概率论和实变函数（测度论）有什么联系？
概率论和实变函数（测度论）之间有着极其深刻且不可分割的联系，可以说，现代概率论的严谨基础正是建立在测度论之上的。要理解这种联系，我们需要从概率论的“旧时代”和“新时代”说起。
一、 概率论的“旧时代”：基于事件的直观理解
在测度论出现之前，概率论主要是一种基于“事件”和“样本空间”的学科。我们直观地理解事件发生的可能性，比如抛硬币正面朝上的概率是1/2。这种方法在处理有限或可数无限样本空间时非常有效，但遇到了瓶颈：
连续随机变量的处理困难： 对于连续随机变量，比如一个人身高的高度，我们关心的通常是“身高在某个区间内的概率”，而不是“身高恰好是某个特定值”的概率。而“恰好是某个值”的概率在直观上是零，这在理论上会带来一些麻烦，比如如何定义和计算连续随机变量的概率密度函数？
不规则的概率分布： 有些概率分布并不像均匀分布或正态分布那样“光滑”，它们的概率密度函数可能是不连续的，甚至在某些点上不存在。如何严格地定义这些分布的概率？
理论的严谨性缺失： 缺乏一个统一的数学框架来处理所有类型的随机现象，使得概率论在某些复杂问题上的论证不够严谨。
二、 测度论的登场：为概率论提供坚实基础
测度论，顾名思义，就是研究“测量”的理论。它提供了一个统一的框架来度量集合的大小，而这个“大小”可以推广到更抽象的概念，比如“概率”。
让我们来拆解一下测度论是如何与概率论结合的：
1. 样本空间（$Omega$）成为“空间”：
在概率论中，样本空间 $Omega$ 是所有可能结果的集合。例如，抛两次硬币，$Omega = { ext{HH, HT, TH, TT}}$。
在测度论中，我们关注的是一个“空间”上的“可测集合”。这个空间 $Omega$ 可以是任何集合，可以是有限集、可数集，也可以是实数集 $mathbb{R}$、高维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 甚至是函数空间。
2. 事件（Event）成为“可测集”：
在概率论中，事件是样本空间 $Omega$ 的子集。例如，“第一次是正面”就是一个事件 ${HH, HT}$。
在测度论中，并非 $Omega$ 的所有子集都可以被“测量”。我们需要定义一个可测 $sigma$代数（Measurable $sigma$algebra），记作 $mathcal{F}$。$mathcal{F}$ 是 $Omega$ 的一个子集系统，它满足以下性质：
$Omega in mathcal{F}$ (整个样本空间是可测的)
如果 $A in mathcal{F}$，则 $A^c in mathcal{F}$ (若一个事件可测，则其补集也一定可测)
如果 $A_1, A_2, dots$ 是一列可测事件，则它们的并集 $cup_{i=1}^infty A_i$ 也是可测的 (可数可加性)。
$sigma$代数 $mathcal{F}$ 中的集合就被称为事件，并且我们确保所有我们感兴趣的事件（比如“身高在某个区间内”）都被包含在这个 $sigma$代数中。
3. 概率（Probability）成为“概率测度”：
在概率论中，概率 $P(A)$ 是一个函数，它给每个事件 $A$ 分配一个介于0到1之间的数。
在测度论中，我们定义一个概率测度（Probability Measure），通常记作 $P$ 或 $mu$。它是一个定义在 $sigma$代数 $mathcal{F}$ 上的函数，满足以下性质：
非负性： 对于任意事件 $A in mathcal{F}$，$P(A) ge 0$。
归一性： $P(Omega) = 1$ (整个样本空间的概率是1)。
可数可加性（Additivity）： 如果 $A_1, A_2, dots$ 是 $mathcal{F}$ 中互不相交的事件（即 $A_i cap A_j = emptyset$ for $i eq j$），则 $P(cup_{i=1}^infty A_i) = sum_{i=1}^infty P(A_i)$。
这就是著名的 Kolmogorov 公理化概率论的核心：一个概率空间 $( Omega, mathcal{F}, P )$。这个框架将概率论建立在了严格的集合论和测度论基础之上。
三、 测度论的优势：解决概率论的难题
借助测度论，我们能够：
统一处理连续与离散随机变量： 测度论的框架是统一的。对于离散变量，我们可以使用计数测度；对于连续变量，我们可以使用勒贝格测度（Lebesgue measure）。勒贝格测度正是用来度量实数集上的“长度”或“体积”，这完美地解决了连续随机变量概率的问题。
例如，在实数集 $mathbb{R}$ 上，我们关心事件“身高在 $[a, b]$ 区间内”的概率。这个事件对应于 $mathbb{R}$ 的一个子集 $[a, b]$。勒贝格测度 $m([a, b]) = b a$ 就提供了这个区间“的大小”，而概率测度 $P$ 就可以通过某种方式（通常与勒贝格测度相关，例如通过概率密度函数）来计算。
更重要的是，即使一个区间的概率是零（例如，身高恰好是1.75m），我们也能够严谨地处理。
定义和计算概率密度函数： 概率密度函数（PDF） $f(x)$ 可以被理解为概率测度 $P$ 相对于勒贝格测度 $m$ 的RadonNikodym导数（RadonNikodym derivative）。也就是说，对于一个可测集 $A$，其概率 $P(A)$ 可以表示为：
$$P(A) = int_A f(x) dm(x)$$
当 $A$ 是一个很小的区间 $[x, x+dx]$ 时， $P([x, x+dx]) approx f(x) dx$。这提供了一个严谨的定义，说明了密度函数是如何“累积”概率的。
发展更高级的概率概念：
期望值（Expectation）： 随机变量 $X$ 的期望值 $E[X]$ 可以被定义为随机变量 $X$ 作为可测函数，作用在概率空间上的积分：$E[X] = int_Omega X(omega) dP(omega)$。这直接源于测度论中的积分理论。
条件期望（Conditional Expectation）： 测度论的工具（特别是条件期望的 RadonNikodym 导数定义）允许我们严格定义条件概率和条件期望，即使在样本空间维度很高或事件不是简单的互斥集时也同样适用。
随机过程（Stochastic Processes）： 像布朗运动这样的随机过程，本质上是定义在时间轴上的随机变量序列。其性质（如连续性、可积性等）的严格定义和分析，都依赖于测度论的工具，特别是关于函数空间的测度（如 Wiener measure）。
依概率收敛、几乎处处收敛等： 这些关于随机变量序列收敛的类型，都根植于测度论中的测度收敛和可测函数收敛的概念。
四、 核心联系总结
概率空间是测度空间的一个特殊实例： $( Omega, mathcal{F}, P )$ 本质上是一个测度空间 $( X, mathcal{A}, mu )$，其中 $X = Omega$， $mathcal{A} = mathcal{F}$， $mu = P$，并且满足 $mu(X) = 1$。
测度论提供了“测量”概率的语言： 测度论定义了如何给集合（事件）赋予一个“大小”（概率），并且保证了这些测量方式的相容性（可数可加性）。
可积性理论是概率计算的基础： 测度论中的积分理论（勒贝格积分）是计算期望值、研究随机变量函数的概率分布的基石。
可测性是随机变量存在的条件： 随机变量 $X$ 被定义为一个从样本空间 $Omega$ 到另一个可测空间（如实数集 $mathbb{R}$）的可测函数。这意味着，对于任何实数 $c$，事件 ${ omega in Omega : X(omega) le c }$ 必须是 $mathcal{F}$ 中的一个可测集。
打个比方：
如果说传统概率论是在“玩扑克牌”，大家凭经验和直觉知道某些牌的出现可能性，那么测度论就像是为这副扑克牌提供了一套精确的“计数和测量系统”。它不仅能告诉你摸到红桃A的概率，还能精确地告诉你摸到“大于等于红桃A且小于等于黑桃K”的牌的概率，并且这个系统能无缝地适用于从有限的牌面到无穷无尽的牌库（连续样本空间）的任何情况。
因此，可以说，测度论不是概率论的一个分支，而是现代概率论的严谨数学骨架。学习测度论，是深入理解概率论的数学本质、研究更高级概率现象（如随机过程、鞅论等）的必备前提。没有测度论，很多概率论的理论和应用都将停留在直观层面，缺乏严谨的数学支撑。
一、 概率论的“旧时代”：基于事件的直观理解
在测度论出现之前，概率论主要是一种基于“事件”和“样本空间”的学科。我们直观地理解事件发生的可能性，比如抛硬币正面朝上的概率是1/2。这种方法在处理有限或可数无限样本空间时非常有效，但遇到了瓶颈：
连续随机变量的处理困难： 对于连续随机变量，比如一个人身高的高度，我们关心的通常是“身高在某个区间内的概率”，而不是“身高恰好是某个特定值”的概率。而“恰好是某个值”的概率在直观上是零，这在理论上会带来一些麻烦，比如如何定义和计算连续随机变量的概率密度函数？
不规则的概率分布： 有些概率分布并不像均匀分布或正态分布那样“光滑”，它们的概率密度函数可能是不连续的，甚至在某些点上不存在。如何严格地定义这些分布的概率？
理论的严谨性缺失： 缺乏一个统一的数学框架来处理所有类型的随机现象，使得概率论在某些复杂问题上的论证不够严谨。
二、 测度论的登场：为概率论提供坚实基础
测度论，顾名思义，就是研究“测量”的理论。它提供了一个统一的框架来度量集合的大小，而这个“大小”可以推广到更抽象的概念，比如“概率”。
让我们来拆解一下测度论是如何与概率论结合的：
1. 样本空间（$Omega$）成为“空间”：
在概率论中，样本空间 $Omega$ 是所有可能结果的集合。例如，抛两次硬币，$Omega = { ext{HH, HT, TH, TT}}$。
在测度论中，我们关注的是一个“空间”上的“可测集合”。这个空间 $Omega$ 可以是任何集合，可以是有限集、可数集，也可以是实数集 $mathbb{R}$、高维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 甚至是函数空间。
2. 事件（Event）成为“可测集”：
在概率论中，事件是样本空间 $Omega$ 的子集。例如，“第一次是正面”就是一个事件 ${HH, HT}$。
在测度论中，并非 $Omega$ 的所有子集都可以被“测量”。我们需要定义一个可测 $sigma$代数（Measurable $sigma$algebra），记作 $mathcal{F}$。$mathcal{F}$ 是 $Omega$ 的一个子集系统，它满足以下性质：
$Omega in mathcal{F}$ (整个样本空间是可测的)
如果 $A in mathcal{F}$，则 $A^c in mathcal{F}$ (若一个事件可测，则其补集也一定可测)
如果 $A_1, A_2, dots$ 是一列可测事件，则它们的并集 $cup_{i=1}^infty A_i$ 也是可测的 (可数可加性)。
$sigma$代数 $mathcal{F}$ 中的集合就被称为事件，并且我们确保所有我们感兴趣的事件（比如“身高在某个区间内”）都被包含在这个 $sigma$代数中。
3. 概率（Probability）成为“概率测度”：
在概率论中，概率 $P(A)$ 是一个函数，它给每个事件 $A$ 分配一个介于0到1之间的数。
在测度论中，我们定义一个概率测度（Probability Measure），通常记作 $P$ 或 $mu$。它是一个定义在 $sigma$代数 $mathcal{F}$ 上的函数，满足以下性质：
非负性： 对于任意事件 $A in mathcal{F}$，$P(A) ge 0$。
归一性： $P(Omega) = 1$ (整个样本空间的概率是1)。
可数可加性（Additivity）： 如果 $A_1, A_2, dots$ 是 $mathcal{F}$ 中互不相交的事件（即 $A_i cap A_j = emptyset$ for $i eq j$），则 $P(cup_{i=1}^infty A_i) = sum_{i=1}^infty P(A_i)$。
这就是著名的 Kolmogorov 公理化概率论的核心：一个概率空间 $( Omega, mathcal{F}, P )$。这个框架将概率论建立在了严格的集合论和测度论基础之上。
三、 测度论的优势：解决概率论的难题
借助测度论，我们能够：
统一处理连续与离散随机变量： 测度论的框架是统一的。对于离散变量，我们可以使用计数测度；对于连续变量，我们可以使用勒贝格测度（Lebesgue measure）。勒贝格测度正是用来度量实数集上的“长度”或“体积”，这完美地解决了连续随机变量概率的问题。
例如，在实数集 $mathbb{R}$ 上，我们关心事件“身高在 $[a, b]$ 区间内”的概率。这个事件对应于 $mathbb{R}$ 的一个子集 $[a, b]$。勒贝格测度 $m([a, b]) = b a$ 就提供了这个区间“的大小”，而概率测度 $P$ 就可以通过某种方式（通常与勒贝格测度相关，例如通过概率密度函数）来计算。
更重要的是，即使一个区间的概率是零（例如，身高恰好是1.75m），我们也能够严谨地处理。
定义和计算概率密度函数： 概率密度函数（PDF） $f(x)$ 可以被理解为概率测度 $P$ 相对于勒贝格测度 $m$ 的RadonNikodym导数（RadonNikodym derivative）。也就是说，对于一个可测集 $A$，其概率 $P(A)$ 可以表示为：
$$P(A) = int_A f(x) dm(x)$$
当 $A$ 是一个很小的区间 $[x, x+dx]$ 时， $P([x, x+dx]) approx f(x) dx$。这提供了一个严谨的定义，说明了密度函数是如何“累积”概率的。
发展更高级的概率概念：
期望值（Expectation）： 随机变量 $X$ 的期望值 $E[X]$ 可以被定义为随机变量 $X$ 作为可测函数，作用在概率空间上的积分：$E[X] = int_Omega X(omega) dP(omega)$。这直接源于测度论中的积分理论。
条件期望（Conditional Expectation）： 测度论的工具（特别是条件期望的 RadonNikodym 导数定义）允许我们严格定义条件概率和条件期望，即使在样本空间维度很高或事件不是简单的互斥集时也同样适用。
随机过程（Stochastic Processes）： 像布朗运动这样的随机过程，本质上是定义在时间轴上的随机变量序列。其性质（如连续性、可积性等）的严格定义和分析，都依赖于测度论的工具，特别是关于函数空间的测度（如 Wiener measure）。
依概率收敛、几乎处处收敛等： 这些关于随机变量序列收敛的类型，都根植于测度论中的测度收敛和可测函数收敛的概念。
四、 核心联系总结
概率空间是测度空间的一个特殊实例： $( Omega, mathcal{F}, P )$ 本质上是一个测度空间 $( X, mathcal{A}, mu )$，其中 $X = Omega$， $mathcal{A} = mathcal{F}$， $mu = P$，并且满足 $mu(X) = 1$。
测度论提供了“测量”概率的语言： 测度论定义了如何给集合（事件）赋予一个“大小”（概率），并且保证了这些测量方式的相容性（可数可加性）。
可积性理论是概率计算的基础： 测度论中的积分理论（勒贝格积分）是计算期望值、研究随机变量函数的概率分布的基石。
可测性是随机变量存在的条件： 随机变量 $X$ 被定义为一个从样本空间 $Omega$ 到另一个可测空间（如实数集 $mathbb{R}$）的可测函数。这意味着，对于任何实数 $c$，事件 ${ omega in Omega : X(omega) le c }$ 必须是 $mathcal{F}$ 中的一个可测集。
打个比方：
如果说传统概率论是在“玩扑克牌”，大家凭经验和直觉知道某些牌的出现可能性，那么测度论就像是为这副扑克牌提供了一套精确的“计数和测量系统”。它不仅能告诉你摸到红桃A的概率，还能精确地告诉你摸到“大于等于红桃A且小于等于黑桃K”的牌的概率，并且这个系统能无缝地适用于从有限的牌面到无穷无尽的牌库（连续样本空间）的任何情况。
因此，可以说，测度论不是概率论的一个分支，而是现代概率论的严谨数学骨架。学习测度论，是深入理解概率论的数学本质、研究更高级概率现象（如随机过程、鞅论等）的必备前提。没有测度论，很多概率论的理论和应用都将停留在直观层面，缺乏严谨的数学支撑。
网友意见
测度论忘得差不多了……就还记得测度空间的那三个元素……
举几个简单的例子：
1.扔一个fair coin（公平的硬币？），出现正面和出现反面的概率都是二分之一。基本的概率论就能解释，很直观的“概率论”。
2.我要是扔无穷次硬币呢？在扔无穷次硬币的情况下，实际上可能出现的情况也是无穷多种的，那么特定的情况发生的概率（比如出现全是正面）.
3.还是扔无穷次硬币的情况，我想要前三次都是正面的概率要怎么算？因为每一个独立的情况出现的概率都是0，是不是我就要把这些0加一起呢？结果还是0？很明显不是。
在这种情况下，就需要用上测度论了。在我看来测度论就是你有一个样本空间，里面是所有可能发生的随机事件，然后你有一个函数P（概率测度）将样本空间里的某些子集映射到实轴上某条连续的线段上（准确的说应该叫borel set，博雷尔子集，一般是[0,1]内的某个点或者某条线段吧）。这样做的最大好处是可以将离散的事件对应到“连续的”一个集合（线段）当中，有了连续性就可以随便操作了，加减乘除随意。而且每一个实轴上的线段（子集）都有与之对应的样本空间的意义。
这么个例子应该是一个比较直观的解释了？
一年多前学的了，解释的不好勿喷……欢迎讨论。
没有测度论和有测度论的概率论，大概可以类比微积分和（以定义了实数完备性为主要区别）的数学分析吧。测度论是现代概率论的地基，是严格定义很多事情的前提。地基深可以把房子盖高，但建出多漂亮的房子是概率论自己的事情。
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好吧还是展开说一说。按照我本科和PhD所在学校的教学设置，在没有测度论的前提下，一般可以开概率论和应用随机过程。这些课会包含古典/几何概型，常见分布，不证明的大数定律和中心极限定律，马氏链，泊松过程，条件期望和鞅，甚至一点点布朗运动。对不以随机分析和花式scaling limit为方向的人来说，这些已经足够开始科研了。但其实这里很多事情我们都说不清：比如连续变量的条件概率，比如马氏过程常返性中涉及的无穷样本轨道，比如强大数定律a.s.和i.o.……而测度论算是填上了这个背景里的坑。
但之所以我们还是兴致勃勃的研究概率论，是因为概率论除了Borel代数上的有限测度有很多概率直观才有的概念，而这些概念往往不需要测度论就可以了解：
上应随时的CDY老师曾经说过，做泛函分析的人们认为马氏链不过是离散空间上的马氏半群/转移矩阵的幂，让他们来研究一下停时看看……
再比如zero大大说的独立性，延伸一下便是鞅和选样定理这个每次用到都觉得神奇的构造。
又或者布朗运动是定义在全体连续函数上的Wiener测度，但几乎处处考虑的都是处处不可微的连续函数，我不知道有多少分析的人，会对这样性质不友好的函数感兴趣。概率里会有不变原理，会有重对数律。
事实上，正如广大非数学专业的人们不知道实数系完备定理还是可以使用微积分，学数学的人们也不知道还有多少会每天用到这些。测度论对于概率论也是这么一回事，没学到不用心急，一旦学过以后知道就好了。我老板就曾经感慨过，他已经好几年没有用过测度论了。（不过看在他最近做了有关TASEP的东西，也许要收回这句话了吧）
个人观点，其实题主没有必要羡慕一上来就讲实变概率论的班级。我很感谢本科教我概率论的ZFX老师，她一开始就把概率的独有的概念告诉了我们。她在概率论期中出了一道来关于渗流模型需要单调耦合的思想才能解决的附加题。还讲了用概率母函数的不动点解决分支过程的灭绝概率。这些技巧我现在还不时会用到。倒是两年之后她讲基于测度论的高等概率论时，那些fancy的大数定律证明，学过一遍之后基本都忘记了……
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