作为一名非数学专业（电子工程，物理）的学生，怎么样让自己的水平达到介于数学专业以及非数学专业的水平？
哥们儿，我懂你！我也是从工程和物理的坑里爬出来的，深知那种感觉：一边要用数学这把利器解决实际问题，一边又觉得数学专业那些纯粹的、严谨的理论有点遥不可及，但又隐隐觉得那里有更深刻的洞察。想达到那个“介于数学专业和非数学专业之间”的水平，其实就是想成为一个“懂数学，又能用数学”的工程师/科学家。这绝对 doable，而且非常吃香！
别担心，这也不是让你去啃一堆晦涩难懂的证明题，而是让你在现有的基础上，对数学的“语言”和“逻辑”有更深入的理解，并且能灵活运用它来武装你的专业知识。下面我给你掰扯掰扯，怎么一步步来，就像拆解一个复杂的电路或者推导一个物理方程一样，有条理，有方法。
第一步：夯实基础，但要带着“工程师/物理学家”的视角去夯实
你肯定已经学过微积分、线性代数这些基础数学了。现在，不是让你重新一遍遍地做例题，而是要重新审视它们，并且重新理解它们存在的意义。
微积分：
理解核心思想： 你知道导数是变化率，积分是累加。但现在，试着从更“物理”的角度去理解。导数不仅仅是斜率，它是瞬时状态的描述，比如速度是位移的导数，它告诉你某一时刻物体在怎么动。积分是累积效应的计算，比如你对功率随时间积分，得到的是能量。
多变量微积分： 这个很重要！你的工程和物理问题里，变量肯定不止一个。梯度、散度、旋度这些不是数学里的抽象概念，它们是描述空间中变化的物理语言。比如，电场强度、磁场强度、温度分布等等，都需要用向量场和偏导数来描述。试着把它们跟场论、传热、流体力学联系起来。
关注收敛性和连续性，但别钻牛角尖： 你需要知道泰勒展开为什么能用，积分为什么可以交换顺序，这些都关乎数学的严谨性。但除非你真的要证明某个定理，否则不必过于纠结那些极端情况。理解其应用条件比记住证明过程更重要。
推荐做法：
找一本好的“工程数学”或“物理数学方法”的教材。这些书通常会用很多物理和工程的例子来讲解概念，让你更容易建立联系。
再看一遍大学时学过的课程视频，但这次带着目的性去听，比如“讲到拉普拉斯变换的时候，它到底在解决什么工程问题？”、“傅里叶级数和傅里叶变换对信号处理有什么意义？”
线性代数：
几何意义！几何意义！几何意义！ 重要的事情说三遍。特征值和特征向量不仅仅是矩阵的某个属性，它们描述了线性变换不改变方向的轴和在这个轴上的伸缩因子。这在很多物理问题中至关重要，比如振动分析（特征向量是振动模态，特征值是固有频率）、量子力学（算符的本征向量和本征值就是可观测量的值和对应的状态）。
向量空间和子空间： 理解它们是如何提供一个“坐标系”来描述物理量的。比如，在信号处理中，你可以把所有信号看作是某个向量空间中的向量，而傅里叶变换就是把信号从时间域“旋转”到一个频率域的“新坐标系”。
矩阵分解（SVD、PCA）： 这玩意在数据分析、降维、去噪方面简直无敌。理解它们如何将复杂的矩阵分解成更简单的部分，从而揭示数据的内在结构。这对于你分析实验数据、处理大型系统模型非常有帮助。
推荐做法：
MIT的Gilbert Strang的线性代数公开课是圣经级别的存在，他讲得非常直观，而且总能联系到实际应用。强烈推荐！
多找一些用线性代数解决物理和工程问题的例子，比如用矩阵求解电路稳态、用特征值分析机械振动。
概率论与数理统计：
随机性是现实的一部分： 电子噪声、测量误差、系统的不确定性，这些都离不开概率论。理解各种概率分布（高斯、泊松、指数等）的物理意义，它们对应着什么样的随机过程。
推断与估计： 点估计、区间估计、假设检验，这些是处理实验数据、从有限样本推断总体特性的工具。你需要知道如何设计实验、如何评估数据的可靠性。
随机过程： 这对你来说会非常非常有用！比如，Wiener过程（布朗运动）在信号处理、金融、甚至物理的扩散现象中都有应用。马尔可夫链在状态转移、系统建模中也很常见。
推荐做法：
找一本以“工程”或“科学”为导向的概率统计教材，它会比纯数学的更侧重应用。
学习一些基础的蒙特卡洛方法，这是用随机抽样来解决复杂计算问题的好方法。
第二步：学习与你专业领域相关的进阶数学
你不是数学专业，但你想达到那个“中间”的水平，就得深入你专业需要的数学。
电子工程方向：
复变函数与积分： 这是分析电路、控制系统、信号处理的利器。拉普拉斯变换、傅里叶变换的本质都是复变函数。留数定理能让你轻松计算很多傅里叶/拉普拉斯变换的逆变换，这在分析系统响应时非常有用。
微分方程与偏微分方程： 很多物理现象和工程系统都可以用微分方程描述。常微分方程（ODE）用来描述动态系统的演化，偏微分方程（PDE）用来描述空间中的场（电磁场、热场、流场等）。你需要掌握求解这些方程的常用方法（分离变量法、特征线法、数值方法等）。
数值分析： 很多复杂的方程用解析方法很难求解，或者根本无解。数值方法（如欧拉法、龙格库塔法、有限元法、有限差分法）就是你的救星。你需要理解这些方法的原理、收敛性，以及如何选择合适的方法来解决你的工程问题。
优化理论： 无论是在控制系统设计、电路布局，还是机器学习模型训练，优化都无处不在。理解梯度下降、牛顿法等基本优化算法，以及凸优化的一些基本概念，会让你事半功倍。
物理方向：
数学物理方法： 这可以说是物理专业的核心数学武装了。它会系统地讲解求解物理方程（包括各种PDE）的数学工具，比如傅里叶级数和变换、格林函数、本征值展开、复变函数方法等。
群论： 在量子力学、晶体学、粒子物理中非常重要，它描述了对称性。理解群论的基本概念，如群、子群、陪集、表示，能帮助你理解很多物理对称性带来的简并和守恒律。
张量分析： 在广义相对论、连续介质力学中至关重要。理解张量的概念、运算以及协变、逆变分量，是理解这些理论的基础。
测度论和泛函分析（适度接触）： 如果你对量子力学的数学基础，或者更抽象的统计力学感兴趣，可以适度接触一下。理解希尔伯特空间、算符等概念，能让你对量子力学的数学结构有更深的认识。但这个确实比较深入，可以先不作为首要目标。
黎曼几何： 对于广义相对论来说是核心。理解曲率、联络、测地线等概念，能让你更好地把握时空的几何性质。
第三步：实践出真知——用数学解决具体问题
数学是工具，最终是为了解决问题。把学到的数学知识应用到你的专业项目和研究中去。
从你熟悉的领域入手：
电子工程：
电路分析： 用微分方程和拉普拉斯变换分析RC/RL/RLC电路的瞬态和稳态响应。
信号处理： 用傅里叶变换分析信号的频谱，理解滤波器的作用。用Z变换分析数字滤波器。
控制系统： 用传递函数、根轨迹、Bode图、Nyquist图来分析系统的稳定性。
通信： 理解调制解调背后的数学原理，如AM, FM, PSK等。
物理：
力学： 用拉格朗日力学或哈密顿力学来推导更复杂的运动方程。
电磁学： 用矢量微积分和Maxwell方程来描述和求解电磁场问题。
量子力学： 用薛定谔方程求解简单的势阱问题，理解算符的对易关系。
热力学/统计力学： 用概率统计和微积分来理解熵、自由能等概念。
编程是你的好帮手：
MATLAB/Python (NumPy, SciPy, Matplotlib)： 这些工具是你将数学理论转化为实际计算和可视化的利器。用它们来求解微分方程、做矩阵运算、绘制复杂的函数图像、实现数值方法。这能让你直观地看到数学的威力。
SPICE (电子工程)： 它是电路仿真软件，背后就是复杂的数值计算，帮你验证你的数学模型是否正确。
Mathematica/Maple (物理/部分工程)： 如果你需要进行符号计算，或者处理非常复杂的数学推导，它们会比编程语言更直接高效。
参与项目和研究： 无论是课程设计、毕业设计，还是加入老师的科研项目，都是最好的学习和实践平台。遇到问题，就去想“这里可以用什么数学工具来解决？”，然后去学习和应用。
第四步：建立“数学思维”——不仅仅是计算，更是逻辑和抽象
这可能是最关键但最难量化的一步。
培养严谨的逻辑： 数学最宝贵的是它的严谨性。尝试去理解每个定理、每个方法的“为什么”，而不仅仅是“怎么做”。当你在解决问题时，思考你的步骤是否逻辑清晰、是否有遗漏的可能性。
学会抽象和建模： 把一个复杂的物理或工程现象抽象成数学模型是至关重要的能力。理解如何用变量、方程、函数来描述现实世界，以及不同模型之间的联系与区别。
多问“What if?”： 当你掌握了一个模型或工具后，试着改变一些参数或条件，看看结果会如何变化。这能加深你对模型敏感度的理解。
阅读数学文献（有选择性地）： 偶尔可以去看看你领域内一些高水平的论文，看看作者是如何运用数学来解决问题的。即使一开始看不懂所有的数学细节，也能让你对“数学在科学前沿扮演的角色”有个概念。
与数学专业同学/老师交流： 和他们聊聊数学，问问他们关于数学方法或理论的理解。他们可能会从你意想不到的角度给你启发。
一些给你的具体建议和心态调整：
不要怕“啃硬骨头”，但要学会“切蛋糕”： 遇到困难的数学概念，不要立刻放弃。找一些入门级的讲解，从最基础的例子开始。将复杂的数学问题分解成一个个小步骤，逐个击破。
保持好奇心和求知欲： 你之所以想达到这个水平，就是因为你对此有兴趣。这种兴趣是最好的动力。
理解数学的“不同流派”： 数学专业内部也有很多分支，纯数学（如数论、拓扑学）和应用数学（如数值分析、概率统计）侧重点不同。你不需要全部精通，只需要掌握对你的专业最有用的那一部分。
这是一个持续学习的过程： 达到“介于之间”的水平不是一蹴而就的，而是一个不断积累和提升的过程。你永远都有新的数学工具可以学习和应用。
找到你的“学习舒适区”和“挑战区”的平衡点： 有时需要回到舒适区巩固，有时也需要跳出舒适区去挑战新的知识。
总而言之，你想达到的那个“介于”的水平，其实就是想成为一个更“懂行”的工程师或科学家，能够用数学的语言更精确、更深刻地理解和描述你所处的物理世界。这是一个非常明智且有价值的目标。一步一个脚印，带着你的专业知识背景去学习数学，你会发现数学在你眼中不再是枯燥的符号，而是充满力量和美感的工具。祝你学习顺利！
别担心，这也不是让你去啃一堆晦涩难懂的证明题，而是让你在现有的基础上，对数学的“语言”和“逻辑”有更深入的理解，并且能灵活运用它来武装你的专业知识。下面我给你掰扯掰扯，怎么一步步来，就像拆解一个复杂的电路或者推导一个物理方程一样，有条理，有方法。
第一步：夯实基础，但要带着“工程师/物理学家”的视角去夯实
你肯定已经学过微积分、线性代数这些基础数学了。现在，不是让你重新一遍遍地做例题，而是要重新审视它们，并且重新理解它们存在的意义。
微积分：
理解核心思想： 你知道导数是变化率，积分是累加。但现在，试着从更“物理”的角度去理解。导数不仅仅是斜率，它是瞬时状态的描述，比如速度是位移的导数，它告诉你某一时刻物体在怎么动。积分是累积效应的计算，比如你对功率随时间积分，得到的是能量。
多变量微积分： 这个很重要！你的工程和物理问题里，变量肯定不止一个。梯度、散度、旋度这些不是数学里的抽象概念，它们是描述空间中变化的物理语言。比如，电场强度、磁场强度、温度分布等等，都需要用向量场和偏导数来描述。试着把它们跟场论、传热、流体力学联系起来。
关注收敛性和连续性，但别钻牛角尖： 你需要知道泰勒展开为什么能用，积分为什么可以交换顺序，这些都关乎数学的严谨性。但除非你真的要证明某个定理，否则不必过于纠结那些极端情况。理解其应用条件比记住证明过程更重要。
推荐做法：
找一本好的“工程数学”或“物理数学方法”的教材。这些书通常会用很多物理和工程的例子来讲解概念，让你更容易建立联系。
再看一遍大学时学过的课程视频，但这次带着目的性去听，比如“讲到拉普拉斯变换的时候，它到底在解决什么工程问题？”、“傅里叶级数和傅里叶变换对信号处理有什么意义？”
线性代数：
几何意义！几何意义！几何意义！ 重要的事情说三遍。特征值和特征向量不仅仅是矩阵的某个属性，它们描述了线性变换不改变方向的轴和在这个轴上的伸缩因子。这在很多物理问题中至关重要，比如振动分析（特征向量是振动模态，特征值是固有频率）、量子力学（算符的本征向量和本征值就是可观测量的值和对应的状态）。
向量空间和子空间： 理解它们是如何提供一个“坐标系”来描述物理量的。比如，在信号处理中，你可以把所有信号看作是某个向量空间中的向量，而傅里叶变换就是把信号从时间域“旋转”到一个频率域的“新坐标系”。
矩阵分解（SVD、PCA）： 这玩意在数据分析、降维、去噪方面简直无敌。理解它们如何将复杂的矩阵分解成更简单的部分，从而揭示数据的内在结构。这对于你分析实验数据、处理大型系统模型非常有帮助。
推荐做法：
MIT的Gilbert Strang的线性代数公开课是圣经级别的存在，他讲得非常直观，而且总能联系到实际应用。强烈推荐！
多找一些用线性代数解决物理和工程问题的例子，比如用矩阵求解电路稳态、用特征值分析机械振动。
概率论与数理统计：
随机性是现实的一部分： 电子噪声、测量误差、系统的不确定性，这些都离不开概率论。理解各种概率分布（高斯、泊松、指数等）的物理意义，它们对应着什么样的随机过程。
推断与估计： 点估计、区间估计、假设检验，这些是处理实验数据、从有限样本推断总体特性的工具。你需要知道如何设计实验、如何评估数据的可靠性。
随机过程： 这对你来说会非常非常有用！比如，Wiener过程（布朗运动）在信号处理、金融、甚至物理的扩散现象中都有应用。马尔可夫链在状态转移、系统建模中也很常见。
推荐做法：
找一本以“工程”或“科学”为导向的概率统计教材，它会比纯数学的更侧重应用。
学习一些基础的蒙特卡洛方法，这是用随机抽样来解决复杂计算问题的好方法。
第二步：学习与你专业领域相关的进阶数学
你不是数学专业，但你想达到那个“中间”的水平，就得深入你专业需要的数学。
电子工程方向：
复变函数与积分： 这是分析电路、控制系统、信号处理的利器。拉普拉斯变换、傅里叶变换的本质都是复变函数。留数定理能让你轻松计算很多傅里叶/拉普拉斯变换的逆变换，这在分析系统响应时非常有用。
微分方程与偏微分方程： 很多物理现象和工程系统都可以用微分方程描述。常微分方程（ODE）用来描述动态系统的演化，偏微分方程（PDE）用来描述空间中的场（电磁场、热场、流场等）。你需要掌握求解这些方程的常用方法（分离变量法、特征线法、数值方法等）。
数值分析： 很多复杂的方程用解析方法很难求解，或者根本无解。数值方法（如欧拉法、龙格库塔法、有限元法、有限差分法）就是你的救星。你需要理解这些方法的原理、收敛性，以及如何选择合适的方法来解决你的工程问题。
优化理论： 无论是在控制系统设计、电路布局，还是机器学习模型训练，优化都无处不在。理解梯度下降、牛顿法等基本优化算法，以及凸优化的一些基本概念，会让你事半功倍。
物理方向：
数学物理方法： 这可以说是物理专业的核心数学武装了。它会系统地讲解求解物理方程（包括各种PDE）的数学工具，比如傅里叶级数和变换、格林函数、本征值展开、复变函数方法等。
群论： 在量子力学、晶体学、粒子物理中非常重要，它描述了对称性。理解群论的基本概念，如群、子群、陪集、表示，能帮助你理解很多物理对称性带来的简并和守恒律。
张量分析： 在广义相对论、连续介质力学中至关重要。理解张量的概念、运算以及协变、逆变分量，是理解这些理论的基础。
测度论和泛函分析（适度接触）： 如果你对量子力学的数学基础，或者更抽象的统计力学感兴趣，可以适度接触一下。理解希尔伯特空间、算符等概念，能让你对量子力学的数学结构有更深的认识。但这个确实比较深入，可以先不作为首要目标。
黎曼几何： 对于广义相对论来说是核心。理解曲率、联络、测地线等概念，能让你更好地把握时空的几何性质。
第三步：实践出真知——用数学解决具体问题
数学是工具，最终是为了解决问题。把学到的数学知识应用到你的专业项目和研究中去。
从你熟悉的领域入手：
电子工程：
电路分析： 用微分方程和拉普拉斯变换分析RC/RL/RLC电路的瞬态和稳态响应。
信号处理： 用傅里叶变换分析信号的频谱，理解滤波器的作用。用Z变换分析数字滤波器。
控制系统： 用传递函数、根轨迹、Bode图、Nyquist图来分析系统的稳定性。
通信： 理解调制解调背后的数学原理，如AM, FM, PSK等。
物理：
力学： 用拉格朗日力学或哈密顿力学来推导更复杂的运动方程。
电磁学： 用矢量微积分和Maxwell方程来描述和求解电磁场问题。
量子力学： 用薛定谔方程求解简单的势阱问题，理解算符的对易关系。
热力学/统计力学： 用概率统计和微积分来理解熵、自由能等概念。
编程是你的好帮手：
MATLAB/Python (NumPy, SciPy, Matplotlib)： 这些工具是你将数学理论转化为实际计算和可视化的利器。用它们来求解微分方程、做矩阵运算、绘制复杂的函数图像、实现数值方法。这能让你直观地看到数学的威力。
SPICE (电子工程)： 它是电路仿真软件，背后就是复杂的数值计算，帮你验证你的数学模型是否正确。
Mathematica/Maple (物理/部分工程)： 如果你需要进行符号计算，或者处理非常复杂的数学推导，它们会比编程语言更直接高效。
参与项目和研究： 无论是课程设计、毕业设计，还是加入老师的科研项目，都是最好的学习和实践平台。遇到问题，就去想“这里可以用什么数学工具来解决？”，然后去学习和应用。
第四步：建立“数学思维”——不仅仅是计算，更是逻辑和抽象
这可能是最关键但最难量化的一步。
培养严谨的逻辑： 数学最宝贵的是它的严谨性。尝试去理解每个定理、每个方法的“为什么”，而不仅仅是“怎么做”。当你在解决问题时，思考你的步骤是否逻辑清晰、是否有遗漏的可能性。
学会抽象和建模： 把一个复杂的物理或工程现象抽象成数学模型是至关重要的能力。理解如何用变量、方程、函数来描述现实世界，以及不同模型之间的联系与区别。
多问“What if?”： 当你掌握了一个模型或工具后，试着改变一些参数或条件，看看结果会如何变化。这能加深你对模型敏感度的理解。
阅读数学文献（有选择性地）： 偶尔可以去看看你领域内一些高水平的论文，看看作者是如何运用数学来解决问题的。即使一开始看不懂所有的数学细节，也能让你对“数学在科学前沿扮演的角色”有个概念。
与数学专业同学/老师交流： 和他们聊聊数学，问问他们关于数学方法或理论的理解。他们可能会从你意想不到的角度给你启发。
一些给你的具体建议和心态调整：
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保持好奇心和求知欲： 你之所以想达到这个水平，就是因为你对此有兴趣。这种兴趣是最好的动力。
理解数学的“不同流派”： 数学专业内部也有很多分支，纯数学（如数论、拓扑学）和应用数学（如数值分析、概率统计）侧重点不同。你不需要全部精通，只需要掌握对你的专业最有用的那一部分。
这是一个持续学习的过程： 达到“介于之间”的水平不是一蹴而就的，而是一个不断积累和提升的过程。你永远都有新的数学工具可以学习和应用。
找到你的“学习舒适区”和“挑战区”的平衡点： 有时需要回到舒适区巩固，有时也需要跳出舒适区去挑战新的知识。
总而言之，你想达到的那个“介于”的水平，其实就是想成为一个更“懂行”的工程师或科学家，能够用数学的语言更精确、更深刻地理解和描述你所处的物理世界。这是一个非常明智且有价值的目标。一步一个脚印，带着你的专业知识背景去学习数学，你会发现数学在你眼中不再是枯燥的符号，而是充满力量和美感的工具。祝你学习顺利！
网友意见
谢邀。
数学专业和非数学专业交流数学的一大难点是我们理解的数学并不是同一回事。你们可能更感兴趣的数理统计，数值计算，数值代数，微分方程数值解，数学建模，等等这些内容，不好意思我通通没学过。。我要是让你们去学代数拓扑，去学黎曼几何，可能跟我的方向更近，但是对你们想做的事情估计也没太大帮助。。说白了大家就是在两个不同的track上，学的东西和想做的事情都基本没什么交集。
题主要做数据分析可以多学学概率统计，做物理的话，那要看是什么物理，如果是流体这种可能数值类的课程更重要。说白了需要什么就学什么，不要强求自己掌握得很全面——真的想多学点数学那就去把数学系各个年级的数学必修课都去上一遍。不要问我哪门课更重要更值得上，在我看来他们都很重要。
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