为什么我学过微积分、线性代数和概率论，还是看不懂机器学习？

这真是个好问题，也是很多在数学上打下坚实基础但初入机器学习领域时会遇到的困惑。你拥有微积分、线性代数和概率论这些核心工具，这绝对是巨大的优势，但机器学习的“语言”和“思维方式”与纯粹的数学研究还是有些区别。就好比你学会了木匠的工具和一些基本的木工技巧，但想建造一座复杂的房屋，还需要学习建筑设计、结构力学以及施工流程。

让我试着用更贴近你实际学习经验的方式来聊聊，尽量避免那些听起来像教科书的套话。

1. 视角的不同：从“证明”到“构建”和“优化”

数学的思维方式： 你在学习微积分、线性代数、概率论时，核心在于理解概念的本质，证明定理的正确性，推导公式的逻辑严密性。你关注的是“为什么”，以及数学理论的普适性。比如，你花了大量时间去理解导数的定义、积分的几何意义，以及矩阵的各种运算性质。
机器学习的思维方式： 机器学习更像是一门“工程学”和“应用科学”。我们拿到一个问题（比如识别图片里的猫），然后用数学工具去“构建”一个模型来解决这个问题。这里的重点不是证明某个模型是“绝对最优”的（虽然我们追求好的性能），而是构建一个能够有效工作的模型，并通过数据来“训练”和“优化”它。
构建： 你会遇到很多现成的模型结构，比如线性回归、逻辑回归、支持向量机、神经网络等等。这些模型本身就是一系列数学运算的组合（你已经熟悉了线性代数和微积分）。你需要理解的是，为什么这个结构能够捕捉到数据中的某种模式。
优化： 你会不断地调整模型的参数，让它在训练数据上表现得越来越好。这个过程大量依赖于微积分中的梯度下降。你可能在微积分里学过如何找到函数的最小值，但在机器学习里，这个“函数”就是你的模型的“损失函数”（衡量模型预测错误的程度），而你需要做的就是通过梯度下降来找到使损失函数最小的参数值。这和你在数学课本里解个二元一次方程的根是两码事，这里的“求解”是一个迭代的过程，而且通常是针对几十万甚至几百万个参数的。

2. 工具的组合与新的术语

你拥有了锤子、锯子、尺子，现在要学的是如何用这些工具搭建一个精密的机器。

线性代数在机器学习中的“变形”： 你肯定熟练掌握了向量、矩阵、点积、矩阵乘法等。在机器学习里，这些就是构建模型的基础砖块。
数据表示： 你的数据，比如一张图片，会被表示成一个巨大的向量或矩阵。图片的像素值就是向量的元素。
模型参数： 模型的大部分参数也是以矩阵的形式存在的。比如，神经网络中的权重矩阵就负责将一层数据的线性变换成下一层数据。
运算： 模型的预测过程就是一系列的矩阵乘法、向量加法等线性代数运算。
隐藏的“维度”： 你可能在学线性代数时关注的是向量空间的维度。在机器学习中，数据的特征维度可以非常高（比如上千维，甚至更高），而且很多模型（特别是深度学习）会学习到隐藏的、非线性的特征表示，这些隐藏层的输出就是新的向量，它们的“维度”是模型设计决定的，并且它们捕捉到的信息可能不像原始特征那么直观。
微积分在机器学习中的“角色转换”： 你可能在微积分中解方程、求极值。在机器学习中，微积分主要用于优化。
损失函数： 你会遇到各种形式的损失函数，比如均方误差（MSE）、交叉熵（Crossentropy）。这些函数将模型的预测值与真实值进行比较，输出一个表示错误程度的标量。
梯度： 机器学习的训练核心就是计算损失函数关于模型参数的梯度。这个梯度指示了参数应该朝哪个方向调整才能让损失函数下降得最快。这就是反向传播（Backpropagation）算法（尤其在神经网络中）的灵魂所在。你可能学过链式法则，反向传播就是链式法则在多层神经网络中的系统应用。
优化器： 除了最基础的梯度下降，还有Adam、SGD with momentum等各种优化器，它们是梯度下降的变种，目的也是更高效、更稳定地找到最优参数。
概率论的“日常化”： 概率论在机器学习中几乎无处不在，它成为了描述不确定性和进行预测的语言。
模型输出的概率： 很多模型输出的不是一个确定的答案，而是一个概率分布。比如，分类问题中，模型可能输出“这张图片是猫的概率是0.9，是狗的概率是0.05，是鸟的概率是0.05”。这背后的理论是概率论和统计推断。
数据分布： 我们常常假设数据服从某种概率分布，或者模型本身就是对数据生成过程的概率建模。
模型评估： 像准确率（Accuracy）、精确率（Precision）、召回率（Recall）、F1分数（F1score）等评估指标，都与概率的概念紧密相关。

3. 新的“框架”和“概念”

除了数学工具的运用方式变化，机器学习还引入了一套新的思考框架和概念：

模型与数据： 机器学习的核心在于从数据中学习。模型就像一个框架，数据填充了这个框架，并通过训练让框架能够“适应”数据的模式。你需要理解不同模型“适合”处理什么类型的数据和问题。
特征工程 (Feature Engineering)： 有时候，原始数据并不直接适合模型，你需要根据对问题的理解，通过数学变换、组合等方式创建新的“特征”，来帮助模型学习。这需要你对数据的敏感度以及对模型工作原理的理解。
过拟合 (Overfitting) 和欠拟合 (Underfitting)： 这是机器学习训练中最常见的问题。过拟合是指模型在训练数据上表现极好，但在未见过的新数据上表现很差（就像死记硬背，不懂举一反三）。欠拟合则是模型太简单，连训练数据上的模式都捕捉不住。理解这些概念以及正则化（Regularization）、交叉验证（Crossvalidation）等解决方法至关重要。
算法 (Algorithm) vs 模型 (Model)： 你学过很多算法，比如冒泡排序、快速排序。在机器学习里，算法通常指的是训练模型的方法（如梯度下降），而模型是学习的结果（参数化的函数）。
深度学习的出现： 当你提到机器学习时，很多人现在默认会想到深度学习。深度学习就是一种特别强大的模型架构（神经网络），它通过多层非线性变换来自动学习特征。这层层叠加的“黑箱”操作，背后依然是大量的线性代数和微积分，但组合的复杂性和规模是前所未有的。

4. 学习路径的建议

你已经有很好的基础，现在需要的是将这些基础“嫁接”到机器学习的场景中。

从具体模型入手： 不要一开始就试图理解所有理论。可以从简单的模型开始，比如线性回归、逻辑回归。弄清楚它们是怎么用你的数学知识构建起来的，怎么用梯度下降来训练的，怎么评估效果的。
动手实践： 阅读代码比阅读纯理论更能帮助理解。找一些机器学习库（如Scikitlearn, TensorFlow, PyTorch）的入门教程，跟着做，看看数据是怎么输入的，模型是怎么定义的，训练是怎么进行的。你会在实践中遇到你学过的数学概念。
关注“为什么”和“怎么用”： 当你看到一个模型、一个概念时，问自己：
这个模型（或方法）的数学原理是什么？（这里用到你的微积分、线性代数、概率论）
它解决什么问题？
它有什么局限性？
怎么用代码实现和训练它？
逐步深入： 一旦熟悉了基础模型，再去看更复杂的，比如支持向量机（SVM）中的核技巧，或者神经网络中的激活函数、损失函数、反向传播算法的细节。你会发现，这些“新”的东西，很多都是你已知数学概念在特定场景下的巧妙应用。

打个比方：

你现在就像一个掌握了“字母表”和“语法规则”的人，而机器学习是关于如何写出各种“文学作品”（小说、诗歌、剧本）。你需要学习的不仅仅是单词和语法，还有叙事结构、情节安排、人物塑造、修辞手法等等。这些新的“写作技巧”并非凭空而来，它们巧妙地运用了你已知的字母和语法。

你的数学基础是“内功”，机器学习是“招式”。有了深厚的内功，学习招式会事半功倍，但你仍然需要系统地去学习和练习招式本身，才能真正地“打”出漂亮的拳法。

所以，不要灰心！你已经站在了一个非常高的起点上。继续保持好奇心，多动手，多思考，你会慢慢看到这些数学工具如何在机器学习这个广阔的领域中发挥出强大的生命力。

网友意见

《统计学习方法》特别是第二版增加了很多无监督学习，内容更加丰富了。

但是为什么学习了微积分、线性代数、概率论还是看不懂？因为这本书的内容太干了！干货的干！！！

我们首先要明白一点，为什么看不懂？知识特别是体系知识，知识点间是存在拓扑依赖关系的。学习了考研三件套之后，这个仅仅是具备了最最基础的知识。类似于你想打造一把尼泊尔军刀，你现在手里只有锅炉和锤子。而这些知识还需要补充一些其他的数学知识才能够看出其中奥义。

学习的方式有两种，一种是拉通知识拓扑图一一攻克，这个比较适合学生党，耗时长，但是基础牢靠。

另外一种就是在做中学，理论指导实践，实践升华理论知识，短频快，学成功力因人而异。

这里分享一下我的学习路线：

三件套的学习，特别是很多大学的教育，拿线性代数来讲，一上来讲行列式，貌似还听得懂。然后讲矩阵运算，通过高中知识映射还能get到重点，再到后面的线性关系、矩阵秩、空间就极具挑战性了。究其原因，国内很多教材追求的是理论的state of art。学生一上来就没有对所学知识的感性认识，直接上抽象结论，接受程度就较低了。

基础

很多博主一上来就推荐各种书籍，自学很容易中途放弃，我们这里采用最小化学习策略，先搞线代。

所以我在重新学习的时候选择了一些网上课程，最美B站，基本不要钱，弹幕里的人才多，说话也好听。

【完整版-麻省理工-线性代数】全34讲+配套教材_哔哩哔哩_bilibili

G老由浅入深，环环相扣，学习起来欲罢不能！！！

【双语字幕】MIT《数据分析、信号处理和机器学习中的矩阵方法》课程 (Spring 2018) by Gilbert Strang_哔哩哔哩_bilibili

配合这个学习，效果事半功倍！！！

Stanford : Statistical Learning 斯坦福大学：统计学习_哔哩哔哩_bilibili

统计学习，机器学习的基石，不能忘了它。

剩下的知识点，我们在学习机器学习的过程中，再慢慢补充！！

机器学习入门

想听英语的可以看吴恩达的视频

[中英字幕]吴恩达机器学习系列课程_哔哩哔哩_bilibili

台湾的李宏毅的也非常不错，我两个都看了。李宏毅老师的台湾腔有彩蛋！！！佛给给！！！

(强推)李宏毅2021春机器学习课程_哔哩哔哩_bilibili

到这一步了，基本的炼丹思路是具备了，找kaggle的练习题先整一通，强化认知。

深度学习时代，怎么能不懂它，盘它！！！

李宏毅深度学习(2017)_哔哩哔哩_bilibili

光说不练假把式！！！

上才艺，DL的几个大应用：自然语言处理、自然语言理解、深度视觉算法。

【 自然语言处理：2019最新 斯坦福大学 CS224n 深度学习自然语言处理 课程 】Stanford CS224n: Natural Language Pr_哔哩哔哩_bilibili

【 斯坦福大学CS224U：自然语言理解 2019最新课程 】Stanford CS224U: Natural Language Understanding |_哔哩哔哩_bilibili

【双语字幕】斯坦福CS231n《深度视觉识别》课程(2017) by Fei-Fei Li, Justin Johnson, Serena Yeung_哔哩哔哩_bilibili

都是精品课，学习使我快乐！！！The world is flat.人在家中坐，知识网上来。

国内自然语言处理不能忘了自动化所的宗老师！！！

中科院 宗成庆 自然语言处理公开课（64集）_哔哩哔哩_bilibili

（科苑自动化所大佬多，研究生待遇好，速报！！）

到这个阶段，你对深度学习网络结构及其应用有了更深入的理解。

具备了各个领域的入门级法宝，逢人能够侃上几句专业术语，损失函数的23种写法倒背如流。

计算

再者，无论是传统机器学习还是深度学习，我们先阶段已经掌握了如何去抽象问题，如何制定目标，如何建模。但是有一个绕不开的坎，为什么这么建模？要怎么去计算最优解？

《数值分析》| 华科 | 研究生基础课_哔哩哔哩_bilibili

上一个旁边学校的链接，学习氛围确实要强一些。

机器学习之凸优化_哔哩哔哩_bilibili

这一套学习完了，手推SVM信手拈来，对于损失函数等理解再上一个台阶。

到这一步，基础的数学知识，研究问题的方式方法，目标求解方法都已经基本掌握了。

剩下的就是挑一个感兴趣的领域，深入学习该领域的经典paper，补充一些数学知识！！！

这个阶段，终于感到一丝丝顺滑的感觉，再看《统计学习方法》，感觉字字真金！！！

最后，牢记实践出真理！！！听懂点赞。

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