现代数学和理论物理已经发展到怎样一个令人震惊的水平了？
下面我将从几个关键领域，尝试详细阐述这种令人震惊的水平：
一、 现代数学：超越直觉的抽象之美与逻辑之巅
现代数学不再仅仅是关于数字和几何的工具，它已经成为一种高度抽象的语言，用来描述和理解宇宙的结构。
1. 抽象代数与群论：对称性的普遍语言
概念： 抽象代数研究的是代数结构（如群、环、域、模等）的性质，这些结构是对数字运算、几何变换等更具体概念的抽象 generalization。
令人震惊之处：
群论： 群是满足特定公理的集合与二元运算的组合。它描述了“对称性”——事物在进行某种变换后保持不变的性质。从晶体结构、分子对称性，到粒子物理中的对称性（如宇称、电荷共轭、时间反演），再到代数方程的解的性质（伽罗瓦理论），群论无处不在。它提供了一种统一的框架来理解各种看似无关的对称现象。
例如： 想象一个正方形，你可以旋转它 0度、90度、180度、270度，它看起来还是一样的。这些旋转操作构成了一个群。在物理学中，粒子是否稳定、具有哪些性质，往往与其内部存在的对称性有关。粒子物理的标准模型就是建立在一些基本对称性（如SU(3)xSU(2)xU(1)群）之上的。
抽象的极致： 群论的强大之处在于其高度抽象性，它不关心具体是什么在运动或变换，只关心变换之间的关系。这种抽象性使得它能够应用于如此广泛的领域。
2. 拓扑学：不改变形状的连续变形
概念： 拓扑学研究的是在连续变形下（如拉伸、弯曲，但不撕裂或粘合）保持不变的性质。它关注的是“洞”的数量、连通性等全局属性，而不是精确的形状和距离。
令人震惊之处：
对空间的洞察： 拓扑学揭示了空间更深层次的结构。例如，一个咖啡杯和一个甜甜圈在拓扑上是等价的，因为它们都有一个“洞”。而一个球体没有洞，所以与咖啡杯不等价。
不动点定理： 例如，布劳威尔不动点定理表明，任何从一个凸集到自身的连续映射，至少存在一个不动点。这在经济学、博弈论以及物理学中都有重要应用。
在物理中的应用：
凝聚态物理： 拓扑序是描述某些量子材料（如分数量子霍尔效应材料）的全新物态，它们具有非局域的量子纠缠和拓扑保护的鲁棒性，对局域扰动免疫，这在量子计算领域具有巨大潜力。
高能物理： 拓扑真空结构、瞬子（instantons）等概念在量子场论中扮演重要角色，它们能描述粒子在不同真空态之间的跃迁，解释一些物理现象。
弦理论： 弦理论中的 CalabiYau 流形等高维空间，其拓扑性质对于确定我们观察到的四维时空中的物理定律至关重要。
3. 范畴论：数学的“数学”
概念： 范畴论是一种更高级别的抽象框架，它不研究单个数学对象本身，而是研究数学对象之间的“态射”（morphisms，可以理解为函数或映射）以及它们之间的组合关系。它旨在发现不同数学分支之间的共性，建立统一的语言。
令人震惊之处：
统一视角： 范畴论能够以一种非常统一的方式来描述和连接数学的各个分支，比如集合论、代数、拓扑、逻辑等。它像一个“元数学”，提供了一个理解数学结构的方式。
“函子”的概念： 函子是将一个范畴中的对象和态射映射到另一个范畴中的“结构保持者”。这使得我们可以将某个领域的性质传递到另一个领域，从而建立深刻的联系。
潜在影响： 虽然目前范畴论在纯数学领域应用更为广泛，但其潜在的影响力巨大，可能会为未来理论物理中建立更普适、更简洁的描述框架提供工具。
4. 数学证明的复杂性与前沿问题
庞加莱猜想（已证明）： 格里戈里·佩雷尔曼证明了庞加莱猜想，这是拓扑学领域最重要的猜想之一，它的证明极其复杂，运用了里奇流等高级几何工具，耗费了数学界数十年的努力。
黎曼猜想（未解决）： 黎曼猜想是数论中最重要、最困难的问题之一，它关系到素数的分布规律，其重要性不言而喻。如果被证明，将对数论甚至整个数学产生革命性的影响。
霍奇猜想（未解决）： 在代数几何领域，霍奇猜想连接了代数拓扑和代数几何的许多重要概念，其解决将深化我们对代数簇结构的理解。
抽象性与反直觉： 许多现代数学研究的领域，其概念和证明都远远超出了日常直觉，需要高度的逻辑训练和抽象思维能力才能理解。例如，高维几何空间、非欧几何等。
二、 理论物理：窥探宇宙根基的宏大叙事
理论物理的目标是理解宇宙最基本的组成部分和作用规律，从微观粒子到宏观宇宙，其发展方向充满了令人震惊的深度和广度。
1. 量子场论（QFT）：粒子与场的统一描绘
概念： 量子场论是描述基本粒子及其相互作用的数学框架。它将粒子视为场（如电子场、光子场）的激发，粒子之间的相互作用是通过交换这些场的量子（如光子）来实现的。
令人震惊之处：
相对论与量子力学的融合： QFT 是将狭义相对论和量子力学完美结合的理论，成功描述了电磁力、弱核力、强核力这三种基本力（引力除外）。
粒子谱的预测： QFT 的精确计算能够预测粒子的质量、电荷、自旋等性质，例如希格斯玻色子的发现就是QFT的重大胜利。
真空的动态性： QFT 揭示了我们通常认为的“真空”并非空无一物，而是充满了量子涨落，虚粒子不断产生和湮灭，这是非常反直觉但又被实验反复验证的现象。例如，卡西米尔效应就是真空能量的体现。
重整化： 在 QFT 的计算中，常常会出现无穷大的结果，重整化是一种处理这些无穷大的数学技术，它能够提取出有限的、可观测量的值。这项技术本身就极其精妙，但也曾引发关于理论物理“是否根本不正确”的争论。
标准模型： 基于QFT构建的粒子物理标准模型，已经极其成功地描述了已知的所有基本粒子和它们之间的相互作用（除了引力），其预测精度达到了令人难以置信的程度。
2. 广义相对论：时空的弯曲与引力
概念： 广义相对论描述的是引力不是一种力，而是时空本身的几何性质。物质和能量的存在会弯曲时空，而物体在这种弯曲的时空中沿着“测地线”运动，我们观察到的就是引力效应。
令人震惊之处：
时空成为动态实体： 时空不再是牛顿力学中那个被动的背景，而是与物质能量相互作用的动态实体。
引力波的预测与探测： 广义相对论预测了引力波的存在，即时空涟漪。2015年，LIGO首次直接探测到引力波，这是继X射线发现后一百多年来物理学界的又一大事件，印证了爱因斯坦百年前的预言。引力波探测为我们打开了观测宇宙的全新窗口，可以观测黑洞合并等极端宇宙事件。
黑洞： 广义相对论预言了黑洞的存在，即时空极度弯曲以至于任何物质和信息都无法逃逸的区域。黑洞的存在已被天文观测大量证实，并且其性质（如事件视界）是时空几何的直接体现。
宇宙学： 广义相对论是现代宇宙学的基础，它描述了宇宙的膨胀、演化，以及宇宙的整体结构。大爆炸理论就是建立在广义相对论的宇宙学模型之上的。
3. 量子引力：统一物理学的终极目标
挑战： 尽管量子场论和广义相对论都取得了巨大的成功，但它们在描述极端条件下（如黑洞奇点、宇宙大爆炸的开端）时会发生冲突，无法统一描述引力这个基本力。如何将量子力学和广义相对论结合起来，构建一个“量子引力理论”是现代物理学面临的最大挑战。
前沿方向：
弦理论（String Theory）： 弦理论认为基本粒子并非点状，而是微小的、振动的弦。它提供了一个统一的框架，能够包含所有已知的粒子和力（包括引力），并且在数学上非常优雅。弦理论需要额外的空间维度（通常是10或11维），其物理意义和实验验证是巨大的挑战。
圈量子引力（Loop Quantum Gravity）： 圈量子引力尝试将时空本身量子化，将时空描述为由离散的“圈”组成的网络。它不依赖于额外的维度，但同样面临概念和实验验证的难题。
全息原理（Holographic Principle）： 这个原理认为，一个体积的引力理论可以被它边界上的一个无引力的量子场论所描述。这提供了一种全新的视角来理解量子引力，并与黑洞信息佯谬等问题相关联。
ADS/CFT对应： 这是全息原理的一个具体例子，它展示了反德西特空间（AdS）中的引力理论与该空间边界上的共形场论（CFT）是等价的。这为研究强耦合量子场论和理解黑洞信息问题提供了强大的工具。
4. 宇宙学前沿：暗物质、暗能量与宇宙的未来
令人震惊之处：
宇宙的大部分是未知的： 我们可见的普通物质只占宇宙总质能的约5%，而剩下的约95%是暗物质（约27%）和暗能量（约68%）。暗物质提供额外的引力，使星系得以形成；暗能量是导致宇宙加速膨胀的原因。我们对其本质几乎一无所知，它们是现代物理学最令人困惑的谜团。
宇宙的加速膨胀： 这个发现彻底改变了我们对宇宙命运的认知。暗能量的存在意味着宇宙的膨胀不仅不会停止，反而会越来越快，最终可能导致“大撕裂”或“热寂”。
宇宙微波背景辐射（CMB）： CMB 是大爆炸的余晖，其极高的均匀性和微小的温度涨落，为我们提供了关于早期宇宙（约38万年后）的宝贵信息，验证了宇宙膨胀、冷暗物质模型等许多理论。
量子涨落与结构形成： CMB 中的微小不均匀性被认为是早期宇宙量子涨落的“种子”，这些涨落经过引力放大，最终形成了我们今天看到的星系和星系团的宏大结构。这是量子世界对宏观宇宙形成的深远影响的例子。
总结：超越直觉的宇宙图景
现代数学和理论物理所达到的令人震惊的水平，体现在以下几个方面：
高度的抽象性： 它们所使用的概念和语言（如群论、拓扑空间、量子场）往往已经超越了我们的日常直觉和感官体验，但却能精确地描述现实。
统一的语言： 数学提供了一种普遍的语言，使得不同领域的物理现象可以被联系起来（如对称性原理的普适性）。
深刻的预言能力： 理论物理的预测能力达到了令人惊叹的程度，许多看似不可思议的现象（如引力波、黑洞）都被精确预测并最终被实验验证。
对现实本质的追问： 它们不断挑战我们对空间、时间、物质、能量和因果关系的理解，将我们推向对宇宙最深层奥秘的探索。
未竟的事业： 尽管取得了巨大成就，但人类对宇宙的理解远未结束。暗物质、暗能量、量子引力等问题依然是未解之谜，激励着科学家们继续前行，探索更深层的真理。
可以说，我们正处于一个理解宇宙本质的黄金时代。数学家和物理学家们正在用最严谨的逻辑和最深刻的洞察力，为我们描绘出一幅令人惊叹的宇宙图景，尽管这幅图景的很多细节我们还在努力解读。
网友意见
我老板是德国人，做微分几何的。他常常提醒我们要多学点微分几何以外的数学，起码要知道不同领域的基本语言；他当初在波恩读PhD的时候，因为德国的教育体制过于追求专业，不同数学方向之间不怎么交流，他基本没学过微分几何以外的数学——比如代数几何。对现代数学有点了解的人应该知道波恩／马普所也算是代数几何和数论的重镇之一吧，我老板就是个在这种地方读博出来的对代数几何一窍不通的数学家。不仅不懂代数几何，他基本也不懂sheaf theory，而且很反感范畴论——他不知道这种语言在他自己领域的研究中有什么用。他做的数学，用数学界的标准来衡量算是非常具体的数学，很大一部分都在构造满足各种曲率条件的度量的例子，有些都能写出显式表达式。
所以我说这些是想表达什么呢？外行人可能以为纯数学只是个小圈子。其实这种想法并不是很准确，不同方向的数学家可能对对方的工作完全不能理解，甚至有时候说是看天书也不过分。这种现象在其他行业好像不是那么普遍，就算有，程度也没这么重吧。做计算机软件和硬件的不至于无法在专业方面沟通吧；不同科室的医生对对方擅长的领域或多或少知道一些基础常识吧。而我老板在代数几何方面基本属于搞不清Zariski topology甚至不一定知道Noether正规化定理的水准。。
所以这就是现代数学发展到的现状。高度精专，不同方向都是隔行如隔山；具体到每个小领域，具体研究的问题，整个世界上可能真的只有十几个人能搞懂证明细节。理论物理其实也差不多。我们系的Ron Donagi教授年年都开数学物理的PhD课。去年我老板心血来潮也想了解这帮搞数学物理的到底在研究些什么，去听了第一节课，以后就再也没去过了。。
数学学得不太专业，我只说物理。
丛观整个物理学史，我认为真正令人震惊的不是公式变得有多复杂（地心说搞得也挺复杂的。。。），而是物理学已经越来越脱离直观了。
牛顿时期：
老祖宗牛顿真是开了个好头啊，为了建立物理理论自己先搞出来了微积分，算是数学和物理结合的最初典范，简简单单的三个公式上能预测天体运动下能解释斜坡上的小滑块，真是让人不服不行。
牛顿力学的基本物理量是空间坐标x，时间t，质量m，还有能量，这几个量正常人都能很直观地理解是什么意思，在自然语言中也经常使用。
而且微积分这个东西直观性也非常好，想想我们解高数题的时候用到了很多形象思维，比如说我们可以把微分理解为小量，把积分理解为求和，仔细想想和初等数学差别不大。
后牛顿时期：
牛顿之后就是统计力学，麦克斯韦电磁学，分析力学这些了。虽然这些理论一定程度上独立于牛顿力学，但是和牛顿力学没有根本世界观上的矛盾。而且这些理论需要的数学也不过就是初等数学+微积分。
其中电磁学的基本物理量是电场和磁场，统计力学引入了熵，热这些量，总的来说直观性还是杠杠的。而分析力学比较微妙，虽然理论体系和牛顿力学完全等价，但是却以拉格朗日量和哈密顿量为基本物理量，之所以定义这两个量完全出于数学上的考量，没有直观性。后来证明这兄弟俩在现代物理中发挥了极其重要的作用。
爱因斯坦时期：
自从爱因斯坦降临于世，物理学就开始向变态的方向发展了。。。
在牛顿时期，是先有物理学的直观，然后才发展出了所需要的数学。而爱因斯坦时期恰恰相反，有一些之前数学家随便瞎玩的东西，本来没觉得和现实世界有任何关系，在这一时期却被引入了物理学，具体来说指的是微分流形，群论等。
狭义相对论告诉我们，时间空间地位相当，都是四维时空矢量的分量，切换惯性系实际上是在对四维时空进行旋转，我们可以类比三维旋转来理解。而动量，波矢，电磁场这些物理量都可以找到相应的四维协变形式。
广义相对论告诉我们，时空不是平坦的而是拧在一起的，我们之所以感觉是平坦的完全是因为我们周围没有密度特别大的东西所以时空弯曲效应不明显（当然这是在把地球造成的时空弯曲解释为引力的前提下说的），时间和空间第一次在物理学里发生了如此深刻的关联！真正描述时空的不是欧式几何而是黎曼几何（怒打康德脸）。总的来说，爱因斯坦用微分流形的语言取代了正常人对时空naive的理解，我们发现直观上想当然是对的东西不一定真是对的（如几何学里的平行线公理在现实世界就不对）。不过我们还是可以用可直观的二维三维空间弯曲来理解四维时空的弯曲。除了强调时空几何以外，相对论并没有比牛顿力学多引入任何基本物理量，只是把物理量整理成Lorentz协变的形式。
然后再说量子力学，尽管这家伙用到的数学没有广义相对论复杂，但真是太反直观了。
1. 它沿袭了分析力学里面哈密顿量，广义坐标的概念。
2. 牛顿力学里面用坐标和速度来描述一个粒子的状态，而量子力学不认为一个粒子有确定的坐标和速度，因此用波函数来表征粒子的状态，波函数的模方正是粒子的概率密度分布。除了坐标和动量以外，其他物理量也是概率性的。
3. 量子力学不认为物理量是个数，而是算符，或者说是线性代数里面的线性变换（Hermite的），（所以公式里两个物理量的位置就不能像以前那样按照乘法交换律随意交换），代数第一次在物理学里面被提到这么高的地位！
4. 它用的线性代数还不是大多数本科生学的实数域上的线代，而是复数域上的。没错，量子力学基本方程薛定鄂方程里面含有虚数！和电动力学里那种为了计算方便而引入的虚数不同，量子力学理论本身就需要复数结构！看上去不可能有物理意义的虚数居然出现在基本方程里面，这是何等的疯狂！
量子场论时期：
场论是现代物理的基本语言。其中基本物理量叫做场算符，包括标量场，矢量场和旋量场。Free theory的标量场定义为这样： 。如果说量子力学里面的波函数还可以通过概率密度来建立直观，那现在这个场算符就真的一点直观都没有了（实际上应该理解为一大堆谐振子的叠加，但是这样想对我来说很难受，谁关心谐振子啊。。orz），这样定义的一个很大的好处是它在Lorentz变换下的变换性质和普通的标量场一样。
学狭义相对论的时候我们一般把Lorentz变换理解为一些固定的四维矩阵，但是场论里自旋（spin）的概念让我们认识到，真正最重要的不是那个Lorentz矩阵，而是矩阵背后的Lie代数，或者说是Lorentz群。那个矩阵只不过是Lorentz群的一个四维表示（representation）而已，而像旋量这种二维的东西是按照二维的表示进行变换的。试问在相对论性量子力学建立之前，无论是数学家还是普通人，谁能想到群论这种高度抽象的东西能和自然界有这么深刻的联系？
场论对何谓粒子的理解也是高度抽象的，不是我们平常脑子里想的一个个小球，我引用Schwartz教材里的话: Particles transform under irreducible unitary representations of the Poincare group. This statement can even be interpreted as the definition of what a particle is. 很多人总是好奇反粒子到底是啥东西，其实在场论里，对反粒子的定义也是纯粹抽象的，没人能直观地告诉你为啥存在反粒子。
另外，场论把对称性的重要性提到了前所未有的高度，一个拉格朗日量之所以是其所是的样子，通常就是出于对对称性（包括Lorentz不变性）的考虑。很显然这是一个数学的理由而不是一个直观的理由。
再之后就是弦论，我暂时还不懂就不说了。
总结：
可以说整个物理学史是有从直观向抽象发展的趋势的。数学和物理如此深度的统一，在物理学之外的任何自然科学，社会科学，工科，商科都不曾出现过，这就是理论物理对我来说最令人震惊的地方。基于这个原因，数学和物理的统一体在我心中是人类文明最闪耀的两颗巨星中的一颗。
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我昨天发现了一篇讲数学物理关系的一篇文章：《数学与物理桥梁下的鸟瞰》 ，一开篇就讲共形场论和弦论。。反正我是看不懂orz。。如果看我写的这篇答案不过瘾可以继续看他这篇文章。
首先，把数学和物理学放在一起问就不妥当。数学不是科学，属于逻辑学科。逻辑学科一共三门，数学、哲学、逻辑学。
其次，问理论物理学发展到多么震惊的水平了，这也混淆了两个问题。一个是研究成果到什么水平了，一个研究方法到什么水平了。你到底想知道哪个？一般中国人都想知道成果，这就是比较低级的科学观。
本科学的是数学和物理专业，没有好好的念，最近的一些发展了解的很浅。
之前在知乎上几乎没有回答过数学和物理方面的问题，这次刚好看到过相关的资料回答一下。
先说结论：数学已经进展到一个相当抽象的程度，甚至就脸专家有时候都无法理解最新的研究课题到底在讲什么。
讲个例子：数学家哈里斯（Thomas Hales）讲一篇几何学论文投稿到世界顶级数学杂志《数学年刊》（Annals of Mathematics）后，整整花了五年时间等待专家审查意见——专家们最后的结论是找不到这篇论文哪里有错，建议期刊发表，但是必须加上免责声明——他们无法肯定这个证明是对的！
物理学家狄拉克（Paul Dirac）曾说过，今天研究的数学课题可以让我们偷偷瞄见未来物理学的理论。事实上他的方程预测了之后被发现的反物质。
数学家罗巴切夫斯基也曾说过类似的话，就算再抽象的数学分支，也总会有一天会运用在诠释现实世界的物理现象上。
今天再抽象的数学，总有一天会有人把它用在物理学或者其他的学科之上，让这些学科有全新的发展。
来简单说一下当前可以确认的理论物理的高度。我们最早的理论物理是为实验服务的。在那个年代，我们依然处于做大量的实验，然后总结规律的阶段。所以在这一阶段涌现出了一系列比较初等的定律，比如
- 热力学第n定律
- Snell 定律（光的折射定律）
- 万有引力定律
- Coulomb 定律（静电相互作用）
- Faraday 定律 (电磁感应定律）
等等。这个时候物理学理论和其它任何科学分支的理论没有本质上的差别。
后来，我们开始发现不同的定律之间有一些相同之处，尤其是发现电学和磁学之间的巨大相似性，进而发现原来电和磁是同一样东西。于是我们开始做抽象，把电学和磁学（以及一部分波动光学）的规律都吸收到了一套理论中，这就是 Maxwell 的电磁理论。这一阶段的画风是这样的
- 一切电磁相关的现象均可被 Maxwell 电磁理论描述
- 一切引力相关的现象均可被 Einstein 引力理论描述
- 一切热学相关的现象均可被 统计理论描述
…………
再接下来，我们还发现不同的理论之间还有一些相同之处。于是我们开始了进一步的抽象，创造了所谓的 theory generator，或者说是一种通用的，用于生产理论的方法。典型的案例包括 Lagrange 动力学，Hamiltonian 力学等等。这一阶段的画风是这样的
一切经典理论均可由如下原理生成：
这里面 是作用量， 被称为 Lagrangian。为了得到 Maxwell 电磁理论，你只需要 ，为了得到广义相对论，你只需要 。是的，你只要指定一个 Lagrangian，然后上述原理就可以自动给你生成一个理论。
这看上去好像用处不是非常大。事实上在牛顿那个年代之后不久，这种方法的雏形就已经出现了。不过真正让它焕发光彩的是 1918 年（正好100年前）的一件大事：著名数学物理学家 Emmy Noether 提出了 Noether 定理，这一定理利用上述原理证明了 Lagrangian 的对称性可以导致守恒量。
这是非常强大的一条数学定理。要知道，物理学的对称性几乎就等同于普适性，而普适性是一套理论作为科学理论的底线级要求。所以，这条定理几乎就是在说任何物理理论里均存在守恒量，并且只要你写出 Lagrangian，我们就能用一套标准流程把这些守恒量找出来！
一个重要的例子就是能量。能量是与时间对称性绑定的一个守恒量，或者换句话说，我们会把能量定义为与时间对称性相关联的那个守恒量。更具体一点，我们写出一个具有时间对称性的 Lagrangian，Noether 定理就能给出一个对应的守恒量，而这个量就被定义为能量。自此，能量守恒便不再是所谓的经验定律，而是一条有严格证明的定理。
除了上述的两个经典的 theory generator，现在我们熟知的量子力学（当然你得把 Schroedinger 方程写成 这样的抽象形式），量子场论，以及曾经火过两回的弦理论，都是 theory generators。它们当中都有类似于 Lagrangian 或 Hamiltonian 这一类的抽象的量，在给定这些量的情况下，就自动生成理论。
总结来说，我们最早根据实验得到了一些定律，然后发现定律之间有共同点，于是把这些定律抽象成了理论，然后又发现理论之间也有共同点，于是又抽象成了 theory generator。反过来，给定 theory generator 里面所需要的量，它就会自动给我们生成理论，将理论应用于不同的情景，我们又可以获得具体的一些定律。
其实现在 theory generators 的威力还远不止于此。不过这已经涉及到目前最前沿的理论物理。你点个赞，我看看要不要继续写。
感谢大家的热情，那我更一波。不过这些内容可能就未必像之前那么好懂，也未必如 Noether 定理一般精彩，不过我会尽量写得通俗易懂一些。
一般的 Lagrangian 是某个动力学变量（比如粒子的位置 或者某个场 )以及它的导数（比如速度 或者场的梯度 ）的函数。我们通常把含导数的项称为动能项，其余的称为势能项。
先来看动能项。我们发现无论是哪一种理论，动能项往往能够被写成一阶导数的平方，比如通常经典力学里的动能项 就是速度的平方，再比如标量场的动能项 也是一阶导数的平方。个别例子中有出现仅仅是一阶导数，没有平方，比如 Dirac 场的动能项。不过无论如何，我们基本没有见过动能项中含有超过两个求导算子的情况。这并不是偶然，因为如果动能项中含有超过两个求导算子，就会造成一种被称为 Ostrogradsky Instability 的现象。
具体来说，就是这样的理论会允许物理系统可以有一直到负无穷的能量。为了理解这一点，我们需要 Hamiltonian。Hamiltonian 是 Lagrangian 经过一个简单的变换生成的，它的主要作用是告诉你这个系统的能量可以取哪些值。举个例子，一个经典的自由粒子的 Hamiltonian 是 ，其中 是动量， 是质量。动量可以从 一直取到 ，此时 Hamiltonian 可以取 ，也就告诉你自由粒子的能量一定是 的。
但是如果你的 Lagrangian 中含有超过两个求导算子，那么我们可以证明，Hamiltonian 会出现如下的形式
其中 是某种动量（术语上叫广义动量）， 是某个坐标。这个时候我们发现如果 可以随意在 中取值，那么 Hamiltonian 的范围也是 。这就造成了一个严重的问题，如果能量没有下界，那么这个系统（或者其中一部分）就会无止境地向能量较低的状态去演化，从而造成强烈的不稳定性，这是不可接受的。
因此，现在主流的基本理论都只含有两个一下的求导算子。含超过两个求导算子的理论其实也存在，比如用于解决某些特定问题的宇宙学模型。不过在这种情况下，我们会被迫引入一系列约束条件来消除 Ostrogradsky instability。如果你希望你的理论具有一定的普适性，这么做其实得不偿失。不过针对某些特定问题有时候还是有点用。
再来看势能项。势能项只包含我们的动力学变量（比如坐标 或者某个场 ），因此我们可以将其进行展开（类似于微积分里面的 Taylor 展开）。展开之后具有幂级数的形式
每一个 之前都会有一个系数 ，这个系数控制了对应的相互作用的强度。比如，我们知道弹簧系统的势能项是
这并不意味着其它的项前面的系数都是0，它们可能只是很小，从而使得相应的相互作用很弱因而被忽略。
这个系数的量纲是一个很值得说道的东西。在这之前我们需要知道自然单位制，没见过的同学看文末[1]。在量子场论中，这个系数并不是标准的“常数”，而是一个会随系统能标（可以是系统总能量，或者其中某个实体的能量）而变化的一个量。也就是说，相互作用的强度会随着能标而变化。
如果某个项的系数具有正的质量量纲，比如标量场论中，系数是 ，质量量纲是+2，那么它的强度会随着能标的下降而上升，这种项被称为 relevant；反过来，如果系数具有负的质量量纲，比如引力常量 ，那么它的强度会随着能标的下降而下降，这种项被称为 irrelevant。而没有量纲的被称为 marginal。
这个事情有什么用呢？通常情况下我们的能标是较低的，至少我们目前还不能做到让一个系统达到任意能标。在较低能标的情况下，所有 relevant 的项具有较高的强度，所有 irrelevant 的项具有较低的强度。因此我们只需要考虑 relevant 的项即可。
在场论中，Lagrangian 的量纲是+4，标量场 是+1，因此 的项就是 marginal 了， 及以上就是 irrelevant 了。于是低能情况下我们只需要考虑至多3个项。这个结论对于很多理论均适用，也即 relevant 的项总是有限个，因此低能下只需要考虑有限个势能项。
所以这是不是意味着我们通常是见不到这些 irrelevant 的项的作用呢？并不是。在高能标下，一切都要倒过来，也即 relevant 项会很弱，而 irrelevant 项很强。要获得高能标，除了注入能量以外还可以注入质量。所以在注入足够多质量以后，我们发现了 irrelevant 项的作用 —— 这就是引力。引力相互作用的系数是引力常量 ，具有负的质量量纲。
就先讲这么多，希望大家可以感受到现代理论物理工具的强大。通过 theory generators，我们可以高屋建瓴地做一些判断，可以得到一些对许多理论都适用的结论。我们不需要知道Lagrangian 太多的细节，就可以根据 Noether 定理断言守恒量的存在。对于量子场论甚至弦理论这样的 generators 也一样。我们现在对弦理论依然知之甚少，不过已经足以让我们推测量子引力和量子纠缠很可能是一回事（所谓的 ER=EPR）。我们可以对 Lagrangian 进行细致的分析，从而判断出怎样的形式会带来怎样的结果。因此，对于现在的理论物理学家来说，与其说我们是在从现实中寻找规律从而创立理论，不如说我们在尝试设计一些理论。正如我们提到的，Lagrangian 不是可以随便写的，否则就要出问题。这些探索的经验让我们知道，这个自然界之所有有这些规律，这些规律之所以是这些形式，都是有更深层次的原因的。这也是为什么理论物理吸引了如此多的顶级智力为之工作。
[1] 在自然单位制下， 。也就是说，我们把长度单位定义为光在1秒内走过的距离，这样光速的值就是1。这样一来我们有 ，也就是说从量纲角度上讲，长度和时间的量纲是一样的。同理根据 我们有 。这个故事就是告诉你长度，时间，质量三个量纲，现在我们只需要一个，这里我们选质量。
太高大上的我也不太懂，就写一个让我最震惊的100年前的理论成果：对称性与守恒律
简单来说，以下这幅图，一位美丽的女性坐在镜子前。请基于这幅图推出动量守恒，机械能守恒，角动量守恒。
这个问题的解答是近代物理理论发展的一大飞越。
首先，我们把这幅图说得稍微严谨点，科学点。
如果某个图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面反射对称。
再抽象一点，如果某个图形通过某种操作又回到它自身，那这个图形对该操作就有对称性。
将对称性应用到物理中，研究的对象就不仅仅是图形，而可以包括物理量甚至物理定律。例如，加速度经过伽利略变换后保持不变，加速度对伽利略变换具有对称性。同样，牛顿第二定律经过伽利略变换后也保持不变，则牛顿第二定律对伽利略变换也具有不变性。
1918年，德国数学家尼约特发表了一个天才的想法
每一自然界的对称性都可以得到一个守恒律。同样，每一个守恒律都揭示着一种对称性。
这本身是一个及其复杂而且深刻的原理。同时也可以用一些非常简单的原理验证。
1.空间平移对称性推导出动量守恒
一个质点系彼此以保守力作用沿着x轴运动。假设这个质点系有两个质点，动量各自为 和 ，坐标各自为 和 。现在假设坐标系平移 ，质点坐标变成 和 。首先，这个坐标平移对这个质点系的机械能应该毫无影响。对机械能而言，动能是速度的函数，所以和坐标无关，而势能 和二质点的坐标有关，它对空间平移对称性要求
对任意 都成立，故
因为
所以
因为力是动量的变化率，所以
在没有外力的情况下等于一个不随时间改变的常量。这就是动量守恒定律。
2. 时间平移对称性导出机械能守恒
同样两个质点组成的质量系，总机械能是速度 和两个质点相对距离 的函数。虽然速度和位置都随时间变化，但这个机械能对时间平移的对称性要求机械能的表达式本身不显含时间 。所以把时间随意对时间的导数为
按照牛顿第二定律 ,则上式 机械能不随时间改变，具有时间平移对称性。同样，因为有时间平移对称性，所以机械能守恒。
3.旋转对称性与角动量守恒
把一个两质点的质点系中一个质点放置在坐标原点上，然后把整个坐标系旋转一个角度 ，得到坐标和速度的改变分别为
机械能对坐标旋转对称性意味着
对动能有
所以
坐标旋转而势能不变表明这个势能是由一个有心力产生，只是半径的函数，所以体系角动量守恒。
以上只是及其简单的情况，不过从这点也看出。能把表面上完全不相关的事情用严谨的物理定律联系起来，这不得不说是理论物理的一大贡献。
还是那个貌似之前讲过的例子：
记得是3年前吧，四个高中同班同学，在波士顿小聚。天南地北闲聊，聊到了一个话题：如果在金钱和/或职业上，不再有，或者不再需要有什么追求，下半辈子打算干些什么。
Z君自幼热爱文史，结果大环境使然，一路竟读到数学博士，最后搞了精算......他的志向很明确，希望能拿出成块儿的时间，把某某朝代的历史资料研读透彻。挺好。
我没啥大追求，下半辈子只想在一个比 “国家”、“民族”、“意识形态” 这些概念更底层的范畴上搅浑水，或者说，踩油门，最终指向让 “国家”、“民族”、“意识形态” 这些概念，不再有存在的价值。
Y君自幼竞赛出身，自然而然走了P大物院，再到美帝博士的典型道路，现在在某顶校材料系当小教授，终身在望。问起他的志趣，也颇为直白：
希望能有些时间，进修一下现代数学，好能达到，能看得懂最前沿的理论物理论文都写的是些什么的程度即可。
Y君的表述，更坚定了我下半辈子从事 “踩油门” 事业的决心了。
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