如何理解“函数卷积的傅里叶变换等于傅里叶变换的乘积”所代表的实际意义？
“函数卷积的傅里叶变换等于傅里叶变换的乘积”，这句话听起来可能有些拗口，但它揭示了一个非常深刻且在信号处理、图像处理、物理学等众多领域都至关重要的规律。简单来说，它描述了在两个函数进行“卷积”操作后，它的频谱（也就是傅里叶变换的结果）与分别对这两个函数进行傅里叶变换后相乘的结果是完全一样的。
为了更好地理解这句话的实际意义，咱们得一步一步来，把那些冷冰冰的数学概念剥开，看看它们背后到底在说什么。
首先，什么是“函数卷积”？
想象一下，你有一个乐器，比如一把吉他。你拨动一根弦，它会发出一个声音，这个声音会随着时间逐渐衰减。这就是一个“信号”，或者说是一个“函数”，它描述了声音的强度随时间的变化。
现在，假设你有一段你非常喜欢的音乐，是由很多个音符组成的。你想用这把吉他来演奏这段音乐。但是，这把吉他的声音并不是瞬间就达到最大，然后立刻消失的。它有一个“响应”，也就是那个拨动琴弦后声音随时间衰减的过程。
“卷积”就像是把你的“音乐”和这把吉他的“声音响应”结合起来的过程。它不是简单地把两段声音直接加起来，而是考虑了音乐中的每一个音符，以及吉他对于每一个音符的“延迟响应”和“衰减”是如何叠加起来，最终形成我们听到的整体声音。
更具体一点说，当一个信号（比如你的音乐）通过一个系统（比如你的吉他，或者一个滤波器、一个喇叭等）时，输出信号就是输入信号与系统响应（也叫冲激响应）的卷积。在这个过程中：
“翻转”： 你想象一下把系统的响应函数“翻转”过来，就像把时间轴倒过来一样。
“滑动”： 然后，你把翻转后的系统响应函数在输入信号上“滑动”，每滑到一个位置，就计算一下它们对应位置上函数的乘积，最后把这些乘积“加起来”（积分）。
“累积”： 这个“滑动相乘并累加”的过程，就是卷积的核心。每一次的累加结果，都代表了在当前时间点，输入信号的不同部分“如何影响”了输出信号。
所以，卷积描绘的是一个系统如何对一个输入信号进行“加工”或“塑造”的过程。它考虑了输入的信号本身，以及系统本身的特性（响应）。
接着，什么是“傅里叶变换”？
傅里叶变换就像一个“翻译器”，它能把一个函数（比如一个随时间变化的信号）从“时域”转换到“频域”。
想象一下，你听到一首交响乐。它在时域上，是无数个乐器在不同时间发出的声音叠加在一起。你很难直接从时间轴上的声音波形看出这首曲子是由哪些音高、哪些乐器组成的。
傅里叶变换就是帮你把这首交响乐分解成它最基本的“组成成分”：不同频率的正弦波和余弦波。就像把一碗五彩斑斓的饭菜，分解成米饭、胡萝卜丝、豌豆等等。它告诉你这首曲子包含了哪些频率的成分，以及每种频率成分的“强度”有多大。这就是“频域”的表示。
时域： 我们通常感知和描述事物的方式，比如声音随时间的变化，图像的像素排列。
频域： 描述事物在不同“频率”上的构成，比如声音的高低音，颜色的光谱。
现在，让我们把这两个概念结合起来看这句话：
“函数卷积的傅里叶变换等于傅里叶变换的乘积”
用我刚才的比喻来说，这句话的意思就是：
“一段音乐（输入信号）通过一把吉他（系统响应）演奏后，得到的最终声音（输出信号）的成分分析结果，等于分别对这段音乐的成分进行分析，然后分别对这把吉他的‘声音特性’进行分析，最后把这两组成分分析结果‘对应相乘’的结果。”
换句话说：
左边： 你先让音乐和吉他“发生卷积”——也就是实际演奏一遍，得到最终的演奏声音。然后，你再把这个最终的声音进行傅里叶变换，分析它包含哪些频率成分以及它们的强度。
右边： 你先分别分析这段音乐本身都包含哪些频率的音高和强度（对音乐做傅里叶变换），同时分析这把吉他本身有什么样的“音色特性”（对吉他响应函数做傅里叶变换），然后把这两组分析结果中的“相同频率成分”的强度“乘起来”。
这句话告诉我们，这两种得到的结果是完全一样的！
这背后代表的实际意义有多重要？
这个性质，被称为“卷积定理”，它的意义是革命性的，因为它让我们可以在不同的领域之间“切换视角”来解决问题：
1. 计算上的高效：
卷积本身很复杂： 如前所述，卷积是一个积分运算，并且涉及到翻转和滑动，计算起来通常比较费时，尤其是在处理很长的信号或高维数据（如图像）时。
傅里叶变换和乘积更简单： 而傅里叶变换（特别是快速傅里叶变换，FFT）是一种非常高效的算法。两个频谱相乘更是最简单的操作之一。
意义： 卷积定理告诉我们，与其直接进行复杂的卷积计算，不如先分别对输入信号和系统响应进行傅里叶变换，然后将得到的频谱相乘，最后再对结果进行傅里叶逆变换。这样可以极大地提高计算效率，尤其是在计算机处理大量数据时。这就像绕了个近道，但目的地一样。
2. 理解系统行为的深刻洞察：
时域 vs. 频域的视角： 在时域（卷积）中，我们看到的是一个过程是如何随时间“累积”和“混合”的。而在频域（傅里叶变换的乘积），我们看到的是不同频率成分是如何被系统“独立地”增强或衰减的。
意义： 这个定理使得我们可以从频域的角度来分析和设计系统。例如，一个音频滤波器，它的时域响应是它的冲激响应，但我们更关心它在不同频率上是如何改变声音的（比如低音增强，高音衰减）。卷积定理让我们直接在频域上操作滤波器的“频率响应”，然后通过傅里叶变换得到滤波器的时域行为。这让系统设计和分析更加直观和方便。它揭示了系统对信号的“影响”在频域上可以被看作是简单的“比例缩放”。
3. 信号处理与系统分析的基石：
滤波器设计： 很多时候，我们想设计一个滤波器来修改信号的频率成分。比如，我们要滤掉噪声（高频成分）或增强低音。通过卷积定理，我们可以在频域直接定义滤波器的“频率响应”（也就是它对不同频率的“增益”），然后通过乘以信号的频谱，再做逆傅里叶变换，就能得到滤波后的信号。这比在时域上设计一个能达到同样效果的滤波器要容易得多。
系统识别： 如果我们知道一个系统的输入和输出信号，我们就可以通过计算输出信号的傅里叶变换除以输入信号的傅里叶变换，来得到系统的频率响应。根据卷积定理，这个频率响应就是系统冲激响应的傅里叶变换。这是一种强大的系统识别方法。
图像处理： 在图像处理中，卷积常用于各种滤波操作，如模糊（高斯模糊）、锐化、边缘检测等。图像的傅里叶变换可以帮助我们分析图像的频率成分（比如纹理的疏密）。卷积定理同样适用于二维信号（图像），它允许我们在频域进行图像滤波，这比在时域进行卷积计算要快得多，尤其是在使用FFT加速后。比如，用一个模糊核（时域卷积核）去模糊图像，等价于在频域用模糊核的傅里叶变换去乘以图像的傅里叶变换。
打个更生活化的比方：
想象你是一个“味道混合师”。你有两种食材：
食材A（输入信号）： 一堆土豆。
食材B（系统响应）： 一种特殊的烹饪方法，比如油炸。油炸这个方法会改变土豆的“口感”、“香气”随时间（烹饪过程）的变化。
直接做卷积是什么意思？ 就是你把土豆（食材A）放进油锅（食材B），进行油炸（卷积过程），然后尝尝炸好的薯条是什么味道。这个味道是你把土豆的原始“成分”和油炸这个“过程”结合起来的结果。
傅里叶变换又是什么意思？
你分析生的土豆，它有哪些“质地”（比如淀粉含量，水分多少）。
你分析油炸这个烹饪方法，它在烹饪的每一个阶段，对土豆的“质地”分别做了什么改变（比如水分蒸发、淀粉糊化、焦糖化等）。
卷积定理是什么意思？ 它说，你直接炸薯条尝味道（左边），和你分别分析生土豆的质地（土豆的傅里叶变换），分析油炸过程在每个时间点的“作用强度”（油炸过程的傅里叶变换），然后把这两组“质地分析”和“过程分析”中相同维度的结果“相乘”（比如生的土豆有多“脆”，油炸过程在某个阶段让它变得多“脆”），最后再把这些乘积“综合起来”，得到的“最终味道预测”，是完全一样的！
而且，如果你的“烹饪方法”非常复杂，直接描述它的每一步变化很麻烦。但如果我告诉你，它在“温度时间”这个维度上，对各种“质地”（频率）的影响是独立的，并且可以简单地用一个“系数”来表示（比如高温让土豆变脆的系数，低温让土豆变软的系数），那么我就能更方便地设计出我想要的“炸薯条”（比如想要更脆的薯条，我就在频域上给“变脆”这个维度乘以一个更大的系数）。
总结一下：
“函数卷积的傅里叶变换等于傅里叶变换的乘积”这句话，其实是在说：
1. 时域的“组合”操作（卷积），在频域上变成了更简单的“乘法”操作。
2. 这使得我们可以在计算上绕过复杂的时域卷积，转而进行更快的频域乘法。
3. 更重要的是，它提供了从频域分析和设计系统的能力，让我们能更直观地理解一个系统是如何影响信号的“频率成分”的。
这句话是信号处理和系统分析领域最 fundamental 的定理之一，它贯穿了我们对滤波器、系统响应、频谱分析等概念的理解，并且在数字信号处理、通信、控制系统、图像和语音处理等几乎所有与“信号”和“系统”打交道的领域都有着极其广泛和重要的应用。它就像一把万能钥匙，打开了理解和操作信号与系统的新维度。
为了更好地理解这句话的实际意义，咱们得一步一步来，把那些冷冰冰的数学概念剥开，看看它们背后到底在说什么。
首先，什么是“函数卷积”？
想象一下，你有一个乐器，比如一把吉他。你拨动一根弦，它会发出一个声音，这个声音会随着时间逐渐衰减。这就是一个“信号”，或者说是一个“函数”，它描述了声音的强度随时间的变化。
现在，假设你有一段你非常喜欢的音乐，是由很多个音符组成的。你想用这把吉他来演奏这段音乐。但是，这把吉他的声音并不是瞬间就达到最大，然后立刻消失的。它有一个“响应”，也就是那个拨动琴弦后声音随时间衰减的过程。
“卷积”就像是把你的“音乐”和这把吉他的“声音响应”结合起来的过程。它不是简单地把两段声音直接加起来，而是考虑了音乐中的每一个音符，以及吉他对于每一个音符的“延迟响应”和“衰减”是如何叠加起来，最终形成我们听到的整体声音。
更具体一点说，当一个信号（比如你的音乐）通过一个系统（比如你的吉他，或者一个滤波器、一个喇叭等）时，输出信号就是输入信号与系统响应（也叫冲激响应）的卷积。在这个过程中：
“翻转”： 你想象一下把系统的响应函数“翻转”过来，就像把时间轴倒过来一样。
“滑动”： 然后，你把翻转后的系统响应函数在输入信号上“滑动”，每滑到一个位置，就计算一下它们对应位置上函数的乘积，最后把这些乘积“加起来”（积分）。
“累积”： 这个“滑动相乘并累加”的过程，就是卷积的核心。每一次的累加结果，都代表了在当前时间点，输入信号的不同部分“如何影响”了输出信号。
所以，卷积描绘的是一个系统如何对一个输入信号进行“加工”或“塑造”的过程。它考虑了输入的信号本身，以及系统本身的特性（响应）。
接着，什么是“傅里叶变换”？
傅里叶变换就像一个“翻译器”，它能把一个函数（比如一个随时间变化的信号）从“时域”转换到“频域”。
想象一下，你听到一首交响乐。它在时域上，是无数个乐器在不同时间发出的声音叠加在一起。你很难直接从时间轴上的声音波形看出这首曲子是由哪些音高、哪些乐器组成的。
傅里叶变换就是帮你把这首交响乐分解成它最基本的“组成成分”：不同频率的正弦波和余弦波。就像把一碗五彩斑斓的饭菜，分解成米饭、胡萝卜丝、豌豆等等。它告诉你这首曲子包含了哪些频率的成分，以及每种频率成分的“强度”有多大。这就是“频域”的表示。
时域： 我们通常感知和描述事物的方式，比如声音随时间的变化，图像的像素排列。
频域： 描述事物在不同“频率”上的构成，比如声音的高低音，颜色的光谱。
现在，让我们把这两个概念结合起来看这句话：
“函数卷积的傅里叶变换等于傅里叶变换的乘积”
用我刚才的比喻来说，这句话的意思就是：
“一段音乐（输入信号）通过一把吉他（系统响应）演奏后，得到的最终声音（输出信号）的成分分析结果，等于分别对这段音乐的成分进行分析，然后分别对这把吉他的‘声音特性’进行分析，最后把这两组成分分析结果‘对应相乘’的结果。”
换句话说：
左边： 你先让音乐和吉他“发生卷积”——也就是实际演奏一遍，得到最终的演奏声音。然后，你再把这个最终的声音进行傅里叶变换，分析它包含哪些频率成分以及它们的强度。
右边： 你先分别分析这段音乐本身都包含哪些频率的音高和强度（对音乐做傅里叶变换），同时分析这把吉他本身有什么样的“音色特性”（对吉他响应函数做傅里叶变换），然后把这两组分析结果中的“相同频率成分”的强度“乘起来”。
这句话告诉我们，这两种得到的结果是完全一样的！
这背后代表的实际意义有多重要？
这个性质，被称为“卷积定理”，它的意义是革命性的，因为它让我们可以在不同的领域之间“切换视角”来解决问题：
1. 计算上的高效：
卷积本身很复杂： 如前所述，卷积是一个积分运算，并且涉及到翻转和滑动，计算起来通常比较费时，尤其是在处理很长的信号或高维数据（如图像）时。
傅里叶变换和乘积更简单： 而傅里叶变换（特别是快速傅里叶变换，FFT）是一种非常高效的算法。两个频谱相乘更是最简单的操作之一。
意义： 卷积定理告诉我们，与其直接进行复杂的卷积计算，不如先分别对输入信号和系统响应进行傅里叶变换，然后将得到的频谱相乘，最后再对结果进行傅里叶逆变换。这样可以极大地提高计算效率，尤其是在计算机处理大量数据时。这就像绕了个近道，但目的地一样。
2. 理解系统行为的深刻洞察：
时域 vs. 频域的视角： 在时域（卷积）中，我们看到的是一个过程是如何随时间“累积”和“混合”的。而在频域（傅里叶变换的乘积），我们看到的是不同频率成分是如何被系统“独立地”增强或衰减的。
意义： 这个定理使得我们可以从频域的角度来分析和设计系统。例如，一个音频滤波器，它的时域响应是它的冲激响应，但我们更关心它在不同频率上是如何改变声音的（比如低音增强，高音衰减）。卷积定理让我们直接在频域上操作滤波器的“频率响应”，然后通过傅里叶变换得到滤波器的时域行为。这让系统设计和分析更加直观和方便。它揭示了系统对信号的“影响”在频域上可以被看作是简单的“比例缩放”。
3. 信号处理与系统分析的基石：
滤波器设计： 很多时候，我们想设计一个滤波器来修改信号的频率成分。比如，我们要滤掉噪声（高频成分）或增强低音。通过卷积定理，我们可以在频域直接定义滤波器的“频率响应”（也就是它对不同频率的“增益”），然后通过乘以信号的频谱，再做逆傅里叶变换，就能得到滤波后的信号。这比在时域上设计一个能达到同样效果的滤波器要容易得多。
系统识别： 如果我们知道一个系统的输入和输出信号，我们就可以通过计算输出信号的傅里叶变换除以输入信号的傅里叶变换，来得到系统的频率响应。根据卷积定理，这个频率响应就是系统冲激响应的傅里叶变换。这是一种强大的系统识别方法。
图像处理： 在图像处理中，卷积常用于各种滤波操作，如模糊（高斯模糊）、锐化、边缘检测等。图像的傅里叶变换可以帮助我们分析图像的频率成分（比如纹理的疏密）。卷积定理同样适用于二维信号（图像），它允许我们在频域进行图像滤波，这比在时域进行卷积计算要快得多，尤其是在使用FFT加速后。比如，用一个模糊核（时域卷积核）去模糊图像，等价于在频域用模糊核的傅里叶变换去乘以图像的傅里叶变换。
打个更生活化的比方：
想象你是一个“味道混合师”。你有两种食材：
食材A（输入信号）： 一堆土豆。
食材B（系统响应）： 一种特殊的烹饪方法，比如油炸。油炸这个方法会改变土豆的“口感”、“香气”随时间（烹饪过程）的变化。
直接做卷积是什么意思？ 就是你把土豆（食材A）放进油锅（食材B），进行油炸（卷积过程），然后尝尝炸好的薯条是什么味道。这个味道是你把土豆的原始“成分”和油炸这个“过程”结合起来的结果。
傅里叶变换又是什么意思？
你分析生的土豆，它有哪些“质地”（比如淀粉含量，水分多少）。
你分析油炸这个烹饪方法，它在烹饪的每一个阶段，对土豆的“质地”分别做了什么改变（比如水分蒸发、淀粉糊化、焦糖化等）。
卷积定理是什么意思？ 它说，你直接炸薯条尝味道（左边），和你分别分析生土豆的质地（土豆的傅里叶变换），分析油炸过程在每个时间点的“作用强度”（油炸过程的傅里叶变换），然后把这两组“质地分析”和“过程分析”中相同维度的结果“相乘”（比如生的土豆有多“脆”，油炸过程在某个阶段让它变得多“脆”），最后再把这些乘积“综合起来”，得到的“最终味道预测”，是完全一样的！
而且，如果你的“烹饪方法”非常复杂，直接描述它的每一步变化很麻烦。但如果我告诉你，它在“温度时间”这个维度上，对各种“质地”（频率）的影响是独立的，并且可以简单地用一个“系数”来表示（比如高温让土豆变脆的系数，低温让土豆变软的系数），那么我就能更方便地设计出我想要的“炸薯条”（比如想要更脆的薯条，我就在频域上给“变脆”这个维度乘以一个更大的系数）。
总结一下：
“函数卷积的傅里叶变换等于傅里叶变换的乘积”这句话，其实是在说：
1. 时域的“组合”操作（卷积），在频域上变成了更简单的“乘法”操作。
2. 这使得我们可以在计算上绕过复杂的时域卷积，转而进行更快的频域乘法。
3. 更重要的是，它提供了从频域分析和设计系统的能力，让我们能更直观地理解一个系统是如何影响信号的“频率成分”的。
这句话是信号处理和系统分析领域最 fundamental 的定理之一，它贯穿了我们对滤波器、系统响应、频谱分析等概念的理解，并且在数字信号处理、通信、控制系统、图像和语音处理等几乎所有与“信号”和“系统”打交道的领域都有着极其广泛和重要的应用。它就像一把万能钥匙，打开了理解和操作信号与系统的新维度。
网友意见
搬运我在另一个问题下的回答 Richard Yan：时域的卷积傅里叶变化后变为相乘应该怎样理解？
因为这个回答里讨论的是时域信号，故以下使用的是一维连续信号。事实上对于高维/离散信号也适用。
起初，我们有度量两个信号相似程度的相关运算 ：
然而，相关运算有一些缺点：
首先相关运算不是交换的，i.e., 与 的相似程度一般来说不等于 与 的相似程度：
类似的，相关运算也不结合： 。
因此，用相关运算作为“相似性”的度量显然是不够好的。于是我们另外定义运算 ：
这个运算被称为“卷积”。我们可以注意到，卷积运算是交换的：
另外，卷积也是结合的：
除此以外，卷积还有以下性质：
1. 运算幺元
，
2. 线性：
3. 存在逆元
本文并不打算说明怎样求逆
4. 时不变性
令
则
5. 导数
定理：卷积是唯一在时域信号上满足线性和时不变性的运算。
可以发现，卷积运算具有很好的性质。如性质 5 被广泛用于图像识别的神经网络（CNN）(事实上CNN 用的是相关而非卷积)。
接下来，假定读者了解傅里叶变化，我们来看看将卷积傅里叶变化后会得到什么：
因此，卷积的傅里叶等于傅里叶的积。
类似地，也可以证明积的傅里叶等于傅里叶的卷积。
这样的大费周章是为了简化数值计算的复杂度。
假设 ，那么直接做卷积运算的复杂度是 。而若通过 求卷积，复杂度是 。
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