抛开物理意义，数学家在纯代数中讨论张量积或者多重线性映射的思想背景是什么？
好的，我们来聊聊数学家们在纯代数领域里，是如何看待“张量积”和“多重线性映射”这些概念的。抛开那些物理学里的力场、形变之类的具体图像，我们可以发现，这些概念在代数世界里有着非常自然和深刻的逻辑根基。
想象一下，我们手上有一些“东西”，这些“东西”可以被看作是某种抽象的“向量”。在代数里，我们最熟悉的“向量”就是我们熟悉的向量空间里的元素，比如 $mathbb{R}^n$ 里的点。这些向量可以进行加法，也可以和数进行乘法（标量乘法），形成一个封闭的结构，这就是向量空间。
那么，张量积和多重线性映射的“思想背景”究竟是什么呢？我们可以从以下几个角度来理解：
1. 组合与构造：将“信息”或“结构”进行“合并”和“扩展”
我们有没有办法把两个（或者更多）向量空间的“信息”或者“结构”更紧密地“结合”起来，形成一个全新的、包含更多“可能性”的空间？
从例子出发： 考虑两个向量空间 $V$ 和 $W$。如果我想要描述一个“点”或者一个“事件”，它既需要 $V$ 中的一个分量，也需要 $W$ 中的一个分量，我们该怎么做？最直观的想法就是把它们“放在一起”。最简单的组合方式可能是像 $(v, w)$ 这样的有序对，其中 $v in V$，$w in W$。
但是，这还不够“代数”。 我们想要的是一个向量空间。有序对 $(v, w)$ 本身并不能直接进行向量加法和标量乘法，它们并不能直接构成一个向量空间。如果 $v_1, v_2 in V$，$w_1, w_2 in W$，那么 $(v_1, w_1) + (v_2, w_2)$ 应该是什么？$(kv_1, kw_2)$ 又是什么？我们希望这个新的结构能继承 $V$ 和 $W$ 的线性性质。
张量积的诞生： 张量积 $V otimes W$ 就是这样一种构造。它不是简单地把有序对放在一起，而是通过一种更精巧的方式，引入了一种“乘法”的结构，但这种“乘法”和我们熟悉的标量乘法是不同的。它允许我们“乘”两个向量，比如 $v otimes w$。
关键在于，张量积定义了一种双线性关系。对于任意 $v_1, v_2 in V$，$w_1, w_2 in W$ 以及标量 $k$：
$(v_1 + v_2) otimes w = (v_1 otimes w) + (v_2 otimes w)$ （关于第一个因子“线性”）
$v otimes (w_1 + w_2) = (v otimes w_1) + (v otimes w_2)$ （关于第二个因子“线性”）
$(kv) otimes w = k(v otimes w) = v otimes (kw)$ （这里的 $k$ 是一个标量）
这三个性质，尤其是第一个和第二个，就是“线性”的体现。它保证了我们可以在这个新空间里进行“加法”和“乘法”操作，而且这些操作与原空间的线性运算是兼容的。
“最普遍的”双线性映射： 这里的“思想背景”在于，张量积 $V otimes W$ 是“最纯粹”、“最普遍”的包含所有双线性信息的方式。任何一个从 $V imes W$（笛卡尔积）出发，并且在每个因子上都保持线性的映射（即双线性映射）$f: V imes W o U$，都可以唯一地“分解”成一个从张量积 $V otimes W$ 到 $U$ 的线性映射 $ ilde{f}: V otimes W o U$。换句话说：
$$ ext{Hom}(V otimes W, U) cong ext{Bilinear}(V imes W, U) $$
（这里 $ ext{Hom}$ 表示线性映射的空间，$ ext{Bilinear}$ 表示双线性映射的空间）。
这就像是在说，张量积 $V otimes W$ 是一个“万能的容器”，它包含了所有 $V$ 和 $W$ 之间可能有的“双线性交互”的所有信息。我们通过构造张量积，把这种“交互”变成了一个可以进行线性操作的对象。
2. 扩展和“泛化”：从标量到多重变量的“函数”
我们习惯了函数，比如 $f(x)$。这里 $x$ 是一个“单一”的输入（一个标量或者一个向量）。但很多时候，我们想要处理的“量”是依赖于多个输入的。
多项式的类比： 考虑多项式，比如 $P(x, y) = 3x^2y + 5xy 2y^3$。这里的输入是两个变量 $x$ 和 $y$。这些多项式本身也构成一个向量空间。如果我们把 $V$ 中的元素看作是“基础”的“单项式”，那么张量积的元素 $v otimes w$ 就可以类比于“双项式”。而由这些 $v otimes w$ 生成的向量空间，其元素就可以看作是“多项式”的推广。
多重线性映射的本质： 现在考虑一个映射 $f: V imes W o U$。这个映射的特点是，当我们固定 $W$ 中的一个元素 $w$ 时，它就变成了一个关于 $V$ 中第一个参数的线性映射 $f(cdot, w): V o U$。同样，当我们固定 $V$ 中的一个元素 $v$ 时，它就变成了一个关于 $W$ 中第二个参数的线性映射 $f(v, cdot): W o U$。
这种“在每个输入上都保持线性”的性质，就是“多重线性”的核心。它非常自然地描述了许多代数结构，比如：
行列式： 一个 $n imes n$ 的矩阵，可以看作是从 $mathbb{R}^n imes mathbb{R}^n imes dots imes mathbb{R}^n$ （$n$ 个 $mathbb{R}^n$ 的笛卡尔积）到 $mathbb{R}$ 的一个反对称多重线性映射。行列式在每一列上都是线性的，并且交换任意两列会改变符号。
外积（楔积）： 在几何代数中，外积 $v wedge w$ 是另一个例子。它也是一个双线性运算，但它有一个“反对称”的性质：$v wedge w = w wedge v$。这个性质本身就是一个代数约束。
数学家们想抓住这种“多重线性”的模式，并将其形式化。多重线性映射就是描述这种模式的语言。
张量积与多重线性映射的联系： 正如前面提到的，张量积是“容纳”多重线性映射的“工具”。任何一个多重线性映射 $f: V_1 imes V_2 imes dots imes V_k o U$ 都可以唯一地分解为一个从 $V_1 otimes V_2 otimes dots otimes V_k$ 到 $U$ 的线性映射。
$$ ext{Hom}(V_1 otimes V_2 otimes dots otimes V_k, U) cong ext{Multilinear}(V_1 imes V_2 imes dots imes V_k, U) $$
这里的 $V_1 otimes V_2 otimes dots otimes V_k$ 就是张量积，它是一个新的向量空间，它的元素是形如 $v_1 otimes v_2 otimes dots otimes v_k$ 的“张量”。
3. 抽象化与范畴论的视角
从更抽象的范畴论角度来看，张量积和多重线性映射之间的关系是一种“伴随”关系。
乘法与 Hom 函数的伴随： 在范畴论中，一个“乘法”运算（比如笛卡尔积 $ imes$）和它的“伴随”操作（比如 $ ext{Hom}$ 集合）之间常常存在一种深刻的联系。对于向量空间而言：
笛卡尔积： $V imes W$ 是 $V$ 和 $W$ 的笛卡尔积。
张量积： $V otimes W$ 是 $V$ 和 $W$ 的张量积。
Hom 集合： $ ext{Hom}(V, U)$ 是从 $V$ 到 $U$ 的线性映射的集合（它本身也是一个向量空间）。
张量积的定义，实际上是为了“模拟”或“泛化”一个我们希望拥有的关于“乘法”的性质，而这个性质与 $ ext{Hom}$ 函数的行为密切相关。具体来说，张量积的泛性质（即它与所有多重线性映射的联系）使得它成为“乘积”的某种最佳逼近，能够“捕捉”多重线性关系。
用一个更“代数”的说法，张量积就是“直积”（笛卡尔积）的“内部化”或“函数化”。我们希望在向量空间内部就能进行一种“乘法”，而这种乘法能够以一种线性的方式响应于原始向量空间的乘法。
总结一下，抛开物理意义，纯代数中的思想背景可以概括为：
构建新的线性结构： 如何将多个向量空间的“信息”以一种兼容线性运算的方式“结合”起来，创造出更丰富的结构。张量积就是这种“结合”的产物，它提供了一个可以进行“张量乘法”的载体。
捕捉多重线性关系： 识别并形式化那些在多个输入上都表现出线性的映射（多重线性映射），这是许多代数运算（如行列式、外积）和理论（如张量分析）的基础。
普遍性与分解性： 张量积拥有一个“泛性质”，即任何多重线性映射都可以唯一地分解为从张量积到目标空间的线性映射。这使得张量积成为研究多重线性现象的“通用语言”和“标准模型”。
抽象代数工具： 张量积提供了一种抽象的代数工具，可以用于构造更复杂的代数对象，处理更抽象的数学结构，并且在表示论、同调代数等领域有极其广泛的应用。
所以，数学家们在谈论张量积和多重线性映射时，不是在描述物理世界里的某种“拉伸”或“扭曲”，而是他们在探索如何构建更高级的代数结构，如何统一描述多种代数运算，以及如何将“交互”或“依赖”关系用清晰、可操作的线性代数语言表达出来。这是一种对数学内在逻辑和结构美感的追求。
想象一下，我们手上有一些“东西”，这些“东西”可以被看作是某种抽象的“向量”。在代数里，我们最熟悉的“向量”就是我们熟悉的向量空间里的元素，比如 $mathbb{R}^n$ 里的点。这些向量可以进行加法，也可以和数进行乘法（标量乘法），形成一个封闭的结构，这就是向量空间。
那么，张量积和多重线性映射的“思想背景”究竟是什么呢？我们可以从以下几个角度来理解：
1. 组合与构造：将“信息”或“结构”进行“合并”和“扩展”
我们有没有办法把两个（或者更多）向量空间的“信息”或者“结构”更紧密地“结合”起来，形成一个全新的、包含更多“可能性”的空间？
从例子出发： 考虑两个向量空间 $V$ 和 $W$。如果我想要描述一个“点”或者一个“事件”，它既需要 $V$ 中的一个分量，也需要 $W$ 中的一个分量，我们该怎么做？最直观的想法就是把它们“放在一起”。最简单的组合方式可能是像 $(v, w)$ 这样的有序对，其中 $v in V$，$w in W$。
但是，这还不够“代数”。 我们想要的是一个向量空间。有序对 $(v, w)$ 本身并不能直接进行向量加法和标量乘法，它们并不能直接构成一个向量空间。如果 $v_1, v_2 in V$，$w_1, w_2 in W$，那么 $(v_1, w_1) + (v_2, w_2)$ 应该是什么？$(kv_1, kw_2)$ 又是什么？我们希望这个新的结构能继承 $V$ 和 $W$ 的线性性质。
张量积的诞生： 张量积 $V otimes W$ 就是这样一种构造。它不是简单地把有序对放在一起，而是通过一种更精巧的方式，引入了一种“乘法”的结构，但这种“乘法”和我们熟悉的标量乘法是不同的。它允许我们“乘”两个向量，比如 $v otimes w$。
关键在于，张量积定义了一种双线性关系。对于任意 $v_1, v_2 in V$，$w_1, w_2 in W$ 以及标量 $k$：
$(v_1 + v_2) otimes w = (v_1 otimes w) + (v_2 otimes w)$ （关于第一个因子“线性”）
$v otimes (w_1 + w_2) = (v otimes w_1) + (v otimes w_2)$ （关于第二个因子“线性”）
$(kv) otimes w = k(v otimes w) = v otimes (kw)$ （这里的 $k$ 是一个标量）
这三个性质，尤其是第一个和第二个，就是“线性”的体现。它保证了我们可以在这个新空间里进行“加法”和“乘法”操作，而且这些操作与原空间的线性运算是兼容的。
“最普遍的”双线性映射： 这里的“思想背景”在于，张量积 $V otimes W$ 是“最纯粹”、“最普遍”的包含所有双线性信息的方式。任何一个从 $V imes W$（笛卡尔积）出发，并且在每个因子上都保持线性的映射（即双线性映射）$f: V imes W o U$，都可以唯一地“分解”成一个从张量积 $V otimes W$ 到 $U$ 的线性映射 $ ilde{f}: V otimes W o U$。换句话说：
$$ ext{Hom}(V otimes W, U) cong ext{Bilinear}(V imes W, U) $$
（这里 $ ext{Hom}$ 表示线性映射的空间，$ ext{Bilinear}$ 表示双线性映射的空间）。
这就像是在说，张量积 $V otimes W$ 是一个“万能的容器”，它包含了所有 $V$ 和 $W$ 之间可能有的“双线性交互”的所有信息。我们通过构造张量积，把这种“交互”变成了一个可以进行线性操作的对象。
2. 扩展和“泛化”：从标量到多重变量的“函数”
我们习惯了函数，比如 $f(x)$。这里 $x$ 是一个“单一”的输入（一个标量或者一个向量）。但很多时候，我们想要处理的“量”是依赖于多个输入的。
多项式的类比： 考虑多项式，比如 $P(x, y) = 3x^2y + 5xy 2y^3$。这里的输入是两个变量 $x$ 和 $y$。这些多项式本身也构成一个向量空间。如果我们把 $V$ 中的元素看作是“基础”的“单项式”，那么张量积的元素 $v otimes w$ 就可以类比于“双项式”。而由这些 $v otimes w$ 生成的向量空间，其元素就可以看作是“多项式”的推广。
多重线性映射的本质： 现在考虑一个映射 $f: V imes W o U$。这个映射的特点是，当我们固定 $W$ 中的一个元素 $w$ 时，它就变成了一个关于 $V$ 中第一个参数的线性映射 $f(cdot, w): V o U$。同样，当我们固定 $V$ 中的一个元素 $v$ 时，它就变成了一个关于 $W$ 中第二个参数的线性映射 $f(v, cdot): W o U$。
这种“在每个输入上都保持线性”的性质，就是“多重线性”的核心。它非常自然地描述了许多代数结构，比如：
行列式： 一个 $n imes n$ 的矩阵，可以看作是从 $mathbb{R}^n imes mathbb{R}^n imes dots imes mathbb{R}^n$ （$n$ 个 $mathbb{R}^n$ 的笛卡尔积）到 $mathbb{R}$ 的一个反对称多重线性映射。行列式在每一列上都是线性的，并且交换任意两列会改变符号。
外积（楔积）： 在几何代数中，外积 $v wedge w$ 是另一个例子。它也是一个双线性运算，但它有一个“反对称”的性质：$v wedge w = w wedge v$。这个性质本身就是一个代数约束。
数学家们想抓住这种“多重线性”的模式，并将其形式化。多重线性映射就是描述这种模式的语言。
张量积与多重线性映射的联系： 正如前面提到的，张量积是“容纳”多重线性映射的“工具”。任何一个多重线性映射 $f: V_1 imes V_2 imes dots imes V_k o U$ 都可以唯一地分解为一个从 $V_1 otimes V_2 otimes dots otimes V_k$ 到 $U$ 的线性映射。
$$ ext{Hom}(V_1 otimes V_2 otimes dots otimes V_k, U) cong ext{Multilinear}(V_1 imes V_2 imes dots imes V_k, U) $$
这里的 $V_1 otimes V_2 otimes dots otimes V_k$ 就是张量积，它是一个新的向量空间，它的元素是形如 $v_1 otimes v_2 otimes dots otimes v_k$ 的“张量”。
3. 抽象化与范畴论的视角
从更抽象的范畴论角度来看，张量积和多重线性映射之间的关系是一种“伴随”关系。
乘法与 Hom 函数的伴随： 在范畴论中，一个“乘法”运算（比如笛卡尔积 $ imes$）和它的“伴随”操作（比如 $ ext{Hom}$ 集合）之间常常存在一种深刻的联系。对于向量空间而言：
笛卡尔积： $V imes W$ 是 $V$ 和 $W$ 的笛卡尔积。
张量积： $V otimes W$ 是 $V$ 和 $W$ 的张量积。
Hom 集合： $ ext{Hom}(V, U)$ 是从 $V$ 到 $U$ 的线性映射的集合（它本身也是一个向量空间）。
张量积的定义，实际上是为了“模拟”或“泛化”一个我们希望拥有的关于“乘法”的性质，而这个性质与 $ ext{Hom}$ 函数的行为密切相关。具体来说，张量积的泛性质（即它与所有多重线性映射的联系）使得它成为“乘积”的某种最佳逼近，能够“捕捉”多重线性关系。
用一个更“代数”的说法，张量积就是“直积”（笛卡尔积）的“内部化”或“函数化”。我们希望在向量空间内部就能进行一种“乘法”，而这种乘法能够以一种线性的方式响应于原始向量空间的乘法。
总结一下，抛开物理意义，纯代数中的思想背景可以概括为：
构建新的线性结构： 如何将多个向量空间的“信息”以一种兼容线性运算的方式“结合”起来，创造出更丰富的结构。张量积就是这种“结合”的产物，它提供了一个可以进行“张量乘法”的载体。
捕捉多重线性关系： 识别并形式化那些在多个输入上都表现出线性的映射（多重线性映射），这是许多代数运算（如行列式、外积）和理论（如张量分析）的基础。
普遍性与分解性： 张量积拥有一个“泛性质”，即任何多重线性映射都可以唯一地分解为从张量积到目标空间的线性映射。这使得张量积成为研究多重线性现象的“通用语言”和“标准模型”。
抽象代数工具： 张量积提供了一种抽象的代数工具，可以用于构造更复杂的代数对象，处理更抽象的数学结构，并且在表示论、同调代数等领域有极其广泛的应用。
所以，数学家们在谈论张量积和多重线性映射时，不是在描述物理世界里的某种“拉伸”或“扭曲”，而是他们在探索如何构建更高级的代数结构，如何统一描述多种代数运算，以及如何将“交互”或“依赖”关系用清晰、可操作的线性代数语言表达出来。这是一种对数学内在逻辑和结构美感的追求。
网友意见
从范畴论的角度来看，张量积可以被自然地定义为Hom函子的左伴随函子，而双线性映射的定义则给出了一个具体的构造说明了Hom函子的确是有左伴随的：
设 是环， 是右 -模， 是左 -模，则张量积 被定义为 生成的自由交换群商掉由下面一系列元素生成的子群：
更为熟悉的定义是通过万有性质来定义的：任意的平衡双线性映射 总可以分解为一个交换群同态 和一个固定的双线性映射 的复合。
从范畴论的角度来说， 表示了函子 ，即对任意交换群 有
其中 是所有平衡双线性映射 组成的交换群，所以这是一个从交换群范畴到交换群范畴的函子。因此从Yoneda引理的角度来看，这个定义下的张量积 是在典范同构的意义下唯一的。
通过这个定义，可以清楚地知道张量积是Hom的左伴随。设 是另一个环，并假设 同时有右 -模的结构。那么对任意的右 -模 和右 -模 有
这里涉及到了两个函子： 和 。这个自然同构的构造很简单：注意到左边是 （但不完全是，需要整合进右 -模的结构）。因此可以构造
另一方面，
可以验证这两个映射互为反函数。同样地，可以验证张量积和Hom在左模范畴里也是互为伴随的。
这个张量积和Hom的伴随关系可以给出很多有用的结构。例如Hom作为右伴随是永远左正合的，这可以证明投射模的两个等价定义；而张量积作为左伴随是右正合的，这也可以用来定义平坦模。进一步地，可以用Tor和Ext函子来考察张量积（缺少）的左正合性和Hom（缺少）的右正合性。
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