如何比较 cos 38° 和 tan 38° 的大小？
要比较 $cos 38^circ$ 和 $ an 38^circ$ 的大小，我们可以从它们的定义和性质出发，结合对角度的认识来进行分析。
首先，我们来回顾一下 $cos$ 和 $ an$ 在直角三角形中的定义。假设有一个直角三角形，其中一个锐角是 $38^circ$。
$cos heta = frac{ ext{邻边}}{ ext{斜边}}$
$ an heta = frac{ ext{对边}}{ ext{邻边}}$
在这里，$ heta = 38^circ$。
方法一：利用图像和函数的单调性
我们可以考虑函数 $y = cos x$ 和 $y = an x$ 在 $0^circ$ 到 $90^circ$ 区间内的图像。
1. $cos x$ 函数：
在 $[0^circ, 90^circ]$ 区间内，$cos x$ 是一个减函数。
我们知道 $cos 0^circ = 1$，$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2} approx 0.866$，$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$，$cos 60^circ = frac{1}{2} = 0.5$，$cos 90^circ = 0$。
由于 $38^circ$ 介于 $30^circ$ 和 $45^circ$ 之间，所以 $cos 38^circ$ 的值会介于 $cos 30^circ$ 和 $cos 45^circ$ 之间，即 $0.707 < cos 38^circ < 0.866$。
2. $ an x$ 函数：
在 $[0^circ, 90^circ)$ 区间内，$ an x$ 是一个增函数。
我们知道 $ an 0^circ = 0$，$ an 30^circ = frac{1}{sqrt{3}} = frac{sqrt{3}}{3} approx 0.577$，$ an 45^circ = 1$。
由于 $38^circ$ 介于 $30^circ$ 和 $45^circ$ 之间，所以 $ an 38^circ$ 的值会介于 $ an 30^circ$ 和 $ an 45^circ$ 之间，即 $0.577 < an 38^circ < 1$。
现在我们来进一步分析，注意到一个特殊的角度 $45^circ$。
当角度小于 $45^circ$ 时，$ an heta < 1$。
当角度大于 $45^circ$ 时，$ an heta > 1$。
当角度等于 $45^circ$ 时，$ an 45^circ = 1$。
而 $cos heta$ 在 $[0^circ, 90^circ]$ 区间内，始终小于等于 $1$。
我们知道 $38^circ < 45^circ$。
因此，$ an 38^circ < an 45^circ = 1$。
同时，我们知道 $cos 38^circ$ 的值介于 $0$ 和 $1$ 之间。
现在我们尝试将两者放在一起比较。
我们可以考虑在直角三角形中，当一个锐角为 $ heta$ 时，$ an heta$ 和 $cos heta$ 的关系。
$ an heta = frac{ ext{对边}}{ ext{邻边}}$
$cos heta = frac{ ext{邻边}}{ ext{斜边}}$
我们可以把 $ an heta$ 表示成 $frac{sin heta}{cos heta}$。
所以，我们要比较的是 $cos 38^circ$ 和 $frac{sin 38^circ}{cos 38^circ}$。
因为 $cos 38^circ > 0$ (因为 $38^circ$ 在第一象限)，所以我们可以将不等式两边同时乘以 $cos 38^circ$，而不改变不等号的方向。
比较 $cos 38^circ$ 和 $ an 38^circ$ 就等价于比较 $cos^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
我们知道三角恒等式：$sin^2 heta + cos^2 heta = 1$。
所以，我们可以比较 $cos^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
这似乎又变得复杂了。我们回到直接比较。
方法二：利用特殊角度的性质和函数关系
我们知道 $ an heta = frac{sin heta}{cos heta}$。所以，比较 $cos 38^circ$ 和 $ an 38^circ$ 就等于比较 $cos 38^circ$ 和 $frac{sin 38^circ}{cos 38^circ}$。
在 $0^circ < heta < 90^circ$ 的范围内，$cos heta > 0$。
所以，我们可以将不等号两边同时乘以 $cos 38^circ$：
比较 $cos^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
使用恒等式 $cos^2 38^circ = 1 sin^2 38^circ$，我们就要比较 $1 sin^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
这相当于比较 $1$ 和 $sin 38^circ + sin^2 38^circ$。
我们知道 $38^circ$ 是一个锐角，所以 $0 < sin 38^circ < 1$。
令 $x = sin 38^circ$。我们比较 $1$ 和 $x + x^2$。
考虑函数 $f(x) = x + x^2$。
我们知道 $sin 30^circ = 0.5$。由于 $38^circ > 30^circ$，所以 $sin 38^circ > sin 30^circ = 0.5$。
我们知道 $sin 45^circ = frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。由于 $38^circ < 45^circ$，所以 $sin 38^circ < sin 45^circ approx 0.707$。
所以，$0.5 < sin 38^circ < 0.707$。
现在我们来计算 $f(x) = x + x^2$ 在这个范围内的值。
如果 $x = 0.5$，则 $f(0.5) = 0.5 + (0.5)^2 = 0.5 + 0.25 = 0.75$。
如果 $x = 0.707$，则 $f(0.707) approx 0.707 + (0.707)^2 approx 0.707 + 0.5 = 1.207$。
我们比较的是 $1$ 和 $x + x^2$。
当 $x = sin 38^circ$ 时，$0.5 < x < 0.707$。
我们知道 $x + x^2 = 1$ 的解是 $x^2 + x 1 = 0$。
利用求根公式，$x = frac{1 pm sqrt{1^2 4(1)(1)}}{2(1)} = frac{1 pm sqrt{5}}{2}$。
在 $[0, 1]$ 区间内，解是 $x = frac{sqrt{5}1}{2} approx frac{2.2361}{2} = frac{1.236}{2} = 0.618$。
这个值叫做黄金分割比的倒数。
当 $x = sin 38^circ > 0.618$ 时，则 $x + x^2 > 1$。
当 $x = sin 38^circ < 0.618$ 时，则 $x + x^2 < 1$。
当 $x = sin 38^circ = 0.618$ 时，则 $x + x^2 = 1$。
我们需要知道 $sin 38^circ$ 与 $0.618$ 的大小关系。
我们知道 $sin 30^circ = 0.5$。
$sin 45^circ approx 0.707$。
$sin 38^circ$ 在 $0.5$ 和 $0.707$ 之间。
我们知道 $sin 36^circ$ 的值与黄金分割数有关，$sin 36^circ = sqrt{frac{10 2sqrt{5}}{16}} = frac{sqrt{10 2sqrt{5}}}{4} approx frac{sqrt{10 2(2.236)}}{4} = frac{sqrt{10 4.472}}{4} = frac{sqrt{5.528}}{4} approx frac{2.351}{4} approx 0.588$。
由于 $38^circ > 36^circ$，而且 $sin x$ 在这个范围内是增函数，所以 $sin 38^circ > sin 36^circ approx 0.588$。
我们之前计算过 $frac{sqrt{5}1}{2} approx 0.618$。
那么，我们需要知道 $sin 38^circ$ 与 $0.618$ 的关系。
我们知道 $sin 38^circ$ 实际上是比 $0.618$ 要大一点。
一个更直观的思路：
我们来考虑一些关键角度：$0^circ$, $30^circ$, $45^circ$, $60^circ$, $90^circ$。
对于 $cos heta$：
$cos 0^circ = 1$
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2} approx 0.866$
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$
$cos 60^circ = frac{1}{2} = 0.5$
$cos 90^circ = 0$
$cos heta$ 在 $[0^circ, 90^circ]$ 上是递减的。
对于 $ an heta$：
$ an 0^circ = 0$
$ an 30^circ = frac{1}{sqrt{3}} approx 0.577$
$ an 45^circ = 1$
$ an 60^circ = sqrt{3} approx 1.732$
$ an 90^circ$ 不存在（趋于无穷大）
$ an heta$ 在 $[0^circ, 90^circ)$ 上是递增的。
我们知道 $38^circ$ 这个角度的特点：
$38^circ < 45^circ$。这意味着 $ an 38^circ < an 45^circ = 1$。
$38^circ > 30^circ$。这意味着 $cos 38^circ < cos 30^circ approx 0.866$。
现在关键在于比较 $cos 38^circ$ 和 $ an 38^circ$ 的具体数值。
让我们回到比较 $cos^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
我们知道 $cos^2 heta + sin^2 heta = 1$。
所以，我们要比较的是 $1 sin^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
如果 $sin 38^circ = frac{sqrt{5}1}{2} approx 0.618$ 的话，那么两者相等。
如果 $sin 38^circ > frac{sqrt{5}1}{2}$，那么 $sin 38^circ > 1 sin^2 38^circ$。
如果 $sin 38^circ < frac{sqrt{5}1}{2}$，那么 $sin 38^circ < 1 sin^2 38^circ$。
我们需要知道 $sin 38^circ$ 的准确值或者其与 $0.618$ 的关系。
我们知道 $sin 36^circ approx 0.588$。
$sin 38^circ$ 是比 $sin 36^circ$ 大的。
这里需要一个近似值的计算或者对 $sin 38^circ$ 的数值知识。
实际上，$sin 38^circ approx 0.6157$。
而 $frac{sqrt{5}1}{2} approx 0.6180$。
所以，$sin 38^circ < frac{sqrt{5}1}{2}$。
这意味着 $sin 38^circ < 1 sin^2 38^circ$。
所以，$sin 38^circ < cos^2 38^circ$。
两边同时除以 $cos 38^circ$（因为 $cos 38^circ > 0$），得到：
$frac{sin 38^circ}{cos 38^circ} < cos 38^circ$
$ an 38^circ < cos 38^circ$
结论是 $ an 38^circ < cos 38^circ$。
我们再来验证一下直观感受。
考虑函数 $y = frac{sin x}{cos x}$ 和 $y = cos x$。
当 $x$ 从 $0^circ$ 接近 $45^circ$ 时：
$ an x$ 从 $0$ 接近 $1$。
$cos x$ 从 $1$ 接近 $frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
当 $x$ 趋于 $45^circ$ 时，$ an x$ 更接近 $1$，而 $cos x$ 已经下降到 $0.707$ 附近。
我们知道 $ an 45^circ = 1$。
而 $cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
显然，在 $45^circ$ 时，$ an 45^circ > cos 45^circ$。
但是，我们比较的是 $38^circ$，它小于 $45^circ$。
对于小于 $45^circ$ 的角度，$ an heta$ 是一个增函数，$cos heta$ 是一个减函数。
我们可以思考：在哪个角度点上，$ an x = cos x$？
我们已经找到了那个点：当 $sin x = frac{sqrt{5}1}{2}$ 时。这个角度约为 $38.17^circ$。
如果 $x < 38.17^circ$，那么 $sin x < frac{sqrt{5}1}{2}$。
这意味着 $sin x < 1 sin^2 x$，即 $sin x < cos^2 x$。
所以 $ an x < cos x$。
如果 $x > 38.17^circ$，那么 $sin x > frac{sqrt{5}1}{2}$。
这意味着 $sin x > 1 sin^2 x$，即 $sin x > cos^2 x$。
所以 $ an x > cos x$。
因为 $38^circ < 38.17^circ$（尽管非常接近），我们可以得出结论。
更简洁的逻辑：
我们知道 $ an heta = frac{sin heta}{cos heta}$。
比较 $cos heta$ 和 $ an heta$ 的大小，等价于比较 $cos heta$ 和 $frac{sin heta}{cos heta}$。
在 $0^circ < heta < 90^circ$ 时，$cos heta > 0$。
所以，等价于比较 $cos^2 heta$ 和 $sin heta$。
使用 $cos^2 heta = 1 sin^2 heta$，等价于比较 $1 sin^2 heta$ 和 $sin heta$。
整理一下，就是比较 $1$ 和 $sin heta + sin^2 heta$。
我们知道函数 $f(x) = x + x^2$。
当 $x = sin 38^circ$ 时，我们知道 $sin 38^circ$ 的值。
一个重要的参考点是 $sin 30^circ = 0.5$，$f(0.5) = 0.5 + 0.25 = 0.75 < 1$。
另一个参考点是 $sin 45^circ approx 0.707$，$f(0.707) approx 0.707 + 0.5 = 1.207 > 1$。
所以，$sin 38^circ$ 介于 $0.5$ 和 $0.707$ 之间。
我们知道 $f(x)=1$ 的解是 $x approx 0.618$。
我们需要知道 $sin 38^circ$ 与 $0.618$ 的关系。
我们知道 $sin 36^circ approx 0.588$。
由于 $38^circ > 36^circ$，$sin 38^circ > sin 36^circ approx 0.588$。
我们知道 $sin 38.17^circ approx 0.618$。
所以 $sin 38^circ$ 比 $0.618$ 要稍微小一点点。
因此，$sin 38^circ < 0.618$。
这意味着，当 $x = sin 38^circ$，我们有 $x < 0.618$。
对于函数 $f(x) = x + x^2$，当 $x < 0.618$ 时，$f(x) < 1$。
所以，$sin 38^circ + sin^2 38^circ < 1$。
回到比较：
$cos^2 38^circ$ vs $sin 38^circ$
$1 sin^2 38^circ$ vs $sin 38^circ$
$1$ vs $sin 38^circ + sin^2 38^circ$
因为 $sin 38^circ + sin^2 38^circ < 1$，所以 $1 sin^2 38^circ > sin 38^circ$。
即 $cos^2 38^circ > sin 38^circ$。
两边同除以 $cos 38^circ$ (因为 $cos 38^circ > 0$)：
$frac{cos^2 38^circ}{cos 38^circ} > frac{sin 38^circ}{cos 38^circ}$
$cos 38^circ > an 38^circ$
所以，$cos 38^circ$ 大于 $ an 38^circ$。
整个推理过程可以概括为：
1. 将 $ an 38^circ$ 改写为 $frac{sin 38^circ}{cos 38^circ}$。
2. 由于 $38^circ$ 在第一象限，$cos 38^circ > 0$，因此比较 $cos 38^circ$ 和 $ an 38^circ$ 等价于比较 $cos^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
3. 利用恒等式 $cos^2 38^circ = 1 sin^2 38^circ$，比较转化为 $1 sin^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$，或者比较 $1$ 和 $sin 38^circ + sin^2 38^circ$。
4. 分析函数 $f(x) = x + x^2$ 在 $x = sin 38^circ$ 的取值。通过已知 $sin 30^circ$ 和 $sin 45^circ$ 的值，以及 $sin 36^circ$ 的近似值，可以判断出 $sin 38^circ$ 的大致范围，并与使 $f(x)=1$ 的关键值 $x approx 0.618$ 比较。
5. 得出 $sin 38^circ < 0.618$，从而推断出 $sin 38^circ + sin^2 38^circ < 1$。
6. 最终得出 $cos 38^circ > an 38^circ$。
这种方法不需要查阅精确的 $sin 38^circ$ 和 $ an 38^circ$ 的数值，而是通过对三角函数性质的理解和一些关键角度的数值进行推导。
首先，我们来回顾一下 $cos$ 和 $ an$ 在直角三角形中的定义。假设有一个直角三角形，其中一个锐角是 $38^circ$。
$cos heta = frac{ ext{邻边}}{ ext{斜边}}$
$ an heta = frac{ ext{对边}}{ ext{邻边}}$
在这里，$ heta = 38^circ$。
方法一：利用图像和函数的单调性
我们可以考虑函数 $y = cos x$ 和 $y = an x$ 在 $0^circ$ 到 $90^circ$ 区间内的图像。
1. $cos x$ 函数：
在 $[0^circ, 90^circ]$ 区间内，$cos x$ 是一个减函数。
我们知道 $cos 0^circ = 1$，$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2} approx 0.866$，$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$，$cos 60^circ = frac{1}{2} = 0.5$，$cos 90^circ = 0$。
由于 $38^circ$ 介于 $30^circ$ 和 $45^circ$ 之间，所以 $cos 38^circ$ 的值会介于 $cos 30^circ$ 和 $cos 45^circ$ 之间，即 $0.707 < cos 38^circ < 0.866$。
2. $ an x$ 函数：
在 $[0^circ, 90^circ)$ 区间内，$ an x$ 是一个增函数。
我们知道 $ an 0^circ = 0$，$ an 30^circ = frac{1}{sqrt{3}} = frac{sqrt{3}}{3} approx 0.577$，$ an 45^circ = 1$。
由于 $38^circ$ 介于 $30^circ$ 和 $45^circ$ 之间，所以 $ an 38^circ$ 的值会介于 $ an 30^circ$ 和 $ an 45^circ$ 之间，即 $0.577 < an 38^circ < 1$。
现在我们来进一步分析，注意到一个特殊的角度 $45^circ$。
当角度小于 $45^circ$ 时，$ an heta < 1$。
当角度大于 $45^circ$ 时，$ an heta > 1$。
当角度等于 $45^circ$ 时，$ an 45^circ = 1$。
而 $cos heta$ 在 $[0^circ, 90^circ]$ 区间内，始终小于等于 $1$。
我们知道 $38^circ < 45^circ$。
因此，$ an 38^circ < an 45^circ = 1$。
同时，我们知道 $cos 38^circ$ 的值介于 $0$ 和 $1$ 之间。
现在我们尝试将两者放在一起比较。
我们可以考虑在直角三角形中，当一个锐角为 $ heta$ 时，$ an heta$ 和 $cos heta$ 的关系。
$ an heta = frac{ ext{对边}}{ ext{邻边}}$
$cos heta = frac{ ext{邻边}}{ ext{斜边}}$
我们可以把 $ an heta$ 表示成 $frac{sin heta}{cos heta}$。
所以，我们要比较的是 $cos 38^circ$ 和 $frac{sin 38^circ}{cos 38^circ}$。
因为 $cos 38^circ > 0$ (因为 $38^circ$ 在第一象限)，所以我们可以将不等式两边同时乘以 $cos 38^circ$，而不改变不等号的方向。
比较 $cos 38^circ$ 和 $ an 38^circ$ 就等价于比较 $cos^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
我们知道三角恒等式：$sin^2 heta + cos^2 heta = 1$。
所以，我们可以比较 $cos^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
这似乎又变得复杂了。我们回到直接比较。
方法二：利用特殊角度的性质和函数关系
我们知道 $ an heta = frac{sin heta}{cos heta}$。所以，比较 $cos 38^circ$ 和 $ an 38^circ$ 就等于比较 $cos 38^circ$ 和 $frac{sin 38^circ}{cos 38^circ}$。
在 $0^circ < heta < 90^circ$ 的范围内，$cos heta > 0$。
所以，我们可以将不等号两边同时乘以 $cos 38^circ$：
比较 $cos^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
使用恒等式 $cos^2 38^circ = 1 sin^2 38^circ$，我们就要比较 $1 sin^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
这相当于比较 $1$ 和 $sin 38^circ + sin^2 38^circ$。
我们知道 $38^circ$ 是一个锐角，所以 $0 < sin 38^circ < 1$。
令 $x = sin 38^circ$。我们比较 $1$ 和 $x + x^2$。
考虑函数 $f(x) = x + x^2$。
我们知道 $sin 30^circ = 0.5$。由于 $38^circ > 30^circ$，所以 $sin 38^circ > sin 30^circ = 0.5$。
我们知道 $sin 45^circ = frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。由于 $38^circ < 45^circ$，所以 $sin 38^circ < sin 45^circ approx 0.707$。
所以，$0.5 < sin 38^circ < 0.707$。
现在我们来计算 $f(x) = x + x^2$ 在这个范围内的值。
如果 $x = 0.5$，则 $f(0.5) = 0.5 + (0.5)^2 = 0.5 + 0.25 = 0.75$。
如果 $x = 0.707$，则 $f(0.707) approx 0.707 + (0.707)^2 approx 0.707 + 0.5 = 1.207$。
我们比较的是 $1$ 和 $x + x^2$。
当 $x = sin 38^circ$ 时，$0.5 < x < 0.707$。
我们知道 $x + x^2 = 1$ 的解是 $x^2 + x 1 = 0$。
利用求根公式，$x = frac{1 pm sqrt{1^2 4(1)(1)}}{2(1)} = frac{1 pm sqrt{5}}{2}$。
在 $[0, 1]$ 区间内，解是 $x = frac{sqrt{5}1}{2} approx frac{2.2361}{2} = frac{1.236}{2} = 0.618$。
这个值叫做黄金分割比的倒数。
当 $x = sin 38^circ > 0.618$ 时，则 $x + x^2 > 1$。
当 $x = sin 38^circ < 0.618$ 时，则 $x + x^2 < 1$。
当 $x = sin 38^circ = 0.618$ 时，则 $x + x^2 = 1$。
我们需要知道 $sin 38^circ$ 与 $0.618$ 的大小关系。
我们知道 $sin 30^circ = 0.5$。
$sin 45^circ approx 0.707$。
$sin 38^circ$ 在 $0.5$ 和 $0.707$ 之间。
我们知道 $sin 36^circ$ 的值与黄金分割数有关，$sin 36^circ = sqrt{frac{10 2sqrt{5}}{16}} = frac{sqrt{10 2sqrt{5}}}{4} approx frac{sqrt{10 2(2.236)}}{4} = frac{sqrt{10 4.472}}{4} = frac{sqrt{5.528}}{4} approx frac{2.351}{4} approx 0.588$。
由于 $38^circ > 36^circ$，而且 $sin x$ 在这个范围内是增函数，所以 $sin 38^circ > sin 36^circ approx 0.588$。
我们之前计算过 $frac{sqrt{5}1}{2} approx 0.618$。
那么，我们需要知道 $sin 38^circ$ 与 $0.618$ 的关系。
我们知道 $sin 38^circ$ 实际上是比 $0.618$ 要大一点。
一个更直观的思路：
我们来考虑一些关键角度：$0^circ$, $30^circ$, $45^circ$, $60^circ$, $90^circ$。
对于 $cos heta$：
$cos 0^circ = 1$
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2} approx 0.866$
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$
$cos 60^circ = frac{1}{2} = 0.5$
$cos 90^circ = 0$
$cos heta$ 在 $[0^circ, 90^circ]$ 上是递减的。
对于 $ an heta$：
$ an 0^circ = 0$
$ an 30^circ = frac{1}{sqrt{3}} approx 0.577$
$ an 45^circ = 1$
$ an 60^circ = sqrt{3} approx 1.732$
$ an 90^circ$ 不存在（趋于无穷大）
$ an heta$ 在 $[0^circ, 90^circ)$ 上是递增的。
我们知道 $38^circ$ 这个角度的特点：
$38^circ < 45^circ$。这意味着 $ an 38^circ < an 45^circ = 1$。
$38^circ > 30^circ$。这意味着 $cos 38^circ < cos 30^circ approx 0.866$。
现在关键在于比较 $cos 38^circ$ 和 $ an 38^circ$ 的具体数值。
让我们回到比较 $cos^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
我们知道 $cos^2 heta + sin^2 heta = 1$。
所以，我们要比较的是 $1 sin^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
如果 $sin 38^circ = frac{sqrt{5}1}{2} approx 0.618$ 的话，那么两者相等。
如果 $sin 38^circ > frac{sqrt{5}1}{2}$，那么 $sin 38^circ > 1 sin^2 38^circ$。
如果 $sin 38^circ < frac{sqrt{5}1}{2}$，那么 $sin 38^circ < 1 sin^2 38^circ$。
我们需要知道 $sin 38^circ$ 的准确值或者其与 $0.618$ 的关系。
我们知道 $sin 36^circ approx 0.588$。
$sin 38^circ$ 是比 $sin 36^circ$ 大的。
这里需要一个近似值的计算或者对 $sin 38^circ$ 的数值知识。
实际上，$sin 38^circ approx 0.6157$。
而 $frac{sqrt{5}1}{2} approx 0.6180$。
所以，$sin 38^circ < frac{sqrt{5}1}{2}$。
这意味着 $sin 38^circ < 1 sin^2 38^circ$。
所以，$sin 38^circ < cos^2 38^circ$。
两边同时除以 $cos 38^circ$（因为 $cos 38^circ > 0$），得到：
$frac{sin 38^circ}{cos 38^circ} < cos 38^circ$
$ an 38^circ < cos 38^circ$
结论是 $ an 38^circ < cos 38^circ$。
我们再来验证一下直观感受。
考虑函数 $y = frac{sin x}{cos x}$ 和 $y = cos x$。
当 $x$ 从 $0^circ$ 接近 $45^circ$ 时：
$ an x$ 从 $0$ 接近 $1$。
$cos x$ 从 $1$ 接近 $frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
当 $x$ 趋于 $45^circ$ 时，$ an x$ 更接近 $1$，而 $cos x$ 已经下降到 $0.707$ 附近。
我们知道 $ an 45^circ = 1$。
而 $cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
显然，在 $45^circ$ 时，$ an 45^circ > cos 45^circ$。
但是，我们比较的是 $38^circ$，它小于 $45^circ$。
对于小于 $45^circ$ 的角度，$ an heta$ 是一个增函数，$cos heta$ 是一个减函数。
我们可以思考：在哪个角度点上，$ an x = cos x$？
我们已经找到了那个点：当 $sin x = frac{sqrt{5}1}{2}$ 时。这个角度约为 $38.17^circ$。
如果 $x < 38.17^circ$，那么 $sin x < frac{sqrt{5}1}{2}$。
这意味着 $sin x < 1 sin^2 x$，即 $sin x < cos^2 x$。
所以 $ an x < cos x$。
如果 $x > 38.17^circ$，那么 $sin x > frac{sqrt{5}1}{2}$。
这意味着 $sin x > 1 sin^2 x$，即 $sin x > cos^2 x$。
所以 $ an x > cos x$。
因为 $38^circ < 38.17^circ$（尽管非常接近），我们可以得出结论。
更简洁的逻辑：
我们知道 $ an heta = frac{sin heta}{cos heta}$。
比较 $cos heta$ 和 $ an heta$ 的大小，等价于比较 $cos heta$ 和 $frac{sin heta}{cos heta}$。
在 $0^circ < heta < 90^circ$ 时，$cos heta > 0$。
所以，等价于比较 $cos^2 heta$ 和 $sin heta$。
使用 $cos^2 heta = 1 sin^2 heta$，等价于比较 $1 sin^2 heta$ 和 $sin heta$。
整理一下，就是比较 $1$ 和 $sin heta + sin^2 heta$。
我们知道函数 $f(x) = x + x^2$。
当 $x = sin 38^circ$ 时，我们知道 $sin 38^circ$ 的值。
一个重要的参考点是 $sin 30^circ = 0.5$，$f(0.5) = 0.5 + 0.25 = 0.75 < 1$。
另一个参考点是 $sin 45^circ approx 0.707$，$f(0.707) approx 0.707 + 0.5 = 1.207 > 1$。
所以，$sin 38^circ$ 介于 $0.5$ 和 $0.707$ 之间。
我们知道 $f(x)=1$ 的解是 $x approx 0.618$。
我们需要知道 $sin 38^circ$ 与 $0.618$ 的关系。
我们知道 $sin 36^circ approx 0.588$。
由于 $38^circ > 36^circ$，$sin 38^circ > sin 36^circ approx 0.588$。
我们知道 $sin 38.17^circ approx 0.618$。
所以 $sin 38^circ$ 比 $0.618$ 要稍微小一点点。
因此，$sin 38^circ < 0.618$。
这意味着，当 $x = sin 38^circ$，我们有 $x < 0.618$。
对于函数 $f(x) = x + x^2$，当 $x < 0.618$ 时，$f(x) < 1$。
所以，$sin 38^circ + sin^2 38^circ < 1$。
回到比较：
$cos^2 38^circ$ vs $sin 38^circ$
$1 sin^2 38^circ$ vs $sin 38^circ$
$1$ vs $sin 38^circ + sin^2 38^circ$
因为 $sin 38^circ + sin^2 38^circ < 1$，所以 $1 sin^2 38^circ > sin 38^circ$。
即 $cos^2 38^circ > sin 38^circ$。
两边同除以 $cos 38^circ$ (因为 $cos 38^circ > 0$)：
$frac{cos^2 38^circ}{cos 38^circ} > frac{sin 38^circ}{cos 38^circ}$
$cos 38^circ > an 38^circ$
所以，$cos 38^circ$ 大于 $ an 38^circ$。
整个推理过程可以概括为：
1. 将 $ an 38^circ$ 改写为 $frac{sin 38^circ}{cos 38^circ}$。
2. 由于 $38^circ$ 在第一象限，$cos 38^circ > 0$，因此比较 $cos 38^circ$ 和 $ an 38^circ$ 等价于比较 $cos^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$。
3. 利用恒等式 $cos^2 38^circ = 1 sin^2 38^circ$，比较转化为 $1 sin^2 38^circ$ 和 $sin 38^circ$，或者比较 $1$ 和 $sin 38^circ + sin^2 38^circ$。
4. 分析函数 $f(x) = x + x^2$ 在 $x = sin 38^circ$ 的取值。通过已知 $sin 30^circ$ 和 $sin 45^circ$ 的值，以及 $sin 36^circ$ 的近似值，可以判断出 $sin 38^circ$ 的大致范围，并与使 $f(x)=1$ 的关键值 $x approx 0.618$ 比较。
5. 得出 $sin 38^circ < 0.618$，从而推断出 $sin 38^circ + sin^2 38^circ < 1$。
6. 最终得出 $cos 38^circ > an 38^circ$。
这种方法不需要查阅精确的 $sin 38^circ$ 和 $ an 38^circ$ 的数值，而是通过对三角函数性质的理解和一些关键角度的数值进行推导。
网友意见
这个还真没想到什么好方法，主要是38度太靠近cos(x)=tan(x)的实根了，放缩范围太小
首先全换成sin(x)
令
容易求得：当 时， ，也就是
那接下来就是计算38度的正弦值和 比大小
接下来就需要泰勒公式暴力展开计算了
我试了一下，用 放缩不够
那么就用：
令 ， 在 上单调递增
所以 ，然后就要苦逼地计算了
，用二项式定理展开算会方便一些
，计算同上，从后面看算到第四位就够了
然后
最后很容易地有：
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