如何证明dimQ（R）=dimQ（C）？

好的，我们来深入探讨一下为什么 $dim_{mathbb{Q}}(mathbb{R})$ 和 $dim_{mathbb{Q}}(mathbb{C})$ 是相等的，以及这个相等性背后蕴含的深刻意义。

首先，我们需要明确一些基本概念。

域 (Field): 一个域是一个集合，其中定义了加法和乘法运算，并且这些运算满足一系列特定的性质，比如加法和乘法的交换律、结合律、分配律，存在加法单位元（零元）和乘法单位元（幺元），以及非零元素的乘法逆元。我们熟悉的实数 $mathbb{R}$ 和复数 $mathbb{C}$ 都是域。
向量空间 (Vector Space): 一个向量空间是一个集合，其中的元素（称为向量）可以进行加法运算，并且可以与一个标量域（比如我们这里是 $mathbb{Q}$）中的元素进行标量乘法运算，这些运算也需要满足一些特定的性质。
域的扩域 (Field Extension): 如果我们有一个域 $F$ 和另一个域 $K$，并且 $F$ 是 $K$ 的一个子集，同时 $K$ 中的加法和乘法运算与 $F$ 中的运算一致，那么我们就说 $K$ 是 $F$ 的一个扩域。例如，实数域 $mathbb{R}$ 是有理数域 $mathbb{Q}$ 的一个扩域，复数域 $mathbb{C}$ 也是 $mathbb{R}$ 的一个扩域，自然也意味着 $mathbb{C}$ 是 $mathbb{Q}$ 的一个扩域。
向量空间的维度 (Dimension of a Vector Space): 向量空间的维度是指构成该向量空间的一组基的向量的个数。基是一组线性无关且能张成整个向量空间的向量。这里的“线性无关”是指，如果这些基向量的线性组合等于零向量，那么所有系数都必须是零。

现在，让我们来考虑 $mathbb{R}$ 和 $mathbb{C}$ 作为 $mathbb{Q}$ 的向量空间。

理解 $mathbb{R}$ 作为 $mathbb{Q}$向量空间的维度

我们知道 $mathbb{R}$ 是一个包含所有实数的集合。当我们把 $mathbb{Q}$ 看作是标量域时，我们就是在问：我们需要多少个“基本”的实数（它们之间不能通过有理数的加减乘除相互表示）来“构造”出所有的实数？

一个重要的事实是，$mathbb{R}$ 作为 $mathbb{Q}$向量空间，其维度是无限的，而且是不可数无限的。这意味着我们无法列出有限个或可数个实数，通过有理数的加法、减法、乘法和除法就能得到所有的实数。

这里有一个常见的误解是，我们可能会想到 $mathbb{R}$ 的一些“特殊”元素，比如 $sqrt{2}$。我们知道，任何一个形如 $a + bsqrt{2}$（其中 $a, b in mathbb{Q}$）的数构成了一个 $mathbb{Q}$向量空间 $mathbb{Q}(sqrt{2})$，它的维度是 2，基是 ${1, sqrt{2}}$。但是，这仅仅是 $mathbb{R}$ 的一个很小的“子空间”。

要证明 $dim_{mathbb{Q}}(mathbb{R})$ 是无限的，我们可以构造一个 $mathbb{Q}$线性无关的集合。例如，考虑一个无限集合：
$$
{ sqrt{p} mid p ext{ 是素数} }
$$
这里的素数是指 $2, 3, 5, 7, 11, ldots$。

证明这个集合是 $mathbb{Q}$线性无关的需要一些数论上的技巧，涉及到对代数数论的理解。基本思想是，如果存在一个素数 $p_1, p_2, ldots, p_k$ 和非零有理数 $q_1, q_2, ldots, q_k$，使得：
$$
q_1sqrt{p_1} + q_2sqrt{p_2} + ldots + q_ksqrt{p_k} = 0
$$
并且这些素数 $p_i$ 都是不同的，那么可以通过一些代数推导（可能涉及到最小多项式或者域扩张的次数）来证明这是不可能的。这个证明稍微复杂，超出了这里的范围，但核心在于，不同素数的平方根在有理数域上是线性无关的。因为存在无限多的素数，所以 $mathbb{R}$ 作为一个 $mathbb{Q}$向量空间，维度是无限的。

而且，$mathbb{R}$ 的维度比可数无限还要高，它是不可数无限的。这可以通过康托对角线论证来证明，或者通过构造一个 $mathbb{R}$ 的基来展示（例如，一个 Hamel 基），其基的势（集合的大小）与 $mathbb{R}$ 本身一致，也就是 $mathfrak{c}$（连续统的势）。

理解 $mathbb{C}$ 作为 $mathbb{Q}$向量空间的维度

同样地，我们考虑 $mathbb{C}$ 作为 $mathbb{Q}$向量空间。$mathbb{C}$ 中的元素形如 $a + bi$，其中 $a, b in mathbb{R}$。

如果我们直接从 $mathbb{C} = {a + bi mid a, b in mathbb{R}}$ 这个定义出发，来考虑它作为 $mathbb{Q}$向量空间的基，会发现这个概念变得相当复杂。我们不能简单地说基是 ${1, i}$，因为 $a$ 和 $b$ 本身可以是任意的实数，而实数不是由有理数“线性生成”的。

然而，我们可以换个角度来看：

1. $mathbb{C}$ 可以看作是 $mathbb{R}$ 的一个 $mathbb{R}$向量空间。
在这个情况下，$mathbb{C}$ 的基是 ${1, i}$，因为任何复数 $z = a + bi$ 都可以写成 $a cdot 1 + b cdot i$，其中 $a, b in mathbb{R}$。所以，$dim_{mathbb{R}}(mathbb{C}) = 2$。

2. $mathbb{C}$ 也可以看作是 $mathbb{Q}$ 的一个 $mathbb{Q}$向量空间。
要理解 $dim_{mathbb{Q}}(mathbb{C})$，我们可以先考虑 $mathbb{R}$ 是 $mathbb{Q}$ 的向量空间，然后 $mathbb{C}$ 是 $mathbb{R}$ 的向量空间。

我们可以利用“向量空间维度的乘法性质”。如果 $V$ 是 $W$ 的一个向量空间，并且 $W$ 是 $U$ 的一个向量空间，那么 $V$ 也是 $U$ 的一个向量空间，并且 $dim_U(V) = dim_U(W) cdot dim_W(V)$。

这里我们有一个链条： $mathbb{Q} subseteq mathbb{R} subseteq mathbb{C}$。

$mathbb{R}$ 是 $mathbb{Q}$ 的一个向量空间。我们已经提到 $dim_{mathbb{Q}}(mathbb{R})$ 是一个不可数无限的数，我们记为 $mathfrak{m}$（表示它的势）。
$mathbb{C}$ 是 $mathbb{R}$ 的一个向量空间。我们知道 $dim_{mathbb{R}}(mathbb{C}) = 2$。

根据向量空间维度的乘法性质，我们可以类比地思考：
$dim_{mathbb{Q}}(mathbb{C}) = dim_{mathbb{Q}}(mathbb{R}) cdot dim_{mathbb{R}}(mathbb{C})$
$dim_{mathbb{Q}}(mathbb{C}) = mathfrak{m} cdot 2$

在集合论中，一个无限集合的势乘以一个有限数（大于零）或者乘以另一个相同势的无限集合，其结果的势不变。也就是说，$mathfrak{m} cdot 2 = mathfrak{m}$。

所以，根据这个类比，我们得出 $dim_{mathbb{Q}}(mathbb{C}) = dim_{mathbb{Q}}(mathbb{R})$。

更严谨的证明思路（涉及到 Hamel 基）

为了更严谨地证明这一点，我们需要引入 Hamel 基的概念。

Hamel 基: 任何一个域 $K$ 作为自身域的向量空间，其维度为 1，基就是 ${1}$。
任何一个扩域 $L$ 作为基域 $F$ 的向量空间，都存在一个 $F$向量空间基，称为 Hamel 基。

存在一个 $mathbb{Q}$向量空间基 $B_mathbb{R}$ 使得 $mathbb{R} = ext{span}_{mathbb{Q}}(B_mathbb{R})$，并且 $B_mathbb{R}$ 是 $mathbb{Q}$线性无关的。$dim_{mathbb{Q}}(mathbb{R}) = |B_mathbb{R}|$。我们知道 $|B_mathbb{R}| = mathfrak{c}$（连续统的势）。

存在一个 $mathbb{R}$向量空间基 $B_{mathbb{C}/mathbb{R}}$ 使得 $mathbb{C} = ext{span}_{mathbb{R}}(B_{mathbb{C}/mathbb{R}})$，并且 $B_{mathbb{C}/mathbb{R}}$ 是 $mathbb{R}$线性无关的。$dim_{mathbb{R}}(mathbb{C}) = |B_{mathbb{C}/mathbb{R}}| = 2$。一个例子是 $B_{mathbb{C}/mathbb{R}} = {1, i}$。

现在考虑 $mathbb{C}$ 作为 $mathbb{Q}$向量空间。我们需要一个 $mathbb{Q}$基 $B_mathbb{C}$ 使得 $mathbb{C} = ext{span}_{mathbb{Q}}(B_mathbb{C})$。

我们可以构造 $B_mathbb{C}$ 的一个方法是：取 $mathbb{R}$ 的一个 $mathbb{Q}$基 $B_mathbb{R}$。那么对于任何 $r in mathbb{R}$，它都可以表示为 $r = sum_{j=1}^n q_j b_{ij}$，其中 $q_j in mathbb{Q}$ 且 $b_{ij} in B_mathbb{R}$。
一个复数 $z = a + bi$ ($a, b in mathbb{R}$) 可以写成：
$$
z = a + bi = left(sum_{j} q_{aj} b_{aj} ight) + i left(sum_{k} q_{bk} b_{bk} ight)
$$
其中 $q_{aj}, q_{bk} in mathbb{Q}$，$b_{aj}, b_{bk} in B_mathbb{R}$。

如果我们直接将 $B_mathbb{R}$ 中的所有元素视为 $mathbb{Q}$线性无关的，那么我们还需要考虑 $i$ 的作用。

一种更直接的构造 $B_mathbb{C}$ 的方法是：
设 $B_mathbb{R} = {e_alpha}_{alpha in I}$ 是 $mathbb{R}$ 的一个 $mathbb{Q}$基，其中 $I$ 是一个指标集，使得 $|I| = mathfrak{c}$。
那么，$mathbb{R}$ 中的任何元素 $x$ 可以唯一地表示为 $x = sum_{alpha in I} q_alpha e_alpha$，其中只有有限个 $q_alpha$ 非零。

现在考虑 $mathbb{C} = {a + bi mid a, b in mathbb{R}}$。
任何一个复数 $z = a + bi$ 可以写成：
$$
z = left(sum_{alpha in I} q_{alpha a} e_alpha ight) + i left(sum_{eta in I} q_{eta b} e_eta ight)
$$
其中 $q_{alpha a}, q_{eta b} in mathbb{Q}$，并且对于每个 $a$ 和 $b$，只有有限个系数非零。

我们可以尝试将 $B_mathbb{R}$ 和 ${i cdot e_alpha}_{alpha in I}$ 组合起来作为 $mathbb{C}$ 的一个 $mathbb{Q}$基。
设 $B' = B_mathbb{R} cup {i cdot e_alpha mid e_alpha in B_mathbb{R}}$。
那么，任何复数 $z = a + bi$ 都可以写成：
$$
z = sum_{alpha in I} q_{alpha a} e_alpha + sum_{eta in I} q_{eta b} (i e_eta)
$$
这里我们假设 $e_alpha$ 之间的线性无关性以及 $i e_eta$ 与 $e_gamma$ 之间的线性无关性。

关键在于证明集合 $B_mathbb{C} = {e_alpha}_{alpha in I} cup {i cdot e_alpha}_{alpha in I}$ 是 $mathbb{Q}$线性无关的。
假设存在一个 $mathbb{Q}$线性组合等于零：
$$
sum_{alpha in I} q_alpha e_alpha + sum_{eta in I} r_eta (i e_eta) = 0
$$
其中 $q_alpha, r_eta in mathbb{Q}$，且只有有限个非零。
我们可以重新写成：
$$
sum_{alpha in I} q_alpha e_alpha + i sum_{eta in I} r_eta e_eta = 0
$$
这表示一个复数等于零。令 $A = sum_{alpha in I} q_alpha e_alpha in mathbb{R}$ 且 $B = sum_{eta in I} r_eta e_eta in mathbb{R}$。
那么 $A + iB = 0$。这意味着 $A=0$ 且 $B=0$。

$A = sum_{alpha in I} q_alpha e_alpha = 0$。由于 ${e_alpha}_{alpha in I}$ 是 $mathbb{R}$ 的一个 $mathbb{Q}$基，它们是 $mathbb{Q}$线性无关的。因此，所有 $q_alpha$ 必须为零。
$B = sum_{eta in I} r_eta e_eta = 0$。同理，所有 $r_eta$ 必须为零。

这意味着集合 $B_mathbb{C}$ 是 $mathbb{Q}$线性无关的。
集合 $B_mathbb{C}$ 的大小是 $|B_mathbb{C}| = |I| + |I| = mathfrak{c} + mathfrak{c} = mathfrak{c}$。

所以，$dim_{mathbb{Q}}(mathbb{C}) = mathfrak{c}$。

而我们之前知道 $dim_{mathbb{Q}}(mathbb{R}) = mathfrak{c}$。

因此，$dim_{mathbb{Q}}(mathbb{R}) = dim_{mathbb{Q}}(mathbb{C})$。

为什么会有人感到困惑？

感到困惑是很正常的，因为我们通常更熟悉有限维向量空间或者将 $mathbb{C}$ 看作是 $mathbb{R}$ 的向量空间。

维度概念的直观性: 对于 $mathbb{R}$ 和 $mathbb{C}$ 作为 $mathbb{R}$ 的向量空间，维度是有限且容易理解的：
$mathbb{R}$ 作为 $mathbb{R}$向量空间，基是 ${1}$，维度是 1。
$mathbb{C}$ 作为 $mathbb{R}$向量空间，基是 ${1, i}$，维度是 2。
这个直观性帮助我们理解实数和复数之间的关系。

当基域变成 $mathbb{Q}$ 时: 当我们将基域缩小到 $mathbb{Q}$ 时，情况就变得复杂了。因为 $mathbb{R}$ 本身包含着大量“无法用有理数构造”的元素（比如无理数），使得 $mathbb{R}$ 在 $mathbb{Q}$ 上拥有一个非常巨大的维度。而复数 $mathbb{C}$ 可以在 $mathbb{R}$ 上被相对“简单”地描述（只需要一个维度），但当与 $mathbb{Q}$ 结合时，它继承了 $mathbb{R}$ 的“高维度”特性。

总结来说：

证明 $dim_{mathbb{Q}}(mathbb{R}) = dim_{mathbb{Q}}(mathbb{C})$ 的关键在于认识到它们在作为 $mathbb{Q}$向量空间时，都拥有一个与 $mathbb{R}$ 本身势相同的基（即连续统的势 $mathfrak{c}$）。虽然 $mathbb{C}$ 相对于 $mathbb{R}$ 的维度（作为 $mathbb{R}$向量空间）是 2，但当基域降低到 $mathbb{Q}$ 时，由于 $mathbb{R}$ 在 $mathbb{Q}$ 上的维度极其庞大，$mathbb{C}$ 在 $mathbb{Q}$ 上的维度也同样庞大且与 $mathbb{R}$ 在 $mathbb{Q}$ 上的维度相等。

这个结果也揭示了一个有趣的现象：虽然复数域 $mathbb{C}$ 在结构上比实数域 $mathbb{R}$ 更“丰富”（比如它是一个代数闭域），但在作为 $mathbb{Q}$向量空间的“大小”或“维度”上，它们是“一样大”的（在集合势的意义下）。这种“一样大”不是因为结构相似，而是因为它们都包含了足够多的“不可用 $mathbb{Q}$ 构造”的元素，以至于它们在 $mathbb{Q}$ 上的维度都达到了同一不可数无限的级别。

显然 和 都是 上的无穷维线性空间。

反证法：如果 或 是有限维，则其同构于 ，因为同构映射是一个双射，因此 或 与 等势，然而 可数但 和 不可数，导致矛盾。

根据Zorn引理可以选取 的线性基 和 的线性基 ，可以按照下列方式证明 。我们只证 ：

首先 是 的子集，因此 。

再根据线性基的性质，任何实数可以表示成 中有限个元素的有理线性组合，因此 ，其中 的定义就是中间的花括号括起来的集合。显然 ，因此 。这其中计算的过程中用到了 是一个无限集的性质。