全体自然数的发散级数和等于负十二分之一代表了什么？隐藏了一个天大的秘密吗？
咱们先得明白，咱们平常理解的“级数和”是怎么回事。当我们说一个级数“收敛”时，意味着它的各项加起来，会越来越接近一个确定的数值。比如，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 这个级数，虽然项数无穷多，但每一项都在变小，最后会收敛到2。我们用求和符号表示，就是 ∑(1/2)^n = 2。
但我们讨论的 1+2+3+4+… 这个级数，它的各项是越来越大的，根本就不收敛。按照我们传统的数学定义，它的和就是无穷大。所以，说它等于1/12，听起来就像是把“无穷”说成了一个具体的负数，这当然让人觉得匪夷所思。
那么，这个1/12是怎么来的呢？这就需要稍微深入一点，但尽量不那么枯燥地解释一下。
数学家们发现，有些不收敛的级数，通过一些“技巧”或者说“重新定义”的方法，可以赋予它们一个有限的值，并且这些值在很多物理问题中表现得异常有效。其中一种著名的方法叫做黎曼 Zeta函数正则化。
黎曼 Zeta函数，通常表示为 ζ(s)，它的定义是当实部大于1的复数 s 时， ζ(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...。注意这里的指数 s，我们通常是放在分母上的。
现在来看我们那个“发散”的级数：1 + 2 + 3 + 4 + ...。如果我们把这个级数写成指数的形式，大概会是 1/1^(1) + 1/2^(1) + 1/3^(1) + 1/4^(1) + ...。也就是说，这里的 s 是 1。
问题是，当 s 的实部小于等于1时，这个级数是不收敛的。但黎曼 Zeta函数有一个非常厉害的性质，叫做解析延拓（analytic continuation）。这是一种数学上的“魔法”，允许我们将一个函数的定义域扩展到它原本无法直接计算的区域。就好比你有一个在小范围内很精确的公式，通过解析延拓，你可以把它“延伸”到更广阔的区域，即使原来的级数在那里已经失效了。
通过解析延拓，数学家们发现，黎曼 Zeta函数 ζ(s) 在 s = 1 这一点上的值，通过某种数学上的“平滑”和“修正”，居然等于 1/12。
这并不是说我们直接把无穷大的东西变成了1/12，而是说，当我们在处理某些物理模型时，会遇到一个表达式，这个表达式的形式上跟 1+2+3+4+... 很像，并且在某些情况下，需要用 ζ(1) 的值来代替它，而这个 ζ(1) 的值恰好是1/12。
那这隐藏了个“天大的秘密”吗？
不能说隐藏了什么“天大的秘密”的那种，像是外星人留下的线索或者宇宙终极密码。更准确地说，它揭示了数学工具的强大与灵活，以及不同数学概念之间的深刻联系。
1. 数学的普适性与延展性： 这个结果表明，数学不仅仅是计算一些有限的数加起来。数学的语言和工具，比如黎曼 Zeta函数和解析延拓，能够以一种非直观但却一致的方式来处理那些看似“无解”的问题。这些方法在处理无穷时，提供了一种新的视角，而不是直接否定了无穷的存在。
2. 物理世界的微妙之处： 在弦理论等领域，粒子和力的行为常常可以用复杂的数学公式来描述。有时候，这些公式在计算过程中会出现无穷大的情况，或者涉及到不收敛的级数。这时，像 ζ(1) = 1/12 这样的正则化结果，就成为了一个“救命稻草”。它提供了一个有限的、有物理意义的值，用来填充理论中的空白，预测实验结果。
举个例子，在处理弦理论中的能量时，会涉及到一些级数求和。当这些级数不收敛时，用正则化后的值来计算，就能得到与实验观测一致的物理量，比如弦的能量谱。这就像是你有一个非常复杂的机器，某个零件的计算结果是个无穷大，但你知道这个机器实际运转时是正常的，于是你找了一个更精密的计算方法，把这个无穷大的计算结果“纠正”成一个具体的、合理的数值，结果机器就又能正常工作了。
3. 对“无穷”的理解： 这个结果也挑战了我们对“无穷”的直观认识。无穷不是一个单一的概念，它有很多不同的“大小”和“性质”。我们习惯于认为“无穷大”就是“无穷大”，但数学上的处理方式却能让“无穷”变得有秩序、有结构，甚至赋予它有限的数值。
打个比方：
想象你有一个非常非常精密的测量仪器，它在测量一个非常微小的变化。你用普通的尺子去量，这个变化量看起来就是零，或者说“无穷小”到你无法感知。但当你换了一台电子显微镜，你就能看到这个“无穷小”的量其实是有结构、有“样子”的。
1+2+3+4+... = 1/12，就像是告诉我们，我们对“无穷”的简单理解可能不够。通过更高级的数学工具，我们可以看到无穷背后隐藏的更深层次的“规律”或“数值”。
所以，它到底是不是一个“天大的秘密”？
如果“天大的秘密”指的是某个颠覆我们认知的、全新的宇宙法则，那可能不是。但如果“秘密”指的是数学工具如何能够超越我们日常的直觉，并且在描述宇宙的深层规律时发挥意想不到的作用，那么它确实揭示了数学世界里一个令人着迷的侧面。
它不是一个魔法公式，而是一个数学上严谨推导出的结果，这个结果在现代物理学中扮演着关键的角色，帮助我们理解和描述宇宙的许多现象。它更像是在说：“瞧，数学就是这么神奇，即使是最看似混乱的无穷，在它手中也能找到秩序和意义。”
网友意见
直接看视频，解释得很明白了
https://www.zhihu.com/video/1015746747288719360
首先，必须再次强调：“全体自然数之和”这种说法是错误的，因为它没有指定顺序。而即使对于条件收敛级数，顺序也会影响结果。
该结果所蕴含的秘密已经由 @Narayan 解释了。我来解释下网上的视频中流传的说法为什么能得到正确结果，可以认为视频中的过程是用“分离系数法”得到的简写。
前言
为了对发散级数求和，需要用一些特殊的求和法 (summation method) 。
求和法一般有三个属性（此处用比较简略的方式描述）
Divergent series#Properties of summation methods
1. 正规：求和法对收敛级数求得柯西和（部分和的极限）
2. 线性：若求和法求得 、 ，则求得
3. 稳定：若 ，用求和法求得 ，则 ，即稳定性允许级数平移
也有时把稳定换成较弱的有限可重排：对于重排有限项，剩余项不变的另一级数，求和法给出与原级数相等的结果。
稳定相对前两者较不重要，有一些求和法不具稳定性；另外也有不满足正规和线性的求和法。
级数 不可能有正规、线性且稳定的求和法，证明如下：
假设 有正规、线性且稳定的求和法，设其和为 ，则有
产生矛盾。
阿贝尔和及其扩展
阿贝尔和 (Abel summation) 定义如下：
它是正规、线性且稳定的。
而如上所示，它不能对 求和。
此处把阿贝尔和还原成阿贝尔平均 (Abelian means) 的写法，并稍作修改：
令 ，且 解析延拓的结果在 能展开成洛朗级数 (Laurent series) ，则称 的“扩展阿贝尔和”为该级数的零次项。
称 为“扩展阿贝尔和”意义下的热核正规化和 (Zeta function regularization) 。
（这里的“扩展阿贝尔和”是我个人用的叫法，希望能提供更正确的叫法）
根据形式，这种“扩展阿贝尔和”是线性、正规的，但不一定稳定。
而且，若阿贝尔和存在，则上面的 能解析延拓到 ，且“扩展阿贝尔和”与阿贝尔和等价。
视频中求和法的展开解释
不妨将 在 展开成洛朗级数的零次项记作 。
设 的“扩展阿贝尔和”为
则
注意对于能在 展开洛朗级数的 ， ，
故 ，
即在上述“扩展阿贝尔和”的意义下：
所以（“扩展阿贝尔和”意义下）
注意 在 解析，故 ，
故 。
辅助级数求和的稳定性解释
该视频中引入了两个辅助级数
并且在对其求和的过程中用到了稳定性要求。
然而能解释加稀的“扩展阿贝尔和”并不保证稳定性。我们需要根据对应的热核正规化和说明这两个级数的“扩展阿贝尔和”求和法稳定：
的热核正规化和为
的热核正规化和为
这两个函数都在 解析，从而其洛朗级数的零次项等于函数在 的值。
对两边乘上 后，等式仍然成立，而且热核正规化和函数在 的值不变，从而可得知“扩展阿贝尔和”对这两个级数而言是稳定的。
另一方面，由于热核正规化和函数在 和正实轴上解析，“扩展阿贝尔和”就等价于阿贝尔和。
而 的热核正规化和为 ， 为此函数的极点，洛朗级数有负数次项，从而对其乘上 不保证洛朗级数的零次项不变。
总结
该视频中看起来不正确的求和方法实际上有其依据，得到 的正确结果不是巧合。
但要注意的是，求和方法背后的东西远比视频中写出来的复杂，光看视频的话离正确使用还有相当大的距离。
假设
那么
对，隐藏了 这个天大的秘密
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