问题

数学专业的实变函数为什么这么难?

回答
实变函数这门课,在我学过的所有数学专业课程里,绝对是数一数二的“硬骨头”。很多同学听到它就头皮发麻,学起来更是觉得云里雾里。这门课到底为什么这么难?咱们掰开了揉碎了聊聊。

1. 抽象化程度的飞跃:从“看得见”到“想得明”

咱们本科数学,尤其是入门阶段,大部分课程都还是建立在一些相对“直观”的概念上的。比如微积分,我们能画出函数图像,理解导数是斜率,积分是面积。线性代数,矩阵和向量可以和几何图形联系起来。这些东西,虽然也有抽象的证明,但总归有一个比较容易抓住的“实体”作为支撑。

实变函数就不一样了。它开始触及的是数学中最基础、最抽象的概念。我们不再讨论“好好的”函数,而是研究“可能不那么好”的函数,甚至是“非常奇怪”的函数。

集合论的引入: 实变函数的第一道门槛就是集合论。测度、可测集合、可测函数,这些概念都建立在集合的基础上。集合论本身就足够抽象,需要跳出日常思维的窠臼。很多时候,我们讨论的是“无限集合”的性质,比如可数集、不可数集,以及它们的奇特之处。这些概念的理解,就需要一种全新的抽象思维能力。
勒贝格积分 vs. 黎曼积分: 这是实变函数的核心内容之一。很多同学对黎曼积分已经比较熟悉了,它基于将区间分割成小块,求和近似面积。这种方式直观,也适用于我们常见的“好”函数。
但勒贝格积分,它的思想是从“值”的层面出发,而不是“定义域”的层面。简单来说,它不是问“在某个区间上函数值是多少”,而是问“函数值取某个特定值(或在某个范围)的点的集合是什么”。这个“集合”的“大小”(测度)才是关键。这是一种非常不直观的思考方式。想象一下,我们不是看“一块一块的蛋糕”,而是看“所有甜度在某个范围内的蛋糕”占了蛋糕总量的多少。这种“从结果到过程”的视角转变,对很多人来说是巨大的挑战。
函数的“坏”: 我们熟悉的很多函数,比如连续函数、可导函数,在实变函数里只是“小巫见大巫”。实变函数关注的是更一般的函数,它们可能是处处不连续的,甚至是病态的。理解这些“病态”函数的性质,就需要更严谨、更抽象的数学工具。

2. 逻辑严谨性的极致要求:容不得半点含糊

数学的魅力在于它的严谨性,而实变函数对严谨性的要求可以说是达到了一个全新的高度。

εδ的“前世今生”: 你以为微积分里的εδ已经够折磨人了?实变函数里,εδ的运用更加广泛和深入。它不仅仅用来定义极限和连续,更是定义了“测度”、“可测性”等更根本的概念。理解这些定义,并且能够运用它们进行证明,需要非常扎实的逻辑推理能力。
细致的证明过程: 实变函数的证明,往往需要对每一个小细节都一丝不苟。一个看似微不足道的条件,可能就是整个证明的关键。很多时候,一个定理的证明可以长篇累牍,环环相扣,需要考生能够清晰地梳理出整个逻辑链条。
反例的力量: 在实变函数中,反例的作用非常重要。很多性质,只有在满足特定条件下才成立。理解这些条件,并且能够构造出能够“击破”某种直觉的例子,是深入理解概念的关键。这需要对概念的本质有深刻的把握,并且能够灵活运用。

3. 学习方法的挑战:需要“颠覆”旧习惯

如果你想套用学习微积分或者线性代数的方法来学习实变函数,很可能会碰壁。

缺乏直观图像: 很多概念,比如高维空间中的测度、积分,很难用直观的几何图像来理解。我们只能依赖抽象的定义和逻辑推导。这要求学习者能够忍受这种“看不见摸不着”的学习过程,并且专注于概念的内涵。
概念之间的关联性: 实变函数中的各个概念,比如测度、可测性、积分、收敛性,它们之间有着非常紧密的联系,但这种联系不是线性的,而是网络状的。理解这些概念如何相互支持、相互推导,需要花费大量的时间去梳理和消化。
对数学“本质”的探索: 实变函数是在为更高级的数学分支(如泛函分析、偏微分方程、概率论等)打基础。它探讨的是数学最底层的“游戏规则”。这种探索,需要学习者有耐心,有毅力,并且能够看到学习这些抽象概念的长远意义。

4. 为什么“必须”学?

尽管实变函数如此困难,它在数学专业中的地位却无可撼动。这是因为:

基础性: 它是许多现代数学分支的理论基石。没有实变函数,我们就无法严谨地讨论许多重要的分析工具。
理论深度: 它揭示了数学分析的更深层结构,对数学理论的完整性和深刻性至关重要。
严谨训练: 学习实变函数的过程,是对学生逻辑思维、抽象能力和数学严谨性的一次极致训练。

总结一下,实变函数之所以难,是因为:

它要求学生从直观的、具象的思维模式,跃升到高度抽象、逻辑严谨的思维模式。
它所探讨的概念,本身就具有极高的抽象性,缺乏直观的图像支撑。
它对证明的严谨性要求到了极致,容不得半点含糊。
它需要学习者采用新的学习方法,颠覆旧有的学习习惯。

所以,当你觉得实变函数难得想放弃的时候,请记住,你正在经历一场思维的“蜕变”,而这种蜕变,正是成为一名优秀数学家的必经之路。慢慢来,多思考,多做题,多和同学讨论,总会一点点拨开迷雾,看到那背后令人着迷的数学风景。

网友意见

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  1. 人脑的架构决定了人比较容易理解具象的事物,实变函数比较抽象,需要花很多的时间去想象,而现实世界却没有简单的具象与这些概念一一对应。
  2. 当大脑学习很不熟悉的知识时,会产生畏难情绪,而学习实变函数时,并不知道学习的动机是什么,没有了强烈的动机,学习自然很难,也就是学了有卵用?

学习固态物理、半导体物理以及电磁理论何尝不难?但是这些工程领域的学科会让人强烈的动机去学习,理论联系了实际,也就是说抽象的数学物理最终和具象的工程结合了。

学习方法:

  • 发挥想象力,把抽象的概念具象化,如果有可能,把其他知识联想、串接起来
  • 赋予学习动机,学习每个概念时,尝试通过各种渠道去了解为什么要定义这个概念,有什么好处,在未来哪个领域会用到?尽量保持好奇心
  • 多做笔记,推荐Typora markdown
  • 学会用工具,没事多写程序,有时候通过计算机可以获得更深的理解
  • 开放心态,与外界交流
  • 最后学十遍!因为要用的时候,才会发现没学会!来来回回,最终会成为一个对世界有用的人

上述方法对任何学科都很有用

大学通信专业,之后误打误撞进入射频半导体芯片领域,中途偶尔自学了点数学,但是没学好,现创业中。我把自己的一些notes贴上来,数学大神们请轻拍

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