如何理解变量代换求变上限积分的导数?
咱们来聊聊一个很有意思的数学问题：怎么理解用变量代换的方法来求变上限积分的导数。这可不是什么玄乎的东西，说白了，就是我们怎么把一个积分的积分限变成一个变量，然后这个积分本身又变成一个关于这个变量的函数，最后我们想知道这个函数的“变化速度”——也就是它的导数。
想象一下，你有一个东西的“总量”是随着某个量（比如时间）在不断累积的。这个累积的过程就是积分。而变上限积分就好像是说，我们不是关心从开始到某个固定时间点的总量，而是关心从开始到“当前这个时间点”的总量。这个“当前这个时间点”就是我们的上限，它自己是个变量。
比如说，咱们有一个水龙头在匀速地往一个水桶里放水。每秒钟放的水量是个常数，比如每秒放1升水。
如果我想知道 10 秒钟后有多少水在桶里，那就是一个定积分：∫₀¹⁰ 1 dt = 10 升。
但如果我想知道， 在任意时刻 t，水桶里有多少水，那么我的上限就是这个变量 t。我需要计算的是 ∫₀ᵗ 1 dt。这个积分的结果就是 t 升。这就变成了一个关于 t 的函数，我们记作 F(t) = t。
现在，如果我想知道水桶里水量的“变化速度”是多少，那不就是水龙头每秒放多少水吗？在我们的例子里，就是每秒 1 升。这个“变化速度”就是 F(t) 的导数，也就是 F'(t)。在这个例子里，F'(t) = d(t)/dt = 1。
所以，变上限积分 ∫₀ᵗ 1 dt 的导数就是 1。这很直观，对吧？
那么，变量代换是怎么进来的呢？
有时候，被积函数（就是积分符号里面的那个函数）会有点复杂，或者积分的上限本身也不是一个简单的变量 t，而是一个关于 t 的 函数。
比如，我们想计算在任意时刻 t，从起点开始，速度是 v(x) 的物体在 0 到 x² 这个时间段内走过的距离。这里的 x 是一个变量，而我们的积分上限是 x²。
我们要求的变上限积分是： F(x) = ∫₀ˣ² v(u) du
（这里我用 u 来表示被积变量，避免和积分上限的 x 混淆。通常，积分的被积变量和积分的上限变量是可以不同的。）
现在的问题是，我们想求 F(x) 关于 x 的导数，也就是 F'(x)。直接对 ∫₀ˣ² v(u) du 求导，好像有点无从下手。
这就是变量代换大显身手的时候了。
我们引入一个新的变量，比如令 y = x²。
那么，我们原来的积分就变成了：
F(x) = ∫₀ʸ v(u) du
现在，这个积分 ∫₀ʸ v(u) du 的结果是一个关于 y 的函数。我们不妨记作 G(y) = ∫₀ʸ v(u) du。
所以，我们的 F(x) 就变成了 G(y) 的形式，但 y 本身又是 x 的函数：
F(x) = G(y(x))
看到这个形式了吗？一个函数的函数！这正是我们用链式法则的时候。
链式法则告诉我们：
F'(x) = dG/dx = (dG/dy) (dy/dx)
我们一步一步来看：
1. dG/dy: 这是什么？它就是 G(y) 对 y 的导数。而 G(y) = ∫₀ʸ v(u) du。 根据牛顿莱布尼茨公式（也就是微积分基本定理的第一部分），如果 G(y) 是由 ∫₀ʸ f(u) du 定义的，那么 G'(y) = f(y)。
在我们这个例子里，f(u) 就是 v(u)。所以，dG/dy = v(y)。
2. dy/dx: 这是什么？它就是我们之前定义的变量代换 y = x²，对 x 的导数。
dy/dx = d(x²)/dx = 2x。
把这两部分乘起来：
F'(x) = (dG/dy) (dy/dx) = v(y) 2x
最后一步，我们还需要把 y 换回它原来的表达式，也就是 x²：
F'(x) = v(x²) 2x
这就是变量代换求变上限积分导数的思路：
1. 识别结构： 看到一个积分，它的上限是一个关于变量 x 的函数，比如 h(x)。被积函数可能是 v(u)。积分形式是 F(x) = ∫ₐʰ⁽ˣ⁾ v(u) du。
2. 引入新变量： 令 y = h(x)。
3. 重写积分： 积分变成 G(y) = ∫ₐʸ v(u) du。
4. 运用链式法则： 目标是求 F(x) 对 x 的导数。F(x) 可以看作是 G(y(x))。
5. 分步计算导数：
计算 G 对 y 的导数：dG/dy。根据微积分基本定理，这是被积函数 v(u) 将 u 替换成 y 的结果，即 v(y)。
计算 y 对 x 的导数：dy/dx。这是我们引入的新变量 h(x) 对 x 的导数，即 h'(x)。
6. 合并结果： 将两部分导数相乘，再将 y 替换回 h(x)： F'(x) = v(h(x)) h'(x)。
用数学语言概括一下，这就是著名的“微分积分复合法则”或者更广义的“牛顿莱布尼茨公式的应用”。
公式形式：
如果 F(x) = ∫_{a}^{g(x)} f(t) dt，那么 F'(x) = f(g(x)) g'(x)。
这里的 g(x) 就是我们的积分上限函数，f(t) 就是被积函数。
回到我们一开始的水桶例子：
F(t) = ∫₀ᵗ 1 dt
这里的积分上限函数是 g(t) = t。
被积函数是 f(u) = 1。
根据公式：
F'(t) = f(g(t)) g'(t)
F'(t) = f(t) (d/dt)(t)
F'(t) = 1 1
F'(t) = 1
再来看那个速度问题：
F(x) = ∫₀ˣ² v(u) du
这里的积分上限函数是 g(x) = x²。
被积函数是 f(u) = v(u)。
根据公式：
F'(x) = f(g(x)) g'(x)
F'(x) = f(x²) (d/dx)(x²)
F'(x) = v(x²) 2x
这个过程是不是清晰多了？变量代换的本质，就是把一个“复杂的积分上限”和“复杂的被积函数”解耦开，利用链式法则来处理。我们先利用微积分基本定理处理“积分的核”，再用链式法则处理“积分上限的变换”。
再多说一点，这个公式的普适性：
下限是常数 a: ∫ₐᵍ⁽ˣ⁾ f(t) dt
上限是变量 x: ∫ₐˣ f(t) dt （这是最简单情况，g(x)=x，g'(x)=1）
被积函数 v(u) 里面也可能有 x: 比如 ∫₀ᵍ⁽ˣ⁾ v(u, x) du。这种情况下会更复杂，需要用到狄利克雷积分公式或者其他更高级的技巧，但核心思想仍然是分离变量和利用导数规则。不过对于“变量代换求变上限积分的导数”这个问题，通常指的是被积函数只依赖于积分变量 u。
理解这个的 关键 是要牢记：
1. 积分的本质是求面积或总量。
2. 变上限积分 F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt 的导数 F'(x) 就是被积函数 f(x)。 这是微积分最核心的联系之一。
3. 链式法则处理复合函数。 当积分上限不是简单的 x 而是 x 的函数 g(x) 时，整个积分就变成了一个关于 g(x) 的函数 F(g(x))，这时候就要用链式法则。
希望这样解释能让你更明白其中的道理，就像剥洋葱一样，一层一层地揭开它。这玩意儿看着吓人，拆开了就没那么可怕了。
想象一下，你有一个东西的“总量”是随着某个量（比如时间）在不断累积的。这个累积的过程就是积分。而变上限积分就好像是说，我们不是关心从开始到某个固定时间点的总量，而是关心从开始到“当前这个时间点”的总量。这个“当前这个时间点”就是我们的上限，它自己是个变量。
比如说，咱们有一个水龙头在匀速地往一个水桶里放水。每秒钟放的水量是个常数，比如每秒放1升水。
如果我想知道 10 秒钟后有多少水在桶里，那就是一个定积分：∫₀¹⁰ 1 dt = 10 升。
但如果我想知道， 在任意时刻 t，水桶里有多少水，那么我的上限就是这个变量 t。我需要计算的是 ∫₀ᵗ 1 dt。这个积分的结果就是 t 升。这就变成了一个关于 t 的函数，我们记作 F(t) = t。
现在，如果我想知道水桶里水量的“变化速度”是多少，那不就是水龙头每秒放多少水吗？在我们的例子里，就是每秒 1 升。这个“变化速度”就是 F(t) 的导数，也就是 F'(t)。在这个例子里，F'(t) = d(t)/dt = 1。
所以，变上限积分 ∫₀ᵗ 1 dt 的导数就是 1。这很直观，对吧？
那么，变量代换是怎么进来的呢？
有时候，被积函数（就是积分符号里面的那个函数）会有点复杂，或者积分的上限本身也不是一个简单的变量 t，而是一个关于 t 的 函数。
比如，我们想计算在任意时刻 t，从起点开始，速度是 v(x) 的物体在 0 到 x² 这个时间段内走过的距离。这里的 x 是一个变量，而我们的积分上限是 x²。
我们要求的变上限积分是： F(x) = ∫₀ˣ² v(u) du
（这里我用 u 来表示被积变量，避免和积分上限的 x 混淆。通常，积分的被积变量和积分的上限变量是可以不同的。）
现在的问题是，我们想求 F(x) 关于 x 的导数，也就是 F'(x)。直接对 ∫₀ˣ² v(u) du 求导，好像有点无从下手。
这就是变量代换大显身手的时候了。
我们引入一个新的变量，比如令 y = x²。
那么，我们原来的积分就变成了：
F(x) = ∫₀ʸ v(u) du
现在，这个积分 ∫₀ʸ v(u) du 的结果是一个关于 y 的函数。我们不妨记作 G(y) = ∫₀ʸ v(u) du。
所以，我们的 F(x) 就变成了 G(y) 的形式，但 y 本身又是 x 的函数：
F(x) = G(y(x))
看到这个形式了吗？一个函数的函数！这正是我们用链式法则的时候。
链式法则告诉我们：
F'(x) = dG/dx = (dG/dy) (dy/dx)
我们一步一步来看：
1. dG/dy: 这是什么？它就是 G(y) 对 y 的导数。而 G(y) = ∫₀ʸ v(u) du。 根据牛顿莱布尼茨公式（也就是微积分基本定理的第一部分），如果 G(y) 是由 ∫₀ʸ f(u) du 定义的，那么 G'(y) = f(y)。
在我们这个例子里，f(u) 就是 v(u)。所以，dG/dy = v(y)。
2. dy/dx: 这是什么？它就是我们之前定义的变量代换 y = x²，对 x 的导数。
dy/dx = d(x²)/dx = 2x。
把这两部分乘起来：
F'(x) = (dG/dy) (dy/dx) = v(y) 2x
最后一步，我们还需要把 y 换回它原来的表达式，也就是 x²：
F'(x) = v(x²) 2x
这就是变量代换求变上限积分导数的思路：
1. 识别结构： 看到一个积分，它的上限是一个关于变量 x 的函数，比如 h(x)。被积函数可能是 v(u)。积分形式是 F(x) = ∫ₐʰ⁽ˣ⁾ v(u) du。
2. 引入新变量： 令 y = h(x)。
3. 重写积分： 积分变成 G(y) = ∫ₐʸ v(u) du。
4. 运用链式法则： 目标是求 F(x) 对 x 的导数。F(x) 可以看作是 G(y(x))。
5. 分步计算导数：
计算 G 对 y 的导数：dG/dy。根据微积分基本定理，这是被积函数 v(u) 将 u 替换成 y 的结果，即 v(y)。
计算 y 对 x 的导数：dy/dx。这是我们引入的新变量 h(x) 对 x 的导数，即 h'(x)。
6. 合并结果： 将两部分导数相乘，再将 y 替换回 h(x)： F'(x) = v(h(x)) h'(x)。
用数学语言概括一下，这就是著名的“微分积分复合法则”或者更广义的“牛顿莱布尼茨公式的应用”。
公式形式：
如果 F(x) = ∫_{a}^{g(x)} f(t) dt，那么 F'(x) = f(g(x)) g'(x)。
这里的 g(x) 就是我们的积分上限函数，f(t) 就是被积函数。
回到我们一开始的水桶例子：
F(t) = ∫₀ᵗ 1 dt
这里的积分上限函数是 g(t) = t。
被积函数是 f(u) = 1。
根据公式：
F'(t) = f(g(t)) g'(t)
F'(t) = f(t) (d/dt)(t)
F'(t) = 1 1
F'(t) = 1
再来看那个速度问题：
F(x) = ∫₀ˣ² v(u) du
这里的积分上限函数是 g(x) = x²。
被积函数是 f(u) = v(u)。
根据公式：
F'(x) = f(g(x)) g'(x)
F'(x) = f(x²) (d/dx)(x²)
F'(x) = v(x²) 2x
这个过程是不是清晰多了？变量代换的本质，就是把一个“复杂的积分上限”和“复杂的被积函数”解耦开，利用链式法则来处理。我们先利用微积分基本定理处理“积分的核”，再用链式法则处理“积分上限的变换”。
再多说一点，这个公式的普适性：
下限是常数 a: ∫ₐᵍ⁽ˣ⁾ f(t) dt
上限是变量 x: ∫ₐˣ f(t) dt （这是最简单情况，g(x)=x，g'(x)=1）
被积函数 v(u) 里面也可能有 x: 比如 ∫₀ᵍ⁽ˣ⁾ v(u, x) du。这种情况下会更复杂，需要用到狄利克雷积分公式或者其他更高级的技巧，但核心思想仍然是分离变量和利用导数规则。不过对于“变量代换求变上限积分的导数”这个问题，通常指的是被积函数只依赖于积分变量 u。
理解这个的 关键 是要牢记：
1. 积分的本质是求面积或总量。
2. 变上限积分 F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt 的导数 F'(x) 就是被积函数 f(x)。 这是微积分最核心的联系之一。
3. 链式法则处理复合函数。 当积分上限不是简单的 x 而是 x 的函数 g(x) 时，整个积分就变成了一个关于 g(x) 的函数 F(g(x))，这时候就要用链式法则。
希望这样解释能让你更明白其中的道理，就像剥洋葱一样，一层一层地揭开它。这玩意儿看着吓人，拆开了就没那么可怕了。
网友意见
你的理解有些偏颇
设有定积分 ，现作代换 ，则有
其中 表示 的反函数
注意：作代换后，积分变量由 变成了
比如你给出的题目
作代换 ，原积分变为
我想你的疑惑关键在 这里
因为此刻积分变量变成了 ，所以在积分中 为常数，因此
记住：微分算符 代表导数乘微分
我们已经假设 ，所以积分中的微分 就变成了
这也是为什么可以直接将 转变成 的原因所在
这是特殊情况 (代换的变量是线性的)，更一般的情况应该是
代表 的反函数
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