数学学习或研究中，你见过哪些有意思的反例？
简单来说，拓扑排序就是给图中的节点排一个序列，使得对于图中任意一条有向边从节点 A 指向节点 B，节点 A 在序列中的位置一定在节点 B 的前面。就好比安排一系列课程，如果某门课（A）是另一门课（B）的先修课，那么在课程安排上，A 就必须在 B 之前。DAG 之所以重要，是因为它保证了不会出现循环依赖，比如 A 是 B 的先修课，B 是 C 的先修课，C 又是 A 的先修课，这样下去永远也排不出一个合理的学习顺序。
我们研究的某个具体问题是：如果我们有一个 DAG，并且我们知道图中 一些 节点对之间的“相对顺序”（比如我们知道节点 X 必须在节点 Y 之前），那么我们能否仅凭这些已知的相对顺序信息，就确定图中 所有 节点之间的相对顺序，也就是能否唯一地确定一个拓扑排序？
直觉上我们可能会觉得，知道的“相对顺序”越多，就越容易唯一确定整个序列。所以，我们尝试构造一个反例来证明这种直觉是错误的。我们希望找到一个 DAG，即使我们给定了大量的节点对之间的相对顺序信息，但仍然存在不止一种可能的拓扑排序。
我们开始尝试构造一个简单的 DAG。最简单的 DAG 就是一个链（path），比如 A > B > C。在这种情况下，唯一的拓扑排序就是 A, B, C。如果我们额外知道 A 必须在 B 之前，这并没有增加新的信息，因为 A>B 这条边已经隐含了这个信息。
为了制造不确定性，我们需要让图的结构更复杂一些，允许有多个节点可以紧接着另一个节点出现。我记得我当时想到的第一个反例是这样的：
考虑一个有四个节点的图：A, B, C, D。
边是：
A > B
A > C
B > D
C > D
这个图是一个典型的“Diamond”形状。它的拓扑排序有哪些呢？
我们可以先列出 A，然后是 B 或者 C，最后是 D。
所以可能的拓扑排序有：
1. A, B, C, D
2. A, C, B, D
可以看到，即使有了这两条边 (A>B, A>C) 和这两条边 (B>D, C>D)，图仍然有两个可能的拓扑排序。这还不算反例，因为我们还在尝试，只是想看看怎么构造。
后来，我们希望找到一个反例，即使我们 明确地 给出了很多“相对顺序”的约束，但仍然有两个不同的拓扑排序。我们把这些约束看作是“额外的”信息，不是直接来自图的边。
比如，我们有上面那个 Diamond 图。我们知道 A>B, A>C, B>D, C>D。
现在，我们故意再增加一些“已知相对顺序”的约束。
如果我们说：“我们知道 B 必须在 C 之前”，那么我们给定的约束就是：
A > B
A > C
B > D
C > D
以及，B 在 C 之前。
在这种情况下，如果我们加入了“B 在 C 之前”这个约束，那么就只有一个拓扑排序了：A, B, C, D。因为 A 必须最先，然后 B 必须在 C 之前，最后 D 是最后一个。
那么，如何才能让即使给了很多约束，仍然有两个拓扑排序呢？
关键在于，这些额外的约束并不能完全“锁死”某两个节点的相对顺序。
我记得我们讨论了一个更精巧的例子。假设我们有以下五个节点：S1, S2, S3, M1, M2。
图的边是：
S1 > M1
S2 > M1
S1 > M2
S2 > M2
这是一个非常对称的结构。M1 和 M2 的共同前驱是 S1 和 S2。
这个图有多少个拓扑排序呢？
我们可以先放 S1 和 S2。S1 和 S2 之间没有相对顺序要求，所以可以有 S1, S2 或者 S2, S1。
然后放 M1 和 M2。M1 和 M2 之间也没有相对顺序要求，它们只依赖于 S1 和 S2。
所以，可能的拓扑排序有：
1. S1, S2, M1, M2
2. S1, S2, M2, M1
3. S2, S1, M1, M2
4. S2, S1, M2, M1
这里有四种可能的拓扑排序！
现在，我们来给它加上一些“额外的相对顺序约束”。
如果我们加上“S1 必须在 S2 之前”，那么我们排除了第 3 和第 4 种情况，只剩下：
1. S1, S2, M1, M2
2. S1, S2, M2, M1
这仍然有两种拓扑排序。
如果我们再进一步，加上“M1 必须在 M2 之前”，那么结合 S1 在 S2 之前这个约束，我们得到：
S1, S2, M1, M2
这就唯一确定了拓扑排序。
所以，我们的目标是构造一个 DAG，即使我们 明确地 给出了很多节点对的相对顺序，但 仍然存在两个不同的拓扑排序。这说明，有时候即使我们知道很多“谁在谁前面”的信息，也无法完全确定所有节点的排列顺序。
关键在于，构造的 DAG 要有“不确定性”的结构，并且我们给定的约束不能消除这种不确定性。
我当时印象深刻的一个反例（虽然可能不是最简洁的）是基于这样一个想法：如果存在两个节点 A 和 B，它们之间没有直接或间接的路径，并且它们各自都有多个可以紧随其后的节点，那么就可能产生不确定性。
让我们回到那个 Diamond 图：A > B, A > C, B > D, C > D。
我们知道它有两个拓扑排序：A, B, C, D 和 A, C, B, D。
现在，假设我们想要证明，即使我们明确地告诉我们“B 在 C 之前”，但如果图的结构本身允许其他可能性，我们仍然可能无法唯一确定。
但这似乎和我们上面的例子矛盾。如果我们知道 B 在 C 之前，Diamond 图就只剩一种排序了。
问题可能出在，我们给定的“相对顺序”信息，跟图的边本身有没有关联。如果我们给定的约束，其实是图的边隐含的信息，那么它就“没用”。
反例的核心在于，存在一个 DAG，并且存在 两个 不同的拓扑排序 T1 和 T2，但是当我们选择一个 子集 的节点对 (u, v) 并要求 u 在 v 之前时，这个子集 仍然允许 T1 和 T2 这两种排序都成立。也就是说，在 T1 和 T2 中，所有我们选择的约束都被满足了。
一个经典的构造方式是引入“等价类”的概念。如果有两个节点 X 和 Y，它们在所有可能的拓扑排序中，总是紧挨着出现，并且它们的相对顺序总是固定的（比如 X 总是出现在 Y 之前），那么它们就很难制造不确定性。但如果 X 和 Y 之间没有固定的相对顺序，并且它们可以跟图中的其他节点进行“交叉排列”，那么就有可能产生反例。
思考一下这个结构：
节点：1, 2, 3, 4, 5, 6
边：
1 > 3
1 > 4
2 > 3
2 > 4
3 > 5
3 > 6
4 > 5
4 > 6
这个图看起来有点像两个 Diamond 图的“上下叠加”，并且中间有连接。
可能的拓扑排序是什么呢？
我们可以先放 1 和 2。它们之间没有相对顺序。
然后是 3 和 4。它们依赖于 1 和 2。
最后是 5 和 6。它们依赖于 3 和 4。
让我们尝试列举一些：
(1, 2) 之间可以互换。
(3, 4) 之间可以互换（一旦 1 和 2 确定了顺序）。
(5, 6) 之间可以互换（一旦 3 和 4 确定了顺序）。
假设我们给定了“1 在 2 之前”。
那么我们有：1, 2, ...
接下来放 3 和 4。3 和 4 都可以跟着 1 或 2。
3 必须在 5 和 6 之前。4 必须在 5 和 6 之前。
3 必须在 5, 6 之前。4 必须在 5, 6 之前。
让我们考虑给定的约束是：
1. 1 在 3 之前 (边 1>3 已经有了)
2. 1 在 4 之前 (边 1>4 已经有了)
3. 2 在 3 之前 (边 2>3 已经有了)
4. 2 在 4 之前 (边 2>4 已经有了)
5. 3 在 5 之前 (边 3>5 已经有了)
6. 3 在 6 之前 (边 3>6 已经有了)
7. 4 在 5 之前 (边 4>5 已经有了)
8. 4 在 6 之前 (边 4>6 已经有了)
这些都是图的边直接给出的信息。
让我们尝试 额外 添加一些约束：
假设我们额外添加一个约束： 3 在 4 之前。
那么，我们尝试构造拓扑排序：
我们必须先放 1 和 2。由于我们不知道 1 和 2 的相对顺序，我们先不管它们。
但我们知道 3 必须在 4 之前。
所以，我们可能会尝试这样的排序：
可能性一：
先放 1, 2 (顺序不重要，先假设 1, 2)
然后是 3 (它依赖于 1, 2)，接着是 4 (它也依赖于 1, 2，并且在 3 之后)
最后是 5, 6 (它们依赖于 3, 4)
一个可能的拓扑排序就是： 1, 2, 3, 4, 5, 6
这条序列是否满足所有约束？
1>3, 1>4, 2>3, 2>4, 3>5, 3>6, 4>5, 4>6。都满足。
而且我们额外加的“3 在 4 之前”也满足。
现在，我们还能不能找到另一个拓扑排序，同样满足所有约束（包括“3 在 4 之前”）？
考虑另一种情况：
先放 2, 1 (交换 1 和 2 的位置)
然后是 3 (它依赖于 1, 2)
然后是 4 (它依赖于 1, 2，并且在 3 之后)
最后是 5, 6 (它们依赖于 3, 4)
一个可能的拓扑排序就是： 2, 1, 3, 4, 5, 6
这条序列是否满足所有约束？
2>3, 2>4, 1>3, 1>4, 3>5, 3>6, 4>5, 4>6。都满足。
额外加的“3 在 4 之前”也满足。
但是，在这个例子中，我们给定的 额外 约束是“3 在 4 之前”。
序列 1, 2, 3, 4, 5, 6 满足这个约束。
序列 2, 1, 3, 4, 5, 6 也满足这个约束。
这还没完。
让我们换个思路，不只考虑“3 在 4 之前”，而是考虑“4 在 3 之前”。
如果我们的额外约束是： 4 在 3 之前。
那么，我们尝试构造拓扑排序：
可能性二：
先放 1, 2 (顺序不重要，先假设 1, 2)
然后是 4 (它依赖于 1, 2，并且现在要求在 3 之前)
接着是 3 (它依赖于 1, 2，并且在 4 之后)
最后是 5, 6
一个可能的拓扑排序就是： 1, 2, 4, 3, 5, 6
这条序列是否满足所有约束？
1>3, 1>4, 2>3, 2>4, 3>5, 3>6, 4>5, 4>6。都满足。
并且我们额外加的“4 在 3 之前”也满足。
现在，我们还能不能找到另一个拓扑排序，同样满足所有约束（包括“4 在 3 之前”）？
考虑另一种情况：
先放 2, 1 (交换 1 和 2 的位置)
然后是 4 (它依赖于 1, 2，并且在 3 之前)
接着是 3 (它依赖于 1, 2，并且在 4 之后)
最后是 5, 6
一个可能的拓扑排序就是： 2, 1, 4, 3, 5, 6
这条序列是否满足所有约束？
2>3, 2>4, 1>3, 1>4, 3>5, 3>6, 4>5, 4>6。都满足。
额外加的“4 在 3 之前”也满足。
所以，这里的反例在于：我们有一个图，以及一系列我们“强制要求”的节点对的相对顺序。关键在于，我们选取的这些强制要求，虽然是图的边所支持的，但它们并没有“锁死”所有节点的顺序。
我们构造的这个图（上面那个16的图）就是这样的：
节点 {1, 2} 形成一个“前端”，它们是完全对称的，没有先后顺序。
节点 {3, 4} 形成一个“中间层”，它们都依赖于 {1, 2}，并且各自都指向 {5, 6}。关键是 3 和 4 之间没有边的连接。
节点 {5, 6} 形成一个“后端”，它们都依赖于 {3, 4}，并且它们之间也没有边的连接。
如果我们给定的约束是“1 在 2 之前”和“3 在 4 之前”，我们可能会得到很多种排序。
例如：
1, 2, 3, 4, 5, 6
1, 2, 3, 4, 6, 5
2, 1, 3, 4, 5, 6
2, 1, 3, 4, 6, 5
但问题不是在于有多少个排序。问题在于，我们希望构造一个情况，即使我们给定了 足够多 的节点对的相对顺序（而且这些顺序都是图所允许的），但仍然存在 至少两个不同的拓扑排序。
一个更清晰的反例是关于“凸图”（convex graph）的概念。简单说，一个图的“凸图”是指一个连通图 G 的所有顶点可以被分成若干个集合 V1, V2, ..., Vk，使得在任意一个拓扑排序中，属于 Vi 的所有顶点都必须排在属于 Vi+1 的所有顶点之前。对于 DAG 来说，如果图的“割集”足够小，或者说有某种程度的“解耦”，就可能出现反例。
让我再想想更直观的反例。
一个很经典的例子是关于“二分图”（bipartite graph）在特定条件下的性质。但那不直接是拓扑排序的问题。
我们回到拓扑排序。关键在于找到一个 DAG，使得它的两个不同拓扑排序 T1 和 T2，在所有我们选择的 特定节点对的相对顺序 的集合上，都是兼容的。
设想一个 DAG G。
存在两个不同的拓扑排序 T1 和 T2。
我们选择一个约束集合 C，其中 C 是所有节点对 (u, v) 的集合，使得在 T1 中 u 在 v 之前。
如果 T2 也满足 C 中的所有约束，那么 G 和约束集合 C 就是一个反例。
怎么构造这种图呢？
关键在于，存在一些节点，它们之间没有明确的“依赖关系”，可以被灵活地插入到序列中。
考虑一个简单的例子：
节点：A, B, C, D
边：
A > C
A > D
B > C
B > D
这是我们之前那个 Diamond 图的变种，只是把 B 放在了 A 的前面，但 B 和 A 之间没有边。
这个图的拓扑排序有哪些呢？
A 和 B 的相对顺序不确定。C 和 D 的相对顺序也不确定（它们都依赖于 A 和 B）。
可能的拓扑排序有：
1. A, B, C, D
2. A, B, D, C
3. B, A, C, D
4. B, A, D, C
现在，我们加入一些“强制”的相对顺序。
如果我们强制要求：A 在 C 之前。
情况 1 (A, B, C, D) 满足。
情况 2 (A, B, D, C) 满足。
情况 3 (B, A, C, D) 满足。
情况 4 (B, A, D, C) 满足。
这条约束并没有减少任何可能的拓扑排序。
如果我们强制要求：C 在 D 之前。
情况 1 (A, B, C, D) 满足。
情况 3 (B, A, C, D) 满足。
情况 2 (A, B, D, C) 不满足。
情况 4 (B, A, D, C) 不满足。
这只剩下了两种排序。
要构造反例，我们需要找到一个 DAG，以及一组（不违反图本身的）相对顺序约束，使得即使满足了这些约束，仍然存在两个不同的拓扑排序。
我记得我看过一个关于“线性扩展”（linear extension）的讨论。在偏序集（partial order）理论中，一个拓扑排序就是偏序集的一个线性扩展。反例的存在意味着，给定的偏序集（由 DAG 的边定义）不足以唯一确定其某个属性。
假设我们有以下三个节点：X, Y, Z。
偏序关系：X < Y，Y < Z。
唯一的拓扑排序是 X, Y, Z。
现在，如果我们有 X < Y 且 X < Z，但 Y 和 Z 之间没有关系。
拓扑排序可能是 X, Y, Z 或者 X, Z, Y。
如果我们给定的约束是“X 在 Y 之前”，这并没有帮助。
如果我们给定的约束是“X 在 Z 之前”，这也没有帮助。
如果我们的约束是“Y 在 Z 之前”，那么就只剩 X, Y, Z。
如果我们给定的约束是“Z 在 Y 之前”，那么就只剩 X, Z, Y。
反例的关键在于，选择的约束 不能 锁定 Y 和 Z 的相对顺序。
那么，如果图是这样的：
节点：S1, S2, M1, M2
边：
S1 > M1
S2 > M1
S1 > M2
S2 > M2
我们之前列出了四种拓扑排序。
现在，我们给出以下约束：
1. S1 在 M1 之前。
2. S1 在 M2 之前。
3. S2 在 M1 之前。
4. S2 在 M2 之前。
这些约束都是图的边隐含的。
如果我们在这些约束的基础上，再额外添加 一个约束，比如：
M1 在 M2 之前。
那么，我们只有两种可能的拓扑排序了：
1. S1, S2, M1, M2 (满足所有约束)
2. S2, S1, M1, M2 (满足所有约束)
这仍然是有两个拓扑排序！
这个例子就很好了说明了反例的核心思想：即使我们知道了一些节点对的相对顺序，并且这些顺序是图结构所允许的，但仍然不能保证唯一确定整个序列。
这个例子有趣的地方在于：
对称性： S1 和 S2 对 M1 和 M2 的影响是完全对称的。
缺乏“连接”： S1 和 S2 之间没有关系，M1 和 M2 之间也没有关系。
如果我们再稍微修改一下，让 S1 和 S2 之间也产生一些联系，比如：
节点：S1, S2, S3, M1, M2, M3
边：
S1 > M1
S2 > M1
S1 > M2
S2 > M2
S1 > M3
S2 > M3
S3 > M1
S3 > M2
S3 > M3
这会变得非常复杂。
我记忆中，那种有意思的反例往往结构比较简洁，但其背后的原理却能揭示一些非直观的数学性质。那个 S1, S2, M1, M2 的例子，虽然简单，却有效地展示了“即使信息足够多，也可能不足以达到唯一性”的局面。我们给了很多“谁必须在谁前面”的指示，但由于 S1 和 S2 可以自由交换位置，而 M1 和 M2 也可以自由交换位置（只要它们在 S1/S2 之后），所以整体上就产生了多种可能性。
当我第一次看到这个例子的时候，我感觉“哇，原来事情不是我想象的那么简单”。它迫使我重新审视“信息足够多”和“唯一确定”之间的关系，在数学研究中，这种“啊哈！”的时刻，往往伴随着对一个看似直观的问题更深入的理解。
网友意见
正好我这里有个你绝对没在书上看到过的神奇反例, 记录了这个故事的书还没出版呢.
2014 年约翰·康威提出了一个有趣的猜想:
任意一个数, 作因式分解, 把次幂放下来, 如此循环, 一定能得到一个素数!
你要不知道康威是谁就有点 out 了.
发明了生命游戏, 发明了用来表示大数康威链式箭号表示法，发明了用来研究纽结理论的康威多项式, 还有 4m+2型幻方的康威构造, 提出康威外观数列, 诸如此类的就是他
趣味数学大师 John Horton Conway.
这个问题是有奖金的, 康威会给解决这个问题的人 $1000 的奖励
当然数学问题一向是钱表心意, 荣誉才是大头, 早在16世纪便是如此
这个迭代有时候会增大到非常大才终止, 而且数列也不是单调递增的.
作为一个程序员, 你肯定会马上写个程序跑一遍.
next = ToExpression @ StringRiffle [ DeleteCases [ Flatten @ FactorInteger [ # ], 1 ], "" ] & ; factor [ digit_ ] := If [ PrimeQ @ digit , Style [ ToString [ digit ] <> " is a prime!" , Blue ], digit == CenterDot @@ Apply [ Superscript , FactorInteger [ digit ] /. { 1 -> "" }, { 1 }] ] First /@ Select [ test , Length @ # == 25 & ] factor /@ NestWhileList [ next , 124 , ! PrimeQ [ # ] & , 1 , 36 - 1 ] // TableForm 你很快就会找到一些可能的反例, 比如 20 105 225 299 之类的
康威当然不是不懂计算机, 他的本意就是让你证明或者证否:
这些数字到底是需要的迭代次数实在太长还是真的不会终止.
这个问题非常的困难, 远超计算机所能验算的范围.
判定素数不难, 但是因式分解就极端的困难了.
因式分解虽说不是数值大的一定难, 但总体上还是正相关的
一般70次迭代以后所有的因式分解算法都趴下了, 接下来都看脸
6489需要 84 次迭代,3305 需要 89 次迭代, 1099需要92次迭代
有些没有收敛的还卡在六十多次迭代的因式分解上
我们来比较下其他的验证项目
196 回文数猜想已经进行了大约两亿四千六百万次迭代
3x+1数字黑洞已经验证了 11 2589 9906 8426 2400 以下的所有数字
相比之下位数不过上百, 迭代次数不过几十次的康威猜想现在下推断也太可笑了
Conway 今年已经 80 多岁了, 他也不指望自己提出的问题有生之年能有眉目
是有眉目...不是被解决
数字黑洞, 当今没有任何的数学理论能有效地处理这类问题.
But wait.........还有一种可能性...
还有一种永不终结的迭代方式: 那就是陷入循环
反例就这样突兀的到来了
一位叫 James Davis 的小伙子发现了这个:
我还能说什么呢, 这反例简直有毒....
这个问题的主要进展记录在 A195264 - OEIS, 除此之外的其他循环点是否存在还是个谜
OEIS 上有很多悬而未决的问题, 那是远离数学主流的孤岛, 没事干看看里面的评论, 总能发现许多神奇的故事.
这个函数非常奇怪，全数域连续、可导、甚至是光滑。
但是，但是在零点处泰勒展开，结果是：
f(x)=0+0x+0x^2+0x^3+…
简而言之就是不能泰勒展开，用于说明：
全数域有定义且不发散的光滑函数不一定可以泰勒展开。（即泰勒展开半径可以为0）
刚学到多元微分学，再更新一个
即便多元函数在某点的任意方向的方向导数存在，函数在该点依旧可能不连续。
有例：
， ，在点 处，其方向导数为
故其在 处任意方向的方向导数均存在。然而易知 极限不存在。
开学了, 更新一个.
对于在 上二阶可导的函数 , 即使 存在且有限, 也不能推出 (趋于负无穷亦然).
有反例 , 其导函数为 , 不存在.
感谢评论区补充，这个例子如果再加上
这个条件，那么就得到 的一个充分条件。我自己写了一个证明如下：
若 ，则 于 上为一常数，从而结论是显然的。
因此不妨 。
首先记 。
若 极限存在且有限，易知必有 成立。（否则由拉格朗日中值定理，容易导出 不存在）
若 极限不存在或极限趋于正（或负）无穷，我们证这是不可能的。我们依是否存在 ，使得 在 上有界，进行分类讨论：
若 在任意 上无界，不妨设
（即不妨设 无上界）
故必存在数列
由数列极限定义， 。
现取定一个 ，从而也得到一个固定的 。
注意到 ，从而
对于 ，由极限的定义，
，从而 。
然而对于任意的 ，虽然 ，但是
这与 的定义相矛盾。
若存在 ，使得 在 上有界，记 。由假设， 极限不存在，而因为有界，故必存在两个数列 ，有 ，且
。
二者中至少有一个不等于零，不妨设该不等于零的数大于零，从而不妨 。
由极限定义，易知
。
记 ，余下证明与 无界的情形的后半部分并无二致。
后记：这一结论有一个等价的变形，即将补充的条件改为
，依旧能得到 。事实上，由 极限存在且有限结合该条件，便可以推得原来的条件，即 充分大时 有界。这里不再展开。（提示：推 有界。）
对于一个函数 , 即使 ,都有 ,
也不一定有 .
事实上, 即便 是连续的, 也得不到 的结论; 只有 当 是一致连续的时候才能推出 .
有连续的反例 ,
虽然对于
有, 当 时, ;
当 时, .
从而 成立.
但是对于数列 ,有
,
因此 .
我来给 @sammy711 的答案做一个简洁的证明。
原答案给出的式子是这样的：
为了证明简洁，我把被积函数中所有的 换成 ，这相当于把函数在水平方向上缩小了到原来的 ，故积分值也缩小到原来的 。再把积分下限换成 ，由于被积函数均为偶函数，所以积分值翻倍。记 ，则这一系列式子就变成了：
看到满眼的 函数，自然想到了大杀器 —— 傅里叶变换！
采用如下的傅里叶变换定义：
则
所以式子的左边就是 函数连乘后，其傅里叶变换在 0 处的值。
而连乘的傅里叶变换，等于傅里叶变换的卷积。
的傅里叶变换为 ，这是一个关于纵轴对称、宽度为 、高度为 的矩形脉冲。
最后一式的左边，就是要计算下面这 8 个矩形脉冲的卷积在 0 处的值：
我们把最矮、最胖的那个矩形脉冲 先放在一边，先算剩下那 7 个矩形脉冲的卷积。
这些脉冲的面积都是 1；它们及它们卷积的中间结果，宽度都是有限的。
卷积有如下的两个性质（证明留给读者）：
- 两个宽度有限信号的卷积，结果宽度也有限，且等于两个信号的宽度之和；
- 两个信号的卷积结果的面积，等于两个信号各自面积之积。
7 个脉冲的卷积结果（称之为 吧）大概长这样：
虽然从图上看起来不明显，但 的宽度 ，而面积等于 1。
最后，要把 与 再卷积，并取 0 点处的值。这相当于求 在区间 上的积分。
很不幸， 有一小部分伸到了区间 之外，所以积分结果就略小于 1 了。
具体小了多少，计算起来会很麻烦，就略了。
如果排除掉 ，那么 的宽度 就会小于 1，完全处于区间 之内，最终结果就等于 1 了。
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