实变函数鲁津定理的疑问？

好的，我们来详细地探讨一下实变函数中的鲁津定理（Luzin's Theorem）。鲁津定理是实变函数论中的一个重要结论，它描述了可测函数在特定条件下的性质，特别是在与连续函数的关系上。

首先，为了更好地理解鲁津定理，我们需要回顾一些基础概念：

核心概念回顾：

可测函数 (Measurable Function): 一个函数 $f: X o mathbb{R}$（其中 $X$ 是一个测度空间，通常是 $mathbb{R}^n$ 配备了 Lebesgue 测度）被称为可测函数，如果对于任意的实数 $c$，函数值小于 $c$ 的集合 ${x in X mid f(x) < c}$ 是可测集。简单来说，就是函数“不会在不该出现的地方跳跃”。
连续函数 (Continuous Function): 一个函数是连续的，如果在定义域内的每一点，函数在该点的极限都等于函数在该点的值。连续函数是非常“平滑”的。
几乎处处 (Almost Everywhere, a.e.): 在测度论中，“几乎处处”表示一个性质对于一个测度空间中的一个零测集之外的所有点都成立。也就是说，只有“非常小”的一部分点不满足这个性质。
可测集 (Measurable Set): 在 Lebesgue 测度下，一些集合被定义为可测集，例如区间、开集、闭集、以及它们的有限可数并集、交集和差集等。
零测集 (Null Set / Zero Measure Set): Lebesgue 测度为零的集合。

鲁津定理的陈述 (Luzin's Theorem Statement):

有几种等价的陈述方式，这里我们选取一种比较常见的形式：

定理 (Luzin's Theorem): 设 $f: E o mathbb{R}$ 是定义在 Lebesgue 可测集 $E subseteq mathbb{R}^n$ 上的实值可测函数。那么，对于任意给定的 $epsilon > 0$，存在一个闭集 $F subseteq E$ 满足：

1. 测度差小: $m(E setminus F) < epsilon$ (其中 $m$ 是 Lebesgue 测度)。
2. 在闭集上连续: 函数 $f$ 在闭集 $F$ 上是连续的。

更强的形式 (通常也称为鲁津定理的一部分):

此外，对于任何给定的 $epsilon > 0$，存在一个闭集 $F subseteq E$ 使得 $m(E setminus F) < epsilon$ 并且函数 $f$ 在 $F$ 上是连续的。

鲁津定理的意义和直观理解：

鲁津定理告诉我们，一个可测函数虽然可能不是到处连续的，但它“非常接近”连续函数。具体来说，我们可以找到一个大部分区域（比任意给定的 $epsilon$ 要小的区域）上的闭集，在这个闭集上，原函数表现得像一个连续函数一样平滑。

这有多重要呢？

连接可测性与连续性: 可测性是一个比连续性更弱的条件。许多数学对象（例如解微分方程的弱解）可能不是处处连续的，但它们是可测的。鲁津定理提供了一种将这些“不太好”的函数与我们熟悉的、性质良好的连续函数联系起来的桥梁。
构造性证明和逼近: 在很多分析的证明中，我们需要将一个可测函数表示成某种“好”函数的极限或者近拟。鲁津定理允许我们找到一个连续函数在大部分点上与原函数相同，这对于后续的构造性证明非常有用。
函数逼近: 它可以被看作是一种函数逼近的理论。我们不是用一个连续函数去逼近整个集合，而是用一个连续函数去逼近在大部分区域都与原函数相等的“限制”。

证明思路和关键步骤 (以一维 Lebesgue 测度为例，更具操作性):

证明鲁津定理通常需要结合其他一些实变函数的基本定理和构造技巧。下面是一个典型的证明思路：

第一步：将函数“平滑化”和“离散化”

核心思想是利用可测函数的定义和性质，将其逐步转化为更易于处理的形式，最终逼近连续函数。

1. 处理无界函数: 如果 $f$ 是无界的，我们可以先将其截断。对于任意 $M > 0$，令 $f_M(x) = max(M, min(f(x), M))$。 $f_M$ 是有界的。根据鲁津定理，如果定理对有界函数成立，我们也可以推广到无界函数（通过逐点逼近）。
2. 利用可测集的结构: 对于可测集 $E$，我们可以用开集逼近 $E$，或者用闭集逼近 $E$ 的子集。更重要的是，我们可以利用博雷尔分解 (Borel decomposition) 的思想，将 $E$ 分解成一系列更小的、更“良好”的可测集。

第二步：利用 Egorov 定理 (Egorov's Theorem)

Egorov 定理是鲁津定理证明中的一个关键工具。

定理 (Egorov's Theorem): 设 $f_n$ 是一个序列实值可测函数，定义在测度有限的集合 $E$ 上，且 $f_n(x) o f(x)$ 几乎处处地在 $E$ 上。那么，对于任意的 $epsilon > 0$，存在一个 $E_epsilon subseteq E$ 使得 $m(E setminus E_epsilon) < epsilon$，并且 $f_n$ 在 $E_epsilon$ 上是一致收敛于 $f$ 的。

虽然 Egorov 定理本身不直接给出连续函数，但它告诉我们，如果一个可测函数序列几乎处处收敛到一个极限函数，那么在大部分区域上，这个收敛是“均匀的”，这种均匀性是构造连续函数的先决条件。

第三步：将可测函数表示为“阶梯函数”的极限

任何可测函数都可以看作是简单函数的极限。简单函数是取有限多个值的函数，其值为常数，且原像集是可测集。

我们知道，任何可测函数都可以被简单函数逼近。而每一个简单函数，在“大部分”区域上，都表现得像一个“分段常数函数”。

第四步：从分段常数函数到连续函数

考虑一个在某个区间上取常数值的函数 $f(x) = c$ 对于 $x in [a, b]$。这个函数在 $[a, b]$ 上是连续的。

现在的问题是，我们希望将一个在大部分区域上“接近”某个连续函数的可测函数，转化为在一个闭集上真正连续的函数。

一个常见的证明技巧是：

1. 利用可测函数的定义： 对于任意 $delta > 0$，存在一个闭集 $K_delta subset E$ 使得 $m(E setminus K_delta) < delta$ 且 $f$ 在 $K_delta$ 上是连续的。 （这个本身就是一个弱版本的鲁津定理，是可测函数定义和闭集逼近性质的直接结果）。
2. 将闭集分解成小区间: 设 $E$ 是一个有界可测集。通过适当的划分，我们可以将 $E$ 的一个子集分解成一系列小区间（或者更一般的 Lebesgue 可测的“块”），使得在每个小区间内，函数的变化非常小。

一个更具体的证明思路 (简略版):

1. 有界性: 首先，可以先将函数截断（如上所述），使其变为有界函数。如果定理对有界函数成立，则对无界函数也成立。
2. 测度有限: 假设 $m(E) < infty$。
3. 逼近为简单函数: 任何可测函数 $f$ 都可以被一个单调递增的简单函数序列 $s_n$ 逼近，即 $s_n(x) uparrow f(x)$。
4. 简单函数的性质: 一个简单函数 $s(x) = sum_{i=1}^k c_i chi_{A_i}(x)$，其中 $A_i$ 是可测集。
5. 分解可测集: 对于一个可测集 $E$，可以将其分解为一列长度逐渐减小的可测集 $E_n$，使得 $E = igcup_{n=1}^infty E_n$ 且 $m(E_n) < infty$。
6. 利用迪尼定理 (Dini's Theorem) 或其变体: 迪尼定理表明，一个递增的连续函数序列在闭集上的一致收敛的极限是连续的。虽然这里不是直接用迪尼定理，但核心思想是利用函数在小范围内的“平滑度”。
7. 关键构造:
考虑函数 $f$ 在有界可测集 $E$ 上的值。
对于任意整数 $k$，考虑集合 $E_k = {x in E mid |f(x)| le k}$。 $E_k$ 是可测的，并且 $E = igcup_{k=1}^infty E_k$。
再考虑 $E_k$ 中的子集 $E_{k,j} = {x in E mid j/2^m le f(x) < (j+1)/2^m}$。这些集合也是可测的。
鲁津定理的证明通常会通过对这些小集合进行“平滑化”和“合并”来完成。
一个更具体的方式是，利用可测函数的定义，对于任意给定的 $epsilon_j > 0$，可以找到一个闭集 $F_j subset E$ 使得 $m(E setminus F_j) < epsilon_j$ 并且 $f$ 在 $F_j$ 上的变化小于某个值（例如，小于 $2^{j}$）。
然后，通过对这些闭集进行“粘合”或选择一个合适的并集，来构造最终的闭集 $F$。

一个更细致的证明思路（涉及闭集和开集分解）:

假设 $E$ 是可测集，$m(E) < infty$，$f$ 是定义在 $E$ 上的有界可测函数。

1. 逼近为简单函数序列:
令 $f_n(x) = sum_{k=infty}^{infty} k cdot chi_{{frac{k}{n} le f(x) < frac{k+1}{n}} cap E}(x)$。这是一个简单函数，值域是 $frac{k}{n}$。
这些 $f_n$ 构成了函数 $f$ 的一个单调递增序列（或递减，取决于你的定义方式），且 $f_n(x) o f(x)$。

2. 利用 Egorov 定理:
由于 $f_n o f$ a.e. 在 $E$ 上，且 $m(E) < infty$，根据 Egorov 定理，对于任意 $epsilon > 0$，存在一个子集 $E_epsilon subset E$ 使得 $m(E setminus E_epsilon) < epsilon$ 并且 $f_n$ 在 $E_epsilon$ 上一致收敛到 $f$。

3. 将一致收敛的简单函数逼近连续函数:
现在的问题是，如何从“一致收敛的简单函数”过渡到“闭集上的连续函数”。
对于一个简单函数 $s(x) = sum_{i=1}^N c_i chi_{A_i}(x)$，其中 $A_i$ 是不相交的可测集。如果我们想要在某个集合 $F$ 上逼近 $s(x)$，可以考虑对每个 $A_i$ 进行处理。
如果 $A_i$ 是一个闭集，那么 $chi_{A_i}$ 就是连续函数（只是取值0或1）。但 $A_i$ 通常是任意可测集。

一个关键的技巧是利用：
若 $A$ 是一个可测集，则对于任意 $eta > 0$，存在一个闭集 $K subset A$ 使得 $m(A setminus K) < eta$ 且 $m(A) m(K) < eta$。
以及
若 $A$ 是一个可测集，则对于任意 $eta > 0$，存在一个开集 $U supset A$ 使得 $m(U setminus A) < eta$。

具体的构造：
考虑 $E_epsilon$ 这个集合。在这个集合上，$f_n$ 一致收敛于 $f$。
我们想要找到一个闭集 $F subset E_epsilon$ 使得 $f$ 在 $F$ 上连续。

一个更常见的证明方式是直接利用可测函数的定义和闭集逼近的性质。

更清晰的证明思路 (以一维为例):

令 $f: [a, b] o mathbb{R}$ 为一个可测函数。
对于任何 $epsilon > 0$。

1. 截断函数: 先处理有界函数。令 $f_M(x) = min(f(x), M)$。如果定理对有界函数成立，则对无界函数也成立。

2. 离散化值域:
对于任意的整数 $m ge 1$，考虑将函数的值域 $[f(a), f(b)]$（或者整个 $mathbb{R}$ 的范围）分成 $m$ 个小区间。
令 $I_{k} = [k frac{M}{m}, (k+1) frac{M}{m}]$，对于 $k$ 使得 $I_k$ 覆盖了值域。
定义集合 $E_k = {x in [a, b] mid f(x) in I_k}$。这些集合是可测的。

3. 将可测集分解:
令 $E = [a, b]$。我们可以将 $E$ 分解成一系列不相交的可测集 $A_j$，使得 $E = igcup_j A_j$。
例如，可以根据函数值的区间来划分 $E$。

4. 对每个子集构造连续逼近:
对于每个可测集 $A_j$，我们希望找到一个闭集 $F_j subset A_j$ 使得 $m(A_j setminus F_j)$ 很小，并且 $f$ 在 $F_j$ 上“接近常数”。
核心引理 (基于可测集性质): 对于一个可测集 $A$ 和任意 $delta > 0$，存在一个闭集 $K subset A$ 使得 $m(A setminus K) < delta$，并且 $f$ 在 $K$ 上是Lipschitz连续的（如果 $f$ 本身是Lipschitz的话）。但这里我们只需要连续性。

更直接的方式是：
对于任意 $eta > 0$，存在闭集 $K subset A$ 使得 $m(A setminus K) < eta$，且 $f$ 在 $K$ 上是连续的。
为什么是这样？
可测函数的定义是使得 ${x mid f(x) < c}$ 是可测集。
利用闭集逼近可测集的性质，我们可以将 $A$ 逼近成一个闭集 $K$。然后，如果我们能证明在 $K$ 上，$f$ 的“振荡”足够小，那么它就是连续的。

5. 组合得到最终的闭集:
设 $epsilon > 0$。我们可以选择一系列小的 $delta_j$。
例如，对每个 $A_j$，找到闭集 $F_j subset A_j$ 使得 $m(A_j setminus F_j) < epsilon / 2^j$ 并且 $f$ 在 $F_j$ 上是连续的。
令 $F = igcup_j F_j$。
那么 $m(E setminus F) = m((igcup_j A_j) setminus (igcup_j F_j)) = m(igcup_j (A_j setminus F_j))$.
由于 $A_j setminus F_j$ 是互不相交的（如果 $A_j$ 是互不相交的），则 $m(E setminus F) = sum_j m(A_j setminus F_j) < sum_j epsilon / 2^j = epsilon$。
但是，$f$ 在 $F = igcup_j F_j$ 上的连续性需要进一步论证。如果 $F_j$ 是孤立的闭集，那么 $igcup F_j$ 可能不是一个良好的集合。

更严谨的证明思路（涉及函数值区间和闭集逼近）：

设 $E$ 是可测集，$m(E) < infty$，$f: E o mathbb{R}$ 是可测函数。
对于任意 $epsilon > 0$。

1. 值域离散化:
令 $f_n(x)$ 是一个简单函数序列，$f_n(x) o f(x)$ 逐点收敛。
例如，令 $f_n(x) = sum_{k=infty}^{infty} frac{k}{n} chi_{{frac{k}{n} le f(x) < frac{k+1}{n}} cap E}(x)$。
那么 $f_n$ 也是可测函数。

2. Egorov 定理的应用:
根据 Egorov 定理，存在 $E_epsilon subset E$ 使得 $m(E setminus E_epsilon) < epsilon/2$ 并且 $f_n$ 在 $E_epsilon$ 上一致收敛到 $f$。

3. 对简单函数的处理:
考虑在 $E_epsilon$ 上一致收敛的简单函数序列 $f_n$。
对于每一个 $n$， $f_n$ 是一个分段常数函数。它的定义域被划分成若干个可测集 $A_{n,k}$，在每个集合上取常数值 $c_{n,k}$。

4. 关键引理：用闭集逼近可测集上的连续函数:
引理： 设 $A$ 是 Lebesgue 可测集，$m(A) < infty$，$g: A o mathbb{R}$ 是一个可测函数。那么对于任意 $delta > 0$，存在一个闭集 $K subset A$ 使得 $m(A setminus K) < delta$ 并且 $g$ 在 $K$ 上是连续的。
这个引理的证明通常依赖于：
将 $A$ 分解成更小的可测集。
利用可测函数的定义，在这些小的可测集上，函数的“跳跃”很小。
然后通过“粘合”这些小闭集来构造最终的 $K$。

一个更具体的证明方式是：
对于每一个 $n$， $f_n(x) = sum_k c_{n,k} chi_{A_{n,k}}(x)$。
我们希望在 $E_epsilon$ 上找到一个闭集 $F$，使得 $f$ 在 $F$ 上连续，并且 $m(E_epsilon setminus F)$ 很小。

对于每个 $A_{n,k}$，我们可以找到一个闭集 $K_{n,k} subset A_{n,k}$ 使得 $m(A_{n,k} setminus K_{n,k})$ 很小。
然而，这只是处理了简单函数。

重新聚焦鲁津定理的陈述和核心思想：

定理 (Luzin's Theorem): 设 $f: E o mathbb{R}$ 是定义在 Lebesgue 可测集 $E subseteq mathbb{R}^n$ 上的实值可测函数。那么，对于任意给定的 $epsilon > 0$，存在一个闭集 $F subseteq E$ 满足：
1. $m(E setminus F) < epsilon$
2. $f|_F$ 是连续的。

核心证明思想的简化版本：

1. 将函数截断: 使其有界。
2. 将函数视为“分段常数”的极限: 可测函数可以通过简单函数逼近。
3. 利用可测集性质: 任何可测集都可以被一系列小闭集“覆盖”或“逼近”，使得丢失的测度很小。
4. 构造性证明的骨架:
考虑函数 $f$ 在 $E$ 上的值域。
将值域划分成很多小区间。
对于每个小区间 $I_j$，考虑集合 $E_j = {x in E mid f(x) in I_j}$。 $E_j$ 是可测的。
我们希望在 $E_j$ 上找到一个闭集 $F_j subset E_j$ 使得 $f$ 在 $F_j$ 上是连续的，并且 $m(E_j setminus F_j)$ 很小。
引理： 对于任何可测集 $A$ 和任何 $delta > 0$，存在一个闭集 $K subset A$ 使得 $m(A setminus K) < delta$ 且 $f|_K$ 是连续的。
如何证明这个引理？
对于任意的 $eta > 0$，存在一个开集 $U supset A$ 使得 $m(U setminus A) < eta$。
将 $U$ 分解成一些小块。
更直接的方法是利用函数在测度零集上跳跃性有限的性质。

关键在于证明那个“引理”：

引理： 设 $A$ 是 Lebesgue 可测集，$m(A) < infty$，$f: A o mathbb{R}$ 是可测函数。那么对于任意 $delta > 0$，存在一个闭集 $K subset A$ 使得 $m(A setminus K) < delta$ 且 $f|_K$ 是连续的。

证明引理的思路：
1. 离散化值域和定义域: 将函数的值域和定义域都进行离散化。
2. 利用“Littlewood's Three Principles” (小波的三个原理): 这是一个非常有用的框架来理解鲁津定理。
Principle 1: 任何可测函数都可以被简单函数逼近。
Principle 2: 任何可测函数在几乎处处点上都是连续的。 (这是一个比鲁津定理更强的陈述，实际上是BaireLebesgue 函数的性质，并非所有可测函数都满足，鲁津定理是这个性质的弱化版本)。
Principle 3: 任何可测函数在几乎所有地方都可以被连续函数逼近（即，在大部分区域上，它非常接近连续函数）。鲁津定理就是这个原理的精确表述。

更贴近实际证明的思路：

1. 取一个有理数集合: 考虑定义域 $E$ 和值域（在一个大区间内）的稠密的有理数集合。
2. 构造“近似连续”的函数:
对于任意 $epsilon > 0$，选择 $delta > 0$ 使得当 $m(B) < delta$ 时，在 $B$ 上 $f$ 的“振荡”很小。
定义 $E_k = {x in E mid k cdot 2^{N} le f(x) < (k+1) cdot 2^{N}}$。
我们可以找到闭集 $F_k subset E_k$ 使得 $m(E_k setminus F_k)$ 很小，并且在 $F_k$ 上 $f$ 是连续的。
然后将这些 $F_k$ 合并起来。

可能的疑问和容易混淆的地方：

为什么是闭集？ 闭集是比开集更“稳定”的集合，它包含了它的所有极限点，这使得在闭集上定义连续性更自然。在很多分析证明中，我们希望在“固定不变”的集合上进行操作。
为什么不是开集？ 如果允许是开集，证明可能更容易一些。但闭集是更强的性质。
什么叫做“在闭集上连续”？ 就是说对于闭集 $F$ 中的任意一点 $x_0$，存在一个以 $x_0$ 为中心的开Neighborhood $U$，且 $U cap F$ 是 $F$ 的邻域（拓扑意义上的），使得 $f$ 在 $U cap F$ 上是连续的。更简单的理解是，如果我们将 $f$ 限制在 $F$ 上，那么这个限制函数是连续的。
如何保证 $f$ 在 $F$ 上是连续的？ 这通常是通过在 $F$ 的每个点附近选择足够小的邻域，在这个邻域内，函数值变化很小。而这个“小变化”是通过将函数值域和定义域离散化来控制的。
Egorov 定理和鲁津定理的关系？ Egorov 定理描述的是几乎处处收敛到几乎处处的均匀收敛。鲁津定理则直接建立可测函数与连续函数的联系。Egorov 定理可以作为鲁津定理证明的一个步骤（例如，先将函数逼近为一个序列，然后利用 Egorov 定理进行“平滑化”）。

总结鲁津定理的直观意义：

鲁津定理是一个非常强大的工具，它告诉我们，实变函数论中的“可测性”并不是一个非常模糊的性质。一个可测函数，尽管它可能在很多地方有跳跃，但它在大部分区域上是“像连续函数一样乖巧”的。我们总能找到一块面积占了整个定义域绝大部分的闭集，在这个闭集上，原函数就像一个光滑的连续函数一样。这使得我们能够将许多复杂的分析问题转化为关于连续函数的分析问题。

希望以上的详细解释能够解答您的疑问！如果您有更具体的问题或者在某个证明步骤上遇到了困难，请随时提出，我们可以进一步探讨。

谢邀。

我们先看一下相对连续的定义：

设 X 是 ℝ 的子集，设 f ：X → ℝ 是函数. x₀∈ X，则当我们说 f 在 x₀ 处连续，当且仅当有

在 x₀ 的连续性，一般来说需要强调在什么“环境”中，也就是探讨：该点处于什么样的集合中。而对于我们通常意义下的连续性，x₀∈ ℝ 可以忽略不写。

所以，利用这个定义，我们甚至可以定义在有理数集上的连续函数。一个平凡的推论就是：

设X ⊆ Y，函数 f 在 Y 上连续，则必在 X 上连续。但反之不成立。

就比如说 Dirichlet 函数，它在有理数集上是连续的，但在实数集上是处处不连续的。

回到问题。

如果我们去掉实数中的有理点，则 Dirichlet 函数在无理数集中连续。