【组合数学】这个魔术有什么策略吗？
我最近看到一个版本，大概是这样的：
1. 表演者邀请一位观众，让他心里想一个1到100之间的任意整数。 （不是1到10，也不是1到20，而是1到100，范围挺大的。）
2. 然后，表演者会给观众一系列的指令，通常是“加、减、乘、除”这些基本运算。 比如：“把你心里想的数字乘以2，然后加上15，再减去你原来想的数字的一半……” 之类的。
3. 最后，经过这一连串的计算，魔术师会准确地报出观众最终得到的那个数字。
这就奇怪了，观众想的数字那么随机，怎么魔术师就能知道结果呢？我猜想，这其中肯定有某种“固定”的计算流程，无论观众一开始想的是什么，最后的结果都会指向一个特定的数字。
我的猜想（也是我在尝试寻找的“策略”）是这样的：
这个魔术的核心，我感觉应该是一种代数恒等式或者线性关系。
设观众心里想的数字是 $x$。
魔术师给出的一系列指令，本质上就是在对 $x$ 进行一系列的线性变换。比如：
“乘以2”： $2x$
“加上15”： $2x + 15$
“减去你原来想的数字的一半”： $(2x + 15) frac{x}{2}$
最后算出来的结果，就是 $(2x + 15) frac{x}{2} = frac{3}{2}x + 15$。
问题来了：
如果魔术师知道最终的结果是 $frac{3}{2}x + 15$，那么他怎么知道 $x$ 是多少呢？ 他不知道 $x$ 啊！
这说明，我上面的这个例子可能是简化得太厉害了。真实的魔术可能不是直接让你算出一个与 $x$ 相关的表达式，而是通过一系列操作，消掉 $x$，或者把 $x$ 变成一个恒定不变的值。
我进一步推测，魔术师的“策略”可能集中在以下几个方面：
1. 消元（Elimination of the Variable）：
最理想的情况是，所有的计算步骤加起来，最终的结果是一个纯粹的常数，跟 $x$ 完全无关。
比如，如果魔术师让你这样算：
想一个数字 $x$。
乘以 5： $5x$
减去你原来想的数字的 5 倍： $5x 5x = 0$
加上 27： $0 + 27 = 27$
那么，无论你开始想什么，最后结果永远是 27。
当然，这太明显了，魔术师不会这么直接。更可能的情况是，一些步骤会引入 $x$，另一些步骤又会巧妙地“抵消”掉 $x$。
2. 线性变换与特定结果（Linear Transformations to a Specific Result）：
即使 $x$ 没有完全被消掉，魔术师可能设计一系列操作，使得对于任何一个符合条件的 $x$，最终的结果都会落在某个预设的范围内，或者特定几个数值中的一个。
让我举一个更复杂的例子（虽然还不是实际魔术的完整描述，只是为了说明思路）：
设观众想一个 $x$（1到100）。
乘以 3： $3x$
加上 6： $3x + 6$
除以 3： $frac{3x+6}{3} = x + 2$
减去你最初想的数字： $(x+2) x = 2$
你看，这个例子里，“除以 3”是关键。如果观众想的数字 $x$ 是一个不能被 3 整除的数，那么中间步骤 $frac{3x+6}{3}$ 就会出现小数。大多数魔术师可能会要求观众想“整数”，但不一定能保证中间步骤的商是整数。
所以，这里的策略就可能是：
设计一组操作，使得无论 $x$ 是多少，最终结果都能被表示成 $ax + b$ 的形式。
然后，魔术师会“猜”一个固定的结果，比如 27。
他再根据自己设计的 $ax+b$ 表达式，倒推出 $x$ 应该满足的条件。
比如，如果他设计的是 $x+2$，他可能不直接说结果是 $x+2$，而是会说：“现在，你脑袋里最终得到的那个数字，是不是一个偶数？”或者“它和你最开始想的那个数字比，是不是大了2？”
这就有意思了！ 魔术师不是直接猜出最终数字，而是通过引导你回忆一些与最终数字相关的属性，然后利用这些属性来“确定”你心中的那个数字。
更进一步的思考：
“1到100”这个范围很重要。 为什么是1到100，而不是1到10？ 可能是因为更大的范围，让观众觉得更随机，难以猜测。也可能与某些特定的算法有关，比如涉及到一些查找表或者编码。
顺序是固定的。 魔术师给的指令顺序是固定的，而且他会要求你严格按照顺序执行。这保证了代数表达式的唯一性。
“心里想”和“执行”的界限。 魔术师通常不会让你把每一步的结果写下来。这是关键。他让你“心里想”或者“默默计算”。这里面可能有心理学上的暗示，或者魔术师会观察你的微表情（虽然这有点跑题了，但魔术总是有多层含义）。
魔术师的“报数”方式。 他报出的数字，可能不是你最终算出来的那个数字，而是经过某些转换或者只是一个“巧合”的数字。
回到代数，如果魔术师是这样设计的：
设观众想一个 $x$。
1. $y = x imes a + b$
2. $z = y imes c + d$
3. ... 最终得到 $Z = f(x)$
如果魔术师的目标是让你最终得到一个特定值 $K$，那么他需要设计 $f(x)$ 使得 $f(x) = K$ 对所有 $x$ 都成立，或者 $f(x)$ 的结果有一定的规律。
最经典的“消 $x$”的模式：
想一个数 $x$。
乘以 $a$： $ax$
加上 $b$： $ax + b$
减去 $x$ 乘以 $a$： $(ax + b) ax = b$
加上 $c$： $b + c$
最终结果就是 $b+c$。
但魔术师的指令不会这么直白。 他们会用更“迷惑”的语言。例如，“加上你数字的两倍”就等同于“乘以3”，而“减去你原来的数字”就等同于“结果再乘以1”。
例如，一个可能的操作序列（为了演示，我会用数学形式，但魔术师的语言会更隐晦）：
观众想 $x$ (1100)。
1. “把你心里想的数字，想象成一个物品的数量，现在把这个数量增加一倍。”
$x ightarrow 2x$
2. “然后，再给这个数量加上 10。”
$2x ightarrow 2x + 10$
3. “现在，请你把你最开始想的那个数字，再乘以 2，然后告诉我。”
魔术师问出 $2x$
4. “很好。现在，你手上的数字，减去我刚才问你的那个数字。”
$(2x + 10) 2x = 10$
5. “最后，请你把这个最终得出的数字，加上 5。”
$10 ightarrow 10 + 5 = 15$
在这种设计下，最终结果就是 15。魔术师在过程中问出 $2x$，看似是在收集信息，实则是在确认自己设计的表达式是否正确（或者说，确认观众没有在他给出指令时出错），同时还能增强魔术的效果，让观众觉得他真的“知道”你脑子里的数字。
总结一下，我认为这个魔术的策略，或者说“组合数学”的体现，主要在于：
构建一个包含未知数 $x$ 的代数表达式。
通过一系列精心设计的运算，使得这个表达式最终简化为 $ax+b$ 的形式，或者干脆消去 $x$，变成一个常数。
更巧妙的做法是，让表达式简化为 $x$ 的某个倍数加上一个常数，比如 $kx+c$。然后魔术师通过某种方式（例如，引导观众回忆最终结果与 $x$ 的关系），来“推算出” $x$ 的值，或者直接“猜中”他自己预设的最终结果 $kx+c$。
“1到100”这样的范围，可能限制了 $x$ 的取值，确保了某些运算（如除法）不会产生难以处理的分数，或者与魔术师预设的“答案”相匹配。
所以，它不是什么神秘的心灵感应，而是玩转数字和代数的把戏。魔术师做的，就是设计一个“陷阱”，让任何一个符合条件的数字 $x$ 掉进去后，都变成他想要的那个结果。关键在于如何用日常语言包装这些数学操作，让它看起来不像数学计算，更像是一种“心灵感应”。
我还在琢磨有没有更深层的数学原理，比如涉及到模运算或者其他数论知识，但就我目前理解的版本来说，代数和恒等式的运用是最核心的。
网友意见
由于全体魔术牌是连续的自然数，所以当观众拿走选牌时，必定会造成空缺。但是当观众把牌分两半分别交给A、B，这个空缺被隐藏在其他空缺中——A缺的牌在B手中，反之亦然。所以问题的难点在于如何将A与B手牌中的空缺编码为一张牌，然后交给C使其自行判断。
作为魔术师A或B，我们先将手中的牌升序排列：
然后将这些数字加起来：
当然这些数字太大，不存在这样的手牌，所以我们必须对这些大数进行处理，比如AB分别取若干不同的模运算浓缩为一个数，然后C利用中国同余定理还原AB的数字。
这里有一个技术细节：如果取模后，余数手牌不在手上怎么办？这个可以通过打手势进行约定。比如，我计算得到的数是4，但我只有手牌2与之最接近，那就拿食指中指这2根手指并拢捏住牌头，表示+2；如果手牌只有6与之最近，则用2根手指捏住牌尾，表示-2……或者其他类似的方式告诉C。
接下来的事情就很简单了。
首先把AB两个数都加起来，我们得到的就是所有的牌的和 减去观众拿的牌 ： ，那么显然所求就是 . 按照我们上面的例子计算：
于是得到 ，即为所求。
所以如何运用中国剩余法呢？
比如对于上例，我们取模数 ，于是AB两魔术师分别得到
如果我们现在是魔术师C，现在运用中国剩余定理求出 ，我们以 为例：
求出同余逆： ，即
即得
最后得 ，即
显然 ， 于是 即为所得。
接下来，我们研究如何让A和B可以分别通过一张牌，将各自的两个余数传递给魔术师C。
上文已经讨论了一个余数传递的方法，但是第二个余数该如何传递呢？利用花色。
有几个尖点，就是几。（刘谦在B站魔术课讲过。）
这几个余数够用吗？无论是模 或者模 ，显然余数不够多啊。我们可以利用负数表示——
比如我们想表示模 余 ，因为 ，我们可以把黑桃倒过来表示 ……如何表示余数为 ？我们可以将牌背面递给魔术师C。这样一来，我们可以表示任何情况了。
有几位网友说：你这打手势不好吧，牌又没说有花色……
我声明一下，我只是在构思一个可行的魔术表演，而不是单纯的做题。尽量去还原题主想实现的魔术效果，奈何本人能力有限，如果有大神能想到更好的方法，请分享出来，就别指责我没看题了。
总之别被题目条件所拘束了，开开脑洞也好啊。这个魔术如果严格遵循条件规规矩矩，很有可能是无解的，如果就此止步，岂不会错过更有趣的想法？
依题意，答案是仅在n=1时存在策略。下面证明n≥2时不存在策略。
（我在这里尽力讲得比较清楚详细，以便没多少数学基础的朋友也能完全理解，因而篇幅较长，一次看不完建议收藏）
首先假设n≥2时策略存在。
你现在是魔术师A。你看了看手里被发到的n张牌，审慎地选择其中一张，丢了出去。
设你已丢出的牌为a，B将要丢出的牌为b，而C手里的最后一张牌为c。那么，在已知a的情况下，只需要再知晓b，C就能判断出c了。
魔术师B的计算力很差，他在纠结。我们不妨多给他一些时间。
趁这时候，你的大脑开始了运算。“假如我看到了b，我能求出c吗？——哦对，我的信息量比C大，C能求出来我也一定能！”
你注意到这是一个函数关系，在已知你手里的n张牌的前提下，b决定了c。不妨写作b→c，或者f(b)=c，或者“b撅了c”。
你只知道自己手上的n张牌，因此在你看来c有n+1种可能的取值。“每种未来都是可能的”，你这么想着，脑海里出现了n+1个b→c的式子。显然这是个定义域与值域相同、且满足双射（一一对应）的函数。剩余n+1个b的取值，对应了n+1个c的取值。
但是，等等，它们之间有多少个“圈”？
比如3→5，且5→3，就构成了一个头尾相连、长度为2的“圈”。这个圈可以更长，比如1→2，2→4，4→1，长度为3，也可以简写作1→2→4→1。最长的情况下，则是n+1个数全体连成一个大圈。
这n+1个数必然要形成1个或多个圈，因为每个数在撅另一个数的同时也在被另一个数撅，没有头尾，只能成圈。同一组的b与c不能相同，不能自撅，故圈长至少为2。
这时你又意识到了一个问题：你与C目前的信息量不同，你所知的信息量是大于C的。C只知道你丢出的一张牌，而你知道n张。你可以根据自己拿到的n张牌确定a，C却不能根据这个a反推出你拿到的n张牌。
（也许存在某些a，可以推出n张牌，但不可能每个a都成立，因为n张牌的可能取值是多于一张牌的。并且考虑策略必须照顾到最坏的情况。这点会在后面详细说明）
C可以排除一些可能的c的取值，但不能像你一样排除掉n个那么多。因此在现在的C的脑海里，同样存在着函数b→c，但有不止n+1个式子。
C的函数在已知a的情况下成立。并且它与a是兼容的，你和C看到同一个b以后推测出的还是同一个c。因此这个函数与之前那个函数相比，原有部分不变，只是定义域和值域扩大了。（就像全体雏草姬之于银趴小团体）
并且“撅与被撅”的关系依旧保持了。即原有的“圈”没少，但多了其他的“圈”。
你把目光投向C，随即又虚心地移开了——他也在看着你。“他是不是暗恋我？不不不……他应该也是在推测我的想法吧！他不知道我的n张牌，但他知道我的函数有n+1个取值……等等，那他就可以从他的圈里边挑出一些，使得各圈长度之和为n+1，猜测这是我的函数。”
打个比方，n=2时，假设你拿到1和2丢出了2，那么在你的函数里，345应该组成一个大圈。而在C的函数里，同样存在着345的圈，且2已被排除、1单个不能成圈也排除，那么C的信息量实际上与你相等了。这是与先前结论矛盾的。
——所以n=2时不行。
（看到这里可以休息一下）
现在我们要用另一种方法（当然会用到之前的结论。这需要你把“圈”的概念搞懂。这些结论简单且实用，记一记没坏处），来把这个问题一网打尽。
之前说过，你可以通过n张牌推出a，C却没法通过a推出n张牌，最多只能猜测几种可能。
那么，C具体需要提出多少种可能？
现在请把你的人格代入C，并且把时间追溯到A出牌之前。现在A还未出牌，但你知道自己一旦知晓了a，就会自动生成b→c的函数，并且这里边包含了许多圈圈……
A手里的牌是2n+1里选n张，有Cⁿ₂ₙ₊₁种可能。a这张牌的可能取值则有2n+1种。显然，至少有一张牌对应了至少Cⁿ₂ₙ₊₁/(2n+1)种可能性。
也就是说，如果A打出的是那张牌，你就只能把对A手牌构成的猜测压缩到Cⁿ₂ₙ₊₁/(2n+1)种。不能再少了。
然而，在A打出a后，你的函数最多剩余2n个取值（排除a），它们最多组成n个圈，而只有长度之和为n+1的几个圈，才有可能是A视角里的函数。
我们不妨往大了算。假设总共就是n个圈，且每n/2个圈长度之和都为n+1，那我们可以用另一种方式猜测A的手牌构成：从中选n/2个圈，视为A视角里的函数取值。但这些圈里挑一半出来的组合数，最多最多也只有Cˣ₂ₓ种（x就是n/2……手机打字体谅一下）。
而n≥3的时候，Cⁿ₂ₙ₊₁/(2n+1)是恒大于Cˣ₂ₓ的。
一方面，你知道这张牌绝对代表着那么多种可能性；另一方面，你居然又能压缩得更少……那排除掉的可能性哪去了？A既可能拿着这些牌，又不可能……我疯了，你随意。
综上所述，n≥2时与题设矛盾，不存在成立的策略。并且我们这里甚至还没代入B的心理，也就是说，即使B可以先看a再给牌，依旧不存在策略……（这里其实我有点怀疑，可能有误，烦请高手指出）
而若要在现实中演绎，则可参考 @三川啦啦啦 的做法。
就酱。
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