人跑步的速度与腿部肌肉输出的力量呈什么数学关系，有公式或者平面图吗？

奔跑速度与腿部肌肉力量之间的关系，可不是简单的一比一的线性增长那么回事，它更像是一场精密的物理和生物学博弈。要想把这事儿说透，咱们得从几个方面掰扯清楚。

核心关系：力量是速度的基石，但不是唯一的决定因素

最直接的理解是，你的腿部肌肉能输出多大的力量，直接决定了你能产生多大的“推力”。想象一下，你在地上蹬一下，你的腿部肌肉就会向后推送地面，根据牛顿第三定律（作用力与反作用力），地面也会给你一个向前的反作用力，这个力就是驱动你前进的动力。

力量越大，理论上你能产生的推力就越大。 同样的蹬地时间，更大的力量意味着更大的推力。
更大的推力，在克服空气阻力、地面摩擦等各种阻力的情况下，就能带来更大的加速度，进而达到更高的速度。

所以，从这个角度看，腿部肌肉力量的提升，是提高跑步速度最根本的途径之一。

但，为什么不是简单的线性关系？

这里就要进入更细致的讨论了，因为跑步的速度是一个复杂系统，受到太多因素的影响：

1. 肌肉的“发力效率”和“发力模式”：
肌肉收缩速度（力量速度曲线）： 肌肉的力量输出能力，并非在所有速度下都一样。肌肉在某个特定的收缩速度下能发挥出最大的力量（峰值力量）。如果你奔跑时，你的腿部肌肉收缩速度正好与这个峰值力量输出的速度匹配，那么你的效率最高。而如果你的奔跑速度过快或过慢，可能就无法充分发挥肌肉的最大力量。
肌肉纤维类型： 人的肌肉纤维有慢肌（I型）和快肌（II型）之分。慢肌耐力好，适合长跑；快肌力量大、收缩快，适合爆发性运动，比如短跑。即使力量相同，不同纤维比例的腿部也可能表现出不同的速度能力。
协调性和神经控制： 即使你的肌肉本身很强壮，但如果你无法有效地协调全身肌肉来协同发力，比如核心肌群的不稳定、上肢摆臂不协调，都会影响到最终的跑步效率和速度。

2. 生物力学和运动学：
步频和步幅： 跑步速度 = 步频 × 步幅。肌肉力量的增长，可能会让你在保持原有步频的情况下增加步幅，或者在增加步频的同时保持甚至略微增加步幅。两者如何组合，取决于你的身体结构、技术以及力量特性的发挥。
着地方式和触地时间： 强壮的腿部肌肉能让你在触地时更稳定，减少能量损耗，并且可能缩短触地时间，这意味着你有更多的时间用于“推送”。
地面反作用力： 事实上，我们跑步时，是通过“推送”地面来前进的。腿部肌肉的力量最终会传递到脚上，作用在地面上。地面的硬度、弹性也会影响到传递回来的反作用力，进而影响到速度。

3. 能量代谢和耐力：
氧耗和乳酸阈值： 即使你有爆发性的力量，如果你的心肺系统跟不上，或者你的身体无法有效地清除运动产生的代谢废物（如乳酸），你也会很快感到疲劳，无法持续地发挥出高水平的力量，速度自然就下降了。
能量储备： 身体储存的糖原、脂肪等能量物质的利用效率，也间接影响了你能持续输出多长时间的力量。

4. 空气阻力：
随着速度的增加，空气阻力会以速度的平方增加。这意味着，当你速度达到一定程度后，你需要付出更大的力量来克服这个不断增大的阻力。所以，纯粹的腿部力量的提升，在高速时可能不足以让速度成比例增长。

数学关系的探索（无精确通用公式，但有模型和近似）

坦白说，要给“人跑步的速度”和“腿部肌肉输出的力量”建立一个普适的、精确的数学公式，几乎是不可能的。因为“腿部肌肉输出的力量”本身就是一个动态变化的量，它取决于你的肌肉状态、激活程度、发力速度等等。而且，前面提到的各种影响因素，都让这个关系变得非常复杂。

但是，我们可以从几个角度来理解和近似：

简化模型（概念性）：
我们可以尝试建立一个非常非常简化的模型。假设：
`F_push` 是腿部肌肉产生的最大蹬地推力。
`R` 是跑步时总的阻力（包括空气阻力、地面摩擦等），可以近似为 `R = C v^2` (其中 `C` 是阻力系数，`v` 是速度)。
`m` 是跑步者的质量。

根据牛顿第二定律 `F = ma`，如果我们忽略其他因素，净推力 `F_net = F_push R` 产生加速度 `a`。
`F_push C v^2 = m a`

在匀速奔跑时，加速度 `a = 0`，所以 `F_push = C v^2`。
这意味着，要维持更高的速度 `v`，你需要更大的推力 `F_push` 来克服更大的阻力 `C v^2`。

这只是一个非常粗糙的近似。 它忽略了肌肉发力速度、步频步幅、身体效率等关键因素。

功率速度关系（更贴近生理学）：
在生理学和运动科学中，人们更常研究的是功率（Power）与速度的关系，因为功率是“力”与“速度”的乘积（`P = F v`），它更能反映肌肉在特定速度下做功的能力。
肌肉的功率输出 也遵循一定的“功率速度曲线”。一般来说，肌肉在以中等速度收缩时能输出最大的功率。当收缩速度非常慢（力量极大但速度慢）或非常快（速度快但力量衰减）时，功率输出都会下降。
跑步速度 实际上就是你的腿部以一定的频率和幅度“蹬地”这个动作的最终体现。因此，你的腿部肌肉能提供的最大有功功率（Active Power），在很大程度上决定了你可能达到的最高速度。
这个关系也不是简单的线性。 假设你的腿部肌肉能输出的最大功率是 `P_max`。你奔跑时需要的功率 `P_run` 是用来克服阻力、维持运动的。
`P_run = F_net v = (F_push R) v`
在你达到最大速度 `v_max` 时，`F_push` 刚好能克服所有阻力 `R`，并且 `P_run = P_max` (或者接近 `P_max`)。
`P_max = (C v_max^2) v_max = C v_max^3` （这是一个非常简化的推导，假设力量 `F_push` 恰好等于阻力 `R`，并且 `P_max` 是在能输出最大推力 `F_push` 时以速度 `v_max` 运动的功率）

从这个角度看，如果你的肌肉力量（决定了 `F_push`）和肌肉的收缩速度（共同决定了 `P_max`）都足够高，你就能以更高的速度奔跑。

经验模型和数据拟合：
在运动科学研究中，人们会通过实验测量运动员在不同速度下的力量输出（通过测力台、功率计等）和速度，然后通过统计方法和模型拟合出一些经验关系。这些模型可能非常复杂，会考虑不同肌群的贡献、生物力学参数等，但它们通常是针对特定人群或特定运动场景的，并非通用的“公式”。

平面图（概念性示意图）：

虽然没有精确的数学公式，但我们可以用一些示意图来帮助理解。

1. 力量速度曲线（单个肌肉单元或群体）：
这张图展示了肌肉能够产生的力量（纵轴）与其收缩速度（横轴）之间的关系。
当收缩速度为零（等长收缩）时，肌肉能产生最大等长力量 (F0)。
随着收缩速度的增加，肌肉产生的力量逐渐减小。
在某个特定的收缩速度下，肌肉能产生最大功率 (Pmax)。
当收缩速度非常快时，肌肉产生的力量趋近于零。

对跑步的影响： 你的奔跑速度，会对应腿部肌肉以某种速度收缩。如果你的奔跑速度与肌肉在此速度下的收缩速度匹配，你就处于一个较好的发力效率区间。

2. 功率速度曲线（单个肌肉单元或群体）：
这张图直接展示了功率（纵轴）与速度（横轴）的关系。
功率从零开始，随着速度增加而增加，到达一个峰值（最大功率输出 Pmax），然后随着速度进一步增加而下降。

对跑步的影响： 你的最高奔跑速度，很大程度上受限于你腿部肌肉能输出的最大功率。要达到更高的速度，你就需要提高你肌肉的最大功率输出能力。而最大功率，又是由你的最大力量和最佳发力速度共同决定的。

3. 跑步功率与速度的近似关系（概念图）：
想象一个三维图，一个轴是“腿部肌肉力量”，一个轴是“步频”，另一个轴是“奔跑速度”。
力量和步频是输入，速度是输出。
力量越大，在其他条件不变的情况下，你每次蹬地产生的推力越大，更容易增加步幅或保持更快的步频。
步频越高，单位时间内蹬地次数越多，可能导致整体速度更快。
阻力（空气阻力、内阻）是制约速度的因素，它随速度的增加而显著增加。
所以，我们需要的“总推力” (由力量和发力效率决定) 必须大于“总阻力”。

一个非常简化的二维示意图：

```
奔跑速度 (v) ^
|
| /
| / < 肌肉力量与速度的关系（受多种因素影响，非线性）
| /
| /
| /
| /
+> 腿部肌肉力量 (F)
```
这个图非常粗略，只是表示：随着腿部肌肉力量的增加，奔跑速度倾向于增加，但这个增加不是线性的，并且在某个点后，继续增加力量可能对速度的提升效果会边际递减（因为其他因素如空气阻力、生理极限开始占主导）。

更复杂的相互作用：

实际上，是力量、发力速度、肌肉协调性、关节活动度、生物力学等一系列因素，共同作用于步频和步幅，最终决定了你的奔跑速度。

力量提升 → 提高最大推力 → 可能增加步幅 或 允许更快的步频。
力量提升 + 最佳发力速度 → 提高最大功率输出 → 允许在更高的速度下维持更久的爆发力。

总结一下：

腿部肌肉输出的力量是奔跑速度的重要驱动力，力量越大，理论上能产生的推力就越大。
然而，它们之间的关系不是简单的线性关系，而是复杂且非线性的。
关键在于“功率”：肌肉在特定速度下的功率输出能力，以及你如何通过步频、步幅和技术将这种力量转化为速度。
提高跑步速度需要的是整体的身体优化：不仅仅是纯粹的力量，还包括肌肉的发力速度、耐力、生物力学效率、协调性、以及克服空气阻力等。

所以，如果你想跑得更快，增加腿部力量训练是基础，但同时你还需要关注你的跑步技术、心肺功能、核心稳定性等等，才能真正地将力量转化为速度。

网友意见

谢邀。

我们尝试用各种极简的模型去理解奔跑这件事。尽管在简化的过程中，会产生很严重的“失真”。对于奔跑这件事真的非常感兴趣，也没有好好想过其中的原理。所以，一方面，我尽量回答题主的问题，另一方面去探索如何跑得快的技巧。

把奔跑者视为质点，质点在水平线上做周期性的抛物运动。

忽略它在竖直方向的运动，

如上示意图，“ ”表示奔跑者在空中滞留的阶段，此时当低速时阻力较小；“ ”表示奔跑者落地，分为两个阶段： 为减速阶段， 为加速阶段。

人奔跑减速过程非常类似于打水漂：

两腿交替的时间越久，人的速度就越慢。有效冲量累积的效率高是一方面，阻力 作用时间越久，人的动量消耗越多，紧接着再“白手起家”……

虽然腾空时间太久也不利于加速（一方面是影响有效冲量累积的效率，另一方面后面补充），但对于行走而言是人突破性地“飞跃”：飞跃本身就需要人提供巨大的动能，其次飞跃的滞空时间为腿部肌肉蓄力提供充足的时间。脚落地的瞬间，由于躯体继续向前的惯性，使得阻力阶段 迅速转换为加速阶段 ……这样一通操作下来， 阶段的时间挤压到最小。

下文也有对于减小 阶段阻力的讨论。

阶段

我们先研究一个基本模型。

模型 1

如图，我们将人抽象为球杆模型。其中上球承担着球杆模型大部分质量 ，下球只占据小部分质量 ，轻杆质量忽略不计。下球在当前时刻瞬时受力平衡，则当摩擦力已达到最值时：

若我们令 得，

令

于是我们得出了摩擦因子 在自重 的作用下，允许倾斜的角度的范围。如果上球给墙一个壁咚（靠着光滑的墙），倾角是 ，则该模型刚好受力平衡。

我们发现 与对地面的压力无关，只与摩擦因子 有关。摩擦力虽然限制了加速的倾斜 角度的下限，但与 的大小无关。所以奔跑者只要维持身体倾角在 ，就可以获得加速度最大的水平分量。

阻力影响有多大？

由动量定理，假设阻力每次作用时间为 ； ，将 代入下式得

这个影响对于正常人来说还是挺大的阻力，不过对于题主所说的小说主角而言……

模型 2

此模型更接近真实的情况——可以把膝盖视为某种特殊的弹簧装置。在模型 1 中，若球杆模型（杆长为 ）有向左的初速度 ，由于受到 的阻力，球杆竖立起来，即 从 增长至 ，在这个过程中考虑能量守恒：

所以，当人的脚掌接触地面的刹那，膝盖弯曲，此时既可以蓄力，又减小身体的势能，从而减少动能的损失。

阶段

当弹簧释放能量时，人获得一个斜向上的加速度，此时人在腾空阶段做斜抛运动。题主提问人的腿部肌肉力量输出的环节就是此处。

借用模型 2 分析如上情形，设弹簧提供的弹力为 ，于是有如下力学方程：

能量守恒：

其中 表示弹性势能， 表示膝盖弯曲造成的高度差以及奔跑者跃起的高度之和。

令 ，则

我们会发现， 全部转化为 的机械能。但是我们希望动能可以分配的能量可以更多一点，于是奔跑者需要尽量减少竖直方向的能量损失。

比如猎豹等善于奔跑的动物，身姿往往很低，四肢跨度很大，身体像水平的弹簧，不断产生纵波，巨大的能量都在水平的方向释放，于是获得了异常的动能。

回到主题，如果将腿部肌肉做功视为弹簧能量释放：

为弹性系数； 为弹簧伸长的位移，类比为膝盖伸直所增加的长度； 为肌肉的平均力量输出，在题主的问题中可以认为 ，于是奔跑者每次可以获得的最大动能为：

如果考虑我们在模型 1 中的动能的损失

好意思叫损失吗？？？所以这部分能量忽略不计了……

（这里假设 ，我自己做高抬腿大概是 左右，博尔特肯定超过这个数值； 是题主的假设）

在 中忽略 ，于是有

上面方程的含义是：每一次脚蹬地面，释放的有用功皆是 ，全部转化为动能。使用叠项相消法（假设 ）：

于是得到两个重要的公式：

这个速度方向很可能并不是水平方向，但是由于人在奔跑时的重心波动十分微小，所以可以视为水平分量的速度的近似值。

若将 代入 计算得：只需 4 步奔跑者的速度就达到要求！

结论：人跑步第 n 步的速度与腿部肌肉输出的力量的平方根成正比。

（图片来源：中科院物理所：你知道为了测博尔特的速度，我们有多努力嘛？）

我们利用该数据估计一下博尔特的腿部力量 。下面是他的数据：

• 身高 ，根据网上照片测量，小腿占比身高恰为 ，故得小腿长度 ；
• 体重 ；
• 第 步时速度约为 （每一个波峰为一步）

代入公式得：

另外我们看得出博尔特瞬时速度-时间曲线是一个上凸曲线，这很符合公式 预言的平方根函数的特点。这与我们通常将其视为匀加速过程更为合理。

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