为什么有很多学者认为以往至今的数学理念、数学方法、数学语言不足以描述复杂系统？
许多学者之所以认为以往至今的数学理念、数学方法和数学语言在描述复杂系统方面存在局限性，并非否定传统数学的伟大成就，而是基于对复杂系统本身特性的深刻认识以及现有数学工具的局限性。这种看法可以从以下几个层面来理解：
一、复杂系统本身的内在特征与传统数学的出发点差异
我们先来看看复杂系统究竟是什么，以及它们与我们日常接触的许多“简单”系统有何不同。
涌现性 (Emergence): 这是复杂系统最核心的特征之一。指的是一个系统的整体行为无法简单地通过构成它的各个部分的特性来预测或解释。个体之间简单的相互作用，累积起来却能产生全新的、非线性的宏观模式。例如，一个蚁群的集体觅食行为，没有一只蚂蚁“知道”整个蚁群的策略，但通过简单的激素信号和路径标记，它们就能高效地完成任务。传统的数学，尤其是在早期，更倾向于研究由少数几个要素组成、要素间关系清晰且线性的系统，比如经典力学中的行星轨道。这些系统往往是“可还原的”（reducible），即理解整体就是理解部分。而复杂系统则强调“不可还原性”（irreducibility），整体是大于部分之和的。
非线性 (Nonlinearity): 复杂系统中的许多关系不是简单的比例关系。微小的输入变化可能导致巨大的输出差异，这就是所谓的“蝴蝶效应”。例如，天气系统就是一个典型的复杂系统，气象学研究中，初始条件的微小扰动就可能导致完全不同的天气模式。传统数学在描述线性关系方面非常强大，如代数方程、线性微分方程等。然而，对于非线性动力学系统，即使是看似简单的非线性方程，也可能产生极其复杂的、混沌的行为，其长期演化难以精确预测。
反馈回路 (Feedback Loops): 复杂系统充斥着各种正反馈和负反馈。正反馈会放大变化，而负反馈则会抑制变化，从而维持系统的稳定。这些反馈回路相互交织，形成复杂的网络，使得系统的行为往往具有自组织（selforganization）和自适应（selfadaptation）的能力。例如，经济系统中消费者信心和投资的相互作用，或者生物系统中基因调控网络都涉及复杂的反馈机制。传统数学在描述这种相互作用和动态演化方面，虽然发展了微分方程和反馈控制理论，但要捕捉多重、嵌套的反馈回路所产生的全局动力学仍然具有挑战性。
多尺度性 (Multiscale Nature): 复杂系统通常在不同的空间和时间尺度上表现出不同的行为。例如，一个生态系统，既有细菌在微观尺度上的代谢活动，也有大型哺乳动物在宏观尺度上的迁徙行为，这些不同尺度的过程相互影响，共同塑造了系统的整体演化。传统数学有时难以在一个统一的框架内同时处理和描述这些跨越多个数量级的时间和空间尺度上的现象。
不确定性与随机性 (Uncertainty and Randomness): 许多复杂系统的行为包含固有的不确定性和随机性。这可能源于未知的内部因素、环境的随机扰动，或是系统本身的内在随机性。例如，金融市场的波动、量子现象的不可预测性。虽然概率论和统计学是处理不确定性的强大工具，但当不确定性与非线性、涌现性等因素结合时，传统的基于独立同分布假设的统计方法可能就显得力不从心。
二、传统数学工具的局限性体现在：
对“孤立”和“确定性”的偏好： 很多经典数学模型建立在对系统进行简化和理想化的基础上，假设系统是孤立的（与其他系统的交互可以忽略），或者其演化是确定性的。这使得它们在描述现实世界中相互关联、充满变数的复杂系统时显得力不从心。
线性思维的惯性： 尽管非线性数学已取得巨大进展，但许多基础数学教育和应用仍侧重于线性分析。一旦遇到非线性问题，往往只能进行近似处理，而复杂系统的关键特征恰恰是那些最不能被线性化的部分。
缺乏统一的语言来描述“连接”和“关系”： 传统数学擅长描述“事物”的属性和变化，但在如何优雅、高效地描述事物之间的“关系网络”方面，则显得相对薄弱。例如，一个包含成千上万个节点的网络，节点之间的连接方式及其对整体行为的影响，用传统的微积分或代数方法来直接表达，可能会变得极其繁琐且难以洞察其本质。
模型的可解释性问题： 对于某些高度复杂且参数众多的模型，即使能通过计算得到结果，但这些结果的物理或生物学意义却往往难以解释，这与数学追求的简洁、清晰的表达方式有所冲突。
三、新兴数学理念与方法的出现及其必要性
正是因为这些局限性，学者们才开始积极探索和发展新的数学理念、方法和语言，以更好地应对复杂系统的挑战。这些新的方向包括：
网络科学 (Network Science): 专注于研究系统中的连接和关系，用图论（graph theory）、矩阵分析等工具来描述网络的结构、动力学和演化。这为理解信息传播、疾病扩散、社会互动等提供了强大的框架。
复杂动力学 (Complex Dynamics) 与混沌理论 (Chaos Theory): 深入研究非线性方程的解的行为，特别是混沌现象，以及如何理解和控制这些系统。
统计物理学 (Statistical Physics) 的方法论迁移： 将统计物理中处理大量粒子相互作用的理念和方法，如相变、临界现象、重整化群等，应用于其他领域的复杂系统，如社会科学、经济学等。
信息论 (Information Theory) 和计算复杂性 (Computational Complexity): 关注系统中的信息流动、处理和存储，以及计算的效率和极限，为理解复杂系统的信息本质提供了工具。
机器学习 (Machine Learning) 和人工智能 (Artificial Intelligence): 虽然不属于“传统数学”，但它们在模式识别、数据分析和预测方面展现出了强大的能力，能够从大规模、高维度的数据中学习复杂的规律，这在某种程度上弥补了传统解析方法在复杂系统上的不足。
分形几何 (Fractal Geometry): 用以描述具有自相似性和非整数维度的几何形状，这些特征在自然界和复杂系统中普遍存在，如海岸线、树枝、肺泡结构等。
概率建模的深化： 发展更强大的随机过程理论，如马尔可夫链、泊松过程以及更复杂的随机微分方程，来描述系统的不确定性。
符号动力学 (Symbolic Dynamics) 和遍历理论 (Ergodic Theory): 为分析低维混沌系统的长期行为提供理论基础。
总而言之，学者们认为传统数学在描述复杂系统方面不足，并非否定其价值，而是认识到复杂系统在涌现性、非线性、反馈、多尺度和不确定性等方面的独特性，对现有数学工具提出了更高的要求。新的数学理念和方法正在不断涌现，以期更全面、更深入地理解和驾驭这些迷人的复杂世界。这是一种数学工具箱的扩展和升级，而不是对旧工具的完全抛弃。
一、复杂系统本身的内在特征与传统数学的出发点差异
我们先来看看复杂系统究竟是什么，以及它们与我们日常接触的许多“简单”系统有何不同。
涌现性 (Emergence): 这是复杂系统最核心的特征之一。指的是一个系统的整体行为无法简单地通过构成它的各个部分的特性来预测或解释。个体之间简单的相互作用，累积起来却能产生全新的、非线性的宏观模式。例如，一个蚁群的集体觅食行为，没有一只蚂蚁“知道”整个蚁群的策略，但通过简单的激素信号和路径标记，它们就能高效地完成任务。传统的数学，尤其是在早期，更倾向于研究由少数几个要素组成、要素间关系清晰且线性的系统，比如经典力学中的行星轨道。这些系统往往是“可还原的”（reducible），即理解整体就是理解部分。而复杂系统则强调“不可还原性”（irreducibility），整体是大于部分之和的。
非线性 (Nonlinearity): 复杂系统中的许多关系不是简单的比例关系。微小的输入变化可能导致巨大的输出差异，这就是所谓的“蝴蝶效应”。例如，天气系统就是一个典型的复杂系统，气象学研究中，初始条件的微小扰动就可能导致完全不同的天气模式。传统数学在描述线性关系方面非常强大，如代数方程、线性微分方程等。然而，对于非线性动力学系统，即使是看似简单的非线性方程，也可能产生极其复杂的、混沌的行为，其长期演化难以精确预测。
反馈回路 (Feedback Loops): 复杂系统充斥着各种正反馈和负反馈。正反馈会放大变化，而负反馈则会抑制变化，从而维持系统的稳定。这些反馈回路相互交织，形成复杂的网络，使得系统的行为往往具有自组织（selforganization）和自适应（selfadaptation）的能力。例如，经济系统中消费者信心和投资的相互作用，或者生物系统中基因调控网络都涉及复杂的反馈机制。传统数学在描述这种相互作用和动态演化方面，虽然发展了微分方程和反馈控制理论，但要捕捉多重、嵌套的反馈回路所产生的全局动力学仍然具有挑战性。
多尺度性 (Multiscale Nature): 复杂系统通常在不同的空间和时间尺度上表现出不同的行为。例如，一个生态系统，既有细菌在微观尺度上的代谢活动，也有大型哺乳动物在宏观尺度上的迁徙行为，这些不同尺度的过程相互影响，共同塑造了系统的整体演化。传统数学有时难以在一个统一的框架内同时处理和描述这些跨越多个数量级的时间和空间尺度上的现象。
不确定性与随机性 (Uncertainty and Randomness): 许多复杂系统的行为包含固有的不确定性和随机性。这可能源于未知的内部因素、环境的随机扰动，或是系统本身的内在随机性。例如，金融市场的波动、量子现象的不可预测性。虽然概率论和统计学是处理不确定性的强大工具，但当不确定性与非线性、涌现性等因素结合时，传统的基于独立同分布假设的统计方法可能就显得力不从心。
二、传统数学工具的局限性体现在：
对“孤立”和“确定性”的偏好： 很多经典数学模型建立在对系统进行简化和理想化的基础上，假设系统是孤立的（与其他系统的交互可以忽略），或者其演化是确定性的。这使得它们在描述现实世界中相互关联、充满变数的复杂系统时显得力不从心。
线性思维的惯性： 尽管非线性数学已取得巨大进展，但许多基础数学教育和应用仍侧重于线性分析。一旦遇到非线性问题，往往只能进行近似处理，而复杂系统的关键特征恰恰是那些最不能被线性化的部分。
缺乏统一的语言来描述“连接”和“关系”： 传统数学擅长描述“事物”的属性和变化，但在如何优雅、高效地描述事物之间的“关系网络”方面，则显得相对薄弱。例如，一个包含成千上万个节点的网络，节点之间的连接方式及其对整体行为的影响，用传统的微积分或代数方法来直接表达，可能会变得极其繁琐且难以洞察其本质。
模型的可解释性问题： 对于某些高度复杂且参数众多的模型，即使能通过计算得到结果，但这些结果的物理或生物学意义却往往难以解释，这与数学追求的简洁、清晰的表达方式有所冲突。
三、新兴数学理念与方法的出现及其必要性
正是因为这些局限性，学者们才开始积极探索和发展新的数学理念、方法和语言，以更好地应对复杂系统的挑战。这些新的方向包括：
网络科学 (Network Science): 专注于研究系统中的连接和关系，用图论（graph theory）、矩阵分析等工具来描述网络的结构、动力学和演化。这为理解信息传播、疾病扩散、社会互动等提供了强大的框架。
复杂动力学 (Complex Dynamics) 与混沌理论 (Chaos Theory): 深入研究非线性方程的解的行为，特别是混沌现象，以及如何理解和控制这些系统。
统计物理学 (Statistical Physics) 的方法论迁移： 将统计物理中处理大量粒子相互作用的理念和方法，如相变、临界现象、重整化群等，应用于其他领域的复杂系统，如社会科学、经济学等。
信息论 (Information Theory) 和计算复杂性 (Computational Complexity): 关注系统中的信息流动、处理和存储，以及计算的效率和极限，为理解复杂系统的信息本质提供了工具。
机器学习 (Machine Learning) 和人工智能 (Artificial Intelligence): 虽然不属于“传统数学”，但它们在模式识别、数据分析和预测方面展现出了强大的能力，能够从大规模、高维度的数据中学习复杂的规律，这在某种程度上弥补了传统解析方法在复杂系统上的不足。
分形几何 (Fractal Geometry): 用以描述具有自相似性和非整数维度的几何形状，这些特征在自然界和复杂系统中普遍存在，如海岸线、树枝、肺泡结构等。
概率建模的深化： 发展更强大的随机过程理论，如马尔可夫链、泊松过程以及更复杂的随机微分方程，来描述系统的不确定性。
符号动力学 (Symbolic Dynamics) 和遍历理论 (Ergodic Theory): 为分析低维混沌系统的长期行为提供理论基础。
总而言之，学者们认为传统数学在描述复杂系统方面不足，并非否定其价值，而是认识到复杂系统在涌现性、非线性、反馈、多尺度和不确定性等方面的独特性，对现有数学工具提出了更高的要求。新的数学理念和方法正在不断涌现，以期更全面、更深入地理解和驾驭这些迷人的复杂世界。这是一种数学工具箱的扩展和升级，而不是对旧工具的完全抛弃。
网友意见
生物系統主要是非線性跟非均相的。簡單的說，多數的非線性方程的解都沒有 closed form。要定性的分類這些非線性方程的行為，目前有的結論還很侷限 (特別在高維度的例子)。所以常常是數學上能列出生物學的方程，但實際上沒有系統性的求解或研究方法。
直接數值模擬有另一方面的困難，那就是未知變量太多，而且小幅度的變量誤差可以造成完全不同的結果。因此模擬的結果到底可不可信? 除了做實驗，還需要數學理論上的分析證明。
非線性系統相關的數學還有很多突破的空間，近年來也一直有新的研究，所以生物學跟其他複雜科學並不是什麼無法攻克的學門，只是需要數學領域的進步。有時候是數學進步了，發現生物這邊原本的假設還不夠多。
我舉個具體的例子: 生態學中，常常研究物種之間互相競爭的非線性模型。到了1970 年代，當時人們覺得這類模型可以定性的分類，並想尋找關鍵的分類依據。後來 Stephen Smale 發表了一篇論文，證明了只要物種夠多，互相競爭的生態模型可以產生任意微分方程的一般行為 (On the differential equations of species in competition)
這代表互相競爭的生態模型的框架太過廣義了，以致於不會有什麼特殊的性質可以研究，因為高維度時，各類微方的非線性行為都能嵌進去。如要研究具體性質，必須考慮更狹義的模型框架(例如侷限在某類函數)。這方面目前還有很多研究空間。
这迟早都会被推翻的，那些急于早早给数学或者别的什么东西下结论的都缓缓。
我之前在知乎上看到了一个用偏微分方程研究动物身体毛色花纹变化的研究。链接等我找到以后再发。
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