数学与物理是什么关系？
1. 数学是物理学的语言和工具
这是最直观也最核心的关系。物理学要描述和解释自然界的现象，而自然界的许多现象背后都隐藏着精确的数量关系和规律。这些关系，如果用文字来表达，往往会显得含糊不清、效率低下。这时候，数学的出现就如同为物理学配备了一套精准、高效的表达工具。
描述现象： 想象一下，我们要描述一个苹果从树上掉下来的过程。如果只用文字，我们可以说“苹果受地球吸引，向下运动”。但这不够量化，我们无法知道速度是多少，经过多久会落地。而有了数学，我们可以引入牛顿第二定律：$F = ma$。其中，$F$是力，我们知道万有引力定律可以描述地球对苹果的引力，$F = Gfrac{Mm}{r^2}$。$m$是苹果的质量，$a$是加速度。这样一来，我们就能计算出苹果的加速度，进而求解它落地所需的时间。这就像是用精密的坐标系描绘出苹果的运动轨迹，而不是用随意的笔触勾勒。
建立模型： 物理学家们常常需要建立数学模型来模拟现实世界。例如，描述天体运动的开普勒定律，本质上是行星轨道椭圆的数学方程。描述电磁波传播的麦克斯韦方程组，更是高度抽象和优美的数学表达。这些数学模型不仅能描述已知的现象，还能预测尚未观察到的事件，这正是科学的魅力所在。
推演和预测： 一旦建立了数学模型，物理学家就可以利用数学的逻辑推演能力，在这个模型的基础上进行进一步的计算和预测。例如，根据万有引力定律和牛顿运动定律，可以推算出预测行星运行轨道、计算卫星发射的轨迹。相对论的出现，更是颠覆了我们对时间和空间的认知，而这些颠覆性的思想，正是通过爱因斯坦的数学“工具箱”——张量分析、黎诺几何等——才得以实现和验证的。
2. 物理学为数学提供灵感和研究对象
数学并非凭空产生，它在很大程度上源于人类对现实世界的观察和理解。物理学的研究，正是为数学提供了源源不断的灵感和研究对象。
几何与天文学： 古希腊时期，天文学家对天体运行轨道的观测，推动了欧几里得几何学的发展。人们试图用几何图形来描述天体的运动，这促使了几何学理论的不断完善。
微积分与力学： 牛顿和莱布尼茨在17世纪独立发展了微积分，很大程度上是为了解决经典力学中的一系列问题，比如描述物体速度的变化率（加速度）、计算曲线的长度和面积。如果没有物理上的需求，微积分的出现可能会晚很多。
微分方程与各种物理现象： 无论是热传导、流体动力学、波动现象，还是量子力学中的薛定谔方程，都离不开微分方程的描述。物理学家们在研究这些现象时，发现它们可以用微分方程来精确表示，这就反过来促进了微分方程理论本身的发展，催生了新的求解方法和理论分支。
群论与粒子物理： 群论，一个在抽象代数中重要的分支，最初并非为物理学而生，但它在20世纪被发现是描述粒子对称性和相互作用的强大工具。粒子物理学中的对称性原理，直接推动了群论在物理学中的广泛应用，也反过来促进了群论理论本身的深入研究。
3. 数学与物理的相互促进和演化
这种关系并非单向的“数学服务于物理”，而是一种动态的、相互促进的演化过程。
抽象与推广： 物理学中的概念，经过数学的提炼和抽象，往往能上升到更普遍的层面，适用于更广泛的现象。例如，力学中的“能量”概念，经过数学的推广，在热学、电磁学、量子力学甚至统计学中都扮演着核心角色。
数学的“意外”发现： 有时，数学家们在纯粹的数学研究中发现的一些抽象概念或结构，在多年后，却被物理学家们发现是描述某个物理现象的完美契合工具。例如，向量空间、张量、群论等，在最初的数学研究中可能显得非常抽象，但最终在物理学中找到了它们的应用之地，并揭示了宇宙更深层次的规律。
理论物理的“高冷”与“实用”： 很多时候，数学家们在探索数学的“疆域”，他们的研究成果可能在当下并没有明显的物理应用，但随着物理学的发展，这些“高冷”的数学工具最终会派上用场，甚至成为革命性物理理论的基石。这就像是在为未来的物理学“储备弹药”。
4. 哲学的思考
数学与物理的关系，也引发了深刻的哲学思考。
数学是独立于物理存在的吗？ 还是说，数学本身就是宇宙的内在结构？物理学的规律似乎可以用数学精确地描述，这是否意味着数学是宇宙的“代码”？
为什么数学如此“适合”描述物理世界？ 这种“适合性”是因为我们用数学来描述，还是说数学本身就是世界运行的根本法则？“不可思议的有效性”（the unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences）正是指出了这种深层次的疑问。
总结一下，数学与物理的关系可以概括为：
数学是物理的语言、工具和框架。 它为物理学的定量描述、模型构建和理论推演提供了基础。
物理是数学的灵感、动力和检验场。 物理学的研究需求推动了数学理论的发展，而数学理论的有效性也需要物理现象来验证。
两者相互促进、共同演化。 物理学的发展不断催生新的数学需求，而数学的抽象和推广又为物理学提供了更广阔的视野和更强大的工具。
没有数学，物理学将无法进行精确的定量描述和理论推演，更像是一种经验性的、模糊的观察。而没有物理学，数学许多枝干的发展可能会失去方向，或者说，数学的“用武之地”会大大减少，它对理解宇宙的强大力量也难以体现。它们就像是同一枚硬币的两面，缺一不可，共同塑造了我们对世界的认知。
网友意见
经历了数千年发展，数学这门古老的学科在近一百多年开拓出了众多分支，并产生了多个应用学科。而一般人所学的往往是200多年前的数学。面对近代数学，若非精通数理者，恍如坠入“数学的深渊”。
事实上，数学的发展常常得益于物理学提出的问题，而物理学的每一次重大革命，则往往伴随着新数学的引入。《返朴》总编文小刚特为此撰文，回顾历史上几次物理学革命，从数学的眼光看待物理学，并阐述凝聚态物理中的近代数学。在他看来，范畴学、代数拓扑等近代数学理论在物理学中的应用意味着，物理学正在进行一场新的革命。
今天，我们请来麻省理工学院终身教授、格林讲席教授，美国国家科学院院士文小刚老师，来讲一讲“物理学的新革命——凝聚态物理中的近代数学”，说一说当代物理和数学的关系。
撰文 | 文小刚
今天的二条文章介绍了1900年前的数学发展史（数学的深渊）。过去100年来，数学有了很大的发展，除了像微分方程和微分几何这些与经典物理本身有深刻关系的数学以外，还发展出了代数拓扑、代数几何、代数数论、范畴学、几何表示论等极度抽象的数学。近代数学不是一个仅仅关于“数”的学问。以范畴学为代表的近代数学，更是一门关于关系和结构的抽象学问。有趣的是，近年来，这些看似和现实毫无关系的数学理论，特别是代数拓扑、代数几何和范畴学已经开始和现代物理深度碰撞。
1
物理学革命与数学的引入
历史上物理和数学有着十分深刻的联系。物理的目的之一是了解新的自然现象。而一个新的自然现象之所以新的标志，就是我们连描写它的名字及数学符号都没有。这就是为什么当物理学家有一个真正的新发现时，他/她什么都说不出来，什么都写不出来，也无法进行计算推导。这时候就需要引入新的数学语言来描写新的自然现象。这就是数学和物理之间的深刻联系。正因为如此，每一次物理学的重大革命，其标志都是有新的数学被引入到物理学中来。
第一次物理革命是力学革命，需要研究的物理现象是天体的的运动。牛顿不仅要发明他的万有引力理论，而且还要发明微积分这一套新的数学来描写他的理论。第二次物理革命是电磁革命。麦克斯韦发现了一种新的物质形态——场形态物质。这就是电磁波，也是光波。后来人们发现，这种场形态物质需要用数学的纤维丛理论来描写。第三次物理革命是广义相对论。爱因斯坦发现了第二种场形态物质——引力波。他需要引入数学中的黎曼几何来描写这种新物质。第四次物理革命是量子革命。这次革命揭示出，我们世界中的真实存在，既不是粒子也不是波，但既是粒子又是波。这种莫名其妙却又真实的存在，可以用量子力学来解释，而量子力学则是建立在数学中的线性代数理论之上。
我们现在正在经历一场新的物理革命——第二次量子革命。这次革命的主角是量子信息和它们的量子纠缠。这次我们所遇到的新现象，就是很多很多量子比特的纠缠。这种多体量子纠缠的内部结构，正是我们既说不出来，又没有名字的新现象。我们现在正在发展一套新的数学理论（某种形式的范畴学），来试图描写这种新现象。
这次正在进行中的物理学新革命是非常深刻的。因为这次革命试图用纠缠的量子信息来统一所有的物质、所有的基本粒子、所有的相互作用，甚至时空本身。而凝聚态物理中的拓扑序、拓扑物态，以及量子计算中的拓扑量子计算，都是多体量子纠缠的应用。正是通过这些物理研究，我们发现了多体量子纠缠的重要性，并引入了长程量子纠缠这一相关概念。
2
用数学的眼光看物理学
我们刚才用物理的眼光，概括了数学和物理的关系。自牛顿以来，我们都是用分析的眼光看世界，用连续流形、连续场来描写物理现象。特别是爱因斯坦的广义相对论，它是如此的漂亮自然，大家都认为它抓住了宇宙的本质。之后，以几何的眼光看世界成为物理的主流。在这个思路下，物理学家发展了规范场论、量子场论，以及描写所有基本粒子的标准模型。
但完美主流的几何的眼光，并不一定是认识世界的正确方法。从量子革命以来，我们越来越意识到，我们的世界不是连续的，而是离散的。我们应该用代数的眼光看世界。连续的分析，仅仅是离散的代数的一个幻象。就像连续的流体，是许许多多一个个分子集体运动的幻象。这种以代数的眼光看世界的新思想，将颠覆很多目前的主流物理理论，带来物理的第二次量子革命（见《光的奥秘和空间的本源｜众妙之门》）。某种意义上，建立在几何思路之上的广义相对论、规范场论、量子场论太漂亮太完美了，让我们误以为它抓住了宇宙的本质，误导了我们一百多年。
有趣的是，这100多年来，近代数学发展的一条脉络也正是从连续到离散、从分析到代数的脉络，也提出了离散的代数是比连续的分析更本质的观点。60年代由Grothendieck学派发展出来的代数几何理论正是这种思想的代表，代数几何可以看作是实现了连续和离散的统一的几何理论。这和物理学从经典到量子的发展一一相映。而实现统一的语言当然是代数的，更准确的说，是一个超越了集合论的、全新的数学语言，也是代数几何的基础语言：范畴学。
40年代Eilenberg和Mac Lane发展了范畴学，60年代Grothendieck在此基础上发展了代数几何。
3
范畴学的精神
下面让我从一个外行的角度，来粗略介绍一下范畴学的精神。通常，如果我们想要深入了解一个物体，我们会把这个物体分解成越来越小、越来越简单的构件。如果我们可以做到这一点，我们就认为了解了这个物体。这一思想方法就是还原论的思路。这是科学思想方法的一个主流。很多人甚至用它来定义什么叫做“理解”。
但主流并不代表正确。“理解”也可以由另外一种完全不同的方式来实现。我们不试图把物体分成更小更简单的基本构件。我们甚至不去考虑物体的内部结构，也许物体根本就没有什么内部结构。我们试图通过这个物体和其他所有物体的关系和作用，来了解这个物体。
其实，和其他物体的关系和作用，正代表了这个物体所有可能的性质。而一个物体的所有可能性质，也就完全定义了这个物体本身。归根到底，也许我们根本就没有物体，只有一大堆关系。而物体这一抽象的概念，以及物体所有可能的性质，是由这一堆关系来定义的。这就是范畴学的精神。
把这一范畴学的思路应用到认识论，我们发现所谓的“客观存在”，其实是人脑通过观察到的大量的、各种各样的关系，所抽象出来的一个概念。也就是说，我们头脑中的主观印象观察是客观的。而所谓的“客观存在”，反而是主观的。因为我们所观察到的大量的、各种各样的关系不是随机混乱的，这些关系之间有非常强烈的关联。这些强烈的关联赋予我们“客观存在”这一想象（或概念）。吴咏时老师举过一个社会学例子：范畴学的精神正像马克思说过的，人这个个体是通过人和人的关系定义的。所以范畴学是关系学，也是认识世界的一种新方式。
01
我们也可以把范畴学的思路用到物理中对相和相变的理解。两个相之间的相变，就是范畴学中的“关系”。而相这个概念，就是通过所有相变（即“关系”）来定义的。
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物理学中的第2个例子是量子力学理论。通过量子力学中的波函数来理解我们的量子世界，其实是一种还原论的思路。如果我们要用范畴学的思路来理解我们的量子世界，那我们将像实验物理学家一样，直接考虑各种各样的观测（这些观测对应于我们上面说的关系），而且我们只考虑各种各样的观测。这些观测（关系）之间有很强的关联。通过这些关系之间的关系，我们可以直接理解我们的量子世界。这就是范畴学的思路。
现有的量子理论用的不是这一思路，而是通过对观测之间的关系的总结，抽象出波函数这一概念，代表所谓的“客观存在”。然后我们再通过波函数来理解我们的量子世界。
其实波函数（及其背后的线性代数），仅仅是我们对现有实验观测的一个模型。这一模型不见得唯一，也就是说，可能有另一个理论可以同样有效地描写我们的量子世界。这一模型也不见得正确，也许将来新的实验观测会和现有的模型矛盾。这将迫使我们构造一个新的模型，也就是发展一套新的理论，来描写我们的量子世界。
其实用范畴学的思路来理解我们的量子世界，就是要放弃波函数这一概念。这将有助于我们不受波函数的束缚，来进一步发展量子力学。
03
物理学中第3个例子，就是具有长程纠缠的量子物态。量子物态中的组分有可能有长程纠缠。这些长程纠缠的各种各样的构型，会给出各种各样不同的量子物态[1]。这就是量子物态中所谓的拓扑序（见《拓扑序：看世界的一种新视角 | 众妙之门》）。有长程纠缠的量子物态，是一类全新的物态，有各种想以前想不到的新现象。
长程量子纠缠及其对应的拓扑序，是一个全新的自然现象。我们到底应该用什么样的数学来描写这一新现象？近十几年来的研究发现，张量范畴学和高阶范畴学正是描写长程纠缠（拓扑序）的数学框架。其实拓扑序物态中的拓扑准粒子对应于范畴学中的“实体”（object，即所谓的“客观存在”），而准粒子的交换、融合等操作，对应于范畴学中的关系（morphism）。张量范畴学正巧是描写拓扑准粒子的完备理论。它可描写拓扑序物态中的拓扑准粒子所具有的各种非常新奇的性质，如分数电荷、分数自由度、分数统计，甚至是非阿贝尔统计，等等。正是这些新奇的性质（非阿贝尔统计），使我们可以用拓扑物态进行拓扑量子计算。
通过范畴学，我们得到了对拓扑序（即长程纠缠）的全面理解和分类。比如在1维，没有非平凡的拓扑序，也就是说没有长程纠缠，只有短程纠缠。在二维，各种各样的拓扑序可以由一类特殊的张量范畴——模张量范畴——来一一描写[2]。在三维，各种各样的拓扑序可以由一类特殊的融合二阶范畴来一一描写[3]。
4
代数拓扑在凝聚态物理中的应用
近代数学的另一重要分支——代数拓扑，也在凝聚态物理中有重要的应用。上面提到长程纠缠（即拓扑序）代表了一类新型的量子物态。那么长程纠缠的反面——短程纠缠，应当只能描写那些平庸的、没意思的量子物态。可最近十几年的研究揭示，如果系统有对称性，那么即使是没有拓扑序的短程纠缠的量子物态，也可以是非平凡的。这类非平凡短程纠缠态被称之为“对称保护序”。媒体中常说的拓扑绝缘体[4]，就是一种没有拓扑序，但有对称保护序的量子物态。虽然有短程纠缠的对称保护序，没有分数电荷，没有分数自由度，也没有分数统计，但它们会有非平凡的、可以导电导热的边界，这使之成为目前凝聚态物理研究的一个大热点。
而代数拓扑中的上同调理论和示性类理论，正是描写这些短程纠缠（即对称保护序）的数学语言。这些代数拓扑理论使我们对一维有能隙的物态有了完全的理解和分类[5]，也使我们对高维的对称保护序有了完全的理解和分类[6]。
有很长一段时间，我们认为所有的物态都可以通过朗道的对称性和对称性破缺理论来理解（见《物理定律对称之美，物态对称破缺之美 | 众妙之门》)。为了理解这些物态，为了研究对称性，很多物理学生都学群论。现在我们意识到，还有很多新的物态是超越朗道对称性理论的。为了研究这些新的量子物态及其中的多体量子纠缠，今后许多物理学生，很可能还要学习范畴学和代数拓扑。（其实目前已经有很多物理学生开始学习范畴学、代数拓扑等现代数学理论）。这显示了数学物理的交融和并肩发展。新的数学进入物理，也意味着物理目前正在进行一场改朝换代的新革命。
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参考文献
1. 陈谐，顾正澄，文小刚， Local unitary transformation, long-range quantum entanglement, wave function renormalization, and topological order, arXiv:1004.3835
2. 文小刚，Topological Orders In Rigid States, Int. J. Mod. Phys. B, 04, 239 (1990); Rowell, Stong, 王正汉， On Classification of Modular Tensor Categories, arXiv:0712.1377
3. 兰天，孔良，文小刚, Classification of {(3+1)D} Bosonic Topological Orders (I): The Case When Pointlike Excitations Are All Bosons, arXiv:1704.04221,
兰天，文小刚， Classification of {3+1D} Bosonic Topological Orders (II): The Case When Some Pointlike Excitations Are Fermions; arXiv:1801.08530;
朱晨畅，兰天，文小刚，Topological non-linear sigma-model, higher gauge theory, and a realization of all {3+1D} topological orders for boson systems, arXiv:1808.09394
4. Kane, Mele, Z2 Topological Order and the Quantum Spin Hall Effect, cond-mat/0506581
5. 陈谐，顾正澄，文小刚，Complete classification of 1D gapped quantum phases in interacting spin systems; arXiv:1103.3323
6. 顾正澄，文小刚，Tensor-Entanglement-Filtering Renormalization Approach and Symmetry Protected Topological Order; arXiv:0903.1069; 陈谐，顾正澄，刘正鑫，文小刚，
Symmetry protected topological orders and the group cohomology of their symmetry group, arXiv:1106.4772.
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