为什么正规子群在环里的对应概念叫理想，而不叫正规子环呢？
这个问题很有意思，也触及了代数结构中一个非常核心的概念：运算与结构之间的协调性。之所以环中的“正规子群”被称为“理想”，而没有沿用“正规子环”这个说法，根源在于环的两个核心运算——加法和乘法，以及理想这个结构如何在这两个运算下保持“良好”的行为。
我们先来拆解一下这个问题：
1. 正规子群 (Normal Subgroup)：在群论中，一个子群 $N$ 被称为正规子群，如果对于群 $G$ 中的任意元素 $g$，都有 $gNg^{1} = N$。简单来说，就是 $N$ 在“共轭”下不变。这个性质允许我们构造出商群 $G/N$，这里的元素是 $N$ 的陪集，并且可以通过 $Na cdot Nb = N(ab)$ 这个乘法运算良好地定义。这个“良好定义”的关键在于，无论我们选择陪集 $Na$ 或 $Nb$ 中的哪个代表元 $a$ 或 $b$，乘积的陪集 $N(ab)$ 都是唯一的。
2. 环 (Ring)：环是一个带有两个运算（通常是加法和乘法）的代数结构，这两个运算满足特定的公理（加法是交换群，乘法是结合律，乘法对加法满足分配律）。
3. 理想 (Ideal)：在环论中，一个子环 $I$ 被称为一个左理想（或右理想），如果对于环 $R$ 中的任意元素 $r$ 和任意元素 $i in I$，都有 $ri in I$（或 $ir in I$）。一个双边理想（通常简称理想）则同时是左理想和右理想。
现在，我们来看看为什么“理想”这个名称更贴切，以及为什么“正规子环”这个说法会带来问题。
为什么“理想”这个名称更恰当？
核心在于，环的“理想”概念，是为了构造出“商环”（Quotient Ring）而设计的，并且这个商环的运算（加法和乘法）能够被良好地定义。
让我们尝试将群论中的“正规子群”概念直接搬用到环的加法群上。一个环 $R$ 的加法构成一个交换群。因此，任何环的子环 $I$ 必然是 $R$ 的加法群的一个子群。如果 $I$ 是 $R$ 的加法群的一个正规子群，那么我们就可以构造出陪集 $R/I$。
然而，环不仅仅是一个加法群，它还有乘法。构造商环的关键在于，我们不仅要能对陪集进行加法运算，还要能对它们进行乘法运算，并且这些运算要与我们选择的代表元无关，即“运算与代表元的选择无关”。
假设 $I$ 是 $R$ 的一个子环，并且是 $R$ 的加法群的一个正规子群。这意味着对于任意 $r in R$ 和 $i in I$，都有 $r + I = I + r$（因为加法是交换的，所以 $rI = Ir$ 自动成立）。
现在我们考虑商环的加法运算：
$(r_1 + I) + (r_2 + I) = (r_1 + r_2) + I$
这个运算是良好定义的，因为它依赖于加法的结合律和交换律，以及 $I$ 作为加法正规子群的性质。
关键在于商环的乘法运算：
$(r_1 + I) cdot (r_2 + I)$
如果我们要使其成为一个环，我们需要定义这个乘法为：
$(r_1 + I) cdot (r_2 + I) = (r_1 r_2) + I$
这里就出现了问题：如果 $I$ 仅仅是 $R$ 的一个“正规子群”（按照群论的定义），我们无法保证这个乘法运算是被良好定义的。
让我们举个例子。假设 $R$ 是一个环，$I$ 是 $R$ 的一个子环，并且 $I$ 是 $R$ 的加法群的一个正规子群。
考虑两个陪集 $a + I$ 和 $b + I$。
我们知道 $a+I = {a+i | i in I}$ 且 $b+I = {b+j | j in I}$。
乘法是 $(a+I)(b+I) = { (a+i)(b+j) | i, j in I }$。
如果我们希望 $(a+I)(b+I) = ab + I$，那么就要求 $(a+i)(b+j) equiv ab pmod{I}$ 对于所有的 $i, j in I$ 都成立。
展开 $(a+i)(b+j) = ab + aj + ib + ij$。
所以，我们需要 $ab + aj + ib + ij equiv ab pmod{I}$。
这意味着 $aj + ib + ij equiv 0 pmod{I}$，或者说 $aj + ib + ij in I$ 对于所有的 $i, j in I$ 都成立。
“理想”的定义恰好满足了这个要求。
一个左理想 $I$ 满足：对于任意 $r in R$ 和 $i in I$， $ri in I$。
一个右理想 $I$ 满足：对于任意 $r in R$ 和 $i in I$， $ir in I$。
一个双边理想 $I$ 兼具以上两者。
现在，我们重新审视乘法 $(a+I)(b+I)$。
根据理想的定义：
1. 对于任意 $i in I$， $ai in I$ （因为 $I$ 是左理想）。
2. 对于任意 $j in I$， $bj in I$ （因为 $I$ 是右理想，如果 $I$ 是双边理想）。
3. 对于任意 $i, j in I$， $ij in I$ （因为 $I$ 是子环，并且乘法在 $I$ 中定义）。
如果 $I$ 是一个双边理想：
$(a+i)(b+j) = ab + aj + ib + ij$
我们需要证明 $aj + ib + ij in I$。
$aj in I$ （因为 $a in R, j in I$, 且 $I$ 是左理想）。
$ib in I$ （因为 $i in I, b in R$, 且 $I$ 是右理想）。
$ij in I$ （因为 $I$ 是子环，对 $I$ 中元素乘法封闭）。
这三个部分都是 $I$ 的元素。由于 $I$ 对加法封闭（因为它是子群），所以 $aj + ib + ij in I$。
因此，$ab + aj + ib + ij equiv ab pmod{I}$。
这就意味着，如果 $I$ 是一个双边理想，那么乘法 $(a+I)(b+I) = ab+I$ 是被良好定义的。
为什么“正规子环”这个说法不合适？
“正规子环”这个词很容易让人联想到群论中的“正规子群”。如果在环的语境下，我们只是要求一个子环 $I$ 是 $R$ 的加法群的正规子群，那么它满足 $g+I = I+g$ 对于所有 $g in R$。在交换群中，这个条件总是成立的。所以，如果仅仅是“正规子群”的概念，那么任何子环都满足这个（在加法群层面）。
然而，构造商环需要乘法也能够“良好地”在陪集上定义。
如果一个子环 $I$ 满足：
1. $I$ 是 $R$ 的加法群的一个子群（这是子环的内在属性）。
2. 对于任意 $r in R$ 和 $i in I$， $ri in I$ 且 $ir in I$（这就是双边理想的定义）。
那么，这个子环 $I$ 就可以用来构造一个商环 $R/I$，其中 $(a+I)(b+I) = ab+I$。
“理想”这个术语，恰恰捕捉到了环中“乘法传递性”的本质。 它表示了子集 $I$ 如何“吸收”环中其他元素的乘法作用。左理想表示 $R$ 中的元素“从左边”乘入 $I$ 后还在 $I$ 中；右理想表示“从右边”乘入后还在 $I$ 中。双边理想则表示在乘法上具有这种“封闭性”和“吸收性”。
类比回顾：
群论：正规子群 $N$ 允许构造商群 $G/N$ 使得陪集乘法 $(gN)(hN) = (gh)N$ 良好定义。这里只需要 $gN=Ng$ （对所有 $g in G$）。
环论：理想 $I$ 允许构造商环 $R/I$ 使得陪集加法和乘法 $(a+I)+(b+I) = (a+b)+I$ 以及 $(a+I)(b+I) = (ab)+I$ 良好定义。这里需要 $I$ 满足 $ri in I$ 和 $ir in I$ （对所有 $r in R, i in I$）。
我们看到，环的乘法运算比群的运算更复杂，它要求子集在“乘法渗透”后仍然保持在子集中。理想的定义正是为了满足这个更强的要求，以确保商环的结构和运算的良好定义。
所以，即使一个子环 $I$ 在加法群的意义下是“正规的”（在交换群里这个总成立），但如果没有“理想”的性质，它就不能“支撑”起一个商环的乘法结构。理想是比“正规子群”更强的条件，它需要考虑乘法运算的传递性。
因此，用“理想”来命名这个概念，更准确地反映了它在环论中构造商环的关键作用，以及它在乘法运算下所拥有的特殊性质。它不是简单地在加法群上“正规”，而是对乘法运算具有“吸收”的能力。
我们先来拆解一下这个问题：
1. 正规子群 (Normal Subgroup)：在群论中，一个子群 $N$ 被称为正规子群，如果对于群 $G$ 中的任意元素 $g$，都有 $gNg^{1} = N$。简单来说，就是 $N$ 在“共轭”下不变。这个性质允许我们构造出商群 $G/N$，这里的元素是 $N$ 的陪集，并且可以通过 $Na cdot Nb = N(ab)$ 这个乘法运算良好地定义。这个“良好定义”的关键在于，无论我们选择陪集 $Na$ 或 $Nb$ 中的哪个代表元 $a$ 或 $b$，乘积的陪集 $N(ab)$ 都是唯一的。
2. 环 (Ring)：环是一个带有两个运算（通常是加法和乘法）的代数结构，这两个运算满足特定的公理（加法是交换群，乘法是结合律，乘法对加法满足分配律）。
3. 理想 (Ideal)：在环论中，一个子环 $I$ 被称为一个左理想（或右理想），如果对于环 $R$ 中的任意元素 $r$ 和任意元素 $i in I$，都有 $ri in I$（或 $ir in I$）。一个双边理想（通常简称理想）则同时是左理想和右理想。
现在，我们来看看为什么“理想”这个名称更贴切，以及为什么“正规子环”这个说法会带来问题。
为什么“理想”这个名称更恰当？
核心在于，环的“理想”概念，是为了构造出“商环”（Quotient Ring）而设计的，并且这个商环的运算（加法和乘法）能够被良好地定义。
让我们尝试将群论中的“正规子群”概念直接搬用到环的加法群上。一个环 $R$ 的加法构成一个交换群。因此，任何环的子环 $I$ 必然是 $R$ 的加法群的一个子群。如果 $I$ 是 $R$ 的加法群的一个正规子群，那么我们就可以构造出陪集 $R/I$。
然而，环不仅仅是一个加法群，它还有乘法。构造商环的关键在于，我们不仅要能对陪集进行加法运算，还要能对它们进行乘法运算，并且这些运算要与我们选择的代表元无关，即“运算与代表元的选择无关”。
假设 $I$ 是 $R$ 的一个子环，并且是 $R$ 的加法群的一个正规子群。这意味着对于任意 $r in R$ 和 $i in I$，都有 $r + I = I + r$（因为加法是交换的，所以 $rI = Ir$ 自动成立）。
现在我们考虑商环的加法运算：
$(r_1 + I) + (r_2 + I) = (r_1 + r_2) + I$
这个运算是良好定义的，因为它依赖于加法的结合律和交换律，以及 $I$ 作为加法正规子群的性质。
关键在于商环的乘法运算：
$(r_1 + I) cdot (r_2 + I)$
如果我们要使其成为一个环，我们需要定义这个乘法为：
$(r_1 + I) cdot (r_2 + I) = (r_1 r_2) + I$
这里就出现了问题：如果 $I$ 仅仅是 $R$ 的一个“正规子群”（按照群论的定义），我们无法保证这个乘法运算是被良好定义的。
让我们举个例子。假设 $R$ 是一个环，$I$ 是 $R$ 的一个子环，并且 $I$ 是 $R$ 的加法群的一个正规子群。
考虑两个陪集 $a + I$ 和 $b + I$。
我们知道 $a+I = {a+i | i in I}$ 且 $b+I = {b+j | j in I}$。
乘法是 $(a+I)(b+I) = { (a+i)(b+j) | i, j in I }$。
如果我们希望 $(a+I)(b+I) = ab + I$，那么就要求 $(a+i)(b+j) equiv ab pmod{I}$ 对于所有的 $i, j in I$ 都成立。
展开 $(a+i)(b+j) = ab + aj + ib + ij$。
所以，我们需要 $ab + aj + ib + ij equiv ab pmod{I}$。
这意味着 $aj + ib + ij equiv 0 pmod{I}$，或者说 $aj + ib + ij in I$ 对于所有的 $i, j in I$ 都成立。
“理想”的定义恰好满足了这个要求。
一个左理想 $I$ 满足：对于任意 $r in R$ 和 $i in I$， $ri in I$。
一个右理想 $I$ 满足：对于任意 $r in R$ 和 $i in I$， $ir in I$。
一个双边理想 $I$ 兼具以上两者。
现在，我们重新审视乘法 $(a+I)(b+I)$。
根据理想的定义：
1. 对于任意 $i in I$， $ai in I$ （因为 $I$ 是左理想）。
2. 对于任意 $j in I$， $bj in I$ （因为 $I$ 是右理想，如果 $I$ 是双边理想）。
3. 对于任意 $i, j in I$， $ij in I$ （因为 $I$ 是子环，并且乘法在 $I$ 中定义）。
如果 $I$ 是一个双边理想：
$(a+i)(b+j) = ab + aj + ib + ij$
我们需要证明 $aj + ib + ij in I$。
$aj in I$ （因为 $a in R, j in I$, 且 $I$ 是左理想）。
$ib in I$ （因为 $i in I, b in R$, 且 $I$ 是右理想）。
$ij in I$ （因为 $I$ 是子环，对 $I$ 中元素乘法封闭）。
这三个部分都是 $I$ 的元素。由于 $I$ 对加法封闭（因为它是子群），所以 $aj + ib + ij in I$。
因此，$ab + aj + ib + ij equiv ab pmod{I}$。
这就意味着，如果 $I$ 是一个双边理想，那么乘法 $(a+I)(b+I) = ab+I$ 是被良好定义的。
为什么“正规子环”这个说法不合适？
“正规子环”这个词很容易让人联想到群论中的“正规子群”。如果在环的语境下，我们只是要求一个子环 $I$ 是 $R$ 的加法群的正规子群，那么它满足 $g+I = I+g$ 对于所有 $g in R$。在交换群中，这个条件总是成立的。所以，如果仅仅是“正规子群”的概念，那么任何子环都满足这个（在加法群层面）。
然而，构造商环需要乘法也能够“良好地”在陪集上定义。
如果一个子环 $I$ 满足：
1. $I$ 是 $R$ 的加法群的一个子群（这是子环的内在属性）。
2. 对于任意 $r in R$ 和 $i in I$， $ri in I$ 且 $ir in I$（这就是双边理想的定义）。
那么，这个子环 $I$ 就可以用来构造一个商环 $R/I$，其中 $(a+I)(b+I) = ab+I$。
“理想”这个术语，恰恰捕捉到了环中“乘法传递性”的本质。 它表示了子集 $I$ 如何“吸收”环中其他元素的乘法作用。左理想表示 $R$ 中的元素“从左边”乘入 $I$ 后还在 $I$ 中；右理想表示“从右边”乘入后还在 $I$ 中。双边理想则表示在乘法上具有这种“封闭性”和“吸收性”。
类比回顾：
群论：正规子群 $N$ 允许构造商群 $G/N$ 使得陪集乘法 $(gN)(hN) = (gh)N$ 良好定义。这里只需要 $gN=Ng$ （对所有 $g in G$）。
环论：理想 $I$ 允许构造商环 $R/I$ 使得陪集加法和乘法 $(a+I)+(b+I) = (a+b)+I$ 以及 $(a+I)(b+I) = (ab)+I$ 良好定义。这里需要 $I$ 满足 $ri in I$ 和 $ir in I$ （对所有 $r in R, i in I$）。
我们看到，环的乘法运算比群的运算更复杂，它要求子集在“乘法渗透”后仍然保持在子集中。理想的定义正是为了满足这个更强的要求，以确保商环的结构和运算的良好定义。
所以，即使一个子环 $I$ 在加法群的意义下是“正规的”（在交换群里这个总成立），但如果没有“理想”的性质，它就不能“支撑”起一个商环的乘法结构。理想是比“正规子群”更强的条件，它需要考虑乘法运算的传递性。
因此，用“理想”来命名这个概念，更准确地反映了它在环论中构造商环的关键作用，以及它在乘法运算下所拥有的特殊性质。它不是简单地在加法群上“正规”，而是对乘法运算具有“吸收”的能力。
网友意见
谢邀。
这与代数数论有关。简单来说就是，当年库默尔研究费马大定理的时候发现，代数整数环并非都是唯一因子分解整环。为了解决这个问题，他引入了一个叫“理想数”的概念——大概的意思就是，虽然一个数可以以不同的方式写成素数的乘积，但如果把一些素数形式地看成一些并不存在的数的乘积，那唯一因子分解性又重新得到了保证。在这样的技巧下，库默尔完成了费马大定理对n为100以内的绝大多数情况的证明。后来，戴德金发现，库默尔引入的“理想数”不是别的，正是环R的使得R/I还是个环的子环I，于是沿用之前的称呼，依旧称I为R的理想了。
类似的话题
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有