这个组合恒等式怎么代数证明？
好的，我们来一起探索一下这个组合恒等式，并用一种清晰、细致的代数方法来证明它。我会尽量把每一步都讲透彻，让你感觉到这是一次严谨的数学推导过程。
我们要证明的恒等式是：
$$ sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{k} = inom{m+n+1}{n} $$
这个恒等式看起来有点抽象，但它实际上描述了一个非常有意思的组合计数规律。让我们一步一步来解析它，并找到代数上的证明路径。
恒等式的含义初步解读
在我们深入代数证明之前，先简单理解一下这个恒等式在说什么。
左边：$sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{k}$
这表示我们从 $k=0$ 到 $k=n$ 逐项相加一系列的二项式系数。每一项 $inom{m+k}{k}$ 代表从 $m+k$ 个物品中选择 $k$ 个的方法数。
右边：$inom{m+n+1}{n}$
这表示从 $m+n+1$ 个物品中选择 $n$ 个的方法数。
所以，我们是要证明：把一系列从不同总数中选择不同数量物品的方法数加起来，最终等于从一个更大的总数中选择一个特定数量的方法数。
代数证明的核心思路：利用二项式系数的基本性质
代数证明通常依赖于我们对二项式系数的熟悉操作和性质。这里，一个非常重要的工具是二项式系数的“吸收恒等式”或者更广义的“层叠恒等式”（Hockeystick identity）。
回忆一下二项式系数的一个基本恒等式（有时也称作“加法公式”的一种变体）：
$$ inom{n}{k} = inom{n1}{k} + inom{n1}{k1} $$
然而，我们左边的形式 $inom{m+k}{k}$ 和右边的 $inom{m+n+1}{n}$ 并不直接匹配这个加法公式。我们需要找到一个更适合这里的转换。
另一个非常有用的关系是二项式系数的对称性：
$$ inom{n}{k} = inom{n}{nk} $$
利用这个性质，我们可以把左边和右边的式子都稍微调整一下，看看是否能产生联系。
左边的一般项是 $inom{m+k}{k}$。应用对称性：
$$ inom{m+k}{k} = inom{m+k}{(m+k)k} = inom{m+k}{m} $$
所以，原恒等式可以改写为：
$$ sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{m} = inom{m+n+1}{n} $$
现在，左边的形式是 $inom{m+k}{m}$，这里的“上”是 $m+k$，而“下”是 $m$。右边的形式是 $inom{m+n+1}{n}$。如果我们对右边也应用对称性，可以得到 $inom{m+n+1}{m+1}$。这似乎也没有立即显现出联系。
关键突破点：层叠恒等式（Hockeystick Identity）
让我们再次审视左边求和的结构：$inom{m}{m} + inom{m+1}{m} + inom{m+2}{m} + dots + inom{m+n}{m}$。
这里有一个非常著名的组合恒等式，我们称之为“层叠恒等式”或“加法恒等式”的一个特殊形式：
$$ sum_{i=r}^{n} inom{i}{r} = inom{n+1}{r+1} $$
这个恒等式是怎么来的呢？我们可以从右边 $inom{n+1}{r+1}$ 的组合意义出发。它表示从 $n+1$ 个物品中选 $r+1$ 个。我们可以根据选出的元素中最小的那个来分类讨论：
1. 如果选出的 $r+1$ 个元素中最小的是第 $r+1$ 个（假设物品编号从 1 开始），那么我们还需要从剩下的 $n$ 个物品（编号 $r+2, dots, n+1$）中选出 $r$ 个。这有 $inom{n}{r}$ 种方法。
2. 如果选出的 $r+1$ 个元素中最小的是第 $r+2$ 个，那么我们还需要从剩下的 $n1$ 个物品（编号 $r+3, dots, n+1$）中选出 $r$ 个。这有 $inom{n1}{r}$ 种方法。
3. 依此类推，直到选出的 $r+1$ 个元素中最小的是第 $n+1$ 个，这时我们还需要从剩下的 0 个物品中选出 $r$ 个。这有 $inom{0}{r}$ 种方法（只有当 $r=0$ 时非零）。
不对，上面的分类逻辑有点绕。正确的分类方式是根据最小的那个元素的编号：
设我们从 ${1, 2, dots, n+1}$ 中选出 $r+1$ 个元素。考虑这 $r+1$ 个元素中最小的那个元素是多少。
如果最小的元素是 $1$，那么我们还需要从 ${2, dots, n+1}$（共 $n$ 个元素）中选出 $r$ 个。方法数是 $inom{n}{r}$。
如果最小的元素是 $2$，那么我们还需要从 ${3, dots, n+1}$（共 $n1$ 个元素）中选出 $r$ 个。方法数是 $inom{n1}{r}$。
...
如果最小的元素是 $n+1r$，那么我们还需要从 ${n+2r, dots, n+1}$（共 $r$ 个元素）中选出 $r$ 个。方法数是 $inom{r}{r}$。
因此，
$$ inom{n+1}{r+1} = inom{n}{r} + inom{n1}{r} + dots + inom{r}{r} $$
把求和顺序反过来，就是我们想要的层叠恒等式：
$$ sum_{i=r}^{n} inom{i}{r} = inom{n+1}{r+1} $$
将我们的恒等式与层叠恒等式联系起来
我们的目标恒等式是：
$$ sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{k} = inom{m+n+1}{n} $$
或者使用对称性后的形式：
$$ sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{m} = inom{m+n+1}{n} $$
让我们专注于后者： $sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{m}$。
如果我们把求和变量做个变换，让它看起来更像层叠恒等式的形式 $sum_{i=r}^{N} inom{i}{r}$。
在我们的求和 $sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{m}$ 中：
求和的下界是 $k=0$，对应的项是 $inom{m}{m}$。
求和的上界是 $k=n$，对应的项是 $inom{m+n}{m}$。
每一项的“下”部分都是 $m$。
如果我们令 $i = m+k$，那么当 $k=0$ 时，$i=m$；当 $k=n$ 时，$i=m+n$。
同时，$k = im$。
所以，求和可以写成：
$$ sum_{i=m}^{m+n} inom{i}{m} $$
现在，这个形式非常接近层叠恒等式 $sum_{i=r}^{N} inom{i}{r} = inom{N+1}{r+1}$。
在这里，我们的 $r$ 是 $m$，而我们的 $N$ 是 $m+n$。
将这些代入层叠恒等式：
$$ sum_{i=m}^{m+n} inom{i}{m} = inom{(m+n)+1}{m+1} $$
现在看看右边 $inom{(m+n)+1}{m+1}$，它等于 $inom{m+n+1}{m+1}$。
我们最初的恒等式右边是 $inom{m+n+1}{n}$。
通过二项式系数的对称性：
$$ inom{m+n+1}{m+1} = inom{m+n+1}{(m+n+1)(m+1)} = inom{m+n+1}{n} $$
Bingo! 我们成功地将左边通过层叠恒等式化简，并且结果与右边通过对称性调整后完全一致。
完整的代数证明步骤
为了使证明严谨且易于理解，我们按顺序写出：
要证明的恒等式：
$$ sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{k} = inom{m+n+1}{n} $$
证明：
1. 利用二项式系数的对称性：
我们知道 $inom{N}{K} = inom{N}{NK}$。
对于左边求和中的一般项 $inom{m+k}{k}$，我们可以将其改写为：
$$ inom{m+k}{k} = inom{m+k}{(m+k)k} = inom{m+k}{m} $$
因此，原恒等式的左边可以写成：
$$ sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{m} $$
2. 代换求和变量：
令一个新的变量 $i = m+k$。
当 $k=0$ 时，$i = m+0 = m$。
当 $k=n$ 时，$i = m+n$。
因此，求和的范围从 $k=0, 1, dots, n$ 变成了 $i=m, m+1, dots, m+n$。
同时，$k = im$。
将这些代入求和表达式，我们得到：
$$ sum_{i=m}^{m+n} inom{i}{m} $$
3. 应用层叠恒等式（Hockeystick Identity）：
层叠恒等式指出：$sum_{i=r}^{N} inom{i}{r} = inom{N+1}{r+1}$。
在我们的表达式 $sum_{i=m}^{m+n} inom{i}{m}$ 中：
求和的下界是 $m$，所以 $r = m$。
求和的上界是 $m+n$，所以 $N = m+n$。
将这些值代入层叠恒等式，我们得到：
$$ sum_{i=m}^{m+n} inom{i}{m} = inom{(m+n)+1}{m+1} = inom{m+n+1}{m+1} $$
4. 再次利用二项式系数的对称性：
我们已经证明了左边等于 $inom{m+n+1}{m+1}$。
现在看恒等式右边是 $inom{m+n+1}{n}$。
应用二项式系数的对称性到 $inom{m+n+1}{m+1}$：
$$ inom{m+n+1}{m+1} = inom{m+n+1}{(m+n+1)(m+1)} = inom{m+n+1}{n} $$
5. 结论：
我们成功地将恒等式的左边代数推导为 $inom{m+n+1}{n}$，这正是恒等式的右边。
因此，恒等式得证。
补充说明，让证明更“有温度”
这个恒等式在组合数学中非常常见，被称为“层叠恒等式”的变种。它本质上是通过对一个求和进行“重写”和“分组”来实现的。我们上面采用的代数方法，就是把求和的各项通过二项式系数的性质进行转化，最终与一个已知的组合恒等式（层叠恒等式）联系起来。
想象一下，层叠恒等式 $sum_{i=r}^{N} inom{i}{r} = inom{N+1}{r+1}$ 的组合意义是：我们从 $N+1$ 个物品中选 $r+1$ 个，相当于考虑这 $r+1$ 个物品中最小的编号，它可能从 $r$ 开始，到 $N+1$ 结束。
而我们最初的恒等式 $sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{k}$，通过 $inom{m+k}{k} = inom{m+k}{m}$ 变成了 $sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{m}$。这个求和表示的是：
从 $m$ 个物品中选 $m$ 个：$inom{m}{m}$
从 $m+1$ 个物品中选 $m$ 个：$inom{m+1}{m}$
...
从 $m+n$ 个物品中选 $m$ 个：$inom{m+n}{m}$
当我们将这些项重新排列，并进行代换后，就完美地匹配了层叠恒等式的结构。它优雅地展示了不同的计数方法如何指向同一个结果。
希望这样的详细推导和解释，能够让你清晰地理解这个恒等式的代数证明过程。每一步都是基于二项式系数的基本定义和它们之间相互关联的属性。
我们要证明的恒等式是：
$$ sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{k} = inom{m+n+1}{n} $$
这个恒等式看起来有点抽象，但它实际上描述了一个非常有意思的组合计数规律。让我们一步一步来解析它，并找到代数上的证明路径。
恒等式的含义初步解读
在我们深入代数证明之前，先简单理解一下这个恒等式在说什么。
左边：$sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{k}$
这表示我们从 $k=0$ 到 $k=n$ 逐项相加一系列的二项式系数。每一项 $inom{m+k}{k}$ 代表从 $m+k$ 个物品中选择 $k$ 个的方法数。
右边：$inom{m+n+1}{n}$
这表示从 $m+n+1$ 个物品中选择 $n$ 个的方法数。
所以，我们是要证明：把一系列从不同总数中选择不同数量物品的方法数加起来，最终等于从一个更大的总数中选择一个特定数量的方法数。
代数证明的核心思路：利用二项式系数的基本性质
代数证明通常依赖于我们对二项式系数的熟悉操作和性质。这里，一个非常重要的工具是二项式系数的“吸收恒等式”或者更广义的“层叠恒等式”（Hockeystick identity）。
回忆一下二项式系数的一个基本恒等式（有时也称作“加法公式”的一种变体）：
$$ inom{n}{k} = inom{n1}{k} + inom{n1}{k1} $$
然而，我们左边的形式 $inom{m+k}{k}$ 和右边的 $inom{m+n+1}{n}$ 并不直接匹配这个加法公式。我们需要找到一个更适合这里的转换。
另一个非常有用的关系是二项式系数的对称性：
$$ inom{n}{k} = inom{n}{nk} $$
利用这个性质，我们可以把左边和右边的式子都稍微调整一下，看看是否能产生联系。
左边的一般项是 $inom{m+k}{k}$。应用对称性：
$$ inom{m+k}{k} = inom{m+k}{(m+k)k} = inom{m+k}{m} $$
所以，原恒等式可以改写为：
$$ sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{m} = inom{m+n+1}{n} $$
现在，左边的形式是 $inom{m+k}{m}$，这里的“上”是 $m+k$，而“下”是 $m$。右边的形式是 $inom{m+n+1}{n}$。如果我们对右边也应用对称性，可以得到 $inom{m+n+1}{m+1}$。这似乎也没有立即显现出联系。
关键突破点：层叠恒等式（Hockeystick Identity）
让我们再次审视左边求和的结构：$inom{m}{m} + inom{m+1}{m} + inom{m+2}{m} + dots + inom{m+n}{m}$。
这里有一个非常著名的组合恒等式，我们称之为“层叠恒等式”或“加法恒等式”的一个特殊形式：
$$ sum_{i=r}^{n} inom{i}{r} = inom{n+1}{r+1} $$
这个恒等式是怎么来的呢？我们可以从右边 $inom{n+1}{r+1}$ 的组合意义出发。它表示从 $n+1$ 个物品中选 $r+1$ 个。我们可以根据选出的元素中最小的那个来分类讨论：
1. 如果选出的 $r+1$ 个元素中最小的是第 $r+1$ 个（假设物品编号从 1 开始），那么我们还需要从剩下的 $n$ 个物品（编号 $r+2, dots, n+1$）中选出 $r$ 个。这有 $inom{n}{r}$ 种方法。
2. 如果选出的 $r+1$ 个元素中最小的是第 $r+2$ 个，那么我们还需要从剩下的 $n1$ 个物品（编号 $r+3, dots, n+1$）中选出 $r$ 个。这有 $inom{n1}{r}$ 种方法。
3. 依此类推，直到选出的 $r+1$ 个元素中最小的是第 $n+1$ 个，这时我们还需要从剩下的 0 个物品中选出 $r$ 个。这有 $inom{0}{r}$ 种方法（只有当 $r=0$ 时非零）。
不对，上面的分类逻辑有点绕。正确的分类方式是根据最小的那个元素的编号：
设我们从 ${1, 2, dots, n+1}$ 中选出 $r+1$ 个元素。考虑这 $r+1$ 个元素中最小的那个元素是多少。
如果最小的元素是 $1$，那么我们还需要从 ${2, dots, n+1}$（共 $n$ 个元素）中选出 $r$ 个。方法数是 $inom{n}{r}$。
如果最小的元素是 $2$，那么我们还需要从 ${3, dots, n+1}$（共 $n1$ 个元素）中选出 $r$ 个。方法数是 $inom{n1}{r}$。
...
如果最小的元素是 $n+1r$，那么我们还需要从 ${n+2r, dots, n+1}$（共 $r$ 个元素）中选出 $r$ 个。方法数是 $inom{r}{r}$。
因此，
$$ inom{n+1}{r+1} = inom{n}{r} + inom{n1}{r} + dots + inom{r}{r} $$
把求和顺序反过来，就是我们想要的层叠恒等式：
$$ sum_{i=r}^{n} inom{i}{r} = inom{n+1}{r+1} $$
将我们的恒等式与层叠恒等式联系起来
我们的目标恒等式是：
$$ sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{k} = inom{m+n+1}{n} $$
或者使用对称性后的形式：
$$ sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{m} = inom{m+n+1}{n} $$
让我们专注于后者： $sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{m}$。
如果我们把求和变量做个变换，让它看起来更像层叠恒等式的形式 $sum_{i=r}^{N} inom{i}{r}$。
在我们的求和 $sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{m}$ 中：
求和的下界是 $k=0$，对应的项是 $inom{m}{m}$。
求和的上界是 $k=n$，对应的项是 $inom{m+n}{m}$。
每一项的“下”部分都是 $m$。
如果我们令 $i = m+k$，那么当 $k=0$ 时，$i=m$；当 $k=n$ 时，$i=m+n$。
同时，$k = im$。
所以，求和可以写成：
$$ sum_{i=m}^{m+n} inom{i}{m} $$
现在，这个形式非常接近层叠恒等式 $sum_{i=r}^{N} inom{i}{r} = inom{N+1}{r+1}$。
在这里，我们的 $r$ 是 $m$，而我们的 $N$ 是 $m+n$。
将这些代入层叠恒等式：
$$ sum_{i=m}^{m+n} inom{i}{m} = inom{(m+n)+1}{m+1} $$
现在看看右边 $inom{(m+n)+1}{m+1}$，它等于 $inom{m+n+1}{m+1}$。
我们最初的恒等式右边是 $inom{m+n+1}{n}$。
通过二项式系数的对称性：
$$ inom{m+n+1}{m+1} = inom{m+n+1}{(m+n+1)(m+1)} = inom{m+n+1}{n} $$
Bingo! 我们成功地将左边通过层叠恒等式化简，并且结果与右边通过对称性调整后完全一致。
完整的代数证明步骤
为了使证明严谨且易于理解，我们按顺序写出：
要证明的恒等式：
$$ sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{k} = inom{m+n+1}{n} $$
证明：
1. 利用二项式系数的对称性：
我们知道 $inom{N}{K} = inom{N}{NK}$。
对于左边求和中的一般项 $inom{m+k}{k}$，我们可以将其改写为：
$$ inom{m+k}{k} = inom{m+k}{(m+k)k} = inom{m+k}{m} $$
因此，原恒等式的左边可以写成：
$$ sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{m} $$
2. 代换求和变量：
令一个新的变量 $i = m+k$。
当 $k=0$ 时，$i = m+0 = m$。
当 $k=n$ 时，$i = m+n$。
因此，求和的范围从 $k=0, 1, dots, n$ 变成了 $i=m, m+1, dots, m+n$。
同时，$k = im$。
将这些代入求和表达式，我们得到：
$$ sum_{i=m}^{m+n} inom{i}{m} $$
3. 应用层叠恒等式（Hockeystick Identity）：
层叠恒等式指出：$sum_{i=r}^{N} inom{i}{r} = inom{N+1}{r+1}$。
在我们的表达式 $sum_{i=m}^{m+n} inom{i}{m}$ 中：
求和的下界是 $m$，所以 $r = m$。
求和的上界是 $m+n$，所以 $N = m+n$。
将这些值代入层叠恒等式，我们得到：
$$ sum_{i=m}^{m+n} inom{i}{m} = inom{(m+n)+1}{m+1} = inom{m+n+1}{m+1} $$
4. 再次利用二项式系数的对称性：
我们已经证明了左边等于 $inom{m+n+1}{m+1}$。
现在看恒等式右边是 $inom{m+n+1}{n}$。
应用二项式系数的对称性到 $inom{m+n+1}{m+1}$：
$$ inom{m+n+1}{m+1} = inom{m+n+1}{(m+n+1)(m+1)} = inom{m+n+1}{n} $$
5. 结论：
我们成功地将恒等式的左边代数推导为 $inom{m+n+1}{n}$，这正是恒等式的右边。
因此，恒等式得证。
补充说明，让证明更“有温度”
这个恒等式在组合数学中非常常见，被称为“层叠恒等式”的变种。它本质上是通过对一个求和进行“重写”和“分组”来实现的。我们上面采用的代数方法，就是把求和的各项通过二项式系数的性质进行转化，最终与一个已知的组合恒等式（层叠恒等式）联系起来。
想象一下，层叠恒等式 $sum_{i=r}^{N} inom{i}{r} = inom{N+1}{r+1}$ 的组合意义是：我们从 $N+1$ 个物品中选 $r+1$ 个，相当于考虑这 $r+1$ 个物品中最小的编号，它可能从 $r$ 开始，到 $N+1$ 结束。
而我们最初的恒等式 $sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{k}$，通过 $inom{m+k}{k} = inom{m+k}{m}$ 变成了 $sum_{k=0}^{n} inom{m+k}{m}$。这个求和表示的是：
从 $m$ 个物品中选 $m$ 个：$inom{m}{m}$
从 $m+1$ 个物品中选 $m$ 个：$inom{m+1}{m}$
...
从 $m+n$ 个物品中选 $m$ 个：$inom{m+n}{m}$
当我们将这些项重新排列，并进行代换后，就完美地匹配了层叠恒等式的结构。它优雅地展示了不同的计数方法如何指向同一个结果。
希望这样的详细推导和解释，能够让你清晰地理解这个恒等式的代数证明过程。每一步都是基于二项式系数的基本定义和它们之间相互关联的属性。
网友意见
用二项式系数的语言，原题等价于
由二项式定理以及
可知：
于是便有：
根据(1)以及m≥n-r可知只需要对满足a+b=n-r的所有情况进行求和就可以得到结果，所以有：
证毕。
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