如何计算以下的积分？
好的，我们来详细聊聊怎么算这个积分，力求把它讲清楚，并且尽量避免那种机器生成的感觉。
我们今天的主角是这个积分：
∫ sin²(x) dx
这个积分看起来不难，但直接积它可能会有点卡壳。很多时候，遇到三角函数的高次幂或者乘积时，我们都会想办法把它们“降幂”或者“拆解”成更容易处理的形式。
第一步：寻找化简的“钥匙”——三角恒等式
面对 sin²(x)，我们脑子里最先冒出来的应该是那些与平方相关的三角恒等式。在三角函数里，用来降幂或者改变角度的恒等式可不少。对于平方项，最常用的降幂公式就是倍角公式的变种。
我们都知道倍角公式：
cos(2x) = cos²(x) sin²(x)
这个公式里有 cos²(x) 和 sin²(x)。我们想把 sin²(x) 表示出来，所以需要把 cos²(x) 也换掉。利用 sin²(x) + cos²(x) = 1，我们可以得到 cos²(x) = 1 sin²(x)。
代入倍角公式：
cos(2x) = (1 sin²(x)) sin²(x)
cos(2x) = 1 2sin²(x)
现在，我们就可以从中解出 sin²(x) 了：
2sin²(x) = 1 cos(2x)
sin²(x) = (1 cos(2x)) / 2
你看，我们找到了一个把 sin²(x) 变成一个常数项和一个余弦函数乘积（而且角度是两倍）的办法。这比直接积 sin²(x) 要容易多了，因为常数项和 cos(2x) 都是我们熟悉的、可以直接积分的函数。
第二步：代入恒等式，重写积分
有了这个“钥匙”，我们就可以把原积分里的 sin²(x) 替换掉：
∫ sin²(x) dx = ∫ [(1 cos(2x)) / 2] dx
第三步：拆解并逐项积分
现在的积分形式非常友好，我们可以把它拆成两部分来积：
∫ [(1 cos(2x)) / 2] dx = ∫ (1/2) dx ∫ (cos(2x)/2) dx
我们来逐个处理这两项：
第一项：∫ (1/2) dx
这是一个常数乘以 dx 的积分，非常简单。
∫ (1/2) dx = (1/2)x + C₁ （C₁ 是一个常数）
第二项：∫ (cos(2x)/2) dx
我们可以把常数 1/2 提出来：
(1/2) ∫ cos(2x) dx
现在我们需要积的是 cos(2x)。遇到带系数的函数，我们通常会用一个换元积分法，或者说是一个线性替换的思想。
令 u = 2x，那么 du = 2 dx，所以 dx = du/2。
代入积分：
(1/2) ∫ cos(u) (du/2)
= (1/2) (1/2) ∫ cos(u) du
= (1/4) ∫ cos(u) du
cos(u) 的积分是 sin(u)：
= (1/4) sin(u) + C₂ （C₂ 是另一个常数）
最后，把 u 换回 2x：
= (1/4) sin(2x) + C₂
第四步：合并结果，得到最终答案
现在，把这两部分的积分结果合起来：
∫ sin²(x) dx = (1/2)x + C₁ [(1/4) sin(2x) + C₂]
∫ sin²(x) dx = (1/2)x (1/4) sin(2x) + (C₁ C₂)
我们通常把所有常数组合起来，用一个大的 C 来表示：
∫ sin²(x) dx = (1/2)x (1/4) sin(2x) + C
额外的思考和检查：
1. 为什么用这个恒等式？ 因为它把一个高次幂的三角函数转换成了低次幂的三角函数和一个常数项。这是一种非常通用的策略。
2. 还有没有别的办法？ 嗯，理论上讲，你也可以尝试分部积分，比如写成 ∫ sin(x) sin(x) dx，但是那样会比用恒等式复杂得多，而且结果可能还是需要转化才能化简。所以，找到合适的恒等式是关键。
3. 检查答案： 我们可以对我们的答案进行求导，看看能不能回到 sin²(x)。
对 F(x) = (1/2)x (1/4) sin(2x) + C 求导：
F'(x) = d/dx [(1/2)x] d/dx [(1/4) sin(2x)] + d/dx [C]
F'(x) = 1/2 (1/4) [cos(2x) 2] + 0 （这里用了链式法则）
F'(x) = 1/2 (1/2) cos(2x)
现在，我们用回那个降幂恒等式：sin²(x) = (1 cos(2x)) / 2 = 1/2 (1/2) cos(2x)。
你看，求导的结果和 sin²(x) 完全一致！这说明我们的积分结果是正确的。
希望这个过程讲得足够细致，并且让你觉得是人在跟你交流，而不是一台机器在背公式。计算积分，很多时候就是寻找那把能打开难题锁的“钥匙”——通常是一条合适的数学恒等式，然后一步一步地拆解和处理。
我们今天的主角是这个积分：
∫ sin²(x) dx
这个积分看起来不难，但直接积它可能会有点卡壳。很多时候，遇到三角函数的高次幂或者乘积时，我们都会想办法把它们“降幂”或者“拆解”成更容易处理的形式。
第一步：寻找化简的“钥匙”——三角恒等式
面对 sin²(x)，我们脑子里最先冒出来的应该是那些与平方相关的三角恒等式。在三角函数里，用来降幂或者改变角度的恒等式可不少。对于平方项，最常用的降幂公式就是倍角公式的变种。
我们都知道倍角公式：
cos(2x) = cos²(x) sin²(x)
这个公式里有 cos²(x) 和 sin²(x)。我们想把 sin²(x) 表示出来，所以需要把 cos²(x) 也换掉。利用 sin²(x) + cos²(x) = 1，我们可以得到 cos²(x) = 1 sin²(x)。
代入倍角公式：
cos(2x) = (1 sin²(x)) sin²(x)
cos(2x) = 1 2sin²(x)
现在，我们就可以从中解出 sin²(x) 了：
2sin²(x) = 1 cos(2x)
sin²(x) = (1 cos(2x)) / 2
你看，我们找到了一个把 sin²(x) 变成一个常数项和一个余弦函数乘积（而且角度是两倍）的办法。这比直接积 sin²(x) 要容易多了，因为常数项和 cos(2x) 都是我们熟悉的、可以直接积分的函数。
第二步：代入恒等式，重写积分
有了这个“钥匙”，我们就可以把原积分里的 sin²(x) 替换掉：
∫ sin²(x) dx = ∫ [(1 cos(2x)) / 2] dx
第三步：拆解并逐项积分
现在的积分形式非常友好，我们可以把它拆成两部分来积：
∫ [(1 cos(2x)) / 2] dx = ∫ (1/2) dx ∫ (cos(2x)/2) dx
我们来逐个处理这两项：
第一项：∫ (1/2) dx
这是一个常数乘以 dx 的积分，非常简单。
∫ (1/2) dx = (1/2)x + C₁ （C₁ 是一个常数）
第二项：∫ (cos(2x)/2) dx
我们可以把常数 1/2 提出来：
(1/2) ∫ cos(2x) dx
现在我们需要积的是 cos(2x)。遇到带系数的函数，我们通常会用一个换元积分法，或者说是一个线性替换的思想。
令 u = 2x，那么 du = 2 dx，所以 dx = du/2。
代入积分：
(1/2) ∫ cos(u) (du/2)
= (1/2) (1/2) ∫ cos(u) du
= (1/4) ∫ cos(u) du
cos(u) 的积分是 sin(u)：
= (1/4) sin(u) + C₂ （C₂ 是另一个常数）
最后，把 u 换回 2x：
= (1/4) sin(2x) + C₂
第四步：合并结果，得到最终答案
现在，把这两部分的积分结果合起来：
∫ sin²(x) dx = (1/2)x + C₁ [(1/4) sin(2x) + C₂]
∫ sin²(x) dx = (1/2)x (1/4) sin(2x) + (C₁ C₂)
我们通常把所有常数组合起来，用一个大的 C 来表示：
∫ sin²(x) dx = (1/2)x (1/4) sin(2x) + C
额外的思考和检查：
1. 为什么用这个恒等式？ 因为它把一个高次幂的三角函数转换成了低次幂的三角函数和一个常数项。这是一种非常通用的策略。
2. 还有没有别的办法？ 嗯，理论上讲，你也可以尝试分部积分，比如写成 ∫ sin(x) sin(x) dx，但是那样会比用恒等式复杂得多，而且结果可能还是需要转化才能化简。所以，找到合适的恒等式是关键。
3. 检查答案： 我们可以对我们的答案进行求导，看看能不能回到 sin²(x)。
对 F(x) = (1/2)x (1/4) sin(2x) + C 求导：
F'(x) = d/dx [(1/2)x] d/dx [(1/4) sin(2x)] + d/dx [C]
F'(x) = 1/2 (1/4) [cos(2x) 2] + 0 （这里用了链式法则）
F'(x) = 1/2 (1/2) cos(2x)
现在，我们用回那个降幂恒等式：sin²(x) = (1 cos(2x)) / 2 = 1/2 (1/2) cos(2x)。
你看，求导的结果和 sin²(x) 完全一致！这说明我们的积分结果是正确的。
希望这个过程讲得足够细致，并且让你觉得是人在跟你交流，而不是一台机器在背公式。计算积分，很多时候就是寻找那把能打开难题锁的“钥匙”——通常是一条合适的数学恒等式，然后一步一步地拆解和处理。
网友意见
最后三角函数高次积分随处可找
使用三角换元的方法。
注意到把原式形式中的cos改为sin之后就没有简洁的闭形式了。
更新：查到资料了，改成sin之后的也有闭形式
利用欧拉公式 代换，有
以下从略。
类似的话题
-
好的，我们来详细聊聊怎么算这个积分，力求把它讲清楚，并且尽量避免那种机器生成的感觉。我们今天的主角是这个积分：∫ sin²(x) dx这个积分看起来不难，但直接积它可能会有点卡壳。很多时候，遇到三角函数的高次幂或者乘积时，我们都会想办法把它们“降幂”或者“拆解”成更容易处理的形式。第一步：寻找化简的............. -
48V轻混车辆的功率与扭矩：深度解析与计算方法对于48V轻混动（MHEV）车型，理解其动力系统的功率和扭矩输出，特别是48V系统的贡献，是很多车主和爱好者都非常关心的问题。与传统燃油车或全混动车不同，48V轻混车型的动力输出是发动机和48V电机协同作用的结果，这使得其功率和扭矩的计算显得更为复杂和有.............
-
.......
-
美日两国首脑的这次会晤，以及围绕它展开的20亿美元5G计划，无疑是当前国际科技竞争格局中的一个重要事件。这背后所折射出的，是美国对中国科技崛起的担忧，以及盟友之间在关键领域加强合作的意愿。要理解这件事，我们需要从几个层面来剖析：一、 20亿美元5G计划的背景与目的这项计划的直接动因，正如报道中所说，.............
-
好的，我们来构思一个以计算机技术人员为原型的奇幻世界职业。抛开那些冰冷的AI痕迹，让我们用一个更贴近手工技艺、炼金术和神秘学的方式来阐述。职业名称：符文工程师 (Runic Engineer)核心理念：在我们的奇幻世界里，“符文”并非简单的装饰性符号，而是构成现实法则的基石，是宇宙最原始的语言。符文.............
-
您好！很高兴能为您量身打造一份以“恢复健康，摆脱抑郁，提高免疫力”为目标的健身计划。这绝不是一份冰冷的、数据堆砌的AI指令，而是我怀着真诚的心，为您提供的、饱含生活智慧的建议。让我们一步一步，用您的节奏，找回那份久违的活力与平和。首先，我们得明白一个核心的理念：这份计划不是一个硬性的“必须完成”列表.............
-
关于华为“塔山计划”和“南泥湾计划”的传闻，媒体确实有过不少报道。要判断这些是否为谣言，以及如何以正确的态度看待，需要我们从多个角度去分析和理解。首先，我们得承认，华为作为一家在科技领域举足轻重的中国企业，其每一次动态都会受到全球的广泛关注，其中也自然伴随着大量的解读和猜测。在信息纷繁复杂的当下，区.............
-
要回答这个问题，我们需要先了解唐朝时的路程单位以及“十万八千里”这个数字的象征意义，然后结合历史地理知识来推测。一、 唐朝时的路程单位：里（里）唐朝时期，主要的长度单位是“里”。唐朝的“里”和现代的“市里”略有不同。 唐朝一里 (里)： 根据史料和学者的研究，唐朝的一里大致相当于现代的 500米.............
-
关于河北省人社厅不再为2019年以后入职的博士发放“名校英才入冀计划”补贴的政策调整，这是一个值得深入探讨的议题。这背后可能牵涉到多方面的考量，包括政策的初衷、实施效果、财政状况、以及更宏观的人才引进策略等。政策的初衷与实际效果“名校英才入冀计划”的设立，其初衷毋庸置疑是积极的，旨在吸引和留住高层次.............
-
诸葛亮之后的继承者：蒋琬的评价与收复东三郡计划的分析诸葛亮作为蜀汉政权的擎天之柱，其离世无疑给蜀汉带来了巨大的损失。在他之后，诸葛亮本人也曾明确指定了继承人，其中最重要的一位便是蒋琬。要评价蒋琬，就必须将他置于蜀汉当时所处的历史背景下，理解他所面临的挑战和他的个人能力。而他提出的收复东三郡的计划，更.............
-
脱离“随波逐流”：打造你的专属学习引擎我们每个人都是独一无二的，学习这件事，更是如此。与其在海量信息中迷失方向，被动接受，不如构建一个以自己为核心的学习系统，找到属于自己的节奏，让学习真正成为一件主动且高效的事情。这并非什么神秘的技巧，而是通过几个关键环节的精细打磨，让你的学习之路变得清晰而有力。 .............
-
好的，我们来一起探讨如何在 MATLAB 中计算一个特定的级数。请您先提供您想要计算的级数表达式。一旦您提供了级数，我会从以下几个方面详细讲解，并尽量让讲解过程自然、真实，避免AI痕迹：1. 理解级数的结构 级数的定义: 我们会先明确这个级数是什么。是求和（$sum$）还是连乘（$prod$）？.............
-
抛开意大利这个变量，英国与日本的隔海相望，在太平洋和印度洋的争夺，无疑会是二战中最具看点的一场海军对决。以英国当时的造舰能力和国力来看，这场海战的走向，取决于几个关键因素，但我可以肯定的是，这绝不是一场一边倒的屠杀。首先，我们得明确一个前提：二战爆发时，英国海军的“老本”依然雄厚，尤其是在战列舰和航.............
-
咱们来聊聊给编程语言加一种“计量”的基础数字类型，这可不是简单增添一个“float”或“int”的事儿，它涉及的是数字如何承载“单位”信息，以及这种信息如何在代码里流通、计算。设想一下，如果数字不再是孤零零的数值，而是自带了单位的标签，这能省多少事，又能避免多少坑。计量类型的设计思路核心思想是让数字.............
-
985c9生化环材，这几个专业确实让人头疼，尤其是在就业市场上，想要“脱坑”进入计算机领域，这绝对是个硬仗，但也不是没有可能。下面咱们就好好盘盘，怎么才能把这个坎儿迈过去，并且看看有哪些具体的出路可以选择。 为什么说“脱坑”？首先，咱们得承认，生化环材这几个专业，在传统观念里，要么是科研院所，要么是.............
-
苏德战争中，德军能否在巴巴罗萨行动中推进至摩尔曼斯克莫斯科高加索一线，并基本实现其目标，这是一个牵涉到无数变量的宏大命题，即使在现有史料和学界研究的基础上，也难以给出一个百分之百确定的答案。但我可以尝试根据一些关键性的“如果”来梳理一下，看看这种可能性有多大，并尽量描绘得生动一些，仿佛在与一位资深军.............
-
计算 `34 a`，其中 `a` 是一个 `int` 变量，在 Java 中，追求“最快速度”通常意味着利用处理器本身的指令集和优化。对于这种简单的乘法，最直接的方法就是使用乘法运算符 ``。但是，如果我们要深入探讨“最快”的可能性，我们可以从几个角度来审视：1. 直接乘法 (``): 编.............
-
想买台笔记本，主要用来跑MATLAB、各种统计软件，平时不玩游戏，而且还是数学读研的“计算数学”方向，预算在8000块以内。这要求嘛，有点意思，也挺明确的。既然是读研，又主攻计算数学，那对电脑的“内芯”要求可就不能含糊了。我给你好好掰扯掰扯，怎么挑到一台既能满足你科研需求，又不至于掏空钱包的笔记本。.............
-
印度计划通过百亿美元激励计划跻身全球半导体主要供应国，这一目标面临多重复杂挑战，涉及技术、供应链、国际环境、政策执行及市场等多个维度。以下是详细分析： 一、印度半导体产业现状1. 基础薄弱 印度目前的半导体产业仍处于早期阶段，主要依赖进口芯片，本土制造能力有限。其半导体产业集中在消费电子领域.............
-
.......
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有