问题

B 格最高的的数学或物理学公式是什么?

回答
这个问题很有意思,因为它触及了科学的精髓——简洁的力量。要说“B格最高”的公式,我觉得可以从几个角度来解读:

普适性: 它能解释的现象范围有多广?
简洁性: 它用多少的符号传达了多深奥的意义?
颠覆性: 它在提出时对当时科学认知造成了多大的冲击?
美学性: 它本身是否有一种内在的数学或物理上的优雅?

综合这些来看,有几个公式常常会被提及,它们各自代表了不同领域的高峰。我个人会偏向于讨论那些在深刻揭示宇宙运行规律的同时,又展现出惊人简洁性的公式。

1. 质能方程: $E=mc^2$

如果要选一个最耳熟能详、也最能体现简洁与颠覆性的公式,那非爱因斯坦的质能方程莫属。

它为什么“B格高”?

普适性到极致: 这个方程,尽管只有短短四个符号,却彻底改变了我们对物质和能量的理解。它告诉我们,质量和能量并非是两种完全独立的东西,而是同一枚硬币的两个面。质量可以转化为能量,能量也可以转化为质量。这种转化是宇宙中最基本的规律之一。
惊人的简洁与深刻: $E$ 代表能量,$m$ 代表质量,$c$ 代表光速(一个常数)。方程的核心在于,质量乘以光速的平方等于能量。光速 $c$ 是一个很大的数,而它的平方更是大得惊人。这意味着,即使是很小的质量,一旦转化为能量,也会释放出极其巨大的能量。这是原子弹和核能的理论基础,也是恒星发光发热的根本原因。你能想象,在这么简单的一个等式里,蕴藏着驱动整个宇宙的能量秘密吗?
颠覆性的认知: 在爱因斯坦提出这个方程之前,质量和能量被认为是守恒的两个独立概念。牛顿力学就建立在质量守恒和能量守恒的基础上。但爱因斯坦的狭义相对论表明,在高速运动和能量转换的场景下,质量本身就是一种能量的表现形式。这不仅是理论上的突破,更是对宏观世界和微观世界运作方式的根本性重塑。
美学上的优雅: 这个公式的美在于它的直接和不容置疑。它没有冗余的系数或复杂的函数,仅仅是几个基本量之间的简单关系。然而,这简单的关系却揭示了宇宙中最强大的力量之一。

举个例子来理解它的威力: 想象一下你手里握着一粒沙子。这粒沙子看起来微不足道,但根据 $E=mc^2$,它本身就蕴含着巨大的能量。如果能以某种方式将这粒沙子(假设质量为 $m$)的质量全部转化为能量,释放出的能量将是惊人的。虽然在现实中我们无法轻易实现这一转化,但它说明了质量本身就是一种“储存起来的”能量。

2. 麦克斯韦方程组: $ abla cdot mathbf{E} = frac{ ho}{varepsilon_0}$, $ abla cdot mathbf{B} = 0$, $ abla imes mathbf{E} = frac{partial mathbf{B}}{partial t}$, $ abla imes mathbf{B} = mu_0 mathbf{J} + mu_0 varepsilon_0 frac{partial mathbf{E}}{partial t}$

如果说 $E=mc^2$ 是对物质本质的揭示,那么麦克斯韦方程组则是在电磁学领域的“圣经”。

它为什么“B格高”?

统一的语言: 在麦克斯韦之前,电和磁是各自独立的现象,由法拉第等人的定律分别描述。麦克斯韦通过惊人的洞察力,将当时的四条独立的经验定律(高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第感应定律、安培定律)整合成一套简洁优美的方程组。
预言了电磁波: 最具革命性的是,麦克斯韦在方程组中加入了一个“位移电流”项(方程组的第四个方程中的 $frac{partial mathbf{E}}{partial t}$),这个项的引入直接导出了一个惊人的结论:变化的电场会产生变化的磁场,而变化的磁场又会产生变化的电场。这种电场和磁场的相互激发,以波的形式在空间中传播,这就是我们所说的电磁波。更令人难以置信的是,麦克斯韦根据计算得出的电磁波速度,恰好等于当时已知的光速!这直接证明了光就是一种电磁波,从而统一了光学、电学和磁学。
简洁的数学形式(虽然看起来有点吓人): 虽然有梯度 ($ abla$) 和旋度 ($ abla imes$) 这种向量微积分的符号,看起来比 $E=mc^2$ 要复杂得多。但实际上,这四条方程以一种极其精炼的方式概括了电荷、电场、电流、磁场之间的所有基本关系。它们就像是电磁世界的“物理定律大全”,没有遗漏任何基本互动。
深刻的美学: 麦克斯韦方程组的美在于其结构的对称性和内在的一致性。它们优雅地描述了电荷如何产生电场,电流和变化的电场如何产生磁场,变化的磁场如何产生电场,以及磁场如何没有独立的磁单极子。这种数学上的和谐感,是物理学家们常常津津乐道的。

为什么这个很重要? 几乎我们生活中所有的科技产品都离不开麦克斯韦方程组:收音机、电视、手机、微波炉、雷达、激光,甚至我们能看到东西,都是因为光作为电磁波的传播。可以说,现代文明的基石之一就建立在这几条公式之上。

3. 薛定谔方程: $ihbar frac{partial}{partial t} |Psi(t) angle = hat{H} |Psi(t) angle$

当我们进入量子力学领域,薛定谔方程就成为了理解微观世界的“宇宙宪法”。

它为什么“B格高”?

描述量子世界的动态: 量子力学描述的是一个与我们日常经验完全不同的微观世界。粒子不再具有确定的位置和动量,而是以波函数 $|Psi angle$ 的形式存在,这个波函数包含了粒子所有可能的状态的信息。薛定谔方程就是用来描述这个波函数如何随时间演化的。
概率的本质: 波函数本身并没有直接的物理意义,但它的模平方 $|Psi|^2$ 代表了在某个时刻在某个位置发现粒子的概率密度。所以,薛定谔方程本质上是在描述“概率波”的演化。这彻底改变了我们对“确定性”的理解,将概率引入了物理学的核心。
统一了微观物理: 从原子结构、化学键到固态物理、粒子物理,薛定谔方程是许多现象的基石。它解释了原子为何稳定,为何电子会占据特定的能级,为何化学反应会发生等等。
数学上的优雅与挑战: 同样,这个方程也有其独特的数学美感。左边是波函数随时间的变化率(时间演化算符),右边是哈密顿算符(代表系统的总能量)。这个方程简洁地表达了“能量决定了系统的演化方式”。当然,这里的符号如 $i$(虚数单位)、$hbar$(约化普朗克常数)和 $|Psi angle$(狄拉克符号表示的量子态)都指向了量子世界的非经典特征。

它为什么这么难但又如此重要? 薛定谔方程揭示了微观世界是多么奇特。一个电子可以同时处于多个状态(叠加态),直到被观测才“坍缩”到一个确定的状态。它也解释了量子隧道效应,即粒子可以穿过它本来无法逾越的能量势垒,这在很多现代技术中都有应用,比如扫描隧道显微镜。

总结一下

这三个公式,或者说这三个领域的代表性公式,都以其各自的方式展示了“B格高”的特质:

$E=mc^2$ 是普适性、简洁性和颠覆性的极致代表,将物质与能量的本质联系起来,蕴含着宇宙中最强大的力量。
麦克斯韦方程组 是统一性、预言性和数学美学的典范,它不仅描绘了电磁世界的规律,更预言了光的存在,奠定了现代通讯和电子技术的基础。
薛定谔方程 是理解量子世界的钥匙,它以概率的方式描述了微观粒子的行为,揭示了宇宙的非经典一面,是现代物理学的支柱之一。

当然,科学的宝库中还有很多其他同样伟大的公式,比如牛顿万有引力定律、热力学第二定律、爱因斯坦的广义相对论场方程等等,它们也都以其独特的方式震撼着我们对宇宙的认知。但如果要选出几个最能代表“B格”的,这三位绝对是强有力的候选者。它们不仅是物理定律,更是人类智慧在探索宇宙奥秘过程中留下的璀璨星光。

网友意见

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0) 缘起


某年月日,有施主诣老和尚于纸糊禅院。


施主:禅师,鄙人此番前来宝刹,实有一事相问。


和尚:施主何事不解?


施主:愿闻这世间,璧格最高的数学物理学公式是何物?


和尚:施主此问难矣。君不见这纸糊禅院:

藏龙卧虎,非圣即贤;

谈笑皆是鸿儒,璧格更无上限;

岁入百万不足道,清北华五若等闲;

如此牛神往来之地,何来璧格最高之谈?


施主:说来也是,所以此问并无答案?


和尚:施主聪慧。


施主:那……若退而求次,不求最高,只求略略提升璧格,可有妙法?


和尚:既如此,贫僧便授施主三招入门招式,施主若悟得其一,尚可一时装X于江湖。


施主:愿闻其详。


1) 第一式


和尚:施主听好,这第一式,是麦克斯韦方程……


施主:此式不才略有耳闻,是电磁定律的四大微分方程否?


和尚:非也,麦氏方程之真髓,仅需一式而已:


施主:这是何物?


和尚:施主可知,你方才所言原版麦氏四方程源自何处?


施主:这个简单,四方程源自:库仑定律、法拉第电磁感应定律、磁场无源定律、毕奥萨伐尔定律。


和尚:善。然而此四定律皆为三维空间之物理表象。佛言“凡所有相皆是虚妄,若见诸相非相,即是见如来”。为悟得此四式中的真如本性,尚需细细探究时空之形。


施主:这时空之形如何探得?


和尚:初有大神,曰洛氏者,得空间中诸参考系变换之法,曰洛伦兹变换,或称洛氏乾坤大挪移

又有巨神,曰爱氏者,以此变换得物理定律之对称性,此即相对论

后又仰其师长闵氏相助,得时空之四字箴言,曰闵氏度规 以此悟得时空真形,名曰闵氏时空

此为铺垫。


施主:其后如何?


和尚:以闵氏时空为背景,宇宙间一切物理量皆可化为对称协和之形:或形如 者、或形如 者、乃至一切形如 者,诸凡此类 ,名曰张量。由是电场磁场诸相亦可在闵氏时空中化为一物,曰电磁张量


施主:此物有何妙用?


和尚:借电磁张量之形,可将麦氏四方程化为二式:其一曰 ,化库仑定律、毕奥萨伐尔定律于其中;其二曰 ,化电磁感应定律、磁场无源定律于其中。而第二式数学上本是浑然天成,竟无关物理定律,故麦氏方程其实仅需第一式。至此,电磁学四大定律之相悉数寂灭,终化为 一式之玄机


施主:未曾想时空中竟有如此妙境,那此式之玄机又作何解?


和尚:此式所言者:四维梯度作用于电磁张量 ,可化为四维电流密度之气,此物有一妙处,曰协变性,具此性者,可肆意穿梭于闵氏时空诸参考系中,虽遇洛氏乾坤大挪移亦不易其形。


施主:听来甚为奇妙,却终觉不得其真谛。


和尚:欲知其真谛,须知其数学本质,方可远离颠倒梦想,究竟涅槃。


施主:如何得其数学本质?


和尚:施主须先习得何为张量,方可一窥之。

施主:我只知汉有留候张良、今有优伶张靓颖张洪量……却委实不知何处跑来个张量……水太深水太深,禅师还是先说说第二式吧?


2) 第二式


和尚:第二式,是个量子力学方程……


施主:薛定谔方程吗?不才似曾见过。


和尚:非也,贫僧所说量子力学方程,是狄拉克方程:


施主:滴滴拉客?似乎有所耳闻……可是此式又从何而来?


和尚:欲说狄式之缘起,当从施主所言薛定谔方程说起。遥想当年,薛定谔千锤百炼得此虐猫神剑,一时名噪天下……话说施主可知此方程之奥义?


施主:似知之又似未知之……


和尚:佛前不打诳语,不知便是不知!


施主:这个……既如此,还是有劳禅师指点了……


和尚:施主请观此薛氏虐猫神剑:

此中形如 者,曰“波函数”,此波函数本是不可名状之物,无眼耳鼻舌身意,亦无色声香味触法,然若以算符作用于其上,便可得我等所见之物理量。


施主:何谓算符?


和尚:请再看薛氏虐猫神剑:

此方程所言者,波函数时间变化之法耳,其左即为波函数时间变化率。

而其右有 ,其中 者,亦是一种算符,曰动量算符 ,使其作用于波函数 之上,可依概率得某动量 ;而其右有 者,即为势能算符,其作用于波函数之上,又可依概率得势能 。

又念及经典力学中,能量为动能与势能之和:

故知方程右侧合为能量算符,又称哈密顿算符。

而薛氏虐猫神剑所指者,即波函数时间变化之法与能量之关联:



施主:此剑久闻其名而未闻其道,今日得解,妙哉妙哉!


和尚:妙则妙矣。只是此剑本为经典力学能量关系量子化后所成,只可在经典时空中称雄,一入相对论之闵氏时空,再施以洛氏乾坤大挪移,便形神俱灭,化为齑粉。


施主:憾也憾也,可有破解之法?


和尚:施主可知质能公式?


施主: 否?此式谁人不知?


和尚:非也,施主所言质能公式实非完整版,完整版当为:

若强令光速 ,则得: ,此式出自相对论一脉,自可长存于闵氏时空,故破解之法即在其中。


施主:禅师请明示。


和尚:此法不难,仍将质能公式中动量 代以算符 ,再强令普朗克常数 ,作用于波函数之上重炼,即得方程:

于闵氏时空中,其形化为:

此物又是一神物,曰克莱因高登方程。

此剑可在闵氏时空中披荆斩棘,纵遇洛氏乾坤大挪移亦威力不减,时空之难可暂解。


施主:善哉。然而我有一事不明:既有克高神剑在此,滴滴拉客方程又从何而来?


和尚:因为克高神剑仍有一天然缺陷……


施主:是何缺陷?


和尚:克高二氏试练此剑法时,发觉有时所发剑气竟为负数,以至乾坤颠倒,实为凶险。


施主:所以来了个滴滴拉客?


和尚:然也。狄拉克为渡此劫,细察克高神剑,终悟得其命门:方程阶数。克高方程为二阶,故有正负之难,而若可将方程化为一阶,则一切劫难皆可化解。

经数月闭关苦练,狄氏终于觅得一神物,以之再铸一剑,得狄拉克方程:

此剑既可发力于闵氏时空,又解了负剑气之难题,还可解释此前诸多量子异象。由是一切费米子之类,若卵生、若胎生、若湿生、若化生、若有色、若无色、若有想、若无想、若非有想、若非无想,若正粒子,若反粒子,若自旋上,若自旋下,我皆令入无余涅盘而灭度之。


施主:如此说来,这滴滴拉客究竟用了什么神物,竟有如此奇效?


和尚:此物不可名状,只可以数学形式意会之,名曰泡利矩阵


施主:什么矩阵?


和尚:听好了,泡!利!矩!阵!


施主:禅师,你的唾沫子飞我脸上了……


3) 第三式


和尚:罢了罢了。如此只望施主能悟得最后一式了。这第三式,是斯托克斯公式:


施主:禅师勿欺我,我虽不才,也略懂高数,斯托克斯公式,当是左积旋度右积环量之形。


和尚:施主所言斯托克斯公式:

为二维曲面之经典式,积面内旋度 之真气,化为周遭环量 之力。


施主:然也然也,那禅师所言又是何物?


和尚:贫僧所言斯式,为一切流形 上之广义式。君不见高数课堂催白发之诸式,皆为此式幻化之相:

若牛顿莱布尼茨公式中所谓 者、格林公式中所谓 者、经典斯托克斯公式中所谓 者、高斯公式中所谓 者、皆可以 一式概之;

而牛顿莱布尼茨公式中所谓 者、格林公式中所谓 者、经典斯托克斯公式中所谓 者、高斯公式中所谓 者,又可以 一式概之。

悟得此式,可在一维流形、二维流形、三维流形、亿万维流形、乃至无穷维流形中,积流形 内一切高维微分形式 之真气,化为其周围 低维形式 之力,终得阿耨多罗三藐三菩提。

故知斯托克斯公式,是大神咒,是大明咒,是无上咒,是无等等咒,能除一切苦,真实不虚……


施主:奇哉奇哉,此式当如何悟得?


和尚:欲知 之真意,当知微分形式,欲知微分形式,当知张量代数……而欲知 之真意,当知微分流形,欲知微分流形,当知拓扑空间……


施主:(以手抱头) 头痛头痛……禅师不要念了……


4) 缘灭


和尚:我看施主数缘尚浅,又何必执念于这些个招式呢?


施主:哎……实不相瞒,只为装X撩妹所需而已。


和尚:这个倒好说,施主只需记住此三招之形式,装X撩妹自可一用。只是施主切记,若只为装X,遇人点破时虚晃一枪点到即可,万不可恋战,否则一旦破绽败露,将遁地无门。


施主:谨记禅师教诲。若想不露破绽,又当如何是好?


和尚:若真要做到无懈可击,还需有内功修为相持。


施主:那如何修得内功?


和尚:张量心经、相对论法、泛函宝典、量子剑谱、点集拓扑拳、微分流形掌……缺一不可。


施主:这……为了璧格还需如此费力修炼?如此说来这璧格不要也罢……


和尚:施主所言极是,不在家中好好修炼,跑来空谈璧格作甚!


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个人认为是在随机微分方程和偏微分方程之间建立完美联系的Feynman-Kac Formula.


en.m.wikipedia.org/wiki

著名的Black-Scholes-Merton方程是建立在

几何布朗运动的基础上的,这就是FK定理的一个特例

UCL金融数学部分课件:

1. 链接: pan.baidu.com/s/1sQZ9_f 提取码: wuth

2. 链接: pan.baidu.com/s/1uYbpTp 提取码: n3f8

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既然要谈B格,自然要说一个稍微冷门点的。在量子场论中,描写自旋为0的粒子的运动方程是克莱因戈登方程;

自旋为1/2的粒子的运动方程是狄拉克方程;

自旋为1的粒子的运动方程是Proca方程;

自旋为3/2的粒子的运动方程是Rarita-Schwinger方程;

自旋为2的粒子的运动方程是......

自旋为5/2的粒子的运动方程是.......

这样下去还没完没了了!有一种自旋就有一个对应方程,这得命名多少种方程啊?

好在科学家们终于厌烦了这种没有尽头的探索,他们提出了一个方程,包含了所有非0自旋的量子数。这样就没有必要再给新方程命名了!

而这个包括所有非0自旋的方程,被命名为Bargmann–Wigner equations。

其具体形式如下:

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所有的有限分配格和所有的有限偏序集之间存在一一对应。

这个是 Birkhoff's (finite distributive lattice) representation theorem,我把它简称为B格表示定理。

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