如何证明地球是圆的？
1. 地平线上的秘密：船只消失的弧线
想象一下，你站在海边，望着远处驶来的一艘船。起初，你只能看到它桅杆的顶端在海平面上闪烁。随着船只逐渐靠近，船身才一点点显露出来，最终整个船只清晰可见。反之，当船只驶向远方时，你会发现，最先消失的是船身，最后才是桅杆的顶端，仿佛船只一点点地沉入了海中。
这是一种怎样的景象？如果地球是平的，那么船只无论驶向何方，都应该是整体地变小，直到小到看不见，而不是从下往上逐渐消失。这种从下往上消失的现象，正是因为地球表面存在着弯曲。船只实际上是沿着这个弧度驶入了地球的“曲率”之中，就像你把一个玩具船放在一个大球的表面上推，它最终也会“沉没”在球体的另一侧。这个简单的观察，在古希腊时期就被人们注意到，并成为了地球是球形的最早证据之一。
2. 月食的阴影：地球在天空中投下的圆形印记
我们都曾仰望过璀璨的夜空，而月食，则是地球为我们上演的一场壮丽的“影子戏”。当月球运行到地球的阴影区域时，我们就会看到月食。仔细观察月食的过程，你会发现，地球投在月球上的阴影，无论在什么角度、什么时间，始终是一个圆形的边缘。
思考一下，什么形状的物体，无论从哪个角度看，投下的阴影都是圆形的？答案是球体。如果地球是一个圆盘，那么在某些角度下，它的阴影可能是一个扁长的椭圆，甚至是一条直线。但事实并非如此，地球的阴影永远是完美的圆形。这就像你用一个球去挡住一束光，无论你如何旋转这个球，投下的阴影边缘始终是圆的。这个证据，再次为地球的球形身份增添了无可辩驳的佐证。
3. 星辰的高度：随着你远行，星空也在变化
当你站在家乡的土地上仰望星空，你会看到一系列熟悉的星座。但如果你乘坐一艘船，向北或向南航行一段距离，你会惊讶地发现，你看到的星空已经发生了变化。
举个例子，在北半球，随着你向北移动，北极星的高度会越来越高，它在天空中的位置也越来越靠近天顶。反之，如果你向南航行，北极星的高度则会逐渐降低，甚至在某些纬度以下就完全看不见了。与此同时，一些在北半球看不见的星座，却会在南方天空中冉冉升起。
这种随着地理位置变化而改变的星空景象，同样是因为地球的表面是弯曲的。你可以想象一下，站在一个球体的表面上，你望向远处天空的角度会因为你的位置不同而改变。如果地球是平的，那么无论你在哪里，看到的星空都应该是相同的，只是角度可能略有差异。这种系统性的、规律性的变化，是地球球形的有力证明。
4. 环球航行：一次跨越时空的证明
古往今来，无数的探险家将生命献给了对未知世界的探索。其中，最富传奇色彩的莫过于麦哲伦船队完成的首次环球航行。在那个科技尚不发达的时代，他们驾驶着简陋的帆船，穿越惊涛骇浪，绕过茫茫大陆，最终从出发地重新回到了出发地。
这次伟大的航行，不仅仅是一次地理上的壮举，更是对地球球形最直接、最雄辩的证明。想象一下，如果你在一张平坦的纸上画一条直线，你永远无法回到起点。但如果你在一张纸上画一个圆，那么沿着圆的轨迹前进，你最终会回到原点。麦哲伦船队正是沿着地球这个巨大的“圆”航行，最终实现了“圆满”。
5. 从高空俯瞰：现代科技带来的直观证据
随着人类科技的飞速发展，我们得以进入太空，从一个全新的视角审视我们赖以生存的家园。宇航员从国际空间站拍摄的地球照片，卫星传回的地球影像，都以最直观的方式告诉我们：地球，确实是一个美丽的蓝色球体。从太空看去，地球的弧线清晰可见，大气层包裹着它，如同一个闪耀的宝石。
这些现代科技带来的证据，是对所有古老观察和推论的最终确认。它们不仅证明了地球是圆的，更让我们看到了地球在浩瀚宇宙中的独特魅力。
结语
从古希腊哲学家们在海边观察到的船只消失的景象，到月食时地球投下的完美圆形阴影，再到星辰的高度变化和环球航行的壮举，直至今天我们从太空看到的真实画面，这些证据如同链条般紧密相连，共同指向一个明确的结论：我们居住的地球，是一个美丽的球体。
这并非一个简单的地理事实，而是人类探索精神的体现，是对未知世界永不停止追问的赞歌。正是因为有无数的先驱者们用他们的眼睛去观察，用他们的大脑去思考，用他们的勇气去实践，我们才得以一步步揭开地球的面纱，理解我们在这个宇宙中的位置。所以，下次当你仰望星空，或者漫步于广袤的大地时，不妨也回想一下，那些曾经照亮人类智慧之路的证据，以及那些为我们揭示真相的先辈们。
网友意见
（声明，本答案版权归 @匡世珉 和我所有)
对于地球（在这里直接用“地球”并不是先入为主地说明大地是个球，只是方便起见）的形状，在很久很久以前就有人研究过。但我们的祖先活动范围狭窄，因此只能凭直觉得到“天圆地方”的结论，而这个结论随着生产活动的不断发展也受到了挑战。比如很多知友提到的，大海上远去的帆船，是船身先看不见，然后再是船帆。除此之外，如果一直向南走，一些星星会从地平线上消失。
这些现象说明，地球表面不是平的，而是向上凸起的弧。但是注意，这些现象并不能说明“地球是个球”，因为它有可能是这个样子的：
中间是凸起的，而四周则是平坦的无限延伸。不幸的是我们生活在中间的凸起上，因此错误地认为地球是个球。
当然啦，这点小问题难不倒人类。很快，一个看似可行的证明方案诞生了：
绕一圈。
1519-1521 年，麦哲伦率领的一支船队完成了人类历史上第一次环球旅行，这是地球是个球的有力证据。不过事情远远没有结束，甚至，才刚刚开始。
假设你是一只蚂蚁，你在一个巨大的物体上爬动着。你向一个方向不停地爬，一段时间后你回到了原点，这就能说明你是在一个球上爬吗？不是的。
当然，我们不考虑“麦比乌斯带”这种高端的东西。把思维放在正常的空间里，我们所谓的“地球”，其实也可能长这样：
地球可能是一个游泳圈一样的形状，而环球旅行也相应地有两种情况：
然而作为只能呆在地球表面的人类，是无法区分所作的“环球旅行”究竟是绕了地球一圈，还是绕了“地甜甜圈”一圈。怎么办呢？
下面要出场的是今天的主角，也是解决这个问题的人。这个人十分古怪，每天就喜欢拿着一根绳子。别人问他这根绳子有什么用，他说，这就是宇宙的真谛。
他就是亨利·庞加莱，一个非常非常厉害的数学家。他告诉了人们，怎么在不离开地球表面的情况下，区别地球是个球还是一个甜甜圈。
他的方法很简单，需要用到的工具只有他的“宇宙真谛”——绳子：
再做一次环球旅行，不过这次要事先在船上系一根绳子，绳子的另一端固定在出发点。做完了环球旅行，我们就可以把船上的绳子和出发点的绳子绑在一起。这样绳子就构成了一个封闭的圈。
庞加莱要求我们在这个时候试着去收绳子。因为地心引力的存在，绳子是不能飞起来的，它只能贴着地球——或地甜甜圈的表面移动。庞加莱告诉我们，地球是个球而不是甜甜圈当且仅当我们可以把绳子收到一个点。
地球是个球的情况很好理解：想象着绳圈一点一点地缩小，最后缩成一个点。这在一个球的表面是很容易完成的。
而甜甜圈上我们需要考虑两种情况。第一是绳子绕了整整一个大圈，这种情况下如果要收缩到一个点，绳子势必会经过中间的空洞。但是我们已经说过，绳子必须贴着地面移动，因此无法收缩到一个点；第二种情况是绳子绕在了甜甜圈上，那么显然无法收缩到一个点——否则会把甜甜圈“锯开”。
这看似简单的结论却有着重大的意义。因为我们现在已经可以离开地球，从太空中看到——地球真是个球。但我们无法离开宇宙，但我们又想知道宇宙的形状，怎么办呢？
庞加莱猜测，如果我们造一艘宇宙飞船，在飞船上绑一根绳子。很久很久以后，飞船回到了地球表面，我们开始收绳子。如果绳子总是能收回来的，那么宇宙就是个三维球面。这就是著名的“庞加莱猜想”。用数学语言描述是这样的（以下非人话）：
任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
当然，你不需要知道这句话的准确含义，只需要大概理解就行了。里边不是人话的词大概是这个意思：
单连通就是说，绕一圈的绳子总是能收到一点；
流形就是局部具有欧式空间的空间，你可以认为你能想到的各种各样的形状都是流形，比如一个圆、一条连续的函数曲线等等；
同胚的意思是，你可以通过一些特定的变换把它们变成一样的。
这个猜想的证明是颇费周折的，不少数学家都投入到了这个定理的证明中。第一个值得一提的人是斯梅尔(Smale)，他首先想到如果三维情形的猜想很困难，高维情形会不会简单一些呢？事实证明确实如此。
1961 年，他公布了自己对庞加莱猜想五维及以上情形的证明， 他也因此获得了 1966 年的菲尔茨奖。
1983 年，弗里德曼(Freedman)证明了四维情况的庞加莱猜想，他因此获得了菲尔茨奖。
但在此之后，庞加莱猜想的证明陷入僵局。直到哈密尔顿提出了 Ricci 流的概念。Ricci 流是一个方程，可以做一些拓扑上的变换。
2003 年，佩雷尔曼（Perelman）终于利用 Ricci 流证明了庞加莱猜想。
值得一提的是，佩雷尔曼获得了菲尔茨奖，而庞加莱猜想也是有悬赏的——一百万美金。不过佩雷尔曼既没有去领奖，也没有去拿钱。他的解释也很霸气：
整个宇宙都在我的掌握之中，谁还稀罕那一百万美金？
在发表了关于庞加莱猜想所有的证明后不久，他就淡出了人们的视线。而之后的一段时间便是全世界的数学家验证的过程，中间有一些争议，但最后还是确定了证明的正确性。至此，庞加莱猜想的证明完成，猜想变成了定理。
有了庞加莱猜想，我们可以知道地球的形状，甚至知道宇宙的形状，但这却只是拓扑学的冰山一角。许多分析里的结论都可以从拓扑的角度理解。比如说连续函数的定义在拓扑里只有一句话：开集的原像是开集，而在分析中却需要繁琐的 语言来定义，这方面问题属于“点集拓扑”。此外，我们还可以赋予不同的拓扑结构以不同的群，称为“基本群”。这样的研究方式属于“代数拓扑”。关于更深的拓扑学知识，我也不太了解，感兴趣的读者可以自行去阅读。
拓扑学的很多概念打开了我们认识世界、认识数学概念的另一扇门，把很多看似不相关的数学概念联系了起来。而拓扑学又只是数学的一个分支，整个数学的大树枝繁叶茂，延伸到无穷，而我们终究只能窥到其中几个小小的树枝。那么，学习和研究数学的目的是什么呢？
为了人类心智的荣耀(Pour l'honneur de l'esprit humain)
(Bourbaki)
完
我这个回答其实涉及到的是题主真正想问的问题：
“1.在没有亲眼见过确凿证据的情况下，我们为什么相信多数人说的“事实”就是真的事实。
2.如果你没有见过确凿的证据，如何证明多数人宣称的“事实”是真的事实。“
这涉及到一个概念“习得性偏见”，人们倾向于相信“反复听到的事情”，并坚信不疑。这是深刻根植在人类基因中的认知方式。为什么呢？让我们回到人类还在非洲的时候，你是一个原始人，你刚刚吃完早餐，然后出门的时候你发现了一个动物：
哎呦，这是什么东西？你是第一次见，虽然你听同伴说这玩意叫狮子，非常危险。但是你是严谨的原始人，你觉得不证明怎么相信，那不是无稽之谈呢？于是你上前撸大猫，狮子第一次见上门的早餐，它也不客气。你们获得了双赢：你在死前证明了一件事，狮子吃到了自己的早餐。可喜可贺！
这是事情本质上是说明两个问题： 第一，人无时无刻不得不做出选择。第二，这个选择的时间往往是有限的。 比如，如果你遇到野兽，要么逃跑要么战斗，得马上决定，而不是在那里先拍个合影，然后慢慢决定。 所以人类在长期进化过程中就形成了“习得性偏见”，本质上是将“认知”的成本转嫁给他人，而自己只需要根据这些习得性的“偏见”来做出判断，这是一个兼顾了“效率”和“准确性”的做法。所以，其实学者式的思考方式本质上“反人类”，这就是理性思维出现得那么晚的原因之一。我们没有那么多奢侈的时间去“证明每一个常识”。更何况，如果你不断去质疑，那么你的成本就就太高了。不是简单的时间成本，这还涉及到群体博弈的问题，下面举一个例子。
小明是一个很轴（爱钻牛角尖）的中学生，老师告诉小明代数基本定理是对的，考试可以用。但是小明能力有限，看不懂证明，认为那都是错的，明明都没有具体的解法怎么就是对的呢？反正你不接受。然后考试的时候，小明会去用“代数基本定理”吗？小明会的。因为小明知道别人都会用，如果他不用那么就他一个人不得分，如果他用了，但是考试完后数学界证明这个结论是错的，然后分数重置，要错大家一起“错”。所以，基于公众常识做出一个判断不但不是愚蠢的，很多时候是明智的。当然了，也有反例，比如泡沫时期。你越早逃离泡沫越早解脱。
这还涉及到一个问题，现代的科技产物往往是各种知识杂交的结果。如果一个很轴的人轴到和自己过不去，那么他的日常生活是进行不下去的，因为他使用的大部分东西都或多或少涉及到他压根不懂的知识，比如车载全球定位仪涉及到相对论。他压根不知道什么叫张量分析，但是他知道要是他不能到女朋友制定的地方接他，他就得跪搓衣板了，所以他还得信任定位仪。 在你知道的日常用品中蕴含了你压根没证明过的知识，你其实每次在用就是在证明一次那个事实。
那么回到一开始的问题，我们怎么知道一个大部分说的事实是“事实”呢？怎么去证明那是事实呢？答案是：大部分情况下你不需要证明，你要做的和古代人一样：认知代价转移。把一件事的对错交给专家，或者是“科学共同体”，听取他们的意见就好了。比如，我的生物博士同学告诉我燕窝鱼翅其实都没啥高营养价值，我自己没做过实验，没测过，其实他也没亲自测过，但是我和他都选择相信。 这没毛病。 因为这是科学家的暂时共识。他们一定对吗？自然不一定。但是，你选择这样做可以在“效率”和“正确性”上做到平衡，作为一个普通人，这是非常明智的选择。如果你非要相信这两个货里面有什么神秘的科学未曾证明的好东西，你耗费大量的金钱在这个上门，最后60而寿终，那么大家也只会说你是蠢货而已。如果科学共同体对某个问题也是各执一词双方比例相同怎么办？那么你也存疑，别太早站队。反正估计也和日常没啥关系。等他们吵完了再说。
但是如果你获得的一个消息来源是一个不那么可靠的媒体，比如微信朋友圈，比如cnn，那么你就看个乐，千万别基于这些消息去做出重大的判断，如果要做，起码先去证实一下。别因为听一个罗辑思维就憋着互联网创业去。看到女儿患病求资助的消息，你也别马上就捐款，起码别大额捐款。等子弹飞一会再说，特别是在这个不断反转的社会。在网络上不要对一个即时新闻过早的做出判断，等它们沉淀一会儿，认清情况再说。特别是你需要清醒地认识到自己对于一件事有没有预设的立场和情绪，一个睿智的人会意识到自身的局限性而保持一定的冷静，而不是被自己的情绪左右。那些看起来为屌丝为底层呐喊的文章其实只是求点击，本质上是在撕裂社会。所以，聪明的做法是不断筛选那些可信的消息来源，什么人在什么事情上是可信的，并且对于他们说的话保持一定的怀疑，在重大决策前或者自己求证或者多方印证。我很喜欢的一个科技达人卓克说得好：知识这个东西需要不断的修正，特别是从别人那里得到的知识。
好了，那么“小部分情况”是什么呢？如果你是学者，你本身就是科学共同体的一份子，那么你对一个未知事务就要抱着苛刻和非常审慎的态度了，对于你的工作领域的问题，你要去看实验是否能够被重复（即使不是本人），你要去非常谨慎而苛刻的去证明一个事情是否正确，是否和原来的体系保持一致。因为你接受一个观点，那么普通人对于这个观点也会倾向于相信，责任可谓不小。 作为同为科学共同体的一员，我们是开拓人类认知边界的民工，我们深感责任重大。不敢懈怠，这也是我讨厌民科的原因，他们太不负责任了。
ps：看了一些评论，我的感觉是：知乎上很多人连阅读能力都失去了，而且这些人还特别跳。
总体来看，题主问了一个不错的哲学问题。
然而，这不是一个科学哲学问题。
科学科学哲学的讨论，通常是以承认“知识的共同体”，或者至少承认“某种先验概率是有意义的”作为前提的。
题主的这个问题属于比这些更基础的认识论问题。
@白书旭 同学的高票答案从他专业的角度解答这个问题，不过并没有针对性的解决题主的疑问。
而有些答案中，把问题归结到听从“科学权威”，这显然是一种反智的回应，“科学权威”可能是朗道、也可能是李森科。
本回答不会去讨论那些古典哲学认识论的概念，因为答主对其中很多概念也不够熟悉。
以下正式回答：
我们不需要去讨论“心外无物”、“笛卡尔妖”、“缸中之脑”，这些逻辑存在明显漏洞的论证。
我们以物理主义为前提，以认知科学的研究为依据，仍然会发现，我们并不能确定我们观察到的“现象”是来自神经系统以外，还是神经系统内源的。
感官错觉是很容易产生，一个“现象”包含了神经系统外源的信号以及神经系统内源因素。
我们甚至不能确认自己的经验是全部是外源的，还是有虚构的成分。
而我们建立的概念，全部是虚构的模态(Modal)，并不是直接来自于感官经验。
“物理主义”的概念本身也分为两类，“基于理论的物理”(作为语言逻辑学观点的物理主义，认为对于一切现象都可以给出相互关联的描述)，与“基于对象的物理”(作为对象本体论观点的物理主义，认为一切现象之间就都是相关的)。从模态虚构主义的角度来看，后者是我们不论如何都无法验证的，其实从科学哲学的角度来看是一种非科学的观点，而前者则可以被视为是一种科研建模的方法论，以判断模型是否有实验验证的可能与实用意义。
科学方法论，作为判断推理演绎知识能否成为经验知识一组方法，模态可证伪性的判定与可重复性的实验，其也是基于一组认识论的信念，即先验概率与知识共同体。
这里为了解决先验概率，先跑题讨论一下另一个问题：
在社会化生物的进化历史过程中，反复的博弈筛选过程下，某些策略在社会化生物种群中会取得优势，合作模式与社交需要所对应的基因型的胜出，合作模式与社交需要就好像神秘主义诠释的一样“内化于”基因之中。
其最终表现为我们这些社会化生物个体，对于主体之间“超越”概念的需求，其在进化的背景下成为了我们的一个需求，而“超主体”是这方面一个最简化的概念。
这些神学概念，可能不是物理主义的理论，但是其在心理需求的角度上，其同样与在理论建模角度上的物理主义一样，是实用主义的。
更进一步，一个符合物理主义的神学概念不一定是没有吸引力的，神学不是以神秘和超自然为基础的，而是以某种超主体的概念为解决社会性生物的心理需求，通过这个概念构建内向性的驱动，帮助面临困境与社交忽视是个体。而最简单的“超主体”类概念，自然一种泛神论式的唯一神论，是以柏拉图式共相论为基础的绝对的理性体概念，或者是一种生命内在论的神学。而这些并不一定要求“超越物理”，只需要超越主体。
之后我们回到先验概率、知识共同体的问题：
先验概率、知识共同体，虽然是认识论的概念，但是仔细分析，其实与上述的“超主体”概念是非常类似的。
这里正好回复一下 @凉风日富美 、@刘镇锐 与 @切力哦 在之前一个问题下关于「按概率行动」的合理性的讨论。
选择相信贝叶斯先验概率，不一定能够仅仅依靠考虑为基于逻辑推理和统计学给出诠释，而且需要考虑一种目的论的需求问题，以给出一个实用主义角度的解释。
这样就可以通过自然选择对选择相信先验概率、知识共同体与否的生物个体的筛选作用，补全 统计学概率 到 按概率行动 之间的空缺。
现在我们来讨论物理模型的问题：
不同的物理模型作为一种模态，针对同一个物理对象，不同的模型完全可以是相容的，并且可以根据不同的实用需求，选择相应的物理模型。
不同模型之间的连续性，也是“基于理论的物理主义”的关键。
“波粒二象性”是一个重要的例子。在处理特定对象的情况下，需要把“量子场论”退化到“量子力学”，把“量子力学”退化到“经典力学”，也是其例子。
具体到题主地球是不是圆的的问题，也的确不是所有情况下，把地球都处理为球体都是最实用的：
对于我们学习走路、机器学习通过摄像头实现自动驾驶等问题，显然把地面处理为一个平面是最实用的，这也是我们不需要基础教育就能习得的模型。
而对于一些地图制图、流形研究、广义相对论、宇宙学问题，把星球表面通过非欧式几何变形为非球面也是更实用的。
但是，不论你是搞航天、气象，还是只是出差倒时差、在家种地。把地球处理为一个球面都是最实用的。
把地球考虑为一个圆盘也是可行的，并且加上一个向上的加速度，也可以很好的解释重力，如果只需要粗略的解释重力，地球是一个圆盘与地球是球体是等价的。
作为通识教育的学校教育，其所教授的内容，是需要达到对大多数人来说最广泛程度的实用的。
对于大多数人来说，地面是一个平面的模型不需要学校教育就能自己建立，所以要教授地球是球体的模型概念。
如果你作一些地图制图、流形、宇宙学的研究，可以说地球是球形对于你不是最实用的。但是在大多数情况下，把地球处理为一个球体的模型目前具有最广泛的实用性。
总结：
在技术进步的历史上，虽然技术进步总有一定程度的怀疑论作为基础，但是实用主义总是更重要的推动因素。
判定一个模型是否实用的最基础方法，是科学方法论，即模态可证伪性的判定与可重复性的实验对模型的验证。
对于具体的物理对象，处理具体的问题，需要进一步选择特定的科学的物理模型。
通识教育所教授的内容需要达到对大多数人来说最广泛程度的实用。
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