为什么不存在收敛速度最慢的级数？
咱们今天聊个挺有意思的话题：为什么不存在收敛速度最慢的级数？听着有点绕，是不是？但实际上，这背后藏着一些关于无穷和数列性质的深刻道理。你想啊，如果真有一个“收敛速度最慢”的级数，那岂不是说，无论我们怎么改进我们描述级数收敛快慢的方法，总有一个级数能让我们“望尘莫及”？这显然不符合数学逻辑，因为数学追求的是清晰、有序和普适性。
要理解这一点，我们得先搞清楚几个核心概念：
1. 什么是级数？什么是收敛？
级数，简单来说，就是一串数加在一起，比如 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...。我们关心的是这个“加到无穷尽”的和到底是个什么数。如果这个和是个确定的有限的数，我们就说这个级数是收敛的。反之，如果这个和变得越来越大（或者越来越小，或者根本就没有一个确定的值），我们就说它发散。
2. 什么是收敛速度？
当一个级数收敛时，意味着它后面的项越来越小，加到最后对总和的贡献也越来越微乎其微。而“收敛速度”就是衡量这个“越来越微乎其微”的过程有多快。收敛得快的级数，即使只取前面一部分项，就已经非常接近最终的和了。收敛得慢的，则需要取更多项才能得到一个比较精确的结果。
想象一下，你挖隧道，收敛速度快就像是用推土机，很快就能打通；收敛速度慢就像是用小铲子，得一点一点地挖。
我们通常用什么来衡量收敛速度？
有很多工具和方法可以衡量，其中最常见的一种是看余项。级数的前 $N$ 项和是 $S_N$，而级数的最终和是 $S$。那么，$R_N = S S_N$ 就是余项，它代表了从第 $N+1$ 项开始往后的所有项的和。余项越小，说明我们已经越接近真实的和了。
所以，如果级数 A 的余项 $R_N^A$ 比级数 B 的余项 $R_N^B$ 下降得更快（也就是说，$R_N^A$ 比 $R_N^B$ 更快地趋近于零），我们就说级数 A 比级数 B 收敛得快。
那么，为什么不存在收敛速度最慢的级数呢？
这里有两个关键点，它们从根本上“阻止”了最慢收敛速度的存在：
一、 存在“相对性”的度量方式：比较无穷
数学上的“慢”和“快”往往是相对的。对于级数的收敛速度，我们常常是通过比较两个级数的余项来判断的。比如，我们说级数 $a_n$ 比级数 $b_n$ 收敛得慢，通常是因为当 $N$ 很大时，$lim_{N o infty} frac{R_N^a}{R_N^b} = infty$。这意味着 $R_N^a$ 比 $R_N^b$ 消逝得“更慢”。
但是，我们总能找到一个“比它更慢”的级数。为什么呢？
假设我们真的存在一个收敛速度最慢的级数，我们称之为“最慢级数”，它的余项是 $R_N^{ ext{slowest}}$。那么，我们可以构造一个新的级数，它的余项 $R_N'$ 是这样定义的：
$R_N' = frac{R_N^{ ext{slowest}}}{log N}$
注意，这里我们用了 $log N$。当 $N$ 趋向于无穷大时，$log N$ 也会趋向于无穷大，但是它趋向于无穷大的速度是相当慢的。
现在我们来比较一下这个新级数和“最慢级数”的收敛速度：
$lim_{N o infty} frac{R_N'}{R_N^{ ext{slowest}}} = lim_{N o infty} frac{R_N^{ ext{slowest}} / log N}{R_N^{ ext{slowest}}} = lim_{N o infty} frac{1}{log N} = 0$
根据我们之前说的比较方法，这说明新级数的余项 $R_N'$ 比“最慢级数”的余项 $R_N^{ ext{slowest}}$ 下降得更快！
这就产生了一个矛盾：如果我们认为存在一个收敛速度最慢的级数，我们总能通过这种“除以一个增长缓慢的函数”的方法，构造出一个收敛得“更快”的级数。这就意味着我们最初假设的“最慢级数”并不是最慢的。这个逻辑链条可以无限地进行下去，所以根本就不存在一个绝对意义上的“收敛速度最慢”的级数。
你可以理解为，你总能找到一条“更慢的直线”在图上表示出来，但你永远找不到那条“绝对最慢”的下降曲线。
二、 存在无限多的“慢”的等级：数学工具的局限性
上面提到的 $log N$ 只是一个例子。实际上，我们可以构造出各种各样比它增长得更慢，但仍然趋向于无穷的函数。比如，我们可以使用迭代对数函数（如 $log(log N)$，$log(log(log N))$ ），或者更慢增长的函数族。
对于任何一个我们认为“足够慢”的级数，我们都可以通过除以一个比它增长得更慢但依然趋向于无穷的函数来构造一个更慢的级数（相对而言）。例如，如果 $f(N)$ 是一个趋向于无穷的函数，那么级数 $a_n$ 的余项 $R_N$ 如果比 $1/f(N)$ 更慢地趋向于零，那么 $R_N cdot f(N)$ 就可以被看作是“更慢”的收敛度量。
更进一步地说，数学家们已经证明了存在一个关于级数收敛速度的“层次结构”。对于任何一个收敛级数，我们都可以找到一个比它收敛得“更慢”的级数。这个过程是无休止的。
打个比方，就像你在数一个无限长的列表，你总能找到一个比你当前指的数字“更大”的数字。收敛速度也类似，你总能找到一个比当前“最慢”的收敛速度还要慢的收敛速度。
那么，级数本身是如何构造的呢？
我们构造“更慢”的级数，通常是从已知的“慢”级数出发，然后通过调整其项来达到目的。比如，我们知道调和级数 $sum frac{1}{n}$ 是发散的。我们可以构造一个收敛级数，但它的收敛速度非常非常慢。一个经典的例子是：
$sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n (log n)^p}$
当 $p > 1$ 时，这个级数是收敛的。但是，随着 $p$ 的值越来越接近 1，级数收敛的速度就越来越慢。我们可以选取一个非常小的 $p$ 值（比如 $p=1.0000001$），得到的级数收敛得就极其缓慢。
如果我们想构造一个比这个更慢的级数呢？我们可以考虑 $sum_{n=3}^{infty} frac{1}{n log n (log(log n))^p}$，其中 $p > 1$。这个级数会比前一个收敛得更慢。
通过这种方式，我们能够持续地构造出收敛速度更慢的级数。
总结一下：
不存在收敛速度最慢的级数，主要原因在于：
1. 度量的相对性与可构造性： 我们衡量收敛速度的方式（如比较余项的衰减率）允许我们通过除以一个增长缓慢的函数，来构造一个相对“更快”的级数。这就排除了任何一个级数能够“绝对最慢”的可能性。
2. 收敛速度的层级结构： 数学上存在着一个无限的“收敛速度慢”的层级。对于我们能想象到的任何一个收敛速度，我们总能找到一个比它更慢的收敛速度。
所以，当你听到“收敛速度最慢的级数”这个说法时，可以理解为这是一个数学上不可能存在的概念。数学总是留有余地的，总有“更慢”的空间等待探索。这种“没有最慢”的特性，恰恰体现了数学的丰富性和无穷的可能性。
要理解这一点，我们得先搞清楚几个核心概念：
1. 什么是级数？什么是收敛？
级数，简单来说，就是一串数加在一起，比如 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...。我们关心的是这个“加到无穷尽”的和到底是个什么数。如果这个和是个确定的有限的数，我们就说这个级数是收敛的。反之，如果这个和变得越来越大（或者越来越小，或者根本就没有一个确定的值），我们就说它发散。
2. 什么是收敛速度？
当一个级数收敛时，意味着它后面的项越来越小，加到最后对总和的贡献也越来越微乎其微。而“收敛速度”就是衡量这个“越来越微乎其微”的过程有多快。收敛得快的级数，即使只取前面一部分项，就已经非常接近最终的和了。收敛得慢的，则需要取更多项才能得到一个比较精确的结果。
想象一下，你挖隧道，收敛速度快就像是用推土机，很快就能打通；收敛速度慢就像是用小铲子，得一点一点地挖。
我们通常用什么来衡量收敛速度？
有很多工具和方法可以衡量，其中最常见的一种是看余项。级数的前 $N$ 项和是 $S_N$，而级数的最终和是 $S$。那么，$R_N = S S_N$ 就是余项，它代表了从第 $N+1$ 项开始往后的所有项的和。余项越小，说明我们已经越接近真实的和了。
所以，如果级数 A 的余项 $R_N^A$ 比级数 B 的余项 $R_N^B$ 下降得更快（也就是说，$R_N^A$ 比 $R_N^B$ 更快地趋近于零），我们就说级数 A 比级数 B 收敛得快。
那么，为什么不存在收敛速度最慢的级数呢？
这里有两个关键点，它们从根本上“阻止”了最慢收敛速度的存在：
一、 存在“相对性”的度量方式：比较无穷
数学上的“慢”和“快”往往是相对的。对于级数的收敛速度，我们常常是通过比较两个级数的余项来判断的。比如，我们说级数 $a_n$ 比级数 $b_n$ 收敛得慢，通常是因为当 $N$ 很大时，$lim_{N o infty} frac{R_N^a}{R_N^b} = infty$。这意味着 $R_N^a$ 比 $R_N^b$ 消逝得“更慢”。
但是，我们总能找到一个“比它更慢”的级数。为什么呢？
假设我们真的存在一个收敛速度最慢的级数，我们称之为“最慢级数”，它的余项是 $R_N^{ ext{slowest}}$。那么，我们可以构造一个新的级数，它的余项 $R_N'$ 是这样定义的：
$R_N' = frac{R_N^{ ext{slowest}}}{log N}$
注意，这里我们用了 $log N$。当 $N$ 趋向于无穷大时，$log N$ 也会趋向于无穷大，但是它趋向于无穷大的速度是相当慢的。
现在我们来比较一下这个新级数和“最慢级数”的收敛速度：
$lim_{N o infty} frac{R_N'}{R_N^{ ext{slowest}}} = lim_{N o infty} frac{R_N^{ ext{slowest}} / log N}{R_N^{ ext{slowest}}} = lim_{N o infty} frac{1}{log N} = 0$
根据我们之前说的比较方法，这说明新级数的余项 $R_N'$ 比“最慢级数”的余项 $R_N^{ ext{slowest}}$ 下降得更快！
这就产生了一个矛盾：如果我们认为存在一个收敛速度最慢的级数，我们总能通过这种“除以一个增长缓慢的函数”的方法，构造出一个收敛得“更快”的级数。这就意味着我们最初假设的“最慢级数”并不是最慢的。这个逻辑链条可以无限地进行下去，所以根本就不存在一个绝对意义上的“收敛速度最慢”的级数。
你可以理解为，你总能找到一条“更慢的直线”在图上表示出来，但你永远找不到那条“绝对最慢”的下降曲线。
二、 存在无限多的“慢”的等级：数学工具的局限性
上面提到的 $log N$ 只是一个例子。实际上，我们可以构造出各种各样比它增长得更慢，但仍然趋向于无穷的函数。比如，我们可以使用迭代对数函数（如 $log(log N)$，$log(log(log N))$ ），或者更慢增长的函数族。
对于任何一个我们认为“足够慢”的级数，我们都可以通过除以一个比它增长得更慢但依然趋向于无穷的函数来构造一个更慢的级数（相对而言）。例如，如果 $f(N)$ 是一个趋向于无穷的函数，那么级数 $a_n$ 的余项 $R_N$ 如果比 $1/f(N)$ 更慢地趋向于零，那么 $R_N cdot f(N)$ 就可以被看作是“更慢”的收敛度量。
更进一步地说，数学家们已经证明了存在一个关于级数收敛速度的“层次结构”。对于任何一个收敛级数，我们都可以找到一个比它收敛得“更慢”的级数。这个过程是无休止的。
打个比方，就像你在数一个无限长的列表，你总能找到一个比你当前指的数字“更大”的数字。收敛速度也类似，你总能找到一个比当前“最慢”的收敛速度还要慢的收敛速度。
那么，级数本身是如何构造的呢？
我们构造“更慢”的级数，通常是从已知的“慢”级数出发，然后通过调整其项来达到目的。比如，我们知道调和级数 $sum frac{1}{n}$ 是发散的。我们可以构造一个收敛级数，但它的收敛速度非常非常慢。一个经典的例子是：
$sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n (log n)^p}$
当 $p > 1$ 时，这个级数是收敛的。但是，随着 $p$ 的值越来越接近 1，级数收敛的速度就越来越慢。我们可以选取一个非常小的 $p$ 值（比如 $p=1.0000001$），得到的级数收敛得就极其缓慢。
如果我们想构造一个比这个更慢的级数呢？我们可以考虑 $sum_{n=3}^{infty} frac{1}{n log n (log(log n))^p}$，其中 $p > 1$。这个级数会比前一个收敛得更慢。
通过这种方式，我们能够持续地构造出收敛速度更慢的级数。
总结一下：
不存在收敛速度最慢的级数，主要原因在于：
1. 度量的相对性与可构造性： 我们衡量收敛速度的方式（如比较余项的衰减率）允许我们通过除以一个增长缓慢的函数，来构造一个相对“更快”的级数。这就排除了任何一个级数能够“绝对最慢”的可能性。
2. 收敛速度的层级结构： 数学上存在着一个无限的“收敛速度慢”的层级。对于我们能想象到的任何一个收敛速度，我们总能找到一个比它更慢的收敛速度。
所以，当你听到“收敛速度最慢的级数”这个说法时，可以理解为这是一个数学上不可能存在的概念。数学总是留有余地的，总有“更慢”的空间等待探索。这种“没有最慢”的特性，恰恰体现了数学的丰富性和无穷的可能性。
网友意见
1，每一个收敛级数，都可以找一个比它收敛得更慢的级数(这个不难证明)。
2，可数无穷个收敛级数，都能找到一个收敛级数，比这可数无穷多个收敛级数的每一个都收敛得更慢。(有点复杂，但是利用康托对角线方法，也还行)
3，多少个收敛级数，会找不到一个比它们收敛得都慢的收敛级数?这里神奇的结果就是，这个临界基数与多少个勒贝格零测集的并不是勒贝格零测集的临界基数是相等的(Bartoszynski)。（这个非常难了)
参考:Bartoszynski and Judah， Set theory on the structure of the real line. A. K. Peters,1995. 里面的第二章。
——————————————————————
随便写了点，也没回答题主的问题，没想到知乎的小伙伴们给了好多赞，那就把题主的问题回答一下吧，不然，一句这个不难证明，有点不好意思。写个与上面的答主不一样的证明吧，当然与前面的答主一样，考虑的也是正项级数。
设 收敛，所以它的余项可以小于任意给定的正数。依次对 ,找到一个逐渐递增的自然数 使得
然后对于 ,令 ,那么可知：
并且 ,
所以级数 收敛。这就是一个比 收敛得还慢的级数。
___________________________________
关于正项收敛级数的 bounded 数和零测集的bounded数是相等的这个结论，并不容易，虽然据说Bartoszynski证明这个结论时还是本科生，但是人家牛啊。下面贴图上证明，就是下面的Theorem2.3.9.
Bartoszynski and Judah的这本书 Set theory on the structure of the real line，我只有复印的纸质版，没有电子版，所以别私信找我要电子版了。当然，如果对基数不变量感兴趣的话，建议先去读
Blass,Combinatorical Cardinal Characteristics of the Continuum.
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