两个素数之和。我们也还没有这样的证明。
因此，对于哥德巴赫猜想这类命题，直觉主义者认为我们不能在不知道其真假的情况下，仅仅应用排中律断言“哥德巴赫猜想为真”或“哥德巴赫猜想为假”。这意味着，直觉主义者倾向于不使用排中律来处理这类我们目前缺乏构造性证明的命题。他们认为在这样的情况下，排中律的陈述 ($P lor eg P$) 在直觉主义意义下是未被证明的。
更具体的数学例子：康托尔集合论
康托尔的集合论是无穷集合的理论，它依赖于排中律的广泛应用。一些例子可以说明问题：
1. “存在性”的证明：
在经典数学中，我们可以证明“存在一个无理数的和是有理数”。证明方法是：考虑 $sqrt{2}^{sqrt{2}}$。如果它是有理数，我们就找到了一个反例。如果它不是有理数，那么令 $a = sqrt{2}^{sqrt{2}}$，则 $a^{sqrt{2}} = (sqrt{2}^{sqrt{2}})^{sqrt{2}} = (sqrt{2})^{sqrt{2} cdot sqrt{2}} = (sqrt{2})^2 = 2$，而 2 是有理数。所以，在这种情况下，$sqrt{2}^{sqrt{2}}$ 的话就是我们寻找的无理数。
这个证明在经典数学中是有效的。我们证明了要么 $sqrt{2}^{sqrt{2}}$ 是有理数，要么它不是有理数。通过对后一种情况的构造性分析，我们最终确定了其存在性。
然而，直觉主义者会质疑这种证明的有效性。他们认为，你必须明确地指出是哪个对象（是 $sqrt{2}^{sqrt{2}}$ 还是 $(sqrt{2}^{sqrt{2}})^{sqrt{2}}$）满足了条件。在这个例子中，虽然最终找到了，但某些证明可能依赖于我们无法具体构造的对象的性质。
2. 无穷集合的判定问题：
考虑自然数集合 $mathbb{N}$。我们经常会遇到关于自然数性质的命题 $P(n)$。经典数学允许我们讨论“是否存在一个 $n in mathbb{N}$ 使得 $P(n)$ 为真” ( $exists n in mathbb{N}, P(n)$ ) 或者“对于所有 $n in mathbb{N}$，$P(n)$ 为真” ( $forall n in mathbb{N}, P(n)$ )。
直觉主义者强调，我们只能说“存在一个 $n$ 使得 $P(n)$ 为真”，如果我们能构造出这样的 $n$ 并且证明 $P(n)$。而对于“对于所有 $n$，$P(n)$ 为真”，我们必须能对任意给定的 $n$ 提供一个证明 $P(n)$。
关键在于，经典逻辑允许我们直接从“不能证明 $P$”推导出“$ eg P$”（即证明 $ eg P$），这在直觉主义者看来是不成立的。 他们认为，“不能证明 $P$”只意味着我们还没有找到证明 $P$ 的方法，但这并不意味着 $P$ 本身就是假的。要证明 $ eg P$，我们需要直接构造出 $P$ 为假的证明。
“排中律在无穷集合上的失效”的说法，更准确的理解是： 在直觉主义逻辑中，$ eg eg P o P$（双重否定消去律）并不适用于所有命题，尤其是在涉及无穷时。这意味着，仅仅证明了“不可能存在 $P$ 为假”（即证明了 $ eg eg P$），并不能直接推导出 $P$ 为真（$P$）。
例如，考虑一个关于所有自然数 $n$ 的命题 $Q(n)$。
经典数学：如果 $Q(n)$ 对于所有 $n$ 都为假，那么我们可以说“不存在一个 $n$ 使得 $Q(n)$ 为真”。 这就等价于 $forall n, eg Q(n)$。如果这个命题是真的，那么它的否定，即 $ eg (forall n, eg Q(n))$，也就是 $exists n, eg ( eg Q(n))$，也就是 $exists n, Q(n)$，就是假的。
直觉主义数学：如果他们构造性地证明了“不存在一个 $n$ 使得 $Q(n)$ 为真”，那么他们就证明了 $forall n, eg Q(n)$。但是，如果他们只是没能找到一个 $n$ 使得 $Q(n)$ 为真（例如哥德巴赫猜想的证明，我们没能找到反例），他们就不能直接断言“不存在一个 $n$ 使得 $Q(n)$ 为真”。因此，他们就不能通过否定来推断出 $P$ 的真实性。
直觉主义数学的后果
拒绝在无穷集合上普遍使用排中律，会导致直觉主义数学与经典数学在一些基本定理上产生分歧。例如：
确界原理（Least Upper Bound Property）： 对于实数集的一个有界子集，它存在一个上确界。在经典数学中，这个证明通常依赖于排中律来排除某些情况。直觉主义者可能需要更强的构造性论证。
选择公理（Axiom of Choice）： 虽然不是直接与排中律相关，但选择公理也涉及在无限集合上进行“选择”，其是否被直觉主义者接受也与构造性有关。一些版本的直觉主义数学会避免或使用选择公理的构造性版本。
总结：核心分歧点
数学家（特别是直觉主义者）反对对无穷集合使用排中律，其核心原因在于他们对数学真理的定义和对数学对象存在性的要求不同。
经典数学： 认为数学是描述一个客观存在的数学实在，数学真理是与这种实在的对应关系。存在性意味着数学对象“是”存在的，即使我们目前无法构造它。排中律是一个基本的逻辑工具，允许我们从排除所有可能性来确立一个事物的存在。
直觉主义数学： 认为数学是人类心智的构造活动。数学真理是指存在一个构造性的证明。数学对象的“存在”意味着我们可以构造出它。在这种框架下，一个命题 $P$ 的真假必须通过一个明确的证明来建立。对于涉及无穷的命题，可能存在我们无法构造证明真或假的情况，因此不能随意应用排中律 ($P lor eg P$)。特别地，他们拒绝双重否定消去律 ($ eg eg P o P$) 在所有情况下的有效性，因为“不能证明 $P$ 的否定”不等于“能够证明 $P$”。
因此，反对并非意味着他们认为排中律在所有情况下都错了，而是认为在处理涉及无穷集合且我们缺乏构造性方法的命题时，不应机械地应用它。他们更倾向于使用一种更保守、更注重可构造性的数学方法论。
排中律是什么？
排中律是经典逻辑中的三大基本公理之一（另外两个是同一律和无矛盾律）。它表述为：
对于任何一个命题 P，要么 P 为真，要么非 P 为真。不存在第三种情况。
用符号表示就是 $P lor eg P$。
在处理有限集合时，排中律通常不会引起争议。例如，考虑集合 ${1, 2, 3}$。对于任何一个关于这个集合的命题，比如“集合中存在偶数”，我们可以通过检验每个元素来确定其真假。如果集合中有一个偶数，命题为真；如果没有，命题为假。我们总能明确地决定命题的真假值。
无穷集合的挑战
问题出现在无穷集合上。一个典型的例子是自然数集 $mathbb{N} = {1, 2, 3, dots}$。考虑以下命题：
P：存在一个自然数 n，使得 n 是偶数并且 n > 100。
在经典数学框架下，我们无需找到这样一个数 $n$ 来确定这个命题的真假。我们只需要知道“存在一个偶数大于 100”这个概念的真假。即使我们不知道具体的那个数是什么，如果它“存在”，那么命题就是真的。
然而，直觉主义者认为，一个数学对象的“存在”必须是可构造的。也就是说，我们必须能够明确地给出构造这个对象的步骤，或者至少能够明确地构造出证明它存在的算法或方法。
直觉主义的视角与对排中律的反对
直觉主义数学家，以 L.E.J. Brouwer 为代表，认为数学不是对一个独立存在的、前定的数学现实的发现，而是人类心智的创造活动。数学对象必须是可构造的（constructible）。
从这个角度来看，对于涉及无穷集合的命题，排中律的应用就会出现问题。直觉主义者认为，对于一个关于无穷集合的命题 $P$，我们不能仅仅断言 $P$ 或 $ eg P$ 为真，除非我们能够构造出证明 $P$ 为真，或者构造出证明 $ eg P$ 为真（也就是构造出证明 $P$ 为假的证明）。
直觉主义者反对对无穷集合使用排中律的原因在于：对于许多关于无穷集合的命题，我们可能既无法构造出证明该命题为真的方法，也无法构造出证明该命题为假（即证明其否定为真）的方法。
举例说明：哥德巴赫猜想
考虑哥德巴赫猜想：任何大于 2 的偶数都可以表示为两个素数之和。
用数学语言表示，对于任何偶数 $N > 2$，存在素数 $p_1$ 和 $p_2$，使得 $N = p_1 + p_2$。
现在，我们考虑这个命题 $P$: "所有大于 2 的偶数都可以表示为两个素数之和"。
在经典数学中，我们相信 $P$ 要么为真，要么为假。如果 $P$ 为真，那么就存在一个证明（可能我们还没找到）。如果 $P$ 为假，那么就存在一个偶数 $N > 2$ 不能表示为两个素数之和。一旦我们找到了这样一个 $N$，我们就证明了 $P$ 为假。
直觉主义者的问题在于：
1. 缺乏构造性证明： 直觉主义者认为，要证明“所有大于 2 的偶数都可以表示为两个素数之和”，我们必须为每一个大于 2 的偶数 $N$，给出一个找到 $p_1$ 和 $p_2$ 的方法。目前，我们还没有这样的通用方法。我们只能通过逐个检查来验证少数几个偶数。
2. 无法否定其否定： 同理，要证明哥德巴赫猜想为假（即 $ eg P$ 为真），我们必须构造出一个反例，即找到一个大于 2 的偶数 $N$，能够证明它不能表示为两个素数之和。我们也还没有这样的证明。
因此，对于哥德巴赫猜想这类命题，直觉主义者认为我们不能在不知道其真假的情况下，仅仅应用排中律断言“哥德巴赫猜想为真”或“哥德巴赫猜想为假”。这意味着，直觉主义者倾向于不使用排中律来处理这类我们目前缺乏构造性证明的命题。他们认为在这样的情况下，排中律的陈述 ($P lor eg P$) 在直觉主义意义下是未被证明的。
更具体的数学例子：康托尔集合论
康托尔的集合论是无穷集合的理论，它依赖于排中律的广泛应用。一些例子可以说明问题：
1. “存在性”的证明：
在经典数学中，我们可以证明“存在一个无理数的和是有理数”。证明方法是：考虑 $sqrt{2}^{sqrt{2}}$。如果它是有理数，我们就找到了一个反例。如果它不是有理数，那么令 $a = sqrt{2}^{sqrt{2}}$，则 $a^{sqrt{2}} = (sqrt{2}^{sqrt{2}})^{sqrt{2}} = (sqrt{2})^{sqrt{2} cdot sqrt{2}} = (sqrt{2})^2 = 2$，而 2 是有理数。所以，在这种情况下，$sqrt{2}^{sqrt{2}}$ 的话就是我们寻找的无理数。
这个证明在经典数学中是有效的。我们证明了要么 $sqrt{2}^{sqrt{2}}$ 是有理数，要么它不是有理数。通过对后一种情况的构造性分析，我们最终确定了其存在性。
然而，直觉主义者会质疑这种证明的有效性。他们认为，你必须明确地指出是哪个对象（是 $sqrt{2}^{sqrt{2}}$ 还是 $(sqrt{2}^{sqrt{2}})^{sqrt{2}}$）满足了条件。在这个例子中，虽然最终找到了，但某些证明可能依赖于我们无法具体构造的对象的性质。
2. 无穷集合的判定问题：
考虑自然数集合 $mathbb{N}$。我们经常会遇到关于自然数性质的命题 $P(n)$。经典数学允许我们讨论“是否存在一个 $n in mathbb{N}$ 使得 $P(n)$ 为真” ( $exists n in mathbb{N}, P(n)$ ) 或者“对于所有 $n in mathbb{N}$，$P(n)$ 为真” ( $forall n in mathbb{N}, P(n)$ )。
直觉主义者强调，我们只能说“存在一个 $n$ 使得 $P(n)$ 为真”，如果我们能构造出这样的 $n$ 并且证明 $P(n)$。而对于“对于所有 $n$，$P(n)$ 为真”，我们必须能对任意给定的 $n$ 提供一个证明 $P(n)$。
关键在于，经典逻辑允许我们直接从“不能证明 $P$”推导出“$ eg P$”（即证明 $ eg P$），这在直觉主义者看来是不成立的。 他们认为，“不能证明 $P$”只意味着我们还没有找到证明 $P$ 的方法，但这并不意味着 $P$ 本身就是假的。要证明 $ eg P$，我们需要直接构造出 $P$ 为假的证明。
“排中律在无穷集合上的失效”的说法，更准确的理解是： 在直觉主义逻辑中，$ eg eg P o P$（双重否定消去律）并不适用于所有命题，尤其是在涉及无穷时。这意味着，仅仅证明了“不可能存在 $P$ 为假”（即证明了 $ eg eg P$），并不能直接推导出 $P$ 为真（$P$）。
例如，考虑一个关于所有自然数 $n$ 的命题 $Q(n)$。
经典数学：如果 $Q(n)$ 对于所有 $n$ 都为假，那么我们可以说“不存在一个 $n$ 使得 $Q(n)$ 为真”。 这就等价于 $forall n, eg Q(n)$。如果这个命题是真的，那么它的否定，即 $ eg (forall n, eg Q(n))$，也就是 $exists n, eg ( eg Q(n))$，也就是 $exists n, Q(n)$，就是假的。
直觉主义数学：如果他们构造性地证明了“不存在一个 $n$ 使得 $Q(n)$ 为真”，那么他们就证明了 $forall n, eg Q(n)$。但是，如果他们只是没能找到一个 $n$ 使得 $Q(n)$ 为真（例如哥德巴赫猜想的证明，我们没能找到反例），他们就不能直接断言“不存在一个 $n$ 使得 $Q(n)$ 为真”。因此，他们就不能通过否定来推断出 $P$ 的真实性。
直觉主义数学的后果
拒绝在无穷集合上普遍使用排中律，会导致直觉主义数学与经典数学在一些基本定理上产生分歧。例如：
确界原理（Least Upper Bound Property）： 对于实数集的一个有界子集，它存在一个上确界。在经典数学中，这个证明通常依赖于排中律来排除某些情况。直觉主义者可能需要更强的构造性论证。
选择公理（Axiom of Choice）： 虽然不是直接与排中律相关，但选择公理也涉及在无限集合上进行“选择”，其是否被直觉主义者接受也与构造性有关。一些版本的直觉主义数学会避免或使用选择公理的构造性版本。
总结：核心分歧点
数学家（特别是直觉主义者）反对对无穷集合使用排中律，其核心原因在于他们对数学真理的定义和对数学对象存在性的要求不同。
经典数学： 认为数学是描述一个客观存在的数学实在，数学真理是与这种实在的对应关系。存在性意味着数学对象“是”存在的，即使我们目前无法构造它。排中律是一个基本的逻辑工具，允许我们从排除所有可能性来确立一个事物的存在。
直觉主义数学： 认为数学是人类心智的构造活动。数学真理是指存在一个构造性的证明。数学对象的“存在”意味着我们可以构造出它。在这种框架下，一个命题 $P$ 的真假必须通过一个明确的证明来建立。对于涉及无穷的命题，可能存在我们无法构造证明真或假的情况，因此不能随意应用排中律 ($P lor eg P$)。特别地，他们拒绝双重否定消去律 ($ eg eg P o P$) 在所有情况下的有效性，因为“不能证明 $P$ 的否定”不等于“能够证明 $P$”。
因此，反对并非意味着他们认为排中律在所有情况下都错了，而是认为在处理涉及无穷集合且我们缺乏构造性方法的命题时，不应机械地应用它。他们更倾向于使用一种更保守、更注重可构造性的数学方法论。
网友意见
反对排中律的是构造主义。它认为唯一的能证明某个对象存在的方法就是构造它。构造主义始于19世纪末。当时Hilbert等人给出了一些利用反证法证明存在性的证明，遭到强烈反对。当时研究不变量理论的数学家Paul Gordan说Hilbert等人给出的非构造性证明“是神学而不是数学”。当把排中律用到非构造性证明的程度时，它看起来确实有些奇怪。
我们这里先来看一个比较简单但是已经有些奇怪的非构造性证明：
命题：存在无理数 使得 是有理数。
证明：容易证明 是无理数。根据排中律， 或者是有理数，或者是无理数。如果 是有理数，那么取 ；否则，由于 是有理数，取 .
可以看到，在上面的证明中事实上并没有给出 的具体构造，只是证明了这样的一对无理数存在。当然这个证明还没有奇怪到不可接受的程度，因为上面的的命题还是有构造性证明的方法的，事实上 是无理数，所以后一种情况成立。但是 是无理数的证明并不简单。我本人第一次见到这个证明是在高中的时候，貌似是某个学校的一个综合评价的试题；这是当时的我见过的最奇怪的事情，就像鬼魅一样。当然其实在看到反证法证明抽屉原理（或者叫Dirichlet鸽巢原理）的时候就已经觉得有些奇怪了，只是抽屉原理处理的是有限的事情，所以显得不是那么奇怪。
当然Hilbert等人当时用排中律作出的非构造性证明远远比这个奇怪，比如说一系列用Noether升链条件给出的关于一些环论的证明。这里面最著名的就是Hilbert基定理：
命题：如果 是交换的Noether环，那么 也是Noether环。
（非交换情形也有类似结论）
证明非常经典，就不在这里打了，任何一本交换代数的书上都会有。
在我看来Hilbert零点定理和上面的命题的证明有一点是相似的，那就是排中律似乎在这里起到了“作弊”一般的作用，让证明变得“太容易”了。它确实会引起一些“反直觉”的事情。
构造主义和经典逻辑的分歧就是排中律，或者说利用反证法来证明对象存在的能力。而在今天，大多数数学家都认为Hilbert式的使用排中律的证明是有效的。反证法毕竟是一种非常强大的论证方法，尽管有许多人仍然认为反证法的能力过于强大。自十九世纪末至今产生的数学中已经有很多是在本质上不是构造性的。现在除了在数学基础方面工作的学者以外，几乎所有数学家都已经接受了非构造性的证明。
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