如何证明 π＞3.14？
要证明 π > 3.14，我们可以采用几种不同的数学方法。这里我们选择一种基于几何和微积分的思路，力求严谨且易于理解。
核心思想：极限与逼近
π 是圆周长与其直径的比值。我们知道，π 是一个无理数，这意味着它无法表示为两个整数的比，它的十进制展开是无限不循环的。要证明 π > 3.14，实际上就是要证明 π 的值比 3.14 这个精确的数值要大。
我们可以通过计算一些能够无限逼近圆周长的多边形的周长来获得 π 的近似值。当多边形的边数越来越多时，它的周长就越接近圆的周长。
方法一：基于正多边形的内接与外切（经典思路，但更细致地解释）
这是阿基米德最早使用的思想。我们可以考虑一个半径为 1 的圆（这样直径就是 2，圆周长就是 2π）。
1. 内接正多边形：
我们想象一个在圆内接的正多边形。随着边数的增加，这个多边形的周长会越来越接近圆的周长。一个内接正多边形的周长总是小于圆的周长，所以它能给我们 π 的一个下界。
考虑正六边形： 内接正六边形，其边长恰好等于圆的半径。如果半径是 1，边长就是 1。它的周长是 6 1 = 6。由于这是圆的内接多边形，它的周长小于圆的周长。所以 2π > 6，即 π > 3。这已经证明了 π 大于 3，但离 3.14 还有差距。
考虑正十二边形、正二十四边形…… 阿基米德通过不断将多边形的边数加倍（从 6 边形到 12 边形，再到 24 边形，依此类推），计算出越来越精确的下界。每一步的计算都涉及到三角函数（主要是正弦）和几何关系。
更具体地，如何计算内接正 n 边形的边长？
假设圆的半径为 R。将圆心与内接正 n 边形的两个相邻顶点连接，会形成一个等腰三角形。这个三角形的顶角是 360°/n。我们可以在这个等腰三角形中作高，将其分成两个全等的直角三角形。
对于一个直角三角形，斜边是半径 R，一个锐角是 (360°/n)/2 = 180°/n。我们要找的是这个直角三角形的对边（即正 n 边形边长的一半）。
根据正弦定义，对边 = 斜边 sin(锐角)。
所以，边长的一半是 R sin(180°/n)。
正 n 边形的周长是 n (2 R sin(180°/n)) = 2nR sin(180°/n)。
如果我们取 R=1，周长就是 2n sin(180°/n)。
当 n 趋向于无穷大时，2n sin(180°/n) 会趋近于 2π。
我们知道一个重要的极限：当 x 趋向于 0 时，sin(x)/x 趋向于 1。
令 θ = 180°/n（角度制）或者 θ = π/n（弧度制）。当 n 趋向于无穷大时，θ 趋向于 0。
如果我们使用弧度制，180° 就是 π 弧度。所以我们考虑 sin(π/n)。
周长是 2n sin(π/n)。我们可以将其改写为 2π (sin(π/n) / (π/n))。
当 n 趋向于无穷大时，π/n 趋向于 0，所以 sin(π/n) / (π/n) 趋向于 1。
因此，内接正 n 边形的周长趋向于 2π 1 = 2π。
关键在于实际计算： 要证明 π > 3.14，我们需要计算一个特定边数的内接多边形的周长，确保它的值大于 2 3.14 = 6.28。
阿基米德计算了内接和外切的正九十六边形，得到了 3.1408 < π < 3.1428 的近似范围。
要手动计算到正九十六边形会非常繁琐。但我们可以展示一个更小的边数，比如正十二边形或正二十四边形，来展示原理。
计算内接正十二边形（R=1）：
边长 = 2 1 sin(180°/12) = 2 sin(15°)。
sin(15°) = sin(45° 30°) = sin(45°)cos(30°) cos(45°)sin(30°)
= (√2/2)(√3/2) (√2/2)(1/2)
= (√6 √2) / 4
周长 = 12 (2 sin(15°)) = 24 [(√6 √2) / 4] = 6(√6 √2)。
我们知道 √6 ≈ 2.449, √2 ≈ 1.414。
周长 ≈ 6 (2.449 1.414) = 6 1.035 = 6.21。
所以 2π > 6.21，π > 3.105。这个结果还是不够精确。
2. 外切正多边形：
我们也可以考虑一个包围着圆的外切正多边形。这个多边形的周长总是大于圆的周长，因此可以给出 π 的一个上界。
考虑外切正六边形： 如果圆的半径是 1，那么外切正六边形的每条边与圆相切，且边长可以通过几何关系计算。其周长会大于 6。
更具体地，如何计算外切正 n 边形的边长？
在外切正 n 边形中，圆心与外切点和相邻的两个顶点连接，会形成一个等腰三角形。圆心到边的距离是半径 R。这条半径垂直于边，并且将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
在直角三角形中，一条直角边是半径 R，它对着顶角是 180°/n。我们要找的是另一条直角边，即外切正 n 边形边长的一半。
根据正切定义，对边 = 邻边 tan(锐角)。
所以，边长的一半是 R tan(180°/n)。
外切正 n 边形的周长是 n (2 R tan(180°/n)) = 2nR tan(180°/n)。
当 n 趋向于无穷大时，2n tan(180°/n) 也会趋近于 2π。
使用弧度制，周长是 2n tan(π/n)。我们可以将其改写为 2π (tan(π/n) / (π/n))。
当 n 趋向于无穷大时，π/n 趋向于 0，我们知道 tan(x)/x 当 x 趋向于 0 时也趋向于 1。
因此，外切正 n 边形的周长也趋向于 2π。
关键在于实际计算： 我们同样需要计算一个特定边数的外切多边形的周长，确保它的值小于 2 3.14 = 6.28。
计算外切正十二边形（R=1）：
边长 = 2 1 tan(180°/12) = 2 tan(15°)。
tan(15°) = tan(45° 30°) = (tan(45°) tan(30°)) / (1 + tan(45°)tan(30°))
= (1 1/√3) / (1 + 1 1/√3)
= (√3 1) / (√3 + 1)
= [(√3 1)²] / [(√3 + 1)(√3 1)]
= (3 2√3 + 1) / (3 1)
= (4 2√3) / 2
= 2 √3
周长 = 12 (2 tan(15°)) = 24 (2 √3)。
我们知道 √3 ≈ 1.732。
周长 ≈ 24 (2 1.732) = 24 0.268 = 6.432。
所以 2π < 6.432，π < 3.216。这个上界仍然不够精确。
方法二：基于无穷级数（莱布尼茨级数）
这是另一种更直接且易于理解（至少在概念上）的方法。
我们知道 π 可以通过一些无穷级数来计算。其中一个著名的例子是莱布尼茨级数（也称为 π/4 级数）：
π/4 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + ...
这个级数可以表示为：
π/4 = Σ [(1)ⁿ / (2n + 1)] 从 n=0 到 ∞
即：
π/4 = 1/1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13 1/15 + ...
这是一个交错级数。交错级数的性质是，如果级数的项的绝对值是递减的并且趋向于零，那么级数是收敛的，并且其和介于任意两个相邻的部分和之间。
让我们计算一些前几项的和来近似 π/4：
前 1 项: S₁ = 1。 π/4 ≈ 1。 π ≈ 4。 (太粗糙了)
前 2 项: S₂ = 1 1/3 = 2/3 ≈ 0.667。 π/4 ≈ 0.667。 π ≈ 2.67。
前 3 项: S₃ = 1 1/3 + 1/5 = 2/3 + 1/5 = 10/15 + 3/15 = 13/15 ≈ 0.867。 π/4 ≈ 0.867。 π ≈ 3.47。
前 4 项: S₄ = 13/15 1/7 = (91 15) / 105 = 76/105 ≈ 0.724。 π/4 ≈ 0.724。 π ≈ 2.896。
前 5 项: S₅ = 76/105 + 1/9 = (763 + 35) / 315 = (228 + 35) / 315 = 263/315 ≈ 0.835。 π/4 ≈ 0.835。 π ≈ 3.34。
前 6 项: S₆ = 263/315 1/11 = (2893 315) / 3465 = 2578/3465 ≈ 0.744。 π/4 ≈ 0.744。 π ≈ 2.976。
前 7 项: S₇ = 2578/3465 + 1/13 = (33514 + 3465) / 45045 = 36979/45045 ≈ 0.821。 π/4 ≈ 0.821。 π ≈ 3.284。
前 8 项: S₈ = 36979/45045 1/15 = ... (计算越来越复杂)
这种方法直接给出了 π 的值，但需要计算很多项才能达到 3.14 的精度。
重点来了，如何用这个级数证明 π > 3.14？
莱布尼茨级数有一个性质：对于任何偶数 n > 0，它的和 S_n 总是小于 π/4。对于任何奇数 n，它的和 S_n 总是大于 π/4。
也就是说，π/4 的真实值介于相邻的两个部分和之间。
π/4 = S_odd (项_{n+1} + 项_{n+2} + ...) = S_even + (项_{n+1} 项_{n+2} + ...)
考虑 S_9：
S_9 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13 1/15 + 1/17
S_9 = S_8 + 1/17 ≈ 0.744 + 1/17 ≈ 0.744 + 0.0588 = 0.8028。 π ≈ 3.21。 (仍然不够)
为了得到 π > 3.14，我们需要找到一个部分和 S_k 使得 S_k 4 > 3.14。
最直观的证明思路——考虑特定角度的计算
一个非常直观的证明是基于三角函数的值。我们可以使用反正切函数的泰勒展开：
arctan(x) = x x³/3 + x⁵/5 x⁷/7 + ... （当 |x| ≤ 1 时收敛）
我们知道 arctan(1) = π/4。
所以，π/4 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13 1/15 + 1/17 1/19 + 1/21 1/23 + ...
这个就是莱布尼茨级数本身。要用它来证明 π > 3.14，我们需要计算更多的项，直到某一个部分和乘以 4 大于 3.14。
让我们尝试计算到 1/13:
π/4 > 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13
= (1 1/3) + (1/5 1/7) + (1/9 1/11) + (1/13)
= 2/3 + 2/35 + 2/99 + 1/13
≈ 0.6667 + 0.0571 + 0.0202 + 0.0769
= 0.8209 (这是 S_7)
π/4 > S_7 = 36979/45045 ≈ 0.8209
π > 4 0.8209 = 3.2836
等等，这个方法似乎证明了 π > 3.28，那 π > 3.14 就很自然了。
但是，我们还需要证明计算的每一项的累加是正确的，并且可以精确到 3.14。
让我们回到一个更容易手动验证的级数，它收敛更快。
Machin 公式是一个经典例子：
π/4 = 4 arctan(1/5) arctan(1/239)
其中 arctan(x) 的泰勒展开是 x x³/3 + x⁵/5 ...
计算 arctan(1/5):
arctan(1/5) = (1/5) (1/5)³/3 + (1/5)⁵/5 ...
= 1/5 1/(3 125) + 1/(5 3125) ...
= 1/5 1/375 + 1/15625 ...
≈ 0.2 0.0026667 + 0.000064 ...
≈ 0.197397
4 arctan(1/5) ≈ 4 0.197397 ≈ 0.789588
计算 arctan(1/239):
arctan(1/239) = (1/239) (1/239)³/3 + ...
= 1/239 1/(3 239³) + ...
≈ 1/239 ≈ 0.004184
π/4 ≈ 0.789588 0.004184 ≈ 0.785404
π ≈ 4 0.785404 ≈ 3.141616
证明 π > 3.14 的具体步骤（使用莱布尼茨级数并且更详细地说明收敛性质）：
我们已经知道 π/4 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13 1/15 + 1/17 1/19 + 1/21 1/23 + 1/25 1/27 + 1/29 1/31 + 1/33 1/35 + 1/37 1/39 + 1/41 1/43 + 1/45 1/47 + 1/49 1/51 + 1/53 1/55 + 1/57 1/59 + 1/61 1/63 + 1/65 1/67 + 1/69 1/71 + 1/73 1/75 + 1/77 1/79 + 1/81 1/83 + 1/85 1/87 + 1/89 1/91 + 1/93 1/95 + 1/97 1/99 + 1/101 1/103 + 1/105 1/107 + 1/109 1/111 + 1/113 1/115 + 1/117 1/119 + 1/121 1/123 + 1/125 1/127 + 1/129 1/131 + 1/133 1/135 + 1/137 1/139 + 1/141 1/143 + 1/145 1/147 + 1/149 1/151 + 1/153 1/155 + 1/157 1/159 + 1/161 1/163 + 1/165 1/167 + 1/169 1/171 + 1/173 1/175 + 1/177 1/179 + 1/181 1/183 + 1/185 1/187 + 1/189 1/191 + 1/193 1/195 + 1/197 1/199 + 1/201 1/203 + 1/205 1/207 + 1/209 1/211 + 1/213 1/215 + 1/217 1/219 + 1/221 1/223 + 1/225 1/227 + 1/229 1/231 + 1/233 1/235 + 1/237 1/239 + 1/241
我们知道这个级数是一个交错级数，并且项的绝对值是递减的（1 > 1/3 > 1/5 > ... > 0）。
这意味着：
π/4 > S_k （对于任何奇数 k）
π/4 < S_k （对于任何偶数 k）
我们需要找到一个部分和 S_k （其中 k 是偶数，因为我们希望 π/4 < S_k 来得到一个下界）
使得 S_k 4 > 3.14。
S_k = 1 1/3 + 1/5 ... 1/(2k1) (这里我们写的是 S_k 的形式，但实际计算时要小心项数和符号)
我们换一种思路：找到一个部分和 S_k 使得 S_k > 3.14 / 4 = 0.785。
让我们计算到 1/13，即 S_7 (7个项，最后一项是 1/13):
S_7 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13
S_7 = (1 1/3) + (1/5 1/7) + (1/9 1/11) + 1/13
S_7 = 2/3 + 2/35 + 2/99 + 1/13
通分计算这个会非常麻烦。
更简单直观的方法：使用几何图形的面积
虽然前面提到了几何逼近，但我们可以更具体地计算。
考虑一个单位圆（半径 R=1）。它的面积是 πR² = π。
我们可以用内接正多边形和外切正多边形的面积来逼近圆的面积。
内接正多边形面积： 一个内接正 n 边形可以分成 n 个全等的等腰三角形，每个三角形的顶点在圆心。
每个三角形的面积是 (1/2) r² sin(θ)，其中 r 是半径（这里 r=1），θ 是圆心角 360°/n。
内接正 n 边形的面积 A_in = n (1/2) 1² sin(360°/n) = (n/2) sin(360°/n)。
当 n 趋向无穷大时，A_in 趋向于 π。
外切正多边形面积： 一个外切正 n 边形也可以分成 n 个全等的等腰三角形。圆心到边的距离是半径 R=1。
每个小三角形的面积是 (1/2) 底 高。高是半径 R=1。底是外切正 n 边形的边长的一半。
我们之前算过，边长的一半是 R tan(180°/n) = tan(180°/n)。
外切正 n 边形的面积 A_out = n (1/2) base height = n (1/2) (2 tan(180°/n)) 1 = n tan(180°/n)。
当 n 趋向无穷大时，A_out 趋向于 π。
为了证明 π > 3.14，我们可以计算一个特定边数（比如 n=6 或 n=12）的外切多边形的面积，如果它的面积大于 3.14，那么 π > 3.14 就成立了。
使用外切正六边形：
n=6。 圆的半径 R=1。
外切正六边形的边长是 2 R tan(180°/6) = 2 1 tan(30°) = 2 (1/√3) = 2/√3。
外切正六边形的面积是 6 (1/2) 边长 半径（这里半径是高）= 6 (1/2) (2/√3) 1 = 6/√3 = 2√3。
我们知道 √3 ≈ 1.732。
面积 ≈ 2 1.732 = 3.464。
因为外切正六边形的面积 (3.464) 大于圆的面积 π，所以 π < 3.464。 这给了一个上界，但不是我们要证的。
我们需要一个内接多边形的周长大于 6.28 (即 23.14) 或者外切多边形的周长小于 6.28。
使用内接正十二边形的周长：
我们之前计算过，内接正十二边形的周长是 6(√6 √2)。
π > 6(√6 √2) / 2 = 3(√6 √2)
√6 ≈ 2.44949
√2 ≈ 1.41421
π > 3 (2.44949 1.41421) = 3 1.03528 = 3.10584
这个结果 π > 3.10584 仍然不够！
重新聚焦到证明 π > 3.14 的核心。我们需要一个更精确的下界。
考虑一个角度为 θ 的弧长。
单位圆上，一个角度为 θ（弧度）的弧长是 r θ = 1 θ = θ。
圆周长是 2π。
如果我们能找到一个特定的几何形状，它的周长（或某个部分）可以通过精确的计算，并且已知它小于 2π，同时它的计算结果大于 6.28，那么 π > 3.14 就得到了证明。
让我们用一种更易理解的证明方式，侧重于“逼近”
我们知道 π 是一个固定的数值。我们可以通过不断计算越来越精细的近似值来逼近它。
考虑一个单位圆。它的周长是 2π。
我们可以用一个在圆内的正方形来逼近。
内接正方形的对角线等于直径 2R = 2。设边长为 a。
根据勾股定理，a² + a² = 2² => 2a² = 4 => a² = 2 => a = √2。
内接正方形的周长是 4a = 4√2 ≈ 4 1.414 = 5.656。
所以 2π > 5.656，π > 2.828。 （还不够）
我们知道，当多边形的边数增加时，它的周长会越来越接近圆的周长。
最清晰的路径可能是使用“级数”或“特定角度的正弦/余弦值”来构建一个严谨的下界。
证明 π > 3.14 的一个常见思路：使用 arctan(1/5) 级数
如前所述，π/4 = 4 arctan(1/5) arctan(1/239)。
arctan(x) = x x³/3 + x⁵/5 x⁷/7 + ...
让我们计算 4 arctan(1/5) 的一个部分和：
4 arctan(1/5) > 4 [ (1/5) (1/5)³/3 + (1/5)⁵/5 (1/5)⁷/7 ]
= 4 [ 1/5 1/(3125) + 1/(53125) 1/(778125) ]
= 4 [ 1/5 1/375 + 1/15625 1/546875 ]
1/5 = 0.2
1/375 ≈ 0.00266667
1/15625 = 0.000064
1/546875 ≈ 0.00000183
4 arctan(1/5) > 4 [ 0.2 0.00266667 + 0.000064 0.00000183 ]
= 4 [ 0.19739733 0.00000183 ]
= 4 0.1973955
= 0.789582
所以，我们有：
π/4 = 4 arctan(1/5) arctan(1/239)
π/4 > 0.789582 arctan(1/239)
arctan(1/239) 的泰勒级数是 1/239 (1/239)³/3 + ...
所以 arctan(1/239) > 1/239 ≈ 0.004184
因此：
π/4 > 0.789582 (1/239 (1/239)³/3 + ...)
π/4 > 0.789582 1/239 (我们用一个更大的值减去一个更小的值，以确保是下界)
π/4 > 0.789582 0.004184
π/4 > 0.785398
所以，π > 4 0.785398 = 3.141592
结论：
通过使用 Machin 公式 π/4 = 4 arctan(1/5) arctan(1/239)，并且利用 arctan(x) 的泰勒级数展开：
arctan(x) = x x³/3 + x⁵/5 x⁷/7 + ...
我们可以证明：
1. 4 arctan(1/5) 的一个下界：
4 arctan(1/5) > 4 (1/5 1/375 + 1/15625 1/546875)
= 4 (0.2 0.00266667 + 0.000064 0.00000183)
= 4 0.1973955 = 0.789582
2. arctan(1/239) 的一个上界：
arctan(1/239) < 1/239 ≈ 0.004184
3. π/4 的一个下界：
π/4 = 4 arctan(1/5) arctan(1/239)
π/4 > 0.789582 0.004184 = 0.785398
4. π 的一个下界：
π > 4 0.785398 = 3.141592
因此，我们得到了 π > 3.141592，这自然就证明了 π > 3.14。
这个方法虽然需要计算级数的部分和，但相对来说，通过 Machin 公式能够更快地得到高精度的近似值，从而更有效地证明 π > 3.14。关键在于理解级数的收敛性和交错级数的性质，从而能够构建出严格的下界。
核心思想：极限与逼近
π 是圆周长与其直径的比值。我们知道，π 是一个无理数，这意味着它无法表示为两个整数的比，它的十进制展开是无限不循环的。要证明 π > 3.14，实际上就是要证明 π 的值比 3.14 这个精确的数值要大。
我们可以通过计算一些能够无限逼近圆周长的多边形的周长来获得 π 的近似值。当多边形的边数越来越多时，它的周长就越接近圆的周长。
方法一：基于正多边形的内接与外切（经典思路，但更细致地解释）
这是阿基米德最早使用的思想。我们可以考虑一个半径为 1 的圆（这样直径就是 2，圆周长就是 2π）。
1. 内接正多边形：
我们想象一个在圆内接的正多边形。随着边数的增加，这个多边形的周长会越来越接近圆的周长。一个内接正多边形的周长总是小于圆的周长，所以它能给我们 π 的一个下界。
考虑正六边形： 内接正六边形，其边长恰好等于圆的半径。如果半径是 1，边长就是 1。它的周长是 6 1 = 6。由于这是圆的内接多边形，它的周长小于圆的周长。所以 2π > 6，即 π > 3。这已经证明了 π 大于 3，但离 3.14 还有差距。
考虑正十二边形、正二十四边形…… 阿基米德通过不断将多边形的边数加倍（从 6 边形到 12 边形，再到 24 边形，依此类推），计算出越来越精确的下界。每一步的计算都涉及到三角函数（主要是正弦）和几何关系。
更具体地，如何计算内接正 n 边形的边长？
假设圆的半径为 R。将圆心与内接正 n 边形的两个相邻顶点连接，会形成一个等腰三角形。这个三角形的顶角是 360°/n。我们可以在这个等腰三角形中作高，将其分成两个全等的直角三角形。
对于一个直角三角形，斜边是半径 R，一个锐角是 (360°/n)/2 = 180°/n。我们要找的是这个直角三角形的对边（即正 n 边形边长的一半）。
根据正弦定义，对边 = 斜边 sin(锐角)。
所以，边长的一半是 R sin(180°/n)。
正 n 边形的周长是 n (2 R sin(180°/n)) = 2nR sin(180°/n)。
如果我们取 R=1，周长就是 2n sin(180°/n)。
当 n 趋向于无穷大时，2n sin(180°/n) 会趋近于 2π。
我们知道一个重要的极限：当 x 趋向于 0 时，sin(x)/x 趋向于 1。
令 θ = 180°/n（角度制）或者 θ = π/n（弧度制）。当 n 趋向于无穷大时，θ 趋向于 0。
如果我们使用弧度制，180° 就是 π 弧度。所以我们考虑 sin(π/n)。
周长是 2n sin(π/n)。我们可以将其改写为 2π (sin(π/n) / (π/n))。
当 n 趋向于无穷大时，π/n 趋向于 0，所以 sin(π/n) / (π/n) 趋向于 1。
因此，内接正 n 边形的周长趋向于 2π 1 = 2π。
关键在于实际计算： 要证明 π > 3.14，我们需要计算一个特定边数的内接多边形的周长，确保它的值大于 2 3.14 = 6.28。
阿基米德计算了内接和外切的正九十六边形，得到了 3.1408 < π < 3.1428 的近似范围。
要手动计算到正九十六边形会非常繁琐。但我们可以展示一个更小的边数，比如正十二边形或正二十四边形，来展示原理。
计算内接正十二边形（R=1）：
边长 = 2 1 sin(180°/12) = 2 sin(15°)。
sin(15°) = sin(45° 30°) = sin(45°)cos(30°) cos(45°)sin(30°)
= (√2/2)(√3/2) (√2/2)(1/2)
= (√6 √2) / 4
周长 = 12 (2 sin(15°)) = 24 [(√6 √2) / 4] = 6(√6 √2)。
我们知道 √6 ≈ 2.449, √2 ≈ 1.414。
周长 ≈ 6 (2.449 1.414) = 6 1.035 = 6.21。
所以 2π > 6.21，π > 3.105。这个结果还是不够精确。
2. 外切正多边形：
我们也可以考虑一个包围着圆的外切正多边形。这个多边形的周长总是大于圆的周长，因此可以给出 π 的一个上界。
考虑外切正六边形： 如果圆的半径是 1，那么外切正六边形的每条边与圆相切，且边长可以通过几何关系计算。其周长会大于 6。
更具体地，如何计算外切正 n 边形的边长？
在外切正 n 边形中，圆心与外切点和相邻的两个顶点连接，会形成一个等腰三角形。圆心到边的距离是半径 R。这条半径垂直于边，并且将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
在直角三角形中，一条直角边是半径 R，它对着顶角是 180°/n。我们要找的是另一条直角边，即外切正 n 边形边长的一半。
根据正切定义，对边 = 邻边 tan(锐角)。
所以，边长的一半是 R tan(180°/n)。
外切正 n 边形的周长是 n (2 R tan(180°/n)) = 2nR tan(180°/n)。
当 n 趋向于无穷大时，2n tan(180°/n) 也会趋近于 2π。
使用弧度制，周长是 2n tan(π/n)。我们可以将其改写为 2π (tan(π/n) / (π/n))。
当 n 趋向于无穷大时，π/n 趋向于 0，我们知道 tan(x)/x 当 x 趋向于 0 时也趋向于 1。
因此，外切正 n 边形的周长也趋向于 2π。
关键在于实际计算： 我们同样需要计算一个特定边数的外切多边形的周长，确保它的值小于 2 3.14 = 6.28。
计算外切正十二边形（R=1）：
边长 = 2 1 tan(180°/12) = 2 tan(15°)。
tan(15°) = tan(45° 30°) = (tan(45°) tan(30°)) / (1 + tan(45°)tan(30°))
= (1 1/√3) / (1 + 1 1/√3)
= (√3 1) / (√3 + 1)
= [(√3 1)²] / [(√3 + 1)(√3 1)]
= (3 2√3 + 1) / (3 1)
= (4 2√3) / 2
= 2 √3
周长 = 12 (2 tan(15°)) = 24 (2 √3)。
我们知道 √3 ≈ 1.732。
周长 ≈ 24 (2 1.732) = 24 0.268 = 6.432。
所以 2π < 6.432，π < 3.216。这个上界仍然不够精确。
方法二：基于无穷级数（莱布尼茨级数）
这是另一种更直接且易于理解（至少在概念上）的方法。
我们知道 π 可以通过一些无穷级数来计算。其中一个著名的例子是莱布尼茨级数（也称为 π/4 级数）：
π/4 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + ...
这个级数可以表示为：
π/4 = Σ [(1)ⁿ / (2n + 1)] 从 n=0 到 ∞
即：
π/4 = 1/1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13 1/15 + ...
这是一个交错级数。交错级数的性质是，如果级数的项的绝对值是递减的并且趋向于零，那么级数是收敛的，并且其和介于任意两个相邻的部分和之间。
让我们计算一些前几项的和来近似 π/4：
前 1 项: S₁ = 1。 π/4 ≈ 1。 π ≈ 4。 (太粗糙了)
前 2 项: S₂ = 1 1/3 = 2/3 ≈ 0.667。 π/4 ≈ 0.667。 π ≈ 2.67。
前 3 项: S₃ = 1 1/3 + 1/5 = 2/3 + 1/5 = 10/15 + 3/15 = 13/15 ≈ 0.867。 π/4 ≈ 0.867。 π ≈ 3.47。
前 4 项: S₄ = 13/15 1/7 = (91 15) / 105 = 76/105 ≈ 0.724。 π/4 ≈ 0.724。 π ≈ 2.896。
前 5 项: S₅ = 76/105 + 1/9 = (763 + 35) / 315 = (228 + 35) / 315 = 263/315 ≈ 0.835。 π/4 ≈ 0.835。 π ≈ 3.34。
前 6 项: S₆ = 263/315 1/11 = (2893 315) / 3465 = 2578/3465 ≈ 0.744。 π/4 ≈ 0.744。 π ≈ 2.976。
前 7 项: S₇ = 2578/3465 + 1/13 = (33514 + 3465) / 45045 = 36979/45045 ≈ 0.821。 π/4 ≈ 0.821。 π ≈ 3.284。
前 8 项: S₈ = 36979/45045 1/15 = ... (计算越来越复杂)
这种方法直接给出了 π 的值，但需要计算很多项才能达到 3.14 的精度。
重点来了，如何用这个级数证明 π > 3.14？
莱布尼茨级数有一个性质：对于任何偶数 n > 0，它的和 S_n 总是小于 π/4。对于任何奇数 n，它的和 S_n 总是大于 π/4。
也就是说，π/4 的真实值介于相邻的两个部分和之间。
π/4 = S_odd (项_{n+1} + 项_{n+2} + ...) = S_even + (项_{n+1} 项_{n+2} + ...)
考虑 S_9：
S_9 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13 1/15 + 1/17
S_9 = S_8 + 1/17 ≈ 0.744 + 1/17 ≈ 0.744 + 0.0588 = 0.8028。 π ≈ 3.21。 (仍然不够)
为了得到 π > 3.14，我们需要找到一个部分和 S_k 使得 S_k 4 > 3.14。
最直观的证明思路——考虑特定角度的计算
一个非常直观的证明是基于三角函数的值。我们可以使用反正切函数的泰勒展开：
arctan(x) = x x³/3 + x⁵/5 x⁷/7 + ... （当 |x| ≤ 1 时收敛）
我们知道 arctan(1) = π/4。
所以，π/4 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13 1/15 + 1/17 1/19 + 1/21 1/23 + ...
这个就是莱布尼茨级数本身。要用它来证明 π > 3.14，我们需要计算更多的项，直到某一个部分和乘以 4 大于 3.14。
让我们尝试计算到 1/13:
π/4 > 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13
= (1 1/3) + (1/5 1/7) + (1/9 1/11) + (1/13)
= 2/3 + 2/35 + 2/99 + 1/13
≈ 0.6667 + 0.0571 + 0.0202 + 0.0769
= 0.8209 (这是 S_7)
π/4 > S_7 = 36979/45045 ≈ 0.8209
π > 4 0.8209 = 3.2836
等等，这个方法似乎证明了 π > 3.28，那 π > 3.14 就很自然了。
但是，我们还需要证明计算的每一项的累加是正确的，并且可以精确到 3.14。
让我们回到一个更容易手动验证的级数，它收敛更快。
Machin 公式是一个经典例子：
π/4 = 4 arctan(1/5) arctan(1/239)
其中 arctan(x) 的泰勒展开是 x x³/3 + x⁵/5 ...
计算 arctan(1/5):
arctan(1/5) = (1/5) (1/5)³/3 + (1/5)⁵/5 ...
= 1/5 1/(3 125) + 1/(5 3125) ...
= 1/5 1/375 + 1/15625 ...
≈ 0.2 0.0026667 + 0.000064 ...
≈ 0.197397
4 arctan(1/5) ≈ 4 0.197397 ≈ 0.789588
计算 arctan(1/239):
arctan(1/239) = (1/239) (1/239)³/3 + ...
= 1/239 1/(3 239³) + ...
≈ 1/239 ≈ 0.004184
π/4 ≈ 0.789588 0.004184 ≈ 0.785404
π ≈ 4 0.785404 ≈ 3.141616
证明 π > 3.14 的具体步骤（使用莱布尼茨级数并且更详细地说明收敛性质）：
我们已经知道 π/4 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13 1/15 + 1/17 1/19 + 1/21 1/23 + 1/25 1/27 + 1/29 1/31 + 1/33 1/35 + 1/37 1/39 + 1/41 1/43 + 1/45 1/47 + 1/49 1/51 + 1/53 1/55 + 1/57 1/59 + 1/61 1/63 + 1/65 1/67 + 1/69 1/71 + 1/73 1/75 + 1/77 1/79 + 1/81 1/83 + 1/85 1/87 + 1/89 1/91 + 1/93 1/95 + 1/97 1/99 + 1/101 1/103 + 1/105 1/107 + 1/109 1/111 + 1/113 1/115 + 1/117 1/119 + 1/121 1/123 + 1/125 1/127 + 1/129 1/131 + 1/133 1/135 + 1/137 1/139 + 1/141 1/143 + 1/145 1/147 + 1/149 1/151 + 1/153 1/155 + 1/157 1/159 + 1/161 1/163 + 1/165 1/167 + 1/169 1/171 + 1/173 1/175 + 1/177 1/179 + 1/181 1/183 + 1/185 1/187 + 1/189 1/191 + 1/193 1/195 + 1/197 1/199 + 1/201 1/203 + 1/205 1/207 + 1/209 1/211 + 1/213 1/215 + 1/217 1/219 + 1/221 1/223 + 1/225 1/227 + 1/229 1/231 + 1/233 1/235 + 1/237 1/239 + 1/241
我们知道这个级数是一个交错级数，并且项的绝对值是递减的（1 > 1/3 > 1/5 > ... > 0）。
这意味着：
π/4 > S_k （对于任何奇数 k）
π/4 < S_k （对于任何偶数 k）
我们需要找到一个部分和 S_k （其中 k 是偶数，因为我们希望 π/4 < S_k 来得到一个下界）
使得 S_k 4 > 3.14。
S_k = 1 1/3 + 1/5 ... 1/(2k1) (这里我们写的是 S_k 的形式，但实际计算时要小心项数和符号)
我们换一种思路：找到一个部分和 S_k 使得 S_k > 3.14 / 4 = 0.785。
让我们计算到 1/13，即 S_7 (7个项，最后一项是 1/13):
S_7 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13
S_7 = (1 1/3) + (1/5 1/7) + (1/9 1/11) + 1/13
S_7 = 2/3 + 2/35 + 2/99 + 1/13
通分计算这个会非常麻烦。
更简单直观的方法：使用几何图形的面积
虽然前面提到了几何逼近，但我们可以更具体地计算。
考虑一个单位圆（半径 R=1）。它的面积是 πR² = π。
我们可以用内接正多边形和外切正多边形的面积来逼近圆的面积。
内接正多边形面积： 一个内接正 n 边形可以分成 n 个全等的等腰三角形，每个三角形的顶点在圆心。
每个三角形的面积是 (1/2) r² sin(θ)，其中 r 是半径（这里 r=1），θ 是圆心角 360°/n。
内接正 n 边形的面积 A_in = n (1/2) 1² sin(360°/n) = (n/2) sin(360°/n)。
当 n 趋向无穷大时，A_in 趋向于 π。
外切正多边形面积： 一个外切正 n 边形也可以分成 n 个全等的等腰三角形。圆心到边的距离是半径 R=1。
每个小三角形的面积是 (1/2) 底 高。高是半径 R=1。底是外切正 n 边形的边长的一半。
我们之前算过，边长的一半是 R tan(180°/n) = tan(180°/n)。
外切正 n 边形的面积 A_out = n (1/2) base height = n (1/2) (2 tan(180°/n)) 1 = n tan(180°/n)。
当 n 趋向无穷大时，A_out 趋向于 π。
为了证明 π > 3.14，我们可以计算一个特定边数（比如 n=6 或 n=12）的外切多边形的面积，如果它的面积大于 3.14，那么 π > 3.14 就成立了。
使用外切正六边形：
n=6。 圆的半径 R=1。
外切正六边形的边长是 2 R tan(180°/6) = 2 1 tan(30°) = 2 (1/√3) = 2/√3。
外切正六边形的面积是 6 (1/2) 边长 半径（这里半径是高）= 6 (1/2) (2/√3) 1 = 6/√3 = 2√3。
我们知道 √3 ≈ 1.732。
面积 ≈ 2 1.732 = 3.464。
因为外切正六边形的面积 (3.464) 大于圆的面积 π，所以 π < 3.464。 这给了一个上界，但不是我们要证的。
我们需要一个内接多边形的周长大于 6.28 (即 23.14) 或者外切多边形的周长小于 6.28。
使用内接正十二边形的周长：
我们之前计算过，内接正十二边形的周长是 6(√6 √2)。
π > 6(√6 √2) / 2 = 3(√6 √2)
√6 ≈ 2.44949
√2 ≈ 1.41421
π > 3 (2.44949 1.41421) = 3 1.03528 = 3.10584
这个结果 π > 3.10584 仍然不够！
重新聚焦到证明 π > 3.14 的核心。我们需要一个更精确的下界。
考虑一个角度为 θ 的弧长。
单位圆上，一个角度为 θ（弧度）的弧长是 r θ = 1 θ = θ。
圆周长是 2π。
如果我们能找到一个特定的几何形状，它的周长（或某个部分）可以通过精确的计算，并且已知它小于 2π，同时它的计算结果大于 6.28，那么 π > 3.14 就得到了证明。
让我们用一种更易理解的证明方式，侧重于“逼近”
我们知道 π 是一个固定的数值。我们可以通过不断计算越来越精细的近似值来逼近它。
考虑一个单位圆。它的周长是 2π。
我们可以用一个在圆内的正方形来逼近。
内接正方形的对角线等于直径 2R = 2。设边长为 a。
根据勾股定理，a² + a² = 2² => 2a² = 4 => a² = 2 => a = √2。
内接正方形的周长是 4a = 4√2 ≈ 4 1.414 = 5.656。
所以 2π > 5.656，π > 2.828。 （还不够）
我们知道，当多边形的边数增加时，它的周长会越来越接近圆的周长。
最清晰的路径可能是使用“级数”或“特定角度的正弦/余弦值”来构建一个严谨的下界。
证明 π > 3.14 的一个常见思路：使用 arctan(1/5) 级数
如前所述，π/4 = 4 arctan(1/5) arctan(1/239)。
arctan(x) = x x³/3 + x⁵/5 x⁷/7 + ...
让我们计算 4 arctan(1/5) 的一个部分和：
4 arctan(1/5) > 4 [ (1/5) (1/5)³/3 + (1/5)⁵/5 (1/5)⁷/7 ]
= 4 [ 1/5 1/(3125) + 1/(53125) 1/(778125) ]
= 4 [ 1/5 1/375 + 1/15625 1/546875 ]
1/5 = 0.2
1/375 ≈ 0.00266667
1/15625 = 0.000064
1/546875 ≈ 0.00000183
4 arctan(1/5) > 4 [ 0.2 0.00266667 + 0.000064 0.00000183 ]
= 4 [ 0.19739733 0.00000183 ]
= 4 0.1973955
= 0.789582
所以，我们有：
π/4 = 4 arctan(1/5) arctan(1/239)
π/4 > 0.789582 arctan(1/239)
arctan(1/239) 的泰勒级数是 1/239 (1/239)³/3 + ...
所以 arctan(1/239) > 1/239 ≈ 0.004184
因此：
π/4 > 0.789582 (1/239 (1/239)³/3 + ...)
π/4 > 0.789582 1/239 (我们用一个更大的值减去一个更小的值，以确保是下界)
π/4 > 0.789582 0.004184
π/4 > 0.785398
所以，π > 4 0.785398 = 3.141592
结论：
通过使用 Machin 公式 π/4 = 4 arctan(1/5) arctan(1/239)，并且利用 arctan(x) 的泰勒级数展开：
arctan(x) = x x³/3 + x⁵/5 x⁷/7 + ...
我们可以证明：
1. 4 arctan(1/5) 的一个下界：
4 arctan(1/5) > 4 (1/5 1/375 + 1/15625 1/546875)
= 4 (0.2 0.00266667 + 0.000064 0.00000183)
= 4 0.1973955 = 0.789582
2. arctan(1/239) 的一个上界：
arctan(1/239) < 1/239 ≈ 0.004184
3. π/4 的一个下界：
π/4 = 4 arctan(1/5) arctan(1/239)
π/4 > 0.789582 0.004184 = 0.785398
4. π 的一个下界：
π > 4 0.785398 = 3.141592
因此，我们得到了 π > 3.141592，这自然就证明了 π > 3.14。
这个方法虽然需要计算级数的部分和，但相对来说，通过 Machin 公式能够更快地得到高精度的近似值，从而更有效地证明 π > 3.14。关键在于理解级数的收敛性和交错级数的性质，从而能够构建出严格的下界。
网友意见
谢邀，本题是可以用初等方法解的
事实上，2003年东京大学高考考过这道题的，不过考试时间一道题只有25分钟，所以只要求到3.05
原题翻译：试证明，圆周率大于3.05（问1）
按照知乎中的本问题引申：试证明，圆周率大于3.14（问2）
积分做法也可以做，具体参见请证明3.141<π<3.142：放缩到这么小的范围——大阪大学2013年高考附加题第二题（纯理科）
这里我们换一个思路考虑圆的几何定义，也就是割圆术来找到圆周率的范围。
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对于问1来说，正十二边形已经足够
我们截取其中的一个小三角形
弧 的长度是 ，内侧的弦 的长度的话，根据余弦定理是
所以有
我们知道
所以
——————————————————————————————————————
对于问2来说
显然十二边形不够我们计算到3.14。
我们知道如果割到 边形，根据第一问的算法
有
也就是
我们的目标是 ，所以我们的目标是找到一个 使得
也就是证明
由于在笔算的时候，计算方便的只有半角公式。（笔算开方即可，日本教材内会讲，国内要不要求就不知道了）
开 2 次方可以手算，但开 n(n>2，n∈Z) 次方有手算的方法吗？
所以考虑内接正 边形。
根据半角公式，
由于 ，所以
同理 ，同理
所以
也就是 ，又根据
所以 ，所以 得证
总共需要手算开平方三次……不过至少是能够笔算的……细心一点的话
更新：2018.1.12
补一个另外的积分做法
所以
得证
我给出两种方法
一种是具有两千年以上历史的初等的古典的证明方法
为此先考虑一个数列问题：
数列 、 ，满足 ， ， ， .
求数列 、 的通项公式.
这两个数列的通项公式并不很难求，有兴趣的同学可以自己想办法去求，我就直接写答案了：
（ ）
实际上，如果你能注意到三角恒等式
，
那么这个数列的通项公式是非常好求解的
注意不到也没事，有其他的更常规的换元法，比如：
，
由此两式消去 , 可得
得
令
则有
，
令
由数学归纳法， （ ）
（ ）
其中
即
所以：
（ ）
本题还有其他方法，不再赘述
而 和 的几何意义，分别是圆的外切正 边形的周长与圆直径的比值，以及内接正 边形的周长与圆直径的比值
那么当然有
*实际上，这里的闭区间列 构成了一个非常典型的闭区间套，并且所有区间端点都是代数数，最后却构造出了一个超越数
我们令 为圆的外切正 边形的边长与直径的比值（半边长与半径的比值）
令 为圆的内接正 边形的边长与直径的比值（半边长与半径的比值）
那么很显然
，
为了简单起见，不如令半径为1
图中
过点 作圆切线交 于点 ，交 于点
那么
（因为 且 ）
由几何关系
（相似三角形）
即
显然有
（勾股定理）
即
这就从几何意义解释了刚刚那个差分方程组
这个方法是谁发明的呢？是阿基米德
算到第五项的时候，就可以得到
所以有
两千多年前，阿基米德也正是算到第5项，即圆的内接和外切正96边形周长，才得到3.14这一圆周率近似值，这是当时最精确的数值，直到数百年后刘徽打破了这一记录
另外，很容易验证，这样的迭代，对 的逼近，是按一阶速度收敛的，所以这并不是一个很快的迭代法
再介绍一种收敛很快的方法，是一种级数法
利用级数
证明一下：
（一）几个不定积分
求
解：
求
解：
令
，
（二）几个定积分
求
解：
所以
（三）
注意到
代入
，
，
，
，
（四）
这样：
这是个收敛速度非常快的级数，前两项之和就大于3.14了
除了使用已有答案中诸多数学或计算方法外，还有一种更简便的可能捷径，如搬到美国，然后试图让本州通过有关圆周率赋值的立法。
好比说，很早以前，印第安纳州就曾试图通过立法，规定圆周率等于3.2。当然，这么做是有风险的，比如，前些年，南卡罗莱纳州曾试图规定圆周率等于3.14。若通过，圆周率大于3.14的证明努力，就无效了。
在过去，这种神奇的努力，主要出现在一些傻红脖子州。但近些年，如果你还想通过立法来证明圆周率的取值，建议多去深蓝地区试试运气，特别是那些非裔美国人聚居的深蓝地区。毕竟，这些地区更有可能认为，圆周率的值取那么复杂那么长，对非裔美国人构成了成体系的歧视...当然，建议你最好还是追求证明圆周率小于3.14。毕竟，以我个人经验判断，若是类似的立法得以通过，圆周率很有可能被定义为3。毕竟，3.1或3.2，位数太多不好记，容易构成歧视...
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