如何形象地理解纳维-斯托克斯方程？
想象一下，你站在一条河流的岸边，看着河水奔腾向前。那水流，时而舒缓，时而湍急，时而卷起漩涡，时而又归于平静。你有没有想过，是什么在背后驱动着这一切？是什么让这看似自由的水，遵循着某种看不见的规律？
答案，就藏在一种叫做“纳维斯托克斯方程”的数学语言里。这名字听起来可能有些拗口，但它的核心思想，其实非常直观，就像我们在观察水流时内心产生的那些感觉一样。
我们不妨把纳维斯托克斯方程看作是一个“流体力学的宣言”，它用精确的数学语言，描绘了流体（无论是水、空气，还是更广义的、能够流动的物质）在时间和空间中的运动状态。它回答了一个最根本的问题：为什么流体会按照我们看到的样子流动？
为了更好地理解它，我们不妨从几个关键的“角色”来解读：
1. 每一个流体粒子，都是一个“小士兵”，有着自己的“行动指令”
想象一下，整个流体是由无数个微小的、可分割的粒子组成的。纳维斯托克斯方程，实际上是在描述这些“小士兵”们各自的运动状态。一个流体粒子，它有一个“速度”，表示它此刻在往哪个方向、以多快的速度移动。这个速度，可不是随随便便变化的，它受到很多“指挥官”的命令。
2. “惯性”：小士兵的“惯性定律”
首先，小士兵们都有“惯性”。就像你推一个静止的球，它会继续向前滚，直到遇到阻力。流体粒子也是一样，它们会保持当前的运动状态，除非有外力作用。在方程里，这部分通常表现为速度的“时间变化率”，也就是加速度。如果没有任何外力，那么它的速度就不变，运动就是匀速直线。
3. “压力”：无形的手，在推搡着士兵们
流体内部存在着“压力”。你可以想象成，周围的粒子都在挤压着你。这种压力，就像一只无形的手，会把粒子从高压区域推向低压区域。在高压差的地方，流体就会流动，就好像水从高处往低处流一样。在方程里，压力梯度（压力在空间中的变化）就是一个重要的“力”的来源，它会改变流体的速度。
4. “粘性”：士兵们之间的“拉扯”
流体并非毫无摩擦。想象一下，你在一碗蜂蜜里搅动，你会感觉到一股阻力，这是蜂蜜的“粘性”。粘性就像士兵们之间的一种“拉扯力”，邻近的流体层之间会因为速度差而产生摩擦。这种粘性阻碍了流体自由地流动，并且会把动量从运动快的区域传递到运动快的区域。在方程里，粘性项就像一个“减速器”或者“能量损耗器”，它会消耗流体的动能，并把动量传递开。
5. “外力”：来自外部的“号召”
除了内部的压力和粘性，流体还会受到来自外部的“号召”。比如，如果你在水箱里，重力就会把水往下拉。如果你在空气中，风吹过身体，那就是空气对你的“推力”。这些外力，比如重力、电磁力等等，也会影响流体粒子的运动。在方程里，这些外力也会被加入到“总命令”中。
将这些“角色”组合起来：
纳维斯托克斯方程，其实就是把这几个“角色”——惯性、压力、粘性、外力——组合起来，形成了一个“总体的行动指令”。它告诉我们，一个流体粒子的速度如何随时间变化，取决于：
它自身的惯性： 它想维持原有的运动状态。
压力梯度的作用： 它会被从高压区推向低压区。
粘性的作用： 它会受到邻近流体层的拉扯，并且会将动量传递给邻近区域。
外力的作用： 它会响应来自外部的各种力。
更具体一点，我们可以想象一个“粒子”的视角：
假设我们关注流体中的一个微小体积（可以想象成一个超级小的“盒子”）。这个盒子里的流体，它会有一个平均速度。
盒子的加速度（速度如何变化）= （压力梯度造成的力） + （粘性造成的力） + （外力）
这个“速度变化”的背后，其实是牛顿第二定律（F=ma）在流体领域的体现。压力、粘性和外力，都是“力”，它们作用在流体上，使得流体的速度发生变化，也就是产生加速度。
纳维斯托克斯方程的“复杂之处”：
为什么纳维斯托克斯方程如此有名，又如此难以求解？ 关键在于其中一个非常“棘手”的项：粘性项，特别是当它涉及到速度的平方时。
想象一下，当水流得很快，形成漩涡的时候，单个粒子的运动不再那么简单。这些粒子之间的相互作用变得非常复杂，速度不仅影响自身，还反过来影响周围粒子的运动，形成反馈循环。特别是“对流项”或者“非线性项”，它描述的是流体本身的动量会传递给它自己。
你可以这样理解：
线性项（压力、外力、一部分粘性）：就像一些独立的力量在推动或阻碍你，它们的效果是可以简单叠加的。
非线性项（流体自身的对流）：就像你走在人群里，你前进的速度不仅取决于外面的推力，还取决于周围人的拥挤程度，以及你和其他人碰撞后产生的连锁反应。这种相互作用是“耦合”的，非常难以预测。
当流体速度很低，比如蜂蜜缓慢流动时，这个非线性项的影响很小，方程相对容易处理。但当流体速度增大，或者流体变得湍急时，这个非线性项就变得主导，导致了我们看到的各种复杂的流动现象，比如湍流。
总结一下，纳维斯托克斯方程就像一部流体的“编年史”，它记录了流体每一个微小部分的运动轨迹，并且解释了这些轨迹是如何被内部的压力、粘性和外部的力所决定的。
压力，是流体“自我组织”的动力，让它从高压流向低压。
粘性，是流体内部的“摩擦力”，它阻碍了速度的变化，并且将动量在不同区域传递。
惯性，是流体“保持运动”的本能。
外力，是流体“受到外界影响”的源头。
而理解它们如何共同作用，尤其是当流体变得“不听话”，变得混乱（湍流）时，就是纳维斯托克斯方程真正的挑战所在。这个方程，不仅是物理学家和工程师们研究气流、水流、血液循环的利器，它更是我们理解这个充满动态变化的物理世界的一把钥匙。当你下次看到水流，或者感受微风拂过，不妨想想，在那背后，是这套精妙而又深邃的数学定律在默默地运作着。
网友意见
Navier Stokes公式说难挺难，难在其中的张量和向量变换对数学基础有一定的要求；但是它说简单其实也很简单，抛开具体的数学推演，那么它只说了两件事：一件是牛顿第二定律，另一件是坐标变换。
我们先来说一说坐标变换。
流体力学的对象是一个在空间中连续分布、在时间中不断变化的场。这个场的某个性质（例如温度、速度等）可以表示为：
也就是说，在任何一个瞬间，空间的一片区域中这个场的性质在各点的数值。
那么，对这个场的性质描述，就有两个不同的视角。一个叫做control volume，一个叫做control mass。前者表示我们跟定流场中的某一个特定的质点，随着它来观察流场的性质；而后者表示我们在空间中划定一个特定位置，然后看该位置的性质。
例如说一个车站，我们当然可以观察这个车站中的某些性质（我们选取车站这个固定的位置建立坐标系），例如说人口密度。这个车站就是一个control volume。车站中的人都是在不停变化的，但是在任何一个时刻，我们都可以观察到车站中人数是多少 - 它随着时间在变化。
如果说，我们不考虑这个车站，而只跟踪某个人（我们跟踪这个人以他建立坐标系），例如说，民警在视频中发现了一个疑似通缉犯，于是民警就集中观察这个人的行踪。在任何一个时刻，我们都可以观察到这个人移动到不同的地方 - 当然也可能包括车站，民警就会发现这个人附近的人口密度 - 当然，这被观察到的个人口密度也在随着时间变化。
很显然，这两种视角观察到的两种人口密度的时间函数是不同的。它们之间就存在着坐标变换的关系。
按照control mass的视角，其好处就是，因为我们固定了一个特定的微团 - 这是一个封闭系统，我们就可以很容易地对它列牛顿方程，从而得到以其视角下各种运动性质。但是，事实上我们更关心的不是某个特定微团的运动，而是整个流场在空间中的分布，也就是control volume的视角 - 然而这个视角中，我们关注的物质是在不停变化的 -这是一个开放系统，我们很难对它列方程进行计算。所以流体力学中的一个常规套路就是，用control mass建立运动方程，然后用坐标变换把计算结果变换到control volume中。
我们可以来考虑某些极端情况。首先，我们跟踪某一个静止不动的质点。也就是说，这个质点观察到的性质，其实就是空间中固定位置的性质。这种性质的变化，也就是该性质在固定位置随时间的变化，也就是说是对时间的偏导数：
然后，我们考虑一个运动质点在静态场中的情况。注意这里的静态场并不是说流场中的质点不运动，而是指流场的性质在空间中分布，但是这种分布不随时间发生变化。那么，随着这个质点在流场中的运动，它到达不同的地点，就会发现该地点的性质，因而就会发现这种性质随时间的变化。这种变化，不是固定位置上的某性质时间的变化，而是质点在不同时间到达不同位置时看到的不同性质。很显然，这个变化取决于流场空间分布是否均匀（该性质的分布梯度）、以及质点本身的运动速度：
总而言之，在任意流场中，在跟踪某个特定质点下，某性质的变化（我们把它记做 ）就来自两个贡献：一个是流场本身随时间的变化，另一个是质点在一个有空间分布的流场中的运动。也就是说（这里不做数学推导）：
那么现在我们可以来看看牛顿第二定律的事情了：
很显然，应用牛顿第二定律应该是对应着某个特定的质点的（事实上是某个微团），也就是control mass视角。根据牛顿第二定律：
这里的f指的是质点的受力。质点一般会受到两类力的作用，一个是流场中的应力（包括压力和粘滞力），一个是体积力（例如重力）：
其中 是应力张量，g是重力加速度。当我们把应力张量分解成两个部分，一个是法向的压力，一个是切向的粘滞力：
就有：
然后，我们应用坐标变换：
于是我们就有了NS方程。
当然，我们也可以不用牛顿第二定律，而是采用动量传递的角度来看这个方程，也就是动量连续性方程。这样我们就可以直接用control volume来列方程：
某区域的动量的累积量=进出该区域的动量流+该区域受力
也即是：
经过简单的数学变换：
又根据质量连续性方程（质量守恒）我们知道
所以我们最终就得到了：
这和上面是同样的结果。
我们可以看到，第二种方法并不涉及到坐标变换，所以理解上可能更容易一些。
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