为什么不能用 0 做除数？
想象一下，我们从小学习数学，就是从计数、加法开始的，然后是减法、乘法，最后是除法。每一步都有其深刻的道理。除法，本质上是“平均分”或者“看包含多少个”。
先从“平均分”的角度理解：
假设你有10个苹果，你要把它们平均分给2个朋友。你自然会想到，每个人分5个（10 ÷ 2 = 5）。这里的“÷ 2”就意味着“分成2份”。
现在，你又有10个苹果，你想把它们平均分给“0个”朋友。这听起来就很奇怪，对吧？你没有朋友，怎么分呢？你想要把这10个苹果分到“不存在”的地方，这在现实世界里根本就是不可能操作的。数学作为现实世界的抽象和描述，也必然要反映这一点。
再从“包含多少个”的角度理解：
10 ÷ 2 = 5，可以理解为：10里面有多少个2？数一数，10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2，一共有5个2。
那么，10 ÷ 0 = ？ 意思就是：10里面有多少个0？ 你可以不断地加上0：0 + 0 + 0 + 0... 无论你加多少个0，结果永远是0。你永远也无法凑出10来。所以，这个问题就没有一个确定的答案。
从乘法的逆运算来看（这是更严格的数学解释）：
我们知道，乘法和除法是互逆的运算。也就是说，如果 a ÷ b = c，那么一定有 b × c = a。
现在我们尝试让除数为0：
假设我们能计算 a ÷ 0 = x。那么根据乘法逆运算的定义，就应该有 0 × x = a。
我们知道任何数乘以0都等于0。所以，0 × x 的结果永远是0，无论x是什么数。
情况一：如果 a 不是0（比如 a = 10）
那么我们就得到方程 0 × x = 10。但我们知道，0乘以任何数都等于0，所以这个方程是无解的。这意味着，不存在一个数x，能够使得10除以0得到它。
情况二：如果 a 就是0（比如 a = 0）
那么我们就得到方程 0 × x = 0。这时候，x可以是任何数！因为0乘以1是0，0乘以5是0，0乘以1000也是0。所以，0 ÷ 0 的结果不是一个唯一的数，它可能是任何数。在数学中，我们要求运算的结果必须是唯一确定的，否则就会导致混乱和矛盾。所以，0 ÷ 0 也是不允许的。
为什么数学要这么规定？
数学是一门严谨的、逻辑自洽的科学。它的规则是为了保证整个体系的稳定和一致。如果允许用0做除数，就会立刻引出矛盾，破坏数学的逻辑结构。
想象一下，如果我们允许0 ÷ 0 = 5，同时又允许0 ÷ 0 = 10，那么同一个算式有了两个不同的答案，数学将不再可靠。如果我们允许 10 ÷ 0 = x，那么 0 × x = 10，这就破坏了乘法和除法之间的联系。
总结来说，不能用0做除数，是因为：
1. 从概念上讲，无法进行“平均分”或“包含多少个”的意义理解。
2. 从运算的逆运算（乘法）来看，用0做除数会导致无解或不确定的结果，破坏了数学运算的逻辑一致性。
这个规则是数学为了保持自身严谨性和普适性而必须设立的“护栏”。正是这些清晰的规则，才让我们能够进行各种复杂的计算和推理，建立起我们今天看到的宏伟数学大厦。
所以，下次你看到除以0的情况，就知道那不是一个简单的“不允许”，而是背后有深刻的数学道理在支撑着。
网友意见
谢邀, 关于这个问题, 回顾数系是怎么构建起来的, 就显而易见了. 原本打算留到写专栏文章时来解释, 迟迟未动手, 就借着这个答案来说说.
0. 概述
要了解"0 为什么不能做除数?"这个问题. 我们有必要回顾一下数字(从自然数, 整数, 有理数, 到实数, 复数)是如何"诞生的". 考虑到以回答这个问题为主, 以及篇幅问题, 我们就只谈到有理数为止(到这里已经足够了.)
为此, 我们先了解两个需要了解的知识点.
0.1. Z-F 集合论之无穷公理
Z-F 集合论九条公理确立了集合论的基础, 这些公理分别说明了集合的表示, 构造方法, 以及性质. 其中, 数字诞生的起点, 就是其中的"无穷公理":
无穷公理肯定了无限集的存在.
0.2. 等价关系与商集
数学中, 有一种关系可以说是最基础, 最常见的, 那就是等价关系. 定义集合 上一个关系" "称为等价, 当其满足以下三条性质:
1. (自反) ;
2. (对称) , 若 , 则亦有 ;
3. (传递) , 若 则有 .
一个集合 中的元素, 可以借由定义其上的一个等价关系进行分类(也就是说, 等价的的元素归为同一类, 称为等价类), 由这些等价类构成的集合, 称为集合 的商集.
举个例子:
可以验证"同余"是正整数集上的一个等价关系, 我们如用"模7同余", 可以将所有的正整数分为 7 个同余(等价)类, 我们可以给他们命名, 比如七个类分别为"星期一", "星期二", ......, "星期六", "星期天".
有了以上知识, 现在可以开始构建数字了.
1. 自然数, 整数, 有理数的构造
1.1. 自然数集.
由无限性公理, 我们可以自然导出以下无穷集合: , 我们可以给这个集合中的元素命个名:
;
,
........
就这样, 我们就有了自然数集. 我们用 表示.
1.2. 整数集
由 , 可以按照以下等价关系构成商集 :
当且仅当 .
其中加法为一般意义上的加法. 容易验证这是一个等价关系. 它在 这个集合上生成的商集是什么样的呢? 举几个例子:
可以试试看, 以上两个例子中, 六个元素就分别在两个不同的等价类中, 我们可以取每个等价类中的一个代表元素来代表这个类, 事实上, 上面两例就是整数 和整数 .
自此, 我们就有了整数集 .
1.3 (高能预警)~~有理数集
由 , 我们可以按照以下等价关系构造商集 :
当且仅当 .
其中乘法为整数集中一般意义的乘法. 容易验证这是一个等价关系.
(重点来了), 这里有两件事值得注意:
第一, 就是这个等价关系是 上的, 对于其中任意的元素(有序二元组) , 其第二分量是不能为零的.
第二, 一般书籍上说, 有理数定义为既约分数 形式. 这里构造商集的等价关系, 若改用"除法"的形式写出来, 正是隐含了这个意思. 举个例子:
就这样, 我们定义出了有理数集 .
3. 回归问题本身
那么现在我们来看看题主原来的问题: 为什么 不能用作除数?
我们看看有理数集的定义, 若是允许 0 做除数, 也就是说, 我们让以上等价关系定义在 上, 而不是 上, 会出现什么结果?
首先, , 这是显然的. 那么用以上等价关系将 分类, 会做出几类呢?
我们看看哈......随便举一例....
完蛋了, 任意元素都和 等价!!!, 这就是说, 所有元素只归为了一类!!! 我们要干的事情不是要扩充数域吗???? 只归为一类这不就毫无意义了吗????
到这里, 大家是不是就明白了, 为什么不能用 0 做除数的原因了呢? 至于之后的实数, 复数, 都是进一步在有理数上通过相应的等价关系构造商集而生成, 自然, 这个性质也就继承下来了.
写完答案一看, 哈, 2019年了. 那就以此回答开年, 从“ 0 ”开始, 祝大家在新一年学有所成. 新年快乐了!!!
2019.1.1 凌晨00:20
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