如果使 1÷0 有意义，那么应该等于多少？
首先，我们得明白，在我们现有的、被广泛接受的数学体系中，除以零是被明确禁止的，它是不被定义的，也就是“无意义”的。这背后的原因非常重要，也决定了我们不能随意给它一个“数字”答案。
为什么是这样呢？我们不妨从除法的定义出发。除法是乘法的逆运算。也就是说，当说 A ÷ B = C 时，就意味着 A = B × C。
现在，我们试着用这个定义来套用 1 ÷ 0。如果我们假设 1 ÷ 0 = X，那么根据除法的定义，就应该有 1 = 0 × X。
这里就出现了第一个大问题：任何数字 X，与零相乘的结果都只能是零。也就是说，0 × X 永远等于 0，而不可能等于 1。这就造成了一个逻辑上的死循环，我们无法找到一个数字 X 能够满足 1 = 0 × X 这个条件。从这个意义上说，1 ÷ 0 是无解的，是无法被定义的。
但这还不是最“要命”的。更严重的问题在于，如果我们强行给 1 ÷ 0 一个确定的数值，比如我们假设它等于某个数字 Y。那么，根据乘法是除法的逆运算这个原则，我们就必须接受：
1 ÷ 0 = Y
同时，根据除法定义，0 × Y = 1
这里就产生了难以调和的矛盾。如果 0 × Y = 1，那么就意味着存在一个数字 Y，它和 0 相乘不等于 0，而等于 1。这彻底推翻了我们对乘法最基本的认知，特别是零的乘法性质。
如果连“任何数乘以零都等于零”这个基本规则都可以被打破，那整个数学体系都会随之崩溃。数字的大小关系、加减乘除的运算规则、甚至代数的逻辑基础，都将受到威胁。想象一下，如果 0 × 5 = 0 也是可以有例外的，那我们还能相信 2 + 2 = 4 吗？整个数学世界将变得混乱不堪，没有办法进行任何严谨的推理和计算。
所以，数学家们为了维护这个体系的自洽性和一致性，宁愿让 1 ÷ 0 这样一个表达式保持“无意义”的状态，而不是去赋予它一个可能导致逻辑矛盾的数值。
那么，如果非要探讨“使 1÷0 有意义”，这就像是在玩一个“假设性游戏”，我们得先设定一套全新的、不同于现有数学的“规则”。
在这个假设的游戏里，如果我们想让 1 ÷ 0 = X 成立，那么我们必须放弃“任何数乘以零都等于零”这条黄金法则。我们可以这样设想：
可能性一：它等于无穷大（∞）
在微积分的领域，我们经常会遇到极限的概念。当我们计算一个函数 F(x) 在 x 趋近于某个值 a 时的极限时，如果分母趋近于零，而分子保持一个非零值，那么这个函数的值就会变得非常大，我们说它的极限是无穷大。
例如，考虑函数 f(x) = 1/x。当 x 从正数趋近于零时，1/x 的值越来越大，趋近于正无穷大。当 x 从负数趋近于零时，1/x 的值越来越小（负数越来越大），趋近于负无穷大。
如果我们把 1 ÷ 0 看作是这种“趋近于零”的极端情况的“结果”，那么说它等于“无穷大”似乎有某种直观的联系。但需要强调的是，无穷大本身并不是一个具体的数字，它是一种概念，表示“没有界限地增大”。
即使我们接受这个“无穷大”的说法，也会遇到一些麻烦。比如：
无穷大 + 1 等于多少？ 根据我们对无穷大的理解，它应该还是无穷大。
无穷大 × 0 等于多少？ 这又回到了我们最开始的困境——0 乘以任何数都是 0，还是说这里又该变成无穷大？
无穷大 ÷ 无穷大 等于多少？ 在极限运算中，这种情况是“不确定形式”，需要进一步分析。
如果 1 ÷ 0 等于无穷大，那么是不是 2 ÷ 0 也等于无穷大？那么 1 ÷ 0 和 2 ÷ 0 是同一个“无穷大”吗？这其中的细节处理起来会相当复杂。
可能性二：它等于任何数（最混乱的局面）
如果我们真的想让 1 = 0 × X 成立，并且不限制 X 的类型，那么如果我们允许“0 乘以一个特定的数不等于零”，那我们也就无法保证“0 乘以另一个数等于零”了。
设想一下，如果我们强制规定：
1 ÷ 0 = 5 （于是，0 × 5 = 1）
那么，基于这样的“新规则”，我们还能推导出什么？
1 ÷ 0 = 6 吗？如果可以，那么 0 × 6 也等于 1，这意味着 5 = 6，这同样是荒谬的。
或者，如果我们说 1 ÷ 0 = 5，但是 2 ÷ 0 呢？如果它也等于 5，那我们就会推导出 2 = 0 × 5 = 1，也就是 2 = 1。
如果 2 ÷ 0 = 7，那我们就会有 2 = 0 × 7 = 1，依然是 2 = 1。
更可怕的是，如果 0 × 0 = 0 这个规则也得废弃，那么 1 ÷ 0 = X，0 × X = 1。如果 X 是 0，那 0 × 0 = 1，这完全颠覆了零的属性。
如果允许 1÷0 有一个明确的数值，而又想保留乘法结合律等其他运算性质，那最直接的后果就是：在允许 1÷0 有意义的那个数学体系里，任何数除以零都必须有意义，并且这些结果之间可能存在某种关系。
但最危险的后果是，一旦我们允许“0 × X = 1”（其中 X 是某个数），那么我们也可以通过一系列运算推导出 0 = 1。例如：
已知 0 × X = 1
我们知道 0 × 1 = 0
如果我们强行让 1 ÷ 0 = X 这个前提成立，并允许其他运算规则依旧适用，那么我们可以写出：
1 = 0 × X
又因为 1 = 0 × 1 （这是我们已知的关于零的性质）
所以 0 × X = 0 × 1
如果我们可以进行“消去律”，即如果 a × b = a × c 且 a ≠ 0，那么 b = c。但这里是 0 × X = 0 × 1，这里的“a”是 0，是不能进行消去律的。
但如果我们硬要用“形式化”的方式去推导，一旦我们允许 0 的乘法有“例外”，比如 0 × X = 1，那么我们就会发现：
1 = 0 × X
将两边都乘以 0： 0 × 1 = 0 × (0 × X)
根据结合律（假设它还成立）： 0 = (0 × 0) × X
如果我们还假设 0 × 0 = 0（这是一个非常根基的性质），那么就是 0 = 0 × X，这又回到了 0 = 1 的情况。
总结来说，如果硬要让 1 ÷ 0 有意义，这并不意味着它会等于一个固定的、能在现有数学体系内合理存在的数字。 它更像是一个“思想实验”的入口，一旦打开，就意味着我们必须放弃现有的数学基础，并且需要小心翼翼地构建一套全新的、可能非常复杂的数学规则，来处理这种除以零的情况。
在绝大多数情况下，当人们谈论“1 ÷ 0”的意义时，他们可能是在询问为什么它在现有数学中无意义，或者是在讨论极限情况下的“无穷大”概念。但如果非要“赋予”它一个明确的数值，那么这个数值的选择将直接导致现有数学规则的崩溃，或者需要创造一套全新的、与之相适应的逻辑体系。
所以，在严格的数学意义上，1 ÷ 0 没有一个具体的数值答案，它“等于”什么取决于你愿意放弃多少现有的数学公理和定义。而从保护数学体系完整性的角度看，让它保持“无意义”是最明智的选择。它就像是数学世界中的一个“禁区”，标记着理论的边界。
网友意见
从代数的角度看，在一个域中， （加法单位元）乘任何元素都是 ，而根据域的定义， 不等于 （乘法单位元），所以 一定是没有乘法逆元的。换句话说，在域中 不能做除法的分母。【附注1】
这就意味着，如果要使得 有意义，就必须构造一个新的代数系统，这个代数系统需要包含“无穷”这个元素（记为 ），并且这个代数系统不可能是域。
为了方便，直接在复数范围内考虑了。对于复数域 ，我们构造一个新的代数系统 。直接定义 ，回答结束。
但你仍然不满意，因为你感觉 是强行定义出来的，它在现实中有什么对应吗？那就要给出如下的解释：
- 几何解释： 对应黎曼球的北极点（前置知识：知道复平面即可）
- 代数解释： 是一个等价类（前置知识：抽象代数）
【几何解释】 对应黎曼球的北极点
上面的平面是复平面 ，在这个平面上放了个球，称为黎曼球Riemann Sphere，记做 。球的下面在原点处与复平面相切。仿照地球，我们把 最上方的点叫做北极点（图中的 点）。
现在考察复平面 上任一点 。把它和北极点 连起来，就会和 交于一点 。反过来，如果给定黎曼球 上不是北极点的任一点 ，把它和北极点 连起来，延长出去，就会和 交于一点 。
这说明，复平面上的点和黎曼球（挖掉北极点）上的点能建立起一一对应关系，换句话说， 在 与 之间能建立双射。这个映射叫做球极投影。
而且我们观察到，北极点其实没法对应于复平面上的任何点。而且，如果复平面上的 离原点越来越远，那么它在球上的投影 会越来越接近于北极点。这就表明，我们其实可以直接把北极点 当成所谓的“无穷远点”。
因此，我们定义 是能投影到北极点 的元素。这样的话， 就能和 一一对应了。我们把 叫做扩充的复平面。这就是 的几何解释。
现在可以从几何角度回答题主的问题了。 定义为 ，它在几何上的含义就是黎曼球的北极点。
NOTE：由于此时 当分母了，因此扩充的复平面 不再是域，所以扩充的复平面上很多熟知的运算性质就失去了，这一点必须注意。
【代数解释】 是一个等价类
（为方便以下只考虑实数范围。）
对于除法，显然有 。现在我们模仿除法定义一个等价关系。
考虑两个非零向量 。模仿除法，定义关系 为 。可以验证 是等价关系。因此在 下就会有所有等价类组成的商集
观察到 是单射（其中 表示 的等价类），从而可以把实数 等同于 中的等价类 。在这个等同意义下， 可以看做是 的子集
不难发现， 中除了 以外，其他元素都有原像。但是， 找不到在 中的原像。这就意味着， 。
现在可以从代数角度回答题主的问题了。定义 就是 中的一个等价类 ，这样就有
NOTE：其实，射影几何中出现的齐次坐标就是这个原理。射影几何中的无穷远点就是上面定义的等价类 。
NOTE：再次提醒，此时 不是一个域。事实上，在 中甚至很难定义出well-defined的加法和乘法运算。如果模仿分数加法 去定义 中的加法的话，就会有 。但如果按照这个定义的话，就有 ，甚至都没有封闭性。这表明在定义加法的时候，还需要对 单独讨论，这就造成了 不可能有好的性质。
一般地，对于整环 来说，在 中难以很好地定义加法和乘法，但是在 中就可以定义出well-defined的加法和乘法。并且可以验证， 构成一个域，它叫做 的分式域。利用这个方法，我们可以从整数 构造出有理数 来。这可能也是让分母不能为0的深层原因吧。
思考题1：假设黎曼球的半径是 。如果黎曼球上某个点的坐标是 ，那么它投影到复平面上的点的坐标怎么写？
思考题2：在扩充的复平面上，你觉得下列哪些运算应该有定义？如果有，你认为应该定义成什么呢？（思考题2的答案可以参考其他答主的回答。）
, , , , , ,
（最安全的做法当然是，以上运算都不定义，但这样显得有些无聊。事实上，我们可以基于一些理由，给出一些看起来合理的定义，就如同我们定义 一样。同时一定要记住，扩充的复平面不再是域，以上定义的运算必然不会满足某些熟知的运算规律）
【附注1】评论区有人指出关于域的定义问题。我学习的版本中含有0≠1的规定，当然有些地方没有这个规定。如果0=1，那么容易证明所有元素都是0（这个结论在环中就已经成立），此时就变成trivial的{0}了，并且此时0有逆元，而且就是0，这样就要1÷0=0（反正就0一个元素，怎么算都是0嘛）。事实上，0≠1的规定有一定的好处，比如我们知道所有有限域都有所谓的特征character，它是一个素数p。如果允许{0}，那么它是没有特征的，感觉就不太好。当然这不是什么本质的问题，就是定义问题，特此说明。
这样的数的运算规则是需要受到严格限制的。比如复变里面的无穷元，辐角依然是没有意义的，有一些运算也依然被禁止。
其实定义为「没有意义」也是一种定义，只要1/0等于一个数「undefined」不能参与任何运算，那也没关系。
命题可能不成立。所以也就无法回答它等于多少。
为什么命题可能不成立呢？因为一个数它之所以存在，是要参与运算。
一除以零之所以没意义，是因为这个结果无法参与任何代数运算。不满足常规数学运算的规则。
假如你把一除以零命名为无穷，然而这个所谓的无穷，并不能像常规的数一样参与数学运算，它参与数学运算会导致非常多的数学公式不成立，无法纳入到现有的数字体系中。
所以，要想使它有意义，除非你能定义一个数学体系，让这个数能够在这个体系内正常参与运算，
我从小学开始就思考这个问题，到了中学，大学继续思考，工作之后也仍然思考过。然而最终发现，没有办法把这个数定义成有意义的值，因为这个值它不是自然数，不是有理数，不是实数，也不是复数，不属于已知数字范围内的任何数，这个数无法以兼容现有数学运算规则的方式参与任何运算。
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