为什么九宫格外面一圈数字顺时针或逆时针排列组成的八位数都能被 11 整除？
这个问题很有趣！让我们来深入探讨一下为什么九宫格外圈数字顺时针或逆时针排列组成的八位数都能被 11 整除。
首先，我们先明确一下九宫格外圈的数字排列。通常我们指的是数字 1 到 9 在一个 3x3 的网格中，而外圈就是除了中心数字以外的所有数字。
九宫格外圈的数字按顺时针或逆时针顺序排列，可以得到不同的八位数。这里提到的“顺时针或逆时针排列”是指从九宫格外围的某一个数字开始，沿着外围的路径，连续地将数字串联起来形成一个八位数。
核心原理：11 的整除判别法
要理解这个问题，我们首先需要回顾一下判断一个数是否能被 11 整除的规则：
一个数能被 11 整除，当且仅当它的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除（包括 0）。
例如，对于一个八位数 $abcdefgh$：
奇数位数字之和是 $a + c + e + g$
偶数位数字之和是 $b + d + f + h$
如果 $(a + c + e + g) (b + d + f + h)$ 可以被 11 整除，那么这个八位数就能被 11 整除。
分析九宫格外圈数字的结构
让我们看看九宫格外圈的数字是如何分布的。假设中心数字是 $x$（在 19 之间），那么外圈的数字就是 ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} setminus {x}$。外圈有八个数字。
外圈的数字按顺序排列，我们可以将其看作是 1 到 9 这九个数字（除了中心数字 $x$）的一种特定排列。
关键点：数字的相对位置和总和
让我们考虑一个通用的情况。假设我们有一个八位数，它的数字是 $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 d_8$。
根据 11 的整除判别法，我们需要检查 $(d_1 + d_3 + d_5 + d_7) (d_2 + d_4 + d_6 + d_8)$ 是否能被 11 整除。
现在，我们来看九宫格外圈的数字是如何组成的。无论我们如何选择起始点，以及顺时针还是逆时针排列，我们实际上是选取了除了中心数字 $x$ 之外的其余八个数字，并将它们进行某种排序。
一个重要的观察：中心数字的角色
让我们考虑一个特殊的九宫格，例如“幻方”九宫格，但这里我们不需要幻方的性质，只需要九宫格的数字布局。
假设我们有一个九宫格，其中中心数字是 $x$。外圈的数字是 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 中除了 $x$ 以外的八个数字。
情景一：中心数字为 5
如果中心数字是 5，那么外圈的数字就是 ${1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}$。
让我们尝试顺时针排列，从 1 开始：
1 2 3
8 5 4
7 6 9
顺时针排列（从 1 开始）：12346978
奇数位和：$1 + 3 + 6 + 7 = 17$
偶数位和：$2 + 4 + 9 + 8 = 23$
差值：$17 23 = 6$
6 不能被 11 整除。
这里似乎出现了矛盾！让我们重新审视一下问题描述。是不是对“九宫格外面一圈数字”的理解有问题？
通常我们说的九宫格外圈，是指九宫格的边上的八个数字。而不是除了中心之外的所有数字。
让我们以标准的九宫格布局为例：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
外圈的数字是 8, 1, 6, 7, 2, 9, 4, 3。
让我们来分析这个标准的九宫格外圈的数字：
数字：8, 1, 6, 7, 2, 9, 4, 3
顺时针排列（从 8 开始）：81672943
奇数位和：$8 + 6 + 2 + 4 = 20$
偶数位和：$1 + 7 + 9 + 3 = 20$
差值：$20 20 = 0$
0 可以被 11 整除，所以 81672943 可以被 11 整除。
逆时针排列（从 8 开始）：83492761
奇数位和：$8 + 4 + 2 + 6 = 20$
偶数位和：$3 + 9 + 7 + 1 = 20$
差值：$20 20 = 0$
0 可以被 11 整除，所以 83492761 可以被 11 整除。
让我们尝试从另一个数字开始，例如 1（顺时针）：16729438
奇数位和：$1 + 7 + 9 + 4 = 21$
偶数位和：$6 + 2 + 3 + 8 = 19$
差值：$21 19 = 2$
2 不能被 11 整除。
这里又出现了问题！这表明我的对“九宫格外面一圈数字顺时针或逆时针排列”的理解或者你提问的“九宫格”不符合我默认的那个标准九宫格。
更精确的提问理解：
“九宫格外面一圈数字” 指的是在 3x3 的格子中，除去中心格子的其他八个格子中的数字。
让我们假设一种通用的九宫格布局，其中中心数字是 $c$，外圈的八个数字是 $d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6, d_7, d_8$。
通常，“九宫格外面一圈数字顺时针或逆时针排列”是指将这八个数字按照它们在九宫格外围的物理位置顺序连接起来。
为了让问题成立，这八个数字以及它们在九宫格中的相对位置必须具有某种特殊的属性。
关键推论：外圈数字的和以及其奇偶位置的分布
让我们考虑一个一般的 3x3 九宫格，中心数字为 $c$，外圈数字为 $a_1, a_2, a_3$ (第一行)，$a_4, a_5$ (第二行左右)，$a_6, a_7, a_8$ (第三行)。
标准的九宫格例子：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
外圈数字是：8, 1, 6, 7, 2, 9, 4, 3
如果问题是基于任何包含 19 的九宫格，那么这个命题就不成立。
因此，这一定与某个特定的九宫格布局有关。最经典的与数字 19 相关的九宫格就是幻方。
幻方九宫格的性质
在一个 3x3 的幻方九宫格中，每行、每列以及两条对角线的数字之和都相等。对于数字 1 到 9 的幻方，这个和是 (1+2+...+9)/3 = 45/3 = 15。
让我们再次以幻方九宫格为例：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
中心数字是 5。
外圈数字是 8, 1, 6, 7, 2, 9, 4, 3。
我们将它们按顺时针顺序排列（从上边中间的 1 开始）：
1 6 7 2 9 4 3 8
奇数位和：$1 + 7 + 9 + 3 = 20$
偶数位和：$6 + 2 + 4 + 8 = 20$
差值：$20 20 = 0$ (可被 11 整除)
逆时针顺序（从上边中间的 1 开始）：
1 8 3 4 9 2 7 6
奇数位和：$1 + 3 + 9 + 7 = 20$
偶数位和：$8 + 4 + 2 + 6 = 20$
差值：$20 20 = 0$ (可被 11 整除)
现在，关键在于为什么是这样？
让我们来看幻方的结构：
$ egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{pmatrix} $
外圈数字（顺时针，从 $a_{12}$ 开始）：$a_{12}, a_{13}, a_{23}, a_{33}, a_{32}, a_{31}, a_{21}, a_{11}$
构成八位数：$N_1 = a_{12}a_{13}a_{23}a_{33}a_{32}a_{31}a_{21}a_{11}$
根据 11 的整除判别法：
奇数位和：$S_{odd} = a_{12} + a_{23} + a_{32} + a_{21}$
偶数位和：$S_{even} = a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11}$
我们需要证明 $S_{odd} S_{even}$ 能被 11 整除。
利用幻方的行和与列和
让我们写出幻方的行和与列和：
行1：$a_{11} + a_{12} + a_{13} = 15$
行2：$a_{21} + a_{22} + a_{23} = 15$
行3：$a_{31} + a_{32} + a_{33} = 15$
列1：$a_{11} + a_{21} + a_{31} = 15$
列2：$a_{12} + a_{22} + a_{32} = 15$
列3：$a_{13} + a_{23} + a_{33} = 15$
对角线1：$a_{11} + a_{22} + a_{33} = 15$
对角线2：$a_{13} + a_{22} + a_{31} = 15$
关键的组合方式
让我们尝试组合这些等式。我们想要凑出 $S_{odd}$ 和 $S_{even}$。
$S_{odd} = a_{12} + a_{23} + a_{32} + a_{21}$
$S_{even} = a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11}$
观察一下 $S_{odd}$ 和 $S_{even}$ 中包含的数字。它们正好是除了中心数字 $a_{22}$ 以外的所有外圈数字。
重要的观察角度：所有数字的总和与中心数字的关系
所有九个数字的总和是 $1 + 2 + ... + 9 = 45$。
我们知道 $a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{31} + a_{32} + a_{33} = 45$。
我们想计算的是 $(a_{12} + a_{23} + a_{32} + a_{21}) (a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11})$。
这可以写成：
$(a_{12} + a_{23} + a_{32} + a_{21}) (a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11})$
$= (a_{12} + a_{23} + a_{32} + a_{21} + a_{11} + a_{13} + a_{31} + a_{33}) 2(a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11})$
$= (45 a_{22}) 2(a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11})$
这个形式似乎也不太直接。
让我们回到幻方的性质，特别是中心数字和。
有一个性质是，任意一行或一列或对角线上的数字之和为 15。
而中心数字 $a_{22}$ (在幻方中是 5) 与外围数字有特殊关系。
考虑对角线和列：
$(a_{11} + a_{22} + a_{33}) = 15$ => $a_{11} + a_{33} = 15 a_{22}$
$(a_{13} + a_{22} + a_{31}) = 15$ => $a_{13} + a_{31} = 15 a_{22}$
$(a_{12} + a_{22} + a_{32}) = 15$ => $a_{12} + a_{32} = 15 a_{22}$
$(a_{21} + a_{22} + a_{23}) = 15$ => $a_{21} + a_{23} = 15 a_{22}$
将这些代入我们的 $S_{odd}$ 和 $S_{even}$：
$S_{odd} = a_{12} + a_{23} + a_{32} + a_{21}$
$S_{odd} = (a_{12} + a_{32}) + (a_{21} + a_{23})$
$S_{odd} = (15 a_{22}) + (15 a_{22})$
$S_{odd} = 30 2a_{22}$
$S_{even} = a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11}$
$S_{even} = (a_{13} + a_{31}) + (a_{11} + a_{33})$
$S_{even} = (15 a_{22}) + (15 a_{22})$
$S_{even} = 30 2a_{22}$
现在计算差值：
$S_{odd} S_{even} = (30 2a_{22}) (30 2a_{22}) = 0$
零当然能被 11 整除！
这个证明依赖于九宫格是一个“幻方”。
在 19 的幻方中，中心数字必须是 5。
那么 $S_{odd} = 30 2(5) = 20$
$S_{even} = 30 2(5) = 20$
差值是 0。
逆时针排列的分析
如果从另一个方向排列呢？
比如从 $a_{12}$ 开始逆时针：$a_{12}, a_{11}, a_{21}, a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{23}, a_{13}$
构成的八位数：$N_2 = a_{12}a_{11}a_{21}a_{31}a_{32}a_{33}a_{23}a_{13}$
奇数位和：$S'_{odd} = a_{12} + a_{21} + a_{32} + a_{33}$
偶数位和：$S'_{even} = a_{11} + a_{31} + a_{32} + a_{23}$
这个的差值是：
$(a_{12} + a_{21} + a_{32} + a_{33}) (a_{11} + a_{31} + a_{32} + a_{23})$
$= (a_{12} + a_{21} + a_{33}) (a_{11} + a_{31} + a_{23})$
这个似乎不一定等于零。
重新审视排列顺序和奇偶位
让我们仔细观察顺时针排列时奇偶位数字的组合。
顺时针排列（从上边中间开始）：$a_{12}, a_{13}, a_{23}, a_{33}, a_{32}, a_{31}, a_{21}, a_{11}$
奇数位：$a_{12}, a_{23}, a_{32}, a_{21}$ (这些数字在九宫格中的相对位置是：上中，右中，下中，左中)
偶数位：$a_{13}, a_{33}, a_{31}, a_{11}$ (这些数字在九宫格中的相对位置是：右上，右下，左下，左上)
观察一下，这正好是将外围的四个“角”数字（$a_{11}, a_{13}, a_{31}, a_{33}$）和四个“边中”数字（$a_{12}, a_{21}, a_{23}, a_{32}$）分成了两组。
组 1 (奇数位)： $a_{12}, a_{23}, a_{32}, a_{21}$ (连接中心数字的边上的数字)
组 2 (偶数位)： $a_{13}, a_{33}, a_{31}, a_{11}$ (角落里的数字)
我们已经证明了，在幻方中，每对“相对位置”的数字（如 $a_{11}$ 和 $a_{33}$，$a_{13}$ 和 $a_{31}$，$a_{12}$ 和 $a_{32}$，$a_{21}$ 和 $a_{23}$）之和等于 $30 2 imes ( ext{中心数字}) = 30 2 imes 5 = 20$。
在顺时针排列的八位数中：
奇数位数字是：$a_{12}, a_{23}, a_{32}, a_{21}$
偶数位数字是：$a_{13}, a_{33}, a_{31}, a_{11}$
我们可以将它们重新组合成对：
$(a_{12} + a_{32}) + (a_{23} + a_{21})$ 这是奇数位的和。
$(a_{13} + a_{31}) + (a_{11} + a_{33})$ 这是偶数位的和。
因为在幻方中，
$a_{12} + a_{32} = 15 a_{22} = 10$
$a_{23} + a_{21} = 15 a_{22} = 10$
所以奇数位和 $S_{odd} = 10 + 10 = 20$。
$a_{13} + a_{31} = 15 a_{22} = 10$
$a_{11} + a_{33} = 15 a_{22} = 10$
所以偶数位和 $S_{even} = 10 + 10 = 20$。
差值是 $20 20 = 0$。
那么逆时针排列呢？
让我们以从上边中间的 1 开始逆时针排列：1 8 3 4 9 2 7 6
数字是：$a_{12}, a_{11}, a_{21}, a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{23}, a_{13}$
奇数位：$a_{12}, a_{21}, a_{32}, a_{23}$
偶数位：$a_{11}, a_{31}, a_{33}, a_{13}$
奇数位和： $a_{12} + a_{21} + a_{32} + a_{23} = (a_{12} + a_{32}) + (a_{21} + a_{23}) = 10 + 10 = 20$
偶数位和： $a_{11} + a_{31} + a_{33} + a_{13} = (a_{11} + a_{33}) + (a_{31} + a_{13}) = 10 + 10 = 20$
差值：$20 20 = 0$。
结论：
这个命题成立的关键在于所使用的九宫格是 19 的数字填写的幻方。
在 19 的幻方中，中心数字是 5。
外围的八个数字可以被分为两组：
1. 连接中心数字的四个边上的数字 ($a_{12}, a_{23}, a_{32}, a_{21}$)。
2. 四个角落的数字 ($a_{11}, a_{13}, a_{31}, a_{33}$)。
由于幻方的性质，每一对相对位置的数字之和都是相等的，并且等于两次中心数字的特定组合 (30 2 中心数字)。
$a_{12} + a_{32} = 15 5 = 10$
$a_{21} + a_{23} = 15 5 = 10$
$a_{11} + a_{33} = 15 5 = 10$
$a_{13} + a_{31} = 15 5 = 10$
当我们将外围的八个数字按顺时针（或以相同方式选择起始点和方向的逆时针）排列时，形成的八位数：
顺时针排列 (从 $a_{12}$ 开始): $a_{12}a_{13}a_{23}a_{33}a_{32}a_{31}a_{21}a_{11}$
奇数位：$a_{12}, a_{23}, a_{32}, a_{21}$。它们的和是 $(a_{12} + a_{32}) + (a_{23} + a_{21}) = 10 + 10 = 20$。
偶数位：$a_{13}, a_{33}, a_{31}, a_{11}$。它们的和是 $(a_{13} + a_{31}) + (a_{11} + a_{33}) = 10 + 10 = 20$。
差值是 $20 20 = 0$，可被 11 整除。
逆时针排列 (从 $a_{12}$ 开始): $a_{12}a_{11}a_{21}a_{31}a_{32}a_{33}a_{23}a_{13}$
奇数位：$a_{12}, a_{21}, a_{32}, a_{23}$。它们的和是 $(a_{12} + a_{32}) + (a_{21} + a_{23}) = 10 + 10 = 20$。
偶数位：$a_{11}, a_{31}, a_{33}, a_{13}$。它们的和是 $(a_{11} + a_{33}) + (a_{31} + a_{13}) = 10 + 10 = 20$。
差值是 $20 20 = 0$，可被 11 整除。
总结：
您所描述的现象成立的前提是这个九宫格是 1 到 9 的数字填写的幻方。在这样的幻方中，中心数字为 5，并且外围的八个数字具有特定的对称为和的结构，使得按照顺时针或逆时针的特定顺序排列时，形成的八位数的奇数位数字之和恰好等于偶数位数字之和。这个等式导致了它们之差为 0，从而保证了该八位数能被 11 整除。
如果使用的不是幻方，或者不是 19 的数字填充，这个结论就不一定成立了。
首先，我们先明确一下九宫格外圈的数字排列。通常我们指的是数字 1 到 9 在一个 3x3 的网格中，而外圈就是除了中心数字以外的所有数字。
九宫格外圈的数字按顺时针或逆时针顺序排列，可以得到不同的八位数。这里提到的“顺时针或逆时针排列”是指从九宫格外围的某一个数字开始，沿着外围的路径，连续地将数字串联起来形成一个八位数。
核心原理：11 的整除判别法
要理解这个问题，我们首先需要回顾一下判断一个数是否能被 11 整除的规则：
一个数能被 11 整除，当且仅当它的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除（包括 0）。
例如，对于一个八位数 $abcdefgh$：
奇数位数字之和是 $a + c + e + g$
偶数位数字之和是 $b + d + f + h$
如果 $(a + c + e + g) (b + d + f + h)$ 可以被 11 整除，那么这个八位数就能被 11 整除。
分析九宫格外圈数字的结构
让我们看看九宫格外圈的数字是如何分布的。假设中心数字是 $x$（在 19 之间），那么外圈的数字就是 ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} setminus {x}$。外圈有八个数字。
外圈的数字按顺序排列，我们可以将其看作是 1 到 9 这九个数字（除了中心数字 $x$）的一种特定排列。
关键点：数字的相对位置和总和
让我们考虑一个通用的情况。假设我们有一个八位数，它的数字是 $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 d_8$。
根据 11 的整除判别法，我们需要检查 $(d_1 + d_3 + d_5 + d_7) (d_2 + d_4 + d_6 + d_8)$ 是否能被 11 整除。
现在，我们来看九宫格外圈的数字是如何组成的。无论我们如何选择起始点，以及顺时针还是逆时针排列，我们实际上是选取了除了中心数字 $x$ 之外的其余八个数字，并将它们进行某种排序。
一个重要的观察：中心数字的角色
让我们考虑一个特殊的九宫格，例如“幻方”九宫格，但这里我们不需要幻方的性质，只需要九宫格的数字布局。
假设我们有一个九宫格，其中中心数字是 $x$。外圈的数字是 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 中除了 $x$ 以外的八个数字。
情景一：中心数字为 5
如果中心数字是 5，那么外圈的数字就是 ${1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}$。
让我们尝试顺时针排列，从 1 开始：
1 2 3
8 5 4
7 6 9
顺时针排列（从 1 开始）：12346978
奇数位和：$1 + 3 + 6 + 7 = 17$
偶数位和：$2 + 4 + 9 + 8 = 23$
差值：$17 23 = 6$
6 不能被 11 整除。
这里似乎出现了矛盾！让我们重新审视一下问题描述。是不是对“九宫格外面一圈数字”的理解有问题？
通常我们说的九宫格外圈，是指九宫格的边上的八个数字。而不是除了中心之外的所有数字。
让我们以标准的九宫格布局为例：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
外圈的数字是 8, 1, 6, 7, 2, 9, 4, 3。
让我们来分析这个标准的九宫格外圈的数字：
数字：8, 1, 6, 7, 2, 9, 4, 3
顺时针排列（从 8 开始）：81672943
奇数位和：$8 + 6 + 2 + 4 = 20$
偶数位和：$1 + 7 + 9 + 3 = 20$
差值：$20 20 = 0$
0 可以被 11 整除，所以 81672943 可以被 11 整除。
逆时针排列（从 8 开始）：83492761
奇数位和：$8 + 4 + 2 + 6 = 20$
偶数位和：$3 + 9 + 7 + 1 = 20$
差值：$20 20 = 0$
0 可以被 11 整除，所以 83492761 可以被 11 整除。
让我们尝试从另一个数字开始，例如 1（顺时针）：16729438
奇数位和：$1 + 7 + 9 + 4 = 21$
偶数位和：$6 + 2 + 3 + 8 = 19$
差值：$21 19 = 2$
2 不能被 11 整除。
这里又出现了问题！这表明我的对“九宫格外面一圈数字顺时针或逆时针排列”的理解或者你提问的“九宫格”不符合我默认的那个标准九宫格。
更精确的提问理解：
“九宫格外面一圈数字” 指的是在 3x3 的格子中，除去中心格子的其他八个格子中的数字。
让我们假设一种通用的九宫格布局，其中中心数字是 $c$，外圈的八个数字是 $d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6, d_7, d_8$。
通常，“九宫格外面一圈数字顺时针或逆时针排列”是指将这八个数字按照它们在九宫格外围的物理位置顺序连接起来。
为了让问题成立，这八个数字以及它们在九宫格中的相对位置必须具有某种特殊的属性。
关键推论：外圈数字的和以及其奇偶位置的分布
让我们考虑一个一般的 3x3 九宫格，中心数字为 $c$，外圈数字为 $a_1, a_2, a_3$ (第一行)，$a_4, a_5$ (第二行左右)，$a_6, a_7, a_8$ (第三行)。
标准的九宫格例子：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
外圈数字是：8, 1, 6, 7, 2, 9, 4, 3
如果问题是基于任何包含 19 的九宫格，那么这个命题就不成立。
因此，这一定与某个特定的九宫格布局有关。最经典的与数字 19 相关的九宫格就是幻方。
幻方九宫格的性质
在一个 3x3 的幻方九宫格中，每行、每列以及两条对角线的数字之和都相等。对于数字 1 到 9 的幻方，这个和是 (1+2+...+9)/3 = 45/3 = 15。
让我们再次以幻方九宫格为例：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
中心数字是 5。
外圈数字是 8, 1, 6, 7, 2, 9, 4, 3。
我们将它们按顺时针顺序排列（从上边中间的 1 开始）：
1 6 7 2 9 4 3 8
奇数位和：$1 + 7 + 9 + 3 = 20$
偶数位和：$6 + 2 + 4 + 8 = 20$
差值：$20 20 = 0$ (可被 11 整除)
逆时针顺序（从上边中间的 1 开始）：
1 8 3 4 9 2 7 6
奇数位和：$1 + 3 + 9 + 7 = 20$
偶数位和：$8 + 4 + 2 + 6 = 20$
差值：$20 20 = 0$ (可被 11 整除)
现在，关键在于为什么是这样？
让我们来看幻方的结构：
$ egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{pmatrix} $
外圈数字（顺时针，从 $a_{12}$ 开始）：$a_{12}, a_{13}, a_{23}, a_{33}, a_{32}, a_{31}, a_{21}, a_{11}$
构成八位数：$N_1 = a_{12}a_{13}a_{23}a_{33}a_{32}a_{31}a_{21}a_{11}$
根据 11 的整除判别法：
奇数位和：$S_{odd} = a_{12} + a_{23} + a_{32} + a_{21}$
偶数位和：$S_{even} = a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11}$
我们需要证明 $S_{odd} S_{even}$ 能被 11 整除。
利用幻方的行和与列和
让我们写出幻方的行和与列和：
行1：$a_{11} + a_{12} + a_{13} = 15$
行2：$a_{21} + a_{22} + a_{23} = 15$
行3：$a_{31} + a_{32} + a_{33} = 15$
列1：$a_{11} + a_{21} + a_{31} = 15$
列2：$a_{12} + a_{22} + a_{32} = 15$
列3：$a_{13} + a_{23} + a_{33} = 15$
对角线1：$a_{11} + a_{22} + a_{33} = 15$
对角线2：$a_{13} + a_{22} + a_{31} = 15$
关键的组合方式
让我们尝试组合这些等式。我们想要凑出 $S_{odd}$ 和 $S_{even}$。
$S_{odd} = a_{12} + a_{23} + a_{32} + a_{21}$
$S_{even} = a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11}$
观察一下 $S_{odd}$ 和 $S_{even}$ 中包含的数字。它们正好是除了中心数字 $a_{22}$ 以外的所有外圈数字。
重要的观察角度：所有数字的总和与中心数字的关系
所有九个数字的总和是 $1 + 2 + ... + 9 = 45$。
我们知道 $a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{31} + a_{32} + a_{33} = 45$。
我们想计算的是 $(a_{12} + a_{23} + a_{32} + a_{21}) (a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11})$。
这可以写成：
$(a_{12} + a_{23} + a_{32} + a_{21}) (a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11})$
$= (a_{12} + a_{23} + a_{32} + a_{21} + a_{11} + a_{13} + a_{31} + a_{33}) 2(a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11})$
$= (45 a_{22}) 2(a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11})$
这个形式似乎也不太直接。
让我们回到幻方的性质，特别是中心数字和。
有一个性质是，任意一行或一列或对角线上的数字之和为 15。
而中心数字 $a_{22}$ (在幻方中是 5) 与外围数字有特殊关系。
考虑对角线和列：
$(a_{11} + a_{22} + a_{33}) = 15$ => $a_{11} + a_{33} = 15 a_{22}$
$(a_{13} + a_{22} + a_{31}) = 15$ => $a_{13} + a_{31} = 15 a_{22}$
$(a_{12} + a_{22} + a_{32}) = 15$ => $a_{12} + a_{32} = 15 a_{22}$
$(a_{21} + a_{22} + a_{23}) = 15$ => $a_{21} + a_{23} = 15 a_{22}$
将这些代入我们的 $S_{odd}$ 和 $S_{even}$：
$S_{odd} = a_{12} + a_{23} + a_{32} + a_{21}$
$S_{odd} = (a_{12} + a_{32}) + (a_{21} + a_{23})$
$S_{odd} = (15 a_{22}) + (15 a_{22})$
$S_{odd} = 30 2a_{22}$
$S_{even} = a_{13} + a_{33} + a_{31} + a_{11}$
$S_{even} = (a_{13} + a_{31}) + (a_{11} + a_{33})$
$S_{even} = (15 a_{22}) + (15 a_{22})$
$S_{even} = 30 2a_{22}$
现在计算差值：
$S_{odd} S_{even} = (30 2a_{22}) (30 2a_{22}) = 0$
零当然能被 11 整除！
这个证明依赖于九宫格是一个“幻方”。
在 19 的幻方中，中心数字必须是 5。
那么 $S_{odd} = 30 2(5) = 20$
$S_{even} = 30 2(5) = 20$
差值是 0。
逆时针排列的分析
如果从另一个方向排列呢？
比如从 $a_{12}$ 开始逆时针：$a_{12}, a_{11}, a_{21}, a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{23}, a_{13}$
构成的八位数：$N_2 = a_{12}a_{11}a_{21}a_{31}a_{32}a_{33}a_{23}a_{13}$
奇数位和：$S'_{odd} = a_{12} + a_{21} + a_{32} + a_{33}$
偶数位和：$S'_{even} = a_{11} + a_{31} + a_{32} + a_{23}$
这个的差值是：
$(a_{12} + a_{21} + a_{32} + a_{33}) (a_{11} + a_{31} + a_{32} + a_{23})$
$= (a_{12} + a_{21} + a_{33}) (a_{11} + a_{31} + a_{23})$
这个似乎不一定等于零。
重新审视排列顺序和奇偶位
让我们仔细观察顺时针排列时奇偶位数字的组合。
顺时针排列（从上边中间开始）：$a_{12}, a_{13}, a_{23}, a_{33}, a_{32}, a_{31}, a_{21}, a_{11}$
奇数位：$a_{12}, a_{23}, a_{32}, a_{21}$ (这些数字在九宫格中的相对位置是：上中，右中，下中，左中)
偶数位：$a_{13}, a_{33}, a_{31}, a_{11}$ (这些数字在九宫格中的相对位置是：右上，右下，左下，左上)
观察一下，这正好是将外围的四个“角”数字（$a_{11}, a_{13}, a_{31}, a_{33}$）和四个“边中”数字（$a_{12}, a_{21}, a_{23}, a_{32}$）分成了两组。
组 1 (奇数位)： $a_{12}, a_{23}, a_{32}, a_{21}$ (连接中心数字的边上的数字)
组 2 (偶数位)： $a_{13}, a_{33}, a_{31}, a_{11}$ (角落里的数字)
我们已经证明了，在幻方中，每对“相对位置”的数字（如 $a_{11}$ 和 $a_{33}$，$a_{13}$ 和 $a_{31}$，$a_{12}$ 和 $a_{32}$，$a_{21}$ 和 $a_{23}$）之和等于 $30 2 imes ( ext{中心数字}) = 30 2 imes 5 = 20$。
在顺时针排列的八位数中：
奇数位数字是：$a_{12}, a_{23}, a_{32}, a_{21}$
偶数位数字是：$a_{13}, a_{33}, a_{31}, a_{11}$
我们可以将它们重新组合成对：
$(a_{12} + a_{32}) + (a_{23} + a_{21})$ 这是奇数位的和。
$(a_{13} + a_{31}) + (a_{11} + a_{33})$ 这是偶数位的和。
因为在幻方中，
$a_{12} + a_{32} = 15 a_{22} = 10$
$a_{23} + a_{21} = 15 a_{22} = 10$
所以奇数位和 $S_{odd} = 10 + 10 = 20$。
$a_{13} + a_{31} = 15 a_{22} = 10$
$a_{11} + a_{33} = 15 a_{22} = 10$
所以偶数位和 $S_{even} = 10 + 10 = 20$。
差值是 $20 20 = 0$。
那么逆时针排列呢？
让我们以从上边中间的 1 开始逆时针排列：1 8 3 4 9 2 7 6
数字是：$a_{12}, a_{11}, a_{21}, a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{23}, a_{13}$
奇数位：$a_{12}, a_{21}, a_{32}, a_{23}$
偶数位：$a_{11}, a_{31}, a_{33}, a_{13}$
奇数位和： $a_{12} + a_{21} + a_{32} + a_{23} = (a_{12} + a_{32}) + (a_{21} + a_{23}) = 10 + 10 = 20$
偶数位和： $a_{11} + a_{31} + a_{33} + a_{13} = (a_{11} + a_{33}) + (a_{31} + a_{13}) = 10 + 10 = 20$
差值：$20 20 = 0$。
结论：
这个命题成立的关键在于所使用的九宫格是 19 的数字填写的幻方。
在 19 的幻方中，中心数字是 5。
外围的八个数字可以被分为两组：
1. 连接中心数字的四个边上的数字 ($a_{12}, a_{23}, a_{32}, a_{21}$)。
2. 四个角落的数字 ($a_{11}, a_{13}, a_{31}, a_{33}$)。
由于幻方的性质，每一对相对位置的数字之和都是相等的，并且等于两次中心数字的特定组合 (30 2 中心数字)。
$a_{12} + a_{32} = 15 5 = 10$
$a_{21} + a_{23} = 15 5 = 10$
$a_{11} + a_{33} = 15 5 = 10$
$a_{13} + a_{31} = 15 5 = 10$
当我们将外围的八个数字按顺时针（或以相同方式选择起始点和方向的逆时针）排列时，形成的八位数：
顺时针排列 (从 $a_{12}$ 开始): $a_{12}a_{13}a_{23}a_{33}a_{32}a_{31}a_{21}a_{11}$
奇数位：$a_{12}, a_{23}, a_{32}, a_{21}$。它们的和是 $(a_{12} + a_{32}) + (a_{23} + a_{21}) = 10 + 10 = 20$。
偶数位：$a_{13}, a_{33}, a_{31}, a_{11}$。它们的和是 $(a_{13} + a_{31}) + (a_{11} + a_{33}) = 10 + 10 = 20$。
差值是 $20 20 = 0$，可被 11 整除。
逆时针排列 (从 $a_{12}$ 开始): $a_{12}a_{11}a_{21}a_{31}a_{32}a_{33}a_{23}a_{13}$
奇数位：$a_{12}, a_{21}, a_{32}, a_{23}$。它们的和是 $(a_{12} + a_{32}) + (a_{21} + a_{23}) = 10 + 10 = 20$。
偶数位：$a_{11}, a_{31}, a_{33}, a_{13}$。它们的和是 $(a_{11} + a_{33}) + (a_{31} + a_{13}) = 10 + 10 = 20$。
差值是 $20 20 = 0$，可被 11 整除。
总结：
您所描述的现象成立的前提是这个九宫格是 1 到 9 的数字填写的幻方。在这样的幻方中，中心数字为 5，并且外围的八个数字具有特定的对称为和的结构，使得按照顺时针或逆时针的特定顺序排列时，形成的八位数的奇数位数字之和恰好等于偶数位数字之和。这个等式导致了它们之差为 0，从而保证了该八位数能被 11 整除。
如果使用的不是幻方，或者不是 19 的数字填充，这个结论就不一定成立了。
网友意见
被 整除的充要条件是：这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和，两者的差为 的倍数。而九宫格外圈的数字无论怎么转，都是对同一批数字进行这一操作。
例如 ，
是任何自然数的倍数，于是 可以被 整除。如果逆时针“转”一下，变成 ，我们发现原来在奇数位的数字跑到了偶数位，偶数位跑到了奇数位，但仍然是它们在求差。如果再“转”一下，奇、偶数位又回归原位。也就是说，被11整除在这一变换以及其逆下保持不动。
事实上，任意一个偶数位长的11的倍数都有这样的性质。
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