为什么会有 i 这一虚数？可以求出 i 的值吗？
生活中我们处理长度、重量、时间这些都是实实在在的，我们称之为“实数”。但数学的魅力就在于它能超越我们感官的局限，构建出更加广阔的抽象世界。而“i”这个虚数，正是在这个数学世界的探索中应运而生的。
从解方程的困境说起
要理解 i 的由来，我们得回到数学史上一个看似简单却困扰了数学家们许久的难题：解二次方程。
我们都知道，像 $x^2 4 = 0$ 这样的方程，很容易解出 $x = 2$ 和 $x = 2$。因为任何数的平方都是非负的，所以 $x^2$ 总是大于等于零的。
但如果遇到像 $x^2 + 1 = 0$ 这样的方程呢？
稍加整理，我们会得到 $x^2 = 1$。这时候，我们该如何寻找一个实数，它的平方是 1 呢？
在那个时代，数学家们尝试了各种方法，但发现没有任何一个实数可以满足这个条件。任何正数的平方都是正数，任何负数的平方也是正数（例如 $(2)^2 = 4$），而 0 的平方是 0。所以，在实数的世界里，$x^2 = 1$ 是无解的。
这就像一个谜题，一个现实世界无法解答的谜题。
数学家的“大胆假设”
面对这样的困境，一些聪明的数学家开始思考：如果我们不局限于现有的实数体系，而是“创造”一种新的数，来解决这个问题，会怎么样？
这个“创造”的过程，就是我们今天所说的“虚数”的起源。
他们是这样想的：既然找不到一个数的平方是 1，那我们定义一个新的数，就叫做 $i$，并且就规定它的平方是 1。
也就是说，$i^2 = 1$。
这听起来是不是有点像“凭空捏造”？确实如此。但请记住，数学的进步往往来自于这样大胆的假设和抽象。就像最早人们无法想象有负数一样，负数也是在解决现实问题（比如欠债）的过程中逐渐被接受和引入的。
$i$ 的“值”究竟是什么？
这里就触及到第二个关键问题：i 的值是什么？
严格来说，i 没有一个我们可以用“实数”来描述的“值”。 它不是一个具体的数字，比如 2、3、$pi$ 或者 $sqrt{2}$。
$i$ 本身就是一个定义。它是一个新的单位，一个数学上的“标记”，用来代表那个平方等于 1 的“东西”。
我们可以把它理解成一个基础构建块，就像实数轴上的“1”一样。我们知道 1 可以表示一个单位的长度或数量，而 $i$ 则是一个单位的“虚构”的、但又非常有用的量。
一旦我们有了 $i$，我们就可以进一步构建出复数。复数的形式是 $a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数。
$a$ 称为复数的实部。
$b$ 称为复数的虚部。
$i$ 就是那个虚数单位。
例如，$2 + 3i$ 就是一个复数。它的实部是 2，虚部是 3。
虚数的出现带来了什么？
你可能会问，这么一个“假想”出来的数，有什么用呢？
正是因为有了 $i$ 和复数，数学才获得了巨大的扩展和能力：
1. 解决了所有二次方程的根： 任何形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的二次方程，无论判别式 $Delta = b^2 4ac$ 是正的、零的还是负的，总能在复数域里找到两个根（包括重根）。比如，对于 $x^2 + 1 = 0$，我们现在就可以说 $x = i$ 和 $x = i$ 是它的解，因为 $i^2 = 1$ 和 $(i)^2 = (1)^2 i^2 = 1 imes (1) = 1$。
2. 统一了代数： 许多高次方程，即使在实数范围内也可能无解，但在复数范围内，根据代数基本定理，任何一个 $n$ 次多项式方程都恰好有 $n$ 个复数根（计入重根）。这使得代数理论更加完整和统一。
3. 深刻的应用价值： 别看虚数听起来“虚幻”，它在现实世界的科学和工程领域有着极其广泛和重要的应用。例如：
电工学： 在分析交流电路时，复数（用 $j$ 表示虚数单位，与数学中的 $i$ 对应）可以非常方便地表示电压、电流的幅值和相位关系，大大简化了计算。
信号处理： 在傅里叶变换等信号分析技术中，复数是必不可少的工具，用于分解和分析信号的频率成分。
量子力学： 量子力学的基本方程（如薛定谔方程）中就直接包含虚数单位 $i$，没有虚数，量子力学将无法构建。
流体力学、控制论、光学 等等领域，都能看到虚数的“身影”。
总结
所以，虚数 $i$ 的出现，并非偶然，也不是为了“找茬”。它是数学在试图解决自身局限时，通过大胆定义一个新概念——平方为 1 的单位——而产生的。虽然 $i$ 没有一个实数“值”，但它作为一个数学的基石，与实数结合形成了更加强大的复数系统，不仅弥补了代数上的不足，更在众多科学技术领域展现出令人惊叹的实用价值。
可以说，$i$ 是数学从“描述现实”向“构建抽象模型”迈进的重要一步，展现了数学逻辑的强大力量和创造性。
网友意见
谢邀～
其实以前写过相关的科普文，这里我直接搬运过来。
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虚数的概念也曾困扰着我，就像自然常数 一样，详情请见: 《自然底数e怎么就“自然”了？》。这些概念看起来太过平常，不求甚解的人可能会觉得这都是数学家的事，或者会对着自己一脸好奇的孩子说“等你长大了就懂了”，许多孩子童年的求知欲受挫可能都是来自于家长的这一句话看似安慰的话。所以，如果不主动去了解，不仅自己会错过很多醍醐灌顶的机会，还会影响下一代。
在说虚数(Imaginary Numbers)之前，应该先提大家更加熟悉的一个概念，那就是负数(Negative numbers)。负数的概念在小学数学里就有介绍，也就是说，小学生也应该能够自信地进行负数的各种运算，但是在公元 世纪以前，即使是当时欧洲著名的数学家，想让他理解“负数”这个概念也并不容易。
“负数”在当时被认为是荒谬的，就像公元500年之前，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯(Hippasus)[1]发现无理数（也称为无限不循环小数，如自然常数 ，见：《自然底数e怎么就“自然”了？》和圆周率 ，见：《古人是如何寻找到π的？》，它们都无法写成两个整数之比）一样。
公元前 世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，世界上只有整数和分数(有理数)。而希帕索斯却发现了令人震惊的“无限不循环小数”，即无理数，令该学派感到恐慌，并引发了第一次数学危机。有传言说最终希帕索斯被自己的老师毕达哥拉斯(Pythagoras)判决淹死。也有说法是被学派门人丢进海里淹死。
当人们在直观感受遭遇挑战的时候，人们往往先选择拒绝。
例如，当时的人们可以很直观地理解，如果你家有 条狗，后来送给别人家 条，你还剩下1条， 。但如果说你家有 条狗，然后送给别人家 条狗，那这是什么狗？！
所以，人们无法直观上理解的计算方法在当时是不能被接受的。以致于，1759年英国数学家Francis Maseres[2]，也会说：“Negative numbers darken the very whole doctrines of the equations.（负数使关于方程的所有学说变得毫无意义，即认为负数没有意义）”。
即使是欧拉(Leonhard Euler)，也为“负数”的概念纠结了好一阵。不过现如今，认为负数“无用”或“不合逻辑”才是真的荒谬。
那为什么人们对负数的理解发生了 的大转变呢？因为我们发明了一种具有有用属性的理论上的数字，负数并不能很好地用来描述我们看得见、摸得着的可直观感受的事物，但却能很好地描述某种关系。
例如“债务”。人们会在日常支出中记录各种交易信息，如果欠别人 元，你会记录 ，在赚了 元以后，可以直接用 来计算属于自己的钱，而不需要更多的文字描述，负数已经将这种关系植入其中，既然有这种属性，又有什么理由说它是无用的呢？可见“关系”的重要性~
虚数也有相似的命运，从其名字就可以看出似乎受到过很不公正的待遇。一元二次方程 有两个解， 和 。那对于方程 呢？在解之前，我们不妨先假设 的解存在，就像负数一样，奇怪的概念往往其实有其自身的价值。
对于方程 ，其实可以写成 。我们将 “乘以” 看成是一种“变换”，通过两次这种变换，我们最终将 变为 。但我们不能通过和两个正数的相乘抑或是和两个负数的相乘来实现 到 的转变，以前也说过，“变换”并不改变问题本身，而只是改变了看待问题的角度，感兴趣的可见：《如何给文科生解释傅里叶变换？》。
但是如果这种“变换”是“旋转”呢？听起来很新颖，但是我们把 定义为“逆时针旋转 角”的话，在包含两个正交轴的坐标系上，就能够实现 到 的转变。
而这个坐标系构成的平面也称为“复平面（横轴为实数轴(Real Dimension)，纵轴为虚数轴(Imaginary Dimension)）”，并用字母i 作为该情况下 的解，用来特指“逆时针旋转90°角”的变换[3]。
那如果想顺时针旋转 呢？
答案是：乘以就行了。
而且如果乘以两次 ，和乘以两次 一样，得到的也是 。
如果分别乘以 次、 次、 次、 次、 次、 次 ，可以得到：
可以得到以下结论：
- （毫无疑问）
- （感觉是句废话）
- （上面已经说明了原因）
- （三次逆时针旋转 ，相当于顺时针旋转 ）
- （四次逆时针旋转 ，回到初始位置，循环结束）
- （开始下一循环，逆时针旋转 ）
同时，上图也不知不觉地将数从一维的实数域拓展到了二维的复数域，即实数与虚数的组合。或者说：复数=实部+ 虚部。例如，一个复数的实部为 ，虚部也为 ，则可以得到复数 。
复数Z 可以看作是复平面上的点 ，如下图。即沿着实轴方向前进 ，沿着虚轴方向再前进 ，其在实轴与虚轴上的投影值即为实部与虚部的值，其长度或“模(Modulus)”为该点到原点的距离为 ，该点与原点连线后与实轴正方向的夹角为 ，该角度称为幅角(Argument)。既然又有长度又有方向，因此复数也就可以看做是复平面上的一个矢量。
为了描述复平面上的任意一点，可以写成更为普遍的形式：
其中， 和 分别称为复数的实部和虚部。
而 的长度或“模(Modulus)”为 点到复平面圆心处的距离：
的幅角为
下面进行一个复数的计算实例，需要记住的一点是：两个复数相乘的结果就是：让它们的模长相乘得到最终的模长，让它们的幅角相加得到最终的幅角。
假设我们在一艘帆船上，现在帆船的航向是东北向，且每向东前进 个单位就会向北前进 个单位，如果现在想改变航向，使其沿逆时针方向旋转 ，那新的航向是怎么样的？
如果放在复平面上，船的位置在圆心处，那么当前的航向可以直接用复数表示，即 。如果想逆时针转 可以让该复数与 相乘，因为的幅角正好等于 。
计算过程为：
画出图就很直观了，新的航向是每向西前进 个单位就会向北前进 个单位。
幅角为 。
注意，如果要保持航速不变的话还需要在上面计算结果的基础上再除以 ，因为复数 的模为 。
再强调一下，为了改变方向所以乘了1＋i，这里主要是为了用到1＋i的45°相角，但是由于1＋i的模长不为1，如果只是乘以1＋i，原始向量-1+7i不仅方向沿逆时针旋转了，其大小也乘了1＋i的模长，为了保证原始向量-1＋7i仅沿逆时针旋转45°，而不发生大小变化，自然需要除以1＋i的模长了。
既然复数自带旋转属性、有大小、有方向，而正是虚数的存在才将一维的实数域提升或者说扩展到了二维的复数域，那么还有什么理由说虚数很虚呢？
推荐阅读
参考
- ^Hippasus https://en.wikipedia.org/wiki/Hippasus
- ^Francis Maseres https://en.wikipedia.org/wiki/Francis_Maseres
- ^A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/
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