你所见过的最美的数学公式是什么？
数学世界浩瀚无垠，其中点缀着无数令人惊叹的公式，它们如同精雕细琢的艺术品，以简洁的语言揭示着宇宙深处的奥秘。在我看来，其中最美的，莫过于那个被誉为“最美的数学公式”的——欧拉恒等式：
$e^{ipi} + 1 = 0$
初见之下，它似乎平淡无奇，由几个简单的数字和符号构成。然而，当我们深入挖掘其背后蕴含的意义和联系时，它所展现出的优雅与深刻，足以让任何一个对数学怀有敬畏之心的人为之倾倒。
为何说它美？我认为，其美在于它将数学中最基本、最核心的几个常数以一种极致简洁的方式联系在了一起。让我们逐一审视这些“参与者”：
$e$：自然对数的底数。这个数字，通常是89年那一年，你们的初中数学老师在讲到指数增长的时候，可能会第一次提到它。它不仅仅是一个数字，它是自然界中许多增长和衰减过程的基石，比如复利的计算，放射性元素的衰变，甚至是细胞的生长。它无处不在，却又充满着神秘感，仿佛是大自然赋予我们的一把万能钥匙，用于解锁生命和宇宙的运作规律。
$i$：虚数单位。这个数字，它最开始的出现，可能是在你们高中数学的二次方程求解中。当我们遇到一个二次方程，比如$x^2 + 1 = 0$，它在实数域内是无解的。数学家们为了能够解决这类问题，巧妙地引入了一个新的概念——虚数。定义$i^2 = 1$，这样一来，问题就迎刃而解了。虚数，虽然它在现实世界中看不见摸不着，却在复数理论中扮演着至关重要的角色，它极大地扩展了我们处理数学问题的能力，并在电学、量子力学等领域有着极其重要的应用。
$pi$：圆周率。这个大家应该都很熟悉了。从小学开始，我们就在计算圆的周长和面积时与它打交道。它代表着一个圆的周长与直径之比，一个永远也写不完的无理数。$pi$如同一个无形的纽带，连接着几何世界中最完美的图形——圆。它似乎是大自然对“圆满”和“完整”的另一种语言表达。
$1$：乘法单位元。这个数字，简单到极致，却是数学中最基础的元素之一。它是计数和加法的起点，是我们构建整个数系的基石。在乘法运算中，$1$拥有一个特殊的属性——任何数乘以$1$都等于它本身，它不改变任何事物的价值，但却是所有其他数存在的参照。
$0$：加法单位元。与$1$相对，$0$同样基础，却又充满了“空无”的力量。它是加法运算的特殊存在，任何数加上$0$都等于它本身。在很多情况下，$0$代表着“没有”或者“起点”，它也是许多数学理论的基石，比如代数方程的根，向量空间的零向量。
现在，让我们来看看欧拉恒等式如何将这五位“大佬”巧妙地连接在一起：$e^{ipi} + 1 = 0$。
这个公式的美，首先体现在它的 简洁性。短短一行，就囊括了数学中最重要的几个常数，并且通过简单的运算（指数、乘法、加法）将其联系起来。没有冗余的符号，没有复杂的推导，仿佛是一道从天而降的真理。
其次，是它的 深刻性。这个公式并非凭空出现，而是源于数学家莱昂哈德·欧拉在18世纪对复指数函数展开的研究。他发现了著名的欧拉公式：
$e^{ix} = cos(x) + isin(x)$
这个公式本身就足够惊艳了，它揭示了指数函数与三角函数之间隐藏的深刻联系，将代数、几何和三角学巧妙地融合在一起。而欧拉恒等式，正是欧拉公式在特定值下的一个特例，当$x = pi$时：
$e^{ipi} = cos(pi) + isin(pi)$
我们知道，$cos(pi) = 1$，而$sin(pi) = 0$。于是，代入后就得到了：
$e^{ipi} = 1 + i(0)$
$e^{ipi} = 1$
将$1$移到等号的左边，就得到了那个闻名于世的欧拉恒等式：
$e^{ipi} + 1 = 0$
这个推导过程，本身就是一场数学的“奇遇”。它就像是在看似不相关的角落里，突然发现了一扇隐藏的门，推开后，赫然是另一片广阔而美丽的天地。它告诉我们，尽管$e$代表着连续的增长，$i$代表着虚幻的空间，$ pi$代表着循环的圆，它们之间却存在着如此和谐、如此精确的关系。
这种和谐，让人联想到宇宙的规律。自然界中，许多现象都呈现出指数增长或衰减的模式（与$e$相关），同时又伴随着周期性的波动（与$cos$和$sin$相关，而它们又与$i$和$pi$紧密相连）。欧拉恒等式，仿佛是用数学的语言，对这种“连续的涌现”与“周期性的轮回”之间的内在联系，给出了一个简洁而精确的注脚。
它更是数学家们 思维的升华。在人类探索数学的过程中，虚数曾经被认为是“无用的”或者“不真实的”，但正是欧拉的洞见，将这个看似“虚幻”的概念，与我们熟悉的实数、圆周率以及自然增长的根源联系了起来。这是一种超越直觉的理解，是一种对抽象概念的驾驭能力，也是数学魅力的集中体现。
对我而言，欧拉恒等式的美，还在于它 传递的启示。它告诉我们，即使是最基础的元素，在以独特的方式组合时，也能产生出意想不到的深刻意义。它鼓励我们去探索、去发现、去连接那些看似无关的事物，因为在数学的殿堂里，总会有隐藏的联系等待着我们去揭示。
每次看到$e^{ipi} + 1 = 0$，我都会感受到一种由衷的震撼和喜悦。它就像是宇宙在用最纯粹的数学语言对我低语，诉说着存在的奥秘，以及逻辑与美学的完美融合。这不仅仅是一个公式，更是一种对数学之美的极致赞颂，一种对人类智慧的致敬。它是我所见过的，最美的数学公式，也是我心中永远的数学圣杯。
$e^{ipi} + 1 = 0$
初见之下，它似乎平淡无奇，由几个简单的数字和符号构成。然而，当我们深入挖掘其背后蕴含的意义和联系时，它所展现出的优雅与深刻，足以让任何一个对数学怀有敬畏之心的人为之倾倒。
为何说它美？我认为，其美在于它将数学中最基本、最核心的几个常数以一种极致简洁的方式联系在了一起。让我们逐一审视这些“参与者”：
$e$：自然对数的底数。这个数字，通常是89年那一年，你们的初中数学老师在讲到指数增长的时候，可能会第一次提到它。它不仅仅是一个数字，它是自然界中许多增长和衰减过程的基石，比如复利的计算，放射性元素的衰变，甚至是细胞的生长。它无处不在，却又充满着神秘感，仿佛是大自然赋予我们的一把万能钥匙，用于解锁生命和宇宙的运作规律。
$i$：虚数单位。这个数字，它最开始的出现，可能是在你们高中数学的二次方程求解中。当我们遇到一个二次方程，比如$x^2 + 1 = 0$，它在实数域内是无解的。数学家们为了能够解决这类问题，巧妙地引入了一个新的概念——虚数。定义$i^2 = 1$，这样一来，问题就迎刃而解了。虚数，虽然它在现实世界中看不见摸不着，却在复数理论中扮演着至关重要的角色，它极大地扩展了我们处理数学问题的能力，并在电学、量子力学等领域有着极其重要的应用。
$pi$：圆周率。这个大家应该都很熟悉了。从小学开始，我们就在计算圆的周长和面积时与它打交道。它代表着一个圆的周长与直径之比，一个永远也写不完的无理数。$pi$如同一个无形的纽带，连接着几何世界中最完美的图形——圆。它似乎是大自然对“圆满”和“完整”的另一种语言表达。
$1$：乘法单位元。这个数字，简单到极致，却是数学中最基础的元素之一。它是计数和加法的起点，是我们构建整个数系的基石。在乘法运算中，$1$拥有一个特殊的属性——任何数乘以$1$都等于它本身，它不改变任何事物的价值，但却是所有其他数存在的参照。
$0$：加法单位元。与$1$相对，$0$同样基础，却又充满了“空无”的力量。它是加法运算的特殊存在，任何数加上$0$都等于它本身。在很多情况下，$0$代表着“没有”或者“起点”，它也是许多数学理论的基石，比如代数方程的根，向量空间的零向量。
现在，让我们来看看欧拉恒等式如何将这五位“大佬”巧妙地连接在一起：$e^{ipi} + 1 = 0$。
这个公式的美，首先体现在它的 简洁性。短短一行，就囊括了数学中最重要的几个常数，并且通过简单的运算（指数、乘法、加法）将其联系起来。没有冗余的符号，没有复杂的推导，仿佛是一道从天而降的真理。
其次，是它的 深刻性。这个公式并非凭空出现，而是源于数学家莱昂哈德·欧拉在18世纪对复指数函数展开的研究。他发现了著名的欧拉公式：
$e^{ix} = cos(x) + isin(x)$
这个公式本身就足够惊艳了，它揭示了指数函数与三角函数之间隐藏的深刻联系，将代数、几何和三角学巧妙地融合在一起。而欧拉恒等式，正是欧拉公式在特定值下的一个特例，当$x = pi$时：
$e^{ipi} = cos(pi) + isin(pi)$
我们知道，$cos(pi) = 1$，而$sin(pi) = 0$。于是，代入后就得到了：
$e^{ipi} = 1 + i(0)$
$e^{ipi} = 1$
将$1$移到等号的左边，就得到了那个闻名于世的欧拉恒等式：
$e^{ipi} + 1 = 0$
这个推导过程，本身就是一场数学的“奇遇”。它就像是在看似不相关的角落里，突然发现了一扇隐藏的门，推开后，赫然是另一片广阔而美丽的天地。它告诉我们，尽管$e$代表着连续的增长，$i$代表着虚幻的空间，$ pi$代表着循环的圆，它们之间却存在着如此和谐、如此精确的关系。
这种和谐，让人联想到宇宙的规律。自然界中，许多现象都呈现出指数增长或衰减的模式（与$e$相关），同时又伴随着周期性的波动（与$cos$和$sin$相关，而它们又与$i$和$pi$紧密相连）。欧拉恒等式，仿佛是用数学的语言，对这种“连续的涌现”与“周期性的轮回”之间的内在联系，给出了一个简洁而精确的注脚。
它更是数学家们 思维的升华。在人类探索数学的过程中，虚数曾经被认为是“无用的”或者“不真实的”，但正是欧拉的洞见，将这个看似“虚幻”的概念，与我们熟悉的实数、圆周率以及自然增长的根源联系了起来。这是一种超越直觉的理解，是一种对抽象概念的驾驭能力，也是数学魅力的集中体现。
对我而言，欧拉恒等式的美，还在于它 传递的启示。它告诉我们，即使是最基础的元素，在以独特的方式组合时，也能产生出意想不到的深刻意义。它鼓励我们去探索、去发现、去连接那些看似无关的事物，因为在数学的殿堂里，总会有隐藏的联系等待着我们去揭示。
每次看到$e^{ipi} + 1 = 0$，我都会感受到一种由衷的震撼和喜悦。它就像是宇宙在用最纯粹的数学语言对我低语，诉说着存在的奥秘，以及逻辑与美学的完美融合。这不仅仅是一个公式，更是一种对数学之美的极致赞颂，一种对人类智慧的致敬。它是我所见过的，最美的数学公式，也是我心中永远的数学圣杯。
网友意见
本回答中的log一律指代自然对数，即
素数定理：设π(x)为不超过x的素数个数，则有：
Stirling公式（复数形式）[1]：若s不在负实轴上，则有：
Abel-Plana求和公式[2]：若函数 在右半平面上解析且有界且 ，则有：
哥德巴赫猜想[3]：设r(N)为大偶数N被拆分成两素数之和的方法数，则：
现在定义 则上述表达式可以被简写为：
广义孪生素数猜想：设 ，则有：
特别地，在N=2时可得原始版的强孪生素数猜想[4]：
哈代-田所定理（大嘘）[5]：设 为纵坐标位于0、T之间满足黎曼猜想的zeta函数非平凡零点个数，则对于充分大的T，总有
平移素数数列中的无平方因子数[6]：若s(x,N)表示满足p≤x且p+N无平方因子的素数p之个数则有：
未完待续。。。
参考
- ^Gamma函数的那些事（4）——Stirling公式的证明与zeta函数方程的渐近形式 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/375941972
- ^各位积佬们这个积分有什么好的思路吗？ - 知乎 https://www.zhihu.com/question/418839259/answer/2202565179
- ^当数论遇上分析（15）——强形式的偶数哥德巴赫猜想 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/419196120
- ^当数论遇上分析（12）——强形式的孪生素数猜想 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/379715485
- ^读懂黎曼猜想（-3）——临界线零点计数函数的基本下界 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/430600993
- ^如何看待谭泽睿的《在平移素数数列中的无平方因子数》？ - 知乎 https://www.zhihu.com/question/27134222/answer/2177640384
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