关于物理旋转体（甜甜圈）模型体积的计算？
好的，我们来详细地讲解一下如何计算一个物理旋转体（以甜甜圈为例，即圆环体）的体积。
核心思想：积分与祖冲之原理（体积分割）
计算复杂形状的体积，我们通常会用到两种强大的工具：
1. 积分（微元法）： 将物体分割成无数个微小的、易于计算体积的部分（如微小圆柱、微小薄片等），计算出每个微小部分的体积，然后将所有微小部分的体积加起来。当分割得足够细时，这个求和就变成了一个积分。
2. 祖冲之原理（也称为卡瓦列里原理）： 如果两个几何体的所有对应截面面积都相等，那么这两个几何体的体积也相等。这个原理允许我们用一个我们更熟悉的形状来类比计算。
对于甜甜圈，我们主要会用到积分方法，但祖冲之原理也可以帮助我们理解一些更高级的推导。
甜甜圈的定义与参数
一个标准的甜甜圈（圆环体）可以通过一个圆绕着其外部的一个轴旋转而形成。我们用以下参数来定义它：
大半径 (R)： 圆心到旋转轴的距离。
小半径 (r)： 构成甜甜圈的那个圆的半径。
重要前提： 为了形成一个标准的甜甜圈（没有自交或洞变成实体），我们需要满足一个条件：大半径必须大于小半径，即 R > r。
计算方法一：使用圆柱坐标系进行积分（微元法）
这是最直观和常用的方法。
1. 分割思路：
我们将甜甜圈想象成由无数个薄的、同心圆环组成的。每个圆环的厚度非常小。
2. 选择一个微小的体积元：
在圆柱坐标系 $( ho, phi, z )$ 中，我们可以选取一个微小的体积元 $dV$。然而，直接用柱坐标的 $d ho dphi dz$ 会稍微复杂一点，因为甜甜圈的形状不是简单的垂直于某个轴的堆叠。
一个更合适的方式是考虑薄圆环面。想象一下，我们有一个非常小的环面（厚度为 $dr$），这个环面的周长是 $2pi ho$，它被“拉伸”了一个非常小的角度 $dphi$。
但是，这种思路仍然有点跳跃。我们换一个更稳健的思路：
更稳健的分割思路：使用“薄圆盘”或“薄环状壳层”
方法 1.1：旋转一个面积元
设想： 我们考虑一个在 $xy$ 平面上，由圆心在 $(R, 0)$ 且半径为 $r$ 的圆的一个极小的面积元 $dA$。这个面积元绕 $z$ 轴旋转 $2pi$ 弧度所形成的体积。
面积元 $dA$ 的位置： 设这个面积元距离原点（旋转轴）的距离为 $ ho$。它的位置可以表示为 $( ho, heta)$，其中 $ ho$ 是从 $y$ 轴（或者说从旋转轴所在的那条直线）开始的距离，$ heta$ 是从 $y$ 轴开始的角度。
面积元 $dA$ 的大小： 在极坐标系下，一个面积元可以写成 $dA = dr' d heta'$，其中 $r'$ 是从圆心 $(R, 0)$ 开始的距离，$ heta'$ 是从 $x$ 轴开始的角度。
关键点： 对于圆心在 $(R, 0)$，半径为 $r$ 的圆上的任意一点 $(x, y)$，其到 $z$ 轴（即 $y$ 轴）的距离是 $|x|$。
让我们换一种更直观的积分思路：
方法 1.2：通过 Pappus's Second Theorem (帕普斯第二定理)
这个定理是计算旋转体体积的强大工具，也是从积分推导出来的。
帕普斯第二定理： 一个平面图形绕其所在平面内不相交的轴旋转一周所形成的旋转体的体积，等于该平面图形的面积乘以其形心（centroid）到旋转轴的距离所形成的轨迹的周长。
我们的图形： 构成甜甜圈的平面图形是一个圆，半径为 $r$。
图形的面积： $A = pi r^2$。
图形的形心： 圆的形心就是圆心。
旋转轴： 甜甜圈的旋转轴（$z$ 轴）。
形心到旋转轴的距离： 这个距离就是我们定义的大半径 $R$。
形心轨迹的周长： 当圆心（形心）绕 $z$ 轴旋转一周时，它走过的路径是一个半径为 $R$ 的圆周，其周长为 $C = 2pi R$。
体积计算：
根据帕普斯第二定理，甜甜圈的体积 $V$ 为：
$V = ext{面积} imes ext{形心轨迹周长}$
$V = (pi r^2) imes (2pi R)$
$V = 2pi^2 R r^2$
这是最简洁的推导方式，但它本身是基于积分原理的。 如果需要更“从头开始”的积分推导，我们可以采用以下方法：
计算方法二：使用“薄圆环壳层”积分 (更详细的微元法)
1. 分割思路：
我们将甜甜圈看作是由无数个薄的、厚度为 $dr'$ 的圆环壳层堆叠而成。这里的 $r'$ 是从圆心 $(R, 0)$ 开始的径向距离。
2. 选取一个微小体积元 $dV$：
考虑一个半径为 $r'$ 的圆上的一个微小弧长 $ds'$。这个弧长围绕 $z$ 轴旋转 $2pi$ 弧度，形成一个微小的面积元 $dA$。
更重要的是，我们考虑的是一个半径为 $r'$ 的圆环面（它是我们定义甜甜圈的那个圆在某一个特定角度的点构成的），这个圆环面的厚度是 $dr'$。
让我们换一个更明确的微元：
方法 2.1：通过考虑一个薄圆柱壳层
我们考虑一个在 $xy$ 平面上，由我们甜甜圈的圆周上的点构成的薄圆柱壳。
截面： 想象一下，我们从甜甜圈上“切下一小块”，就像剥洋葱一样，剥下一层厚度为 $d ho$ 的同心圆环。这个圆环的半径是从原点到这个圆环的距离。
这依然不太方便直接积分。最直接的积分方法是考虑“截面法”或“旋转面积法”。
计算方法三：通过“旋转面积”积分
1. 分割思路：
我们将甜甜圈想象成是由无数个垂直于旋转轴（$z$ 轴）的薄圆盘堆叠而成。但是，甜甜圈的“内部”并不是一个实心圆盘，而是一个环形。这种方法对于甜甜圈来说，不太直接。
我们换一个思路：考虑一个在 $xy$ 平面内的、由小圆（半径 $r$）的某个位置的微小面积元 $dA$ 形成的旋转体体积。
1.1. 参数化：
设构成甜甜圈的圆（半径为 $r$）的圆心在 $(R, 0, 0)$。这个圆在 $xy$ 平面上。
圆上的任意一点 $(x, y)$ 可以用参数 $ heta$ 来表示（$ heta$ 是从圆心 $(R, 0)$ 指向圆上点的向量与 $x$ 轴的夹角）：
$x = R + r cos heta$
$y = r sin heta$
1.2. 选择微元：
我们取圆上一个微小弧长 $ds$ 对应的面积元 $dA$。
弧长 $ds = r d heta$。
这个弧长作为一个非常小的“线段”，我们可以想象它具有一个微小的宽度 $dr'$ （沿径向）。但这样处理很麻烦。
更直接的“旋转面积”处理方式：
将构成甜甜圈的那个圆在 $xy$ 平面上看作一个平面图形。
图形的参数方程：
在圆心为 $(R, 0)$，半径为 $r$ 的圆上，我们用一个参数 $phi$ 来描述圆上的点与圆心的连线和 $x$ 轴的夹角。
圆心是 $(R, 0)$.
圆上的点 $P$ 的坐标是 $(R + r cos phi, r sin phi)$.
旋转过程：
当我们绕 $z$ 轴旋转时，这个圆上的点会形成一个圆周。
问题是，我们怎么用积分来捕捉这个“旋转体积”？
让我们回到更基础的积分思路：
计算方法四：使用圆柱坐标系积分 (更详细的微元法)
1. 分割思路：
我们将甜甜圈分割成无数个薄的、同心圆环壳层。每个壳层的厚度是一个微小的距离 $d ho$。
这个圆环壳层位于距离 $z$ 轴（旋转轴）为 $ ho$ 的位置。
2. 选取一个微小体积元 $dV$：
考虑一个半径为 $ ho$ 的同心圆柱壳层。它的厚度是 $d ho$。
我们还需要知道这个圆柱壳层的高度。
这个高度取决于甜甜圈的截面形状。
正确的圆柱坐标系分割方式：
我们将甜甜圈看作是由无数个垂直于 $xy$ 平面的薄圆环面组成。每个圆环面的半径是从 $z$ 轴到该圆环面的距离。
然而，甜甜圈的“横截面”是一个圆，而不是一个线条。
最容易理解和推导的微元法：
方法 4.1：通过对旋转的微小面积元进行积分
设想： 我们在 $xy$ 平面上，考虑一个由构成甜甜圈的圆的一个微小弧段 $ds$ 形成的旋转体体积。
参数化圆： 构成甜甜圈的圆（半径为 $r$）的圆心在 $(R, 0)$。圆上的点可以用参数 $ heta$ (从圆心指向圆上点的向量与 $x$ 轴的夹角) 来描述：
$x = R + r cos heta$
$y = r sin heta$
微小弧长 $ds$： 弧长 $ds = sqrt{(dx/d heta)^2 + (dy/d heta)^2} d heta = sqrt{(r sin heta)^2 + (r cos heta)^2} d heta = r d heta$.
弧段 $ds$ 到旋转轴的距离： 旋转轴是 $z$ 轴，也就是 $y$ 轴。这个弧段上的点到 $y$ 轴的距离是它们的 $x$ 坐标值。
$x = R + r cos heta$.
旋转形成的体积元 $dV$： 当这个微小弧段 $ds$ 绕 $z$ 轴旋转 $2pi$ 弧度时，它扫过的体积可以近似看作一个“细长管子”的体积，这个管子的半径是它到旋转轴的距离，长度是 $ds$。
更精确地说，它扫过的体积是一个薄的圆环壳层，其半径为 $x = R + r cos heta$，厚度为 $dy$ 或者其他什么？
让我们使用更清晰的积分变量：
方法 4.2：使用“厚度为 $dr$ 的圆环体”积分
我们想象把甜甜圈从中心挖空，挖到一个半径为 $Rr$ 的圆柱体。
这个甜甜圈可以看作是由无数个半径从 $Rr$ 到 $R+r$ 的薄圆环组成的。
设想： 我们考虑一个半径为 $ ho$ 的薄圆环壳层，其厚度为 $d ho$。这个圆环壳层位于 $xy$ 平面，且其中心是原点。
圆环壳层的周长： $2pi ho$。
圆环壳层的“高度”： 这个高度来自于构成甜甜圈的那个小圆的“垂直”部分。
当一个点在半径为 $r$ 的圆上，其 $y$ 坐标是 $y = r sin heta$。
这个点的 $x$ 坐标是 $x = R + r cos heta$.
这个 $x$ 坐标就是它到 $z$ 轴的距离 $ ho$。
所以，$ ho = R + r cos heta$.
这就意味着 $ ho$ 的范围是从 $Rr$ 到 $R+r$。
这个思路有点绕。让我们回归到最容易理解的微元方式：
计算方法五：使用球坐标系或更高级的积分技巧
虽然不是最直接的，但理论上也可以使用这些方法。
回归到帕普斯第二定理的积分基础
帕普斯第二定理的本质是将一个二维面积的积分推广到三维体积的积分。
如果我们考虑一个面积元 $dA$ 在 $xy$ 平面上，它到旋转轴（$z$ 轴）的距离是 $x$。当这个面积元绕 $z$ 轴旋转一周时，它扫过的体积是 $dV = (2pi x) dA$。
对整个面积进行积分，就得到体积：$V = int_{A} 2pi x dA$.
现在，我们需要具体定义构成甜甜圈的那个圆的面积元 $dA$。
圆心： $(R, 0)$。
半径： $r$。
参数化： 使用极坐标 $(r', phi')$ 在这个圆的局部坐标系中。其中 $r'$ 是从圆心 $(R, 0)$ 开始的距离，$0 le r' le r$。$phi'$ 是从圆心 $(R, 0)$ 指向圆上点的向量与 $x$ 轴的夹角，$0 le phi' le 2pi$。
面积元 $dA$： $dA = r' dr' dphi'$.
面积元 $dA$ 到旋转轴（$y$ 轴）的距离 $x$：
圆上的点 $(x_{abs}, y_{abs})$ 的绝对坐标是：
$x_{abs} = R + r' cos phi'$
$y_{abs} = r' sin phi'$
到旋转轴的距离就是 $|x_{abs}| = R + r' cos phi'$ （由于 $R > r$, $R + r' cos phi' ge R r > 0$）。
进行积分：
$V = int_{A} 2pi x_{abs} dA$
$V = int_{0}^{2pi} int_{0}^{r} 2pi (R + r' cos phi') (r' dr' dphi')$
现在我们来计算这个积分：
$V = 2pi int_{0}^{2pi} left[ int_{0}^{r} (R r' + r'^2 cos phi') dr' ight] dphi'$
先计算内层积分对 $r'$：
$int_{0}^{r} (R r' + r'^2 cos phi') dr' = left[ frac{1}{2} R r'^2 + frac{1}{3} r'^3 cos phi' ight]_{0}^{r}$
$= frac{1}{2} R r^2 + frac{1}{3} r^3 cos phi'$
现在将结果代入外层积分对 $phi'$：
$V = 2pi int_{0}^{2pi} left( frac{1}{2} R r^2 + frac{1}{3} r^3 cos phi' ight) dphi'$
$V = 2pi left[ int_{0}^{2pi} frac{1}{2} R r^2 dphi' + int_{0}^{2pi} frac{1}{3} r^3 cos phi' dphi' ight]$
计算第一部分积分：
$int_{0}^{2pi} frac{1}{2} R r^2 dphi' = frac{1}{2} R r^2 [phi']_{0}^{2pi} = frac{1}{2} R r^2 (2pi) = pi R r^2$
计算第二部分积分：
$int_{0}^{2pi} frac{1}{3} r^3 cos phi' dphi' = frac{1}{3} r^3 [sin phi']_{0}^{2pi} = frac{1}{3} r^3 (sin(2pi) sin(0)) = frac{1}{3} r^3 (0 0) = 0$
将两部分结果加起来：
$V = 2pi (pi R r^2 + 0)$
$V = 2pi^2 R r^2$
这个方法是“从头开始”最严谨的积分推导，它直接利用了旋转体的体积积分定义。
总结
计算甜甜圈（圆环体）体积的两种主要方法：
1. 帕普斯第二定理 (Pappus's Second Theorem):
定理：体积 = 截面面积 × 形心轨迹周长。
推导：$V = (pi r^2) imes (2pi R) = 2pi^2 R r^2$.
优点：简洁，易于理解。
2. 微元法 (积分):
思路：将甜甜圈看作由无数个微小的面积元在旋转时扫过的体积累加。
具体实现：在一个半径为 $r$ 的圆上选择面积元 $dA$，计算该面积元到旋转轴的距离 $x$，则其旋转体积元为 $dV = 2pi x dA$。然后对整个圆的面积进行积分。
推导：$V = int_{A} 2pi x dA = 2pi^2 R r^2$.
优点：更底层，展示了积分的威力。
两种方法得出的结果是一致的，都为 $V = 2pi^2 R r^2$。
其中：
$R$ 是大半径（圆心到旋转轴的距离）。
$r$ 是小半径（构成甜甜圈的那个圆的半径）。
希望这个详细的讲解能帮助您理解甜甜圈体积的计算过程！
核心思想：积分与祖冲之原理（体积分割）
计算复杂形状的体积，我们通常会用到两种强大的工具：
1. 积分（微元法）： 将物体分割成无数个微小的、易于计算体积的部分（如微小圆柱、微小薄片等），计算出每个微小部分的体积，然后将所有微小部分的体积加起来。当分割得足够细时，这个求和就变成了一个积分。
2. 祖冲之原理（也称为卡瓦列里原理）： 如果两个几何体的所有对应截面面积都相等，那么这两个几何体的体积也相等。这个原理允许我们用一个我们更熟悉的形状来类比计算。
对于甜甜圈，我们主要会用到积分方法，但祖冲之原理也可以帮助我们理解一些更高级的推导。
甜甜圈的定义与参数
一个标准的甜甜圈（圆环体）可以通过一个圆绕着其外部的一个轴旋转而形成。我们用以下参数来定义它：
大半径 (R)： 圆心到旋转轴的距离。
小半径 (r)： 构成甜甜圈的那个圆的半径。
重要前提： 为了形成一个标准的甜甜圈（没有自交或洞变成实体），我们需要满足一个条件：大半径必须大于小半径，即 R > r。
计算方法一：使用圆柱坐标系进行积分（微元法）
这是最直观和常用的方法。
1. 分割思路：
我们将甜甜圈想象成由无数个薄的、同心圆环组成的。每个圆环的厚度非常小。
2. 选择一个微小的体积元：
在圆柱坐标系 $( ho, phi, z )$ 中，我们可以选取一个微小的体积元 $dV$。然而，直接用柱坐标的 $d ho dphi dz$ 会稍微复杂一点，因为甜甜圈的形状不是简单的垂直于某个轴的堆叠。
一个更合适的方式是考虑薄圆环面。想象一下，我们有一个非常小的环面（厚度为 $dr$），这个环面的周长是 $2pi ho$，它被“拉伸”了一个非常小的角度 $dphi$。
但是，这种思路仍然有点跳跃。我们换一个更稳健的思路：
更稳健的分割思路：使用“薄圆盘”或“薄环状壳层”
方法 1.1：旋转一个面积元
设想： 我们考虑一个在 $xy$ 平面上，由圆心在 $(R, 0)$ 且半径为 $r$ 的圆的一个极小的面积元 $dA$。这个面积元绕 $z$ 轴旋转 $2pi$ 弧度所形成的体积。
面积元 $dA$ 的位置： 设这个面积元距离原点（旋转轴）的距离为 $ ho$。它的位置可以表示为 $( ho, heta)$，其中 $ ho$ 是从 $y$ 轴（或者说从旋转轴所在的那条直线）开始的距离，$ heta$ 是从 $y$ 轴开始的角度。
面积元 $dA$ 的大小： 在极坐标系下，一个面积元可以写成 $dA = dr' d heta'$，其中 $r'$ 是从圆心 $(R, 0)$ 开始的距离，$ heta'$ 是从 $x$ 轴开始的角度。
关键点： 对于圆心在 $(R, 0)$，半径为 $r$ 的圆上的任意一点 $(x, y)$，其到 $z$ 轴（即 $y$ 轴）的距离是 $|x|$。
让我们换一种更直观的积分思路：
方法 1.2：通过 Pappus's Second Theorem (帕普斯第二定理)
这个定理是计算旋转体体积的强大工具，也是从积分推导出来的。
帕普斯第二定理： 一个平面图形绕其所在平面内不相交的轴旋转一周所形成的旋转体的体积，等于该平面图形的面积乘以其形心（centroid）到旋转轴的距离所形成的轨迹的周长。
我们的图形： 构成甜甜圈的平面图形是一个圆，半径为 $r$。
图形的面积： $A = pi r^2$。
图形的形心： 圆的形心就是圆心。
旋转轴： 甜甜圈的旋转轴（$z$ 轴）。
形心到旋转轴的距离： 这个距离就是我们定义的大半径 $R$。
形心轨迹的周长： 当圆心（形心）绕 $z$ 轴旋转一周时，它走过的路径是一个半径为 $R$ 的圆周，其周长为 $C = 2pi R$。
体积计算：
根据帕普斯第二定理，甜甜圈的体积 $V$ 为：
$V = ext{面积} imes ext{形心轨迹周长}$
$V = (pi r^2) imes (2pi R)$
$V = 2pi^2 R r^2$
这是最简洁的推导方式，但它本身是基于积分原理的。 如果需要更“从头开始”的积分推导，我们可以采用以下方法：
计算方法二：使用“薄圆环壳层”积分 (更详细的微元法)
1. 分割思路：
我们将甜甜圈看作是由无数个薄的、厚度为 $dr'$ 的圆环壳层堆叠而成。这里的 $r'$ 是从圆心 $(R, 0)$ 开始的径向距离。
2. 选取一个微小体积元 $dV$：
考虑一个半径为 $r'$ 的圆上的一个微小弧长 $ds'$。这个弧长围绕 $z$ 轴旋转 $2pi$ 弧度，形成一个微小的面积元 $dA$。
更重要的是，我们考虑的是一个半径为 $r'$ 的圆环面（它是我们定义甜甜圈的那个圆在某一个特定角度的点构成的），这个圆环面的厚度是 $dr'$。
让我们换一个更明确的微元：
方法 2.1：通过考虑一个薄圆柱壳层
我们考虑一个在 $xy$ 平面上，由我们甜甜圈的圆周上的点构成的薄圆柱壳。
截面： 想象一下，我们从甜甜圈上“切下一小块”，就像剥洋葱一样，剥下一层厚度为 $d ho$ 的同心圆环。这个圆环的半径是从原点到这个圆环的距离。
这依然不太方便直接积分。最直接的积分方法是考虑“截面法”或“旋转面积法”。
计算方法三：通过“旋转面积”积分
1. 分割思路：
我们将甜甜圈想象成是由无数个垂直于旋转轴（$z$ 轴）的薄圆盘堆叠而成。但是，甜甜圈的“内部”并不是一个实心圆盘，而是一个环形。这种方法对于甜甜圈来说，不太直接。
我们换一个思路：考虑一个在 $xy$ 平面内的、由小圆（半径 $r$）的某个位置的微小面积元 $dA$ 形成的旋转体体积。
1.1. 参数化：
设构成甜甜圈的圆（半径为 $r$）的圆心在 $(R, 0, 0)$。这个圆在 $xy$ 平面上。
圆上的任意一点 $(x, y)$ 可以用参数 $ heta$ 来表示（$ heta$ 是从圆心 $(R, 0)$ 指向圆上点的向量与 $x$ 轴的夹角）：
$x = R + r cos heta$
$y = r sin heta$
1.2. 选择微元：
我们取圆上一个微小弧长 $ds$ 对应的面积元 $dA$。
弧长 $ds = r d heta$。
这个弧长作为一个非常小的“线段”，我们可以想象它具有一个微小的宽度 $dr'$ （沿径向）。但这样处理很麻烦。
更直接的“旋转面积”处理方式：
将构成甜甜圈的那个圆在 $xy$ 平面上看作一个平面图形。
图形的参数方程：
在圆心为 $(R, 0)$，半径为 $r$ 的圆上，我们用一个参数 $phi$ 来描述圆上的点与圆心的连线和 $x$ 轴的夹角。
圆心是 $(R, 0)$.
圆上的点 $P$ 的坐标是 $(R + r cos phi, r sin phi)$.
旋转过程：
当我们绕 $z$ 轴旋转时，这个圆上的点会形成一个圆周。
问题是，我们怎么用积分来捕捉这个“旋转体积”？
让我们回到更基础的积分思路：
计算方法四：使用圆柱坐标系积分 (更详细的微元法)
1. 分割思路：
我们将甜甜圈分割成无数个薄的、同心圆环壳层。每个壳层的厚度是一个微小的距离 $d ho$。
这个圆环壳层位于距离 $z$ 轴（旋转轴）为 $ ho$ 的位置。
2. 选取一个微小体积元 $dV$：
考虑一个半径为 $ ho$ 的同心圆柱壳层。它的厚度是 $d ho$。
我们还需要知道这个圆柱壳层的高度。
这个高度取决于甜甜圈的截面形状。
正确的圆柱坐标系分割方式：
我们将甜甜圈看作是由无数个垂直于 $xy$ 平面的薄圆环面组成。每个圆环面的半径是从 $z$ 轴到该圆环面的距离。
然而，甜甜圈的“横截面”是一个圆，而不是一个线条。
最容易理解和推导的微元法：
方法 4.1：通过对旋转的微小面积元进行积分
设想： 我们在 $xy$ 平面上，考虑一个由构成甜甜圈的圆的一个微小弧段 $ds$ 形成的旋转体体积。
参数化圆： 构成甜甜圈的圆（半径为 $r$）的圆心在 $(R, 0)$。圆上的点可以用参数 $ heta$ (从圆心指向圆上点的向量与 $x$ 轴的夹角) 来描述：
$x = R + r cos heta$
$y = r sin heta$
微小弧长 $ds$： 弧长 $ds = sqrt{(dx/d heta)^2 + (dy/d heta)^2} d heta = sqrt{(r sin heta)^2 + (r cos heta)^2} d heta = r d heta$.
弧段 $ds$ 到旋转轴的距离： 旋转轴是 $z$ 轴，也就是 $y$ 轴。这个弧段上的点到 $y$ 轴的距离是它们的 $x$ 坐标值。
$x = R + r cos heta$.
旋转形成的体积元 $dV$： 当这个微小弧段 $ds$ 绕 $z$ 轴旋转 $2pi$ 弧度时，它扫过的体积可以近似看作一个“细长管子”的体积，这个管子的半径是它到旋转轴的距离，长度是 $ds$。
更精确地说，它扫过的体积是一个薄的圆环壳层，其半径为 $x = R + r cos heta$，厚度为 $dy$ 或者其他什么？
让我们使用更清晰的积分变量：
方法 4.2：使用“厚度为 $dr$ 的圆环体”积分
我们想象把甜甜圈从中心挖空，挖到一个半径为 $Rr$ 的圆柱体。
这个甜甜圈可以看作是由无数个半径从 $Rr$ 到 $R+r$ 的薄圆环组成的。
设想： 我们考虑一个半径为 $ ho$ 的薄圆环壳层，其厚度为 $d ho$。这个圆环壳层位于 $xy$ 平面，且其中心是原点。
圆环壳层的周长： $2pi ho$。
圆环壳层的“高度”： 这个高度来自于构成甜甜圈的那个小圆的“垂直”部分。
当一个点在半径为 $r$ 的圆上，其 $y$ 坐标是 $y = r sin heta$。
这个点的 $x$ 坐标是 $x = R + r cos heta$.
这个 $x$ 坐标就是它到 $z$ 轴的距离 $ ho$。
所以，$ ho = R + r cos heta$.
这就意味着 $ ho$ 的范围是从 $Rr$ 到 $R+r$。
这个思路有点绕。让我们回归到最容易理解的微元方式：
计算方法五：使用球坐标系或更高级的积分技巧
虽然不是最直接的，但理论上也可以使用这些方法。
回归到帕普斯第二定理的积分基础
帕普斯第二定理的本质是将一个二维面积的积分推广到三维体积的积分。
如果我们考虑一个面积元 $dA$ 在 $xy$ 平面上，它到旋转轴（$z$ 轴）的距离是 $x$。当这个面积元绕 $z$ 轴旋转一周时，它扫过的体积是 $dV = (2pi x) dA$。
对整个面积进行积分，就得到体积：$V = int_{A} 2pi x dA$.
现在，我们需要具体定义构成甜甜圈的那个圆的面积元 $dA$。
圆心： $(R, 0)$。
半径： $r$。
参数化： 使用极坐标 $(r', phi')$ 在这个圆的局部坐标系中。其中 $r'$ 是从圆心 $(R, 0)$ 开始的距离，$0 le r' le r$。$phi'$ 是从圆心 $(R, 0)$ 指向圆上点的向量与 $x$ 轴的夹角，$0 le phi' le 2pi$。
面积元 $dA$： $dA = r' dr' dphi'$.
面积元 $dA$ 到旋转轴（$y$ 轴）的距离 $x$：
圆上的点 $(x_{abs}, y_{abs})$ 的绝对坐标是：
$x_{abs} = R + r' cos phi'$
$y_{abs} = r' sin phi'$
到旋转轴的距离就是 $|x_{abs}| = R + r' cos phi'$ （由于 $R > r$, $R + r' cos phi' ge R r > 0$）。
进行积分：
$V = int_{A} 2pi x_{abs} dA$
$V = int_{0}^{2pi} int_{0}^{r} 2pi (R + r' cos phi') (r' dr' dphi')$
现在我们来计算这个积分：
$V = 2pi int_{0}^{2pi} left[ int_{0}^{r} (R r' + r'^2 cos phi') dr' ight] dphi'$
先计算内层积分对 $r'$：
$int_{0}^{r} (R r' + r'^2 cos phi') dr' = left[ frac{1}{2} R r'^2 + frac{1}{3} r'^3 cos phi' ight]_{0}^{r}$
$= frac{1}{2} R r^2 + frac{1}{3} r^3 cos phi'$
现在将结果代入外层积分对 $phi'$：
$V = 2pi int_{0}^{2pi} left( frac{1}{2} R r^2 + frac{1}{3} r^3 cos phi' ight) dphi'$
$V = 2pi left[ int_{0}^{2pi} frac{1}{2} R r^2 dphi' + int_{0}^{2pi} frac{1}{3} r^3 cos phi' dphi' ight]$
计算第一部分积分：
$int_{0}^{2pi} frac{1}{2} R r^2 dphi' = frac{1}{2} R r^2 [phi']_{0}^{2pi} = frac{1}{2} R r^2 (2pi) = pi R r^2$
计算第二部分积分：
$int_{0}^{2pi} frac{1}{3} r^3 cos phi' dphi' = frac{1}{3} r^3 [sin phi']_{0}^{2pi} = frac{1}{3} r^3 (sin(2pi) sin(0)) = frac{1}{3} r^3 (0 0) = 0$
将两部分结果加起来：
$V = 2pi (pi R r^2 + 0)$
$V = 2pi^2 R r^2$
这个方法是“从头开始”最严谨的积分推导，它直接利用了旋转体的体积积分定义。
总结
计算甜甜圈（圆环体）体积的两种主要方法：
1. 帕普斯第二定理 (Pappus's Second Theorem):
定理：体积 = 截面面积 × 形心轨迹周长。
推导：$V = (pi r^2) imes (2pi R) = 2pi^2 R r^2$.
优点：简洁，易于理解。
2. 微元法 (积分):
思路：将甜甜圈看作由无数个微小的面积元在旋转时扫过的体积累加。
具体实现：在一个半径为 $r$ 的圆上选择面积元 $dA$，计算该面积元到旋转轴的距离 $x$，则其旋转体积元为 $dV = 2pi x dA$。然后对整个圆的面积进行积分。
推导：$V = int_{A} 2pi x dA = 2pi^2 R r^2$.
优点：更底层，展示了积分的威力。
两种方法得出的结果是一致的，都为 $V = 2pi^2 R r^2$。
其中：
$R$ 是大半径（圆心到旋转轴的距离）。
$r$ 是小半径（构成甜甜圈的那个圆的半径）。
希望这个详细的讲解能帮助您理解甜甜圈体积的计算过程！
网友意见
截面圆面积x截面圆圆心旋转所走过的弧长=甜甜圈体积
详情请百度古尔丁-帕普斯定理。
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