数学系本科生如何学好实变函数与泛函分析？

作为一名数学系的本科生，想要学好实变函数和泛函分析这两门课程，我得说，这绝对是一条充满挑战但也极其 rewarding 的道路。这两门课可以说是抽象数学的基石，理解了它们，你对数学的认知会上升一个维度，对后续的学习也会产生深远的影响。下面我结合自己的学习经历和一些过来人的经验，给大家掰开了揉碎了聊聊怎么啃下这两块硬骨头。

第一步：夯实基础，这是重中之重！

很多人觉得实变函数和泛函分析上来就难，其实不然。很多概念和定理在你们之前学过的课程里已经埋下了伏笔。所以，在正式开始学习实变函数之前，一定要确保你的基础知识是牢固的。

数学分析（微积分）：这是你最最最根本的基石。尤其是极限、连续性、可导性、积分（黎曼积分）、级数收敛、一致收敛等概念，一定要理解得透彻。很多时候，实变函数中的概念是对这些经典概念的推广和深化。比如，一个函数在某一点可微，在实变函数里就会推广到可测、可积等概念。理解了黎曼积分的几何意义和局限性，你才能更好地理解勒贝格积分为何如此重要。
集合论与逻辑：虽然这门课可能不是专门的集合论，但实变函数里充斥着各种集合操作、逻辑判断。对集合的并、交、差、补、子集、幂集等要有清晰的认识。逻辑连接词（与、或、非、蕴含、等价）的运用，全称量词和存在量词的理解，对证明题尤为关键。你可能会经常看到诸如“对于任意ε>0，存在δ>0使得…”这样的表述，对这些逻辑结构的敏感度直接影响你读懂证明和写证明的能力。
线性代数：尤其是在学习泛函分析时，向量空间的概念是核心。对向量的线性组合、线性无关、基、维数等概念要非常熟悉。虽然泛函分析中的“向量”可能不是简单的实数或复数组成的列向量，而是函数空间里的函数，但其线性结构是共通的。

第二步：啃实变函数，打通抽象化的第一关

实变函数是连接我们熟悉的微积分和更抽象的数学分析（如泛函分析）的桥梁。它的核心在于“测度论”和“勒贝格积分”。

理解测度：测度是什么？它是对“大小”的一种度量。从长度、面积、体积到可数集合的“大小”，测度将这个概念推广到了更广阔的领域。
σ代数（σalgebra）：这是理解测度的“合法集合”的关键。为什么需要σ代数？因为我们不能对任意一个集合都赋予一个有意义的大小。σ代数提供了一个封闭的集合族，它对可数并、补运算封闭。理解它的构造和性质很重要，比如空集和全集一定是σ代数里的元素。
可测集（Measurable Set）：属于某个σ代数的集合就是可测集。测度就定义在这些可测集上。
测度（Measure）：这是一个函数，它把可测集映射到一个非负实数（或无穷），满足可数可加性（对于不相交的可数个可测集，它们的并的测度等于它们各自测度的和）。常见的例子有勒贝格测度。
学习建议：不要一开始就陷入繁杂的证明。先从概念入手，理解测度的性质，尤其是可数可加性。多看看例子，比如长度、面积的测度是如何体现的。尝试自己构造一些简单的σ代数和测度，加深理解。

掌握勒贝格积分：这是实变函数的灵魂。勒贝格积分比黎曼积分更强大，它能处理更广泛的函数，并且在极限运算方面有更好的性质。
从简单函数到可积函数：勒贝格积分的构造是逐步的。先定义简单函数（有限个取值且取值域离散的函数）的积分，然后是定义非负可测函数的积分（逼近），最后推广到一般可积函数（正部和负部）。
积分的性质：重点理解勒贝格积分的强大之处，如单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem, MCT）、法图引理（Fatou's Lemma）、控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem, DCT）。这三个定理是进行极限运算的利器，理解它们意味着你掌握了在积分号下交换极限的强大工具。
可积函数空间（Lp空间）：理解什么是p可积函数，以及Lp空间的定义和基本性质。虽然Lp空间是泛函分析的重要内容，但其在实变函数阶段就已经初现端倪。
学习建议：勒贝格积分的理论推导可能比较抽象，但其思想是将积分看作是对“值域”的累加，而不是“定义域”的划分。多对照黎曼积分理解其中的区别。这三个收敛定理是重中之重，一定要理解它们的条件和结论，并通过例子体会它们的作用。

其他重要概念：
可测函数（Measurable Function）：这个概念非常重要，它是积分理论的对象。一个函数是可测的，意味着它的“上水平集”（函数值大于某个常数的点集）是可测集。
几乎处处（Almost Everywhere, a.e.）：这个概念在实变函数中频繁出现，意味着某个性质在除了一个测度为零的集合之外的所有点上都成立。理解“测度为零的集合”在理论中的重要性。
学习建议：建立起函数的可测性与集合的可测性之间的联系。理解“几乎处处”这个词组的含义，它使得很多本来需要严格处处成立的性质，在丢弃一些“小”集合后仍然成立，极大地扩展了理论的应用范围。

第三步：进击泛函分析，迈向无限维空间的奥秘

泛函分析是在实变函数的基础上，研究函数空间这一类特殊集合的分析学。它将线性代数中的许多概念推广到了无限维空间，并且引入了“范数”这个核心概念。

理解赋范线性空间（Normed Linear Space）：
向量空间（Vector Space）：回顾线性代数的知识，理解向量空间的定义。
范数（Norm）：这是一个从向量空间到非负实数的函数，它具有非负性、齐次性、三角不等式和范数为零当且仅当零向量的性质。范数赋予了向量空间“距离”的概念。
巴拿赫空间（Banach Space）：一个完备的赋范线性空间。完备性意味着空间中的柯西序列都有极限，这是许多定理成立的关键。
希尔伯特空间（Hilbert Space）：一个带有内积的完备赋范线性空间。内积提供了角度和长度的概念，是无限维空间中非常重要的结构。
学习建议：范数是泛函分析的“核心词汇”。理解不同范数的定义（比如Lp空间中的范数）及其几何意义。完备性是抽象但关键的概念，理解柯西序列和完备性的关系。多看具体的巴拿赫空间（如C[a,b]空间，Lp空间）和希尔伯特空间（如l2空间，L2空间）的例子。

算子（Operators）：泛函分析的核心是研究作用在这些函数空间上的“算子”，它们是将空间中的一个元素映射到另一个元素的“函数”。
有界线性算子（Bounded Linear Operator）：这是最常见也是最重要的算子类型。一个算子是有界的，意味着它不会把有限范数的向量映射到无限范数的向量。其界（norm of the operator）是衡量算子“大小”的指标。
算子范数：定义算子的范数（通常是上确界范数），这使得算子空间本身也成为一个赋范线性空间。
学习建议：将算子类比为线性代数中的矩阵。矩阵是对有限维向量空间进行的线性变换，而算子则是对无限维函数空间进行的线性变换。理解有界性和算子范数的定义和计算。

重要定理与概念：泛函分析有很多重要的定理，它们是理论的支柱。
HahnBanach定理：这是一个非常强大的存在性定理，它保证了在某些条件下，线性函数可以在整个空间上“扩展”。它在很多证明中都起到关键作用。
开映射定理（Open Mapping Theorem）和有界逆定理（Bounded Inverse Theorem）：这两个定理通常一起提及，它们是关于双射有界算子的重要结论，说明了双射有界算子的逆也一定是有界的。这在理论研究中非常有用。
一致有界性原理（Uniform Boundedness Principle, BanachSteinhaus Theorem）：这个原理说明，如果一个算子族在空间中的每一点都被界住了，那么这个算子族在算子范数意义下也是有界的。
谱理论（Spectral Theory）：这是泛函分析的高级内容，研究算子的“谱”，类比于矩阵的特征值。谱理论在量子力学等领域有重要应用。
学习建议：这些定理的证明往往比较复杂，但理解定理的几何意义和应用场景是更重要的。不要被证明的细节压垮，而是要弄清楚定理说了什么，在什么条件下成立，以及它能解决什么问题。例如，HahnBanach定理告诉我们某种线性“扩张”的可能性；开映射定理告诉我们，好的“线性变换”会把开集映射到开集。

第四步：学习策略与心态调整

学这两门课，光看书是不够的，需要一些行之有效的方法和良好的心态。

精读教材，辅以参考书：找到一本或几本靠谱的教材。精读，逐字逐句地理解概念和证明。但有时候，一本教材的表述可能不适合你，可以参考其他几本经典教材，看看他们是如何讲解同一内容的。比如，国内的教材如陈建功的《实变函数论》，国外的如Royden的《Real Analysis》，以及泛函分析的经典教材如Walter Rudin的《Functional Analysis》（俗称“小胖”）或A. L. Brown & C. M.sc. R. Finch的《Functional Analysis》等。
动笔练习，反复推敲：数学学习是“做”出来的，不是“看”出来的。
例题：精读教材中的例题，理解例题是如何运用定理和定义的。尝试自己不看答案，独立完成例题。
习题：这是检验你理解程度的最好方式。从简单的习题开始，逐渐挑战难题。遇到不会的习题，不要轻易放弃，先思考，尝试不同的方法，实在不行再去查阅资料或请教同学、老师。做完后，要反复推敲自己的解题思路，是否还有更简洁、更优化的方法。
自己构造例子：当你学习到一个新概念时，尝试自己构造一些符合该概念的例子，以及不符合的例子。这有助于你深入理解概念的本质。比如，在学测度时，构造一个非常规的测度；在学泛函分析时，构造一个不是巴拿赫空间的赋范线性空间。
证明题的理解与书写：
理解证明逻辑：数学证明是严谨的逻辑链条。要学会分析证明的结构：已知什么？目标是什么？每一步是如何从已知推导到目标的？中间用到了哪些定理和定义？
独立写证明：尝试独立写下证明过程，检查自己的逻辑是否严密，表述是否清晰。这是一个提升数学思维和语言表达能力的关键环节。一开始可能写得很糟糕，但坚持下去，一定会越来越好。
反证法、构造法、数学归纳法等：熟练掌握各种证明技巧。
小组讨论与交流：和同学组成学习小组，一起讨论概念、定理、习题。不同的视角可以帮助你发现自己理解的盲点，也能激发新的思考。向别人解释一个概念，也是检验自己是否真正理解的绝佳方式。
利用好老师和助教资源：不要害羞，遇到不懂的地方一定要及时请教老师和助教。他们是你的宝贵资源。
不要怕犯错和遇到瓶颈：学习这两门课，遇到困难、感到迷茫是很正常的。每个人都会有“卡住”的时候。重要的是不要因为一时的挫折而气馁，调整心态，换个角度思考，或者暂时放下，过一段时间再回来看，可能会豁然开朗。
与时俱进，了解应用：虽然这两门课是基础理论，但它们在很多领域都有广泛的应用，比如数学物理、信号处理、机器学习、偏微分方程等。了解一些应用场景，可以增加学习的动力和趣味性，也能让你看到理论的价值。

最后的话

学好实变函数和泛函分析，不是一蹴而就的事情。它需要耐心、毅力和系统性的学习。当你真正理解了这些抽象的数学概念，你会发现数学的魅力是无穷的，它能够帮助你以一种全新的方式去观察和理解世界。祝你在探索数学的道路上，收获满满！

网友意见

谢邀。

注意到题目是如何学好，而不是该学什么或者为什么学要不要学。

简单说两点。第一，学十遍是有道理的。抽象的东西反复学反复用自然会熟练慢慢形成直觉。第二，可以试着以讲授这门课为目的去学习，学完了看能不能给别人讲。如果能给别人讲明白了，自己肯定得先明白了。

我的个人经历：本科学了一遍，实变周民强勉强跟上，泛函完全不记得怎么学的；博士第一年准备资格考试学了一遍，没有教材，最后分析的成绩很好；工作以后开始讲这两门课，用Royden的实分析，讲过一遍之后才敢说自己算是懂了。讲第二遍开始基本可以不看书。然而课还是要备的，要考虑每次讲什么和怎么讲更好，每讲一遍也都会有一些新的想法和体会。

----更新完毕----

谢邀。我个人算是半个做泛函分析的，所以关注我的也知道我答题一般集中于分析类的题目。我接这个题目总结一下学习分析学的基本思路和实变和泛函这个这两个具体科目的一个脉路。

以下两个思路我在不同的场合说过，我再说一次。然后，我把这两个思路应用到具体的两个科目。

第一个思路：具体。分析学越到后期越抽象，很多人挽救的方法是“图像”，但是这个方法的弊端是容易把自己引入阴沟，因为分析上的反直觉的例子一大堆，而且过于依赖图像会让自己后期做题目的时候翻车：因为你会错误地认为某个结果是对的，然后就卡在那里。最好的方法是“具体例子”。用具体的例子来记忆和理解定理是非常重要的一步，但是很显然很多人都忽视这一点。

第二个思路：联系。分析学，特别是泛函分析的理论本质上是一种总结，它总结自很多具体的应用。最大的一块是偏微分方程，所以搞偏微分方程的几乎泛函学得都不差。不无夸张的说，教科书上每一个泛函概念对应了一个应用。很多人学完泛函理论后脑子空空是自然的，因为你不知道这些概念有什么用，有限维的应用是不够的，只有无限维的才有意义。

实变函数上一般分为几个块：基础集合论，这些理论在后期证明中有用，因为你必须会构造形如

的集合，然后通过恰当的构造来证明定理。 第二个是一般测度空间上的积分理论，我觉得法图引理是根本的，因为它是无条件的，而且可以推出控制收敛定理。我推荐的路径是：单调递增定理-法图引理-控制收敛定理（这三个是三位一体的，互相都可以推导，大家可以玩一下）。每一个都找出定理的例子，比如控制收敛定理中下面的例子：

,可以发现, 但是 .

明白这个例子后，。你就能理解控制函数必须存在的一个“原因”。第三个是borel/radon measure和 Riesz representation theorem. 这个定理非常有用也非常长。请具体掌握，特别是如何从中如何推出勒贝格积分，以及Littlewood的几个结果：比较可测函数和连续函数的那几个结果。第四，以Radon-Nikodym为中心的测度的分解和完全连续。它的主要应用是构造L^p空间上的泛函和另一个版本。对了到这里，你就可以学另外一个Riesz representation theorem（连续函数空间上的泛函）。到这里实变和泛函就开始纠缠起来了，所以我推荐双修的（阿弥陀佛） 第五，富比尼定理，这个我学得一般，但是也必须要学得都好，大家一般就是用。本科生学到这几块就差不多了。书我推荐下面的几本：《实分析中的反例》（查阅各种反例，重塑三观），rudin的《实分析和复分析》。

因为学校课程的限制，一般大学是人为的割裂了泛函和实变函数，但是两者其实是有机的整体。泛函分析是一个超级体系，非常繁杂。我们这里只谈本科级别的，后续的内容十倍百倍于这些基础。这里不展开了，否则给我一个桌子，我掰开了说，揉碎了说，可以说几个月不停。

泛函的好东西很多，我只提限制于本科的内容。我下面列出来的这应用请掌握，只有掌握了这些你才能把自己的理解推到一个新的层次，否则你学完泛函脑子空空，只会记住一些抽象的概念和结果。

好了，第一块内容：范数空间,度量空间：里面涉及到到紧性，这个概念可以用来证明代数基本定理。这些简单的概念已经可以得到了很强的结果：Korovkin's theorem和stone- Weierstraß theorem。这个定理可以用来证明Bohman's theorem, Berstein 和 Weierstraß theorem，Fejer's theorem. 这一大串定理，其实回答的是一个问题，就是逼近问题，就是给一个用多项式(三角多项式)逼近连续函数的方法，如何判断这个方法是可靠的。下面我给一个1950s年证明的结果，很漂亮，而且中间不涉及很难的数学概念。

第二块内容：banach空间和不动点定理。这里主要掌握压缩不动点（不动点理论一大套）即可，并且知道如何用它证明一类常微分方程的存在性唯一性：和多元函数的隐函数定理。还有，AA定理（Ascoli-Arzela），这个定理可以用来证明的另外一个存在性定理。

第三块内容： 希尔伯特空间，正交性投影映射。第一条就是投影映射，以及如何用投影映射解线性系统，包括所谓的CG。第二条是Riesz 引理, 主要用它研究reproducing kernels.；Hahn-Banach的最简单形式；第三条是完全正交系列，主要可以用于傅立叶分析。

第四块内容：线性泛函分析的大定理： 这几个定理是最最最重要的结果，一定要掌握好。虽然我下面列出了很多不同的定理，但是本质上只有两个定理：baire纲定理和hahn-banach。其他东西都是这两个推导出来的。

baire纲定理：这个定理可以巧妙的证明多项式空间不可能完备；还可以证明处处连续而且处处不可导函数是存在的。非常优美的证明，把泛函的魅力发挥到了一个层次。 baire纲定理也可以证明Banach-steinhaus 定理（共鸣定理）。这个定理的应用范围很大：可以研究数值逼近，Lagrange和Fourier逼近的不收敛性，也就是说可以在在不构造反例的情况下证明这个反例存在。然后是开映射定理，这个定理可以研究一类二阶方程：

之后是是闭图像定理，这个定理可以用来研究抽象的Toeplitz算子，（任何定义在整个希尔伯特空间上的自伴算子都是连续的）。最后的定理是Hahn-Banach定理，这个定理的牛逼之处在于，有了它你就能研究对偶算子，对偶算子的厉害之处很多，我提一个最重要的应用吧。抽象方程的存在性和唯一性和对偶问题,这里就是的对偶算子。我来说一下其中的逻辑吧：证明一个方程的唯一性是很简单的，但是存在性比唯一性要难得多，为了证明一个方程的存在性，我们只需要构造它的它对偶问题，那个问题也是一个方程，我们证明这个对偶唯一性从而证明原问题的存在性。这套理论是处理椭圆形方程的一般思路。什么，你没听懂？我尽力了。

推荐的书籍：Ciarlet的 "linear and nonlinear functional analysis"和H. Brezis "functional analysis, sobolev spaces and partial differential equations". 后者应该有中文译本。前者应该只有英文。

我正在个人专栏中专门串讲泛函分析：

分析的那些事 - 知乎专栏

谢邀。

实变把Lebesgue测度的构造过程，定义Lebesgue积分的过程过一遍，把Lebesgue控制收敛定理及几个等价形式、还有可测集相关的几个定理记住就行了。你学的时候还是要好好学，题目认真做——不过做不出来也没必要太自责，因为实变的题目确实可以出得很难。然后学完之后过两年，很多细节估计你也忘得差不多了，尤其是你不做分析、不做概率论的话。比如我现在就记得几个大定理了，证明记不清了，不过把实变书给我看一遍我还是能很快回忆起大部分重要内容的。其实吧，学测度与积分那一套东西，很大程度是为了让你知道“世界上有个东西叫测度，实数集上存在一个东西叫Lebesgue测度、差不多是区间长度的推广”，以及“通过测度可以建立一套比较完善的积分理论”。然而真正要积分一个具体函数的时候，或者是对一个积分进行估计的时候，基本还是用的微积分那些技巧。。真正要用到测度积分的那些定义的细节的场所，我是见得不多的。

泛函么，首先一定要把线性代数学好。有限维的线性代数都没学好，无限维的线性代数自然只能懵逼。然后基本的点集拓扑也要知道。我觉得把泛函和拓扑一起学其实挺不错的，因为泛函提供了非常丰富的拓扑上的例子，比如同一个空间带各种不同拓扑（范数拓扑，强拓扑，弱拓扑，弱＊拓扑，等等）的例子。然后Banach空间的几个大定理，比如Banach延拓，开映射闭图像等等几个等价定理，Riesz表示定理等等，要记住。最后具体的例子，比如L^p,l^p空间，积分算子等等，也要掌握。你如果不做抽象的算子代数的话，真正用到泛函分析，很多时候还是在某个具体的空间里面应用泛函分析——比如，PDE里面非常重要的Sobolev空间，就是一个很好的应用泛函的例子，你基本可以把学过的大部分泛函的理论，在Sobolev空间里面实践一遍。

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