比较高深的数学在经济学有哪些运用相当漂亮？

说句老实话，绝大部分的经济学用不到什么“高深”的数学，大部分都是一百多年前就well-developed的数学成果（当然像Ito’s Lemma之类的比较晚）。如果要归纳，无外乎几大类：实分析 real analysis (see baby Rudin, or more advanced, Real Analysis by Folland), 拓扑 topology (mainly point-set topology, see Topology by Munkres), 测度论 measure theory (see Real Analysis: Measure Theory, integration, and Hilbert Spaces by E.M. Stein), 以及偏应数的optimization (see A First Course in Optimization Theory by Sundaram)，differential equations, probability theory including stochastic process and stochastic calculus (这方面的书太多了），当然还有更为基础的像微积分，线性代数，set theory之类的就不提了，以及少部分的logic, abstract algebra（以及其它我不知道）的东西的应用。这些数学是一个数学系的稍微advanced一点的本科生完全可以学到或者有能力自学的，所以完全谈不上高深。

在应用方面，肯定是做micro theory的，做theoretical metrics的以及做finance的人用到的数学最多。一些风格的macro (e.g. Chicago, Minnesota)也会很注重数学，具体可见宏观数学工具书SLP。当然，对于比较rigorous的经济学trainning，实分析就是基础的基础了。你没必要必须是一个数学方面的expert，但最基本的background要有。

总的来说，数学是经济学家用来表达观点的一种较为formal和rigorous的语言，所以其实和英语没什么本质区别。国内的本科经济学教育似乎不是基于严格的数学理论的基础之上的，但美国的本科经济学教育似乎又过于强调数学，使得有些人（比如说我）以为数学才是学习经济学最为重要的部分，以至于忽略了对更为重要的“直觉”的培养。其实说白了，数学对于经济学来说就是一个表达想法工具，甚至在很多过来人看来（比如敝系的V教授，当然他很快就会成为UPenn的V教授了），数学其实远没有英语重要。

这里扯一点点比较relevant的题外话，本科低年级的时候，我觉得做theoretical math的人才是最牛逼的，因为他们能handle非常抽象的东西。后来，我觉得做theoretical economics的人才是最牛逼的，因为他们不仅能handle非常抽象的数学理论，而且还能用数学model人类的行为。再后来，我觉得做macro的人才是最牛逼的，因为在某种程度上，宏观的一些思想已经可以上升到哲学高度了。一句话，在经济学中，ideas是最最重要的。有了想法以后，你确实需要证明一系列的lemmas or theorems，或者写一些程序run一些实际的数据去验证你的想法。但这些都无法和”想法“相提并论。theorem证不出来，找个数学系的人帮你证就好了，code写不出来，找个CS的人帮你写就好了。没什么大不了的。

“想法”的重要性和奇妙性甚至还体现在纯粹的经济学领域的数学证明里。其实真正漂亮的证明，并不是要用多么“高深”的数学知识，而是能用简单的数学表达出深刻的想法。比如mechanism design应该算是微观里面最难的部分了，VCG mechanism用到的数学实在是简单得不能再简单了，基本就是proof by contradiction，但表达的ideas（(1) it charges each individual the harm they cause to other bidders (2) It also gives bidders an incentive to bid their true valuations, by ensuring that the optimal strategy for each bidder is to bid their true valuations of the items）会让人觉得很神奇。再比如Maskin’s theorems or Gibbard-Satterthwaite之类的，用到的数学知识也极其基础，基本就是set theory以及反复用事先定义好的几个definition，但是证明的方法实在是很精妙。

下面举几个不太trivial的或许对题主有帮助的例子（但其实也就是很普通的例子啦。基本高级微观都能学到）: 1. Fixed Point theorems in general equilibrium theory and dynamic programming 2. Measure Theory and large economies 3. Differential Topology and smooth economies 4. Arrow’s Impossibility Theorem and ultrafilters 5. briefly discussing a paper: Richter (1980)

1. Fixed Point theorems in general equilibrium theory and dynamic programming

Fixed point theorems应该算是algebraic topology范畴（当然，也可以用elementary multidimensional integral calculus and the Weierstrass Approximation Theorem直接证明），在经济学里的应用非常之广。最有名的大概要数证明the existence of (mixed-strategy) Nash equilibrium for any normal form game了。思路很简单，定义过best response correspondence之后只用check Kakutani (见下图）的每一个条件就好了。鉴于之前已经有人提到过，这里就不多说了。

另外一个很有名的应用是在一般均衡理论里，关于证明competitive equilibrium的存在。此处附上两个existence theorems。Theorem里的Z就是aggregate excess demand function。第一个直接apply Brouwer’s fixed point theorem (确切点说是Brouwer的一个推论，见下图），证明很简单，所以附上。当然第一个existence theorem是有很明显的局限性的。因为它只能保证aggregate excess demand小于或等于0，而不能保证excess demand一定等于0。第二个apply Kakutani’s fixed point theorem，证明要复杂的多得多，所以就不附上证明了。有兴趣的话可以看MWG。

还有一个典型的例子是在DSGE模型里，我们都会有一个sequence problem，但由于objective function是infinitely many periods的，solution很难找。这时候通过一些额外的assumptions，我们可以把sequence problem转化成一个solving functional equation的问题。这时候为了证明solution to functional equation的存在性，我们就用到了Banach’s Fixed point theorem (also called the contraction mapping theorem)。更详细地说就是，你首先定义一个operator (具体例子如下图）。

然后用Blackwell’s sufficient condition for a contraction去证明这个operator是一个contraction。最后再用contraction mapping theorem就可以证明solution to FE是存在的了。

2. Measure Theory and large economies

Large economies 也就是说there are a continuum of agents，motivated by non-convex preferences. 当preference不是convex的时候，我们不能保证competitive equilibrium的存在。但如果there are a continuum of agents (e.g. all the traders are in T=[0,1])，Aumann1964和1966年的两篇Econometrica 证明了在一定条件下，即使preference连weakly convex都不是，competitive equilibrium仍然存在。其中一个至关重要的条件，就是preferences are measurable (i.e. open contour sets are Lebesgue measurable in T)。

3. Differential Topology and smooth economies

Smooth economies 主要是针对Sonnenschein’s conjecture提出的一个partial solution。 Sonnenschein’sconjecture 是一个相对很negative的结果，大致意思是说(loosely speaking)，任何满足Walras’ Law, homogeneous of degree 1, 和continuity的函数都可以是一个aggregate excess demand function。这就导致了equilibrium price vectors可能连locally unique都不是，更别提unique了。我们通常能想到的应对这种问题的方法就是给individual excess demand function增加额外的条件，使得最终能够保证equilibrium price vectors是locally unique的。但是很遗憾，Sonnenschein, Debreu, Mantel等几个人证明了aggregate excess demand function仅能继承individual excess demand function的部分性质：continuity，Walras’ Law, homogeneous of degree 1, and a boundary condition. 也就是说，任何aggregate excess demand function都可能induce ”bad-behaved” economies. Debreu 通过使每个individual excess demand function是smooth的（i.e. continuously differentiable），以及一些别的条件，可以保证the set of “bad-behaved” economies是measure 0的，进而部分的解决了Sonnenschein提出的问题。具体地证明用到了differential topology的东西，感兴趣的话可以看Debreu 1970的econometrica和1976的AER.

4. Arrow’s Impossibility Theorem and ultrafilters

我曾在一个答案里提到过 Arrow’s Impossibility Theorem主要有两种证明方法（背景知识，具体见「阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem） 」为什么反直觉？ - Lichen 的回答），一种只用到了最基本的set theory，但过程比较tedious，另一种用ultrafilters的方法，过程简化很多。总的来说，ultrafilter是一个用来capture一个set有多大的数学概念。最早是由匈牙利数学家Frigyes Riesz在1908年提出的。假设 H is a collection of “large” subsets of a non‐empty set N，我们很自然的会想到N应该在H里，但是空集不应该在H里。另外比较符合直觉的还有，如果A在H里并且A包含在B中，那么B也应该在H里。进而就有了如下的定义：

要证明Arrow’s Impossibility Theorem，也就是要证明一个同时满足（1）可以产生集体决策（2）Pareto optimality (3) IIA 的social choice function一定会导致独裁。说白了就是你要在set of agents, call it N, 里找到一个dictator。利用ultrafilter的概念，我们只需要几个简单的步骤就可以找到了。

步骤一，我需要介绍一个叫做principal ultrafilter 的新定义：Let G be a nonempty subset of N. The principal filter generated by G is a set P={Z ⊆ N | G ⊆Z} . P is called a principal ultrafilter if P is an ultrafilter on N.

步骤二，我证明一个lemma：If a principal filter P generated by a set G⊆ N is an ultrafilter, then G is a one‐element set.

步骤三，我证明Every filter on a finite set is principal. 进而证明Every ultrafilter on a finite set is principal.

最后，我只要通过逐一check ultrafilter的定义就可以证明出the set of dictatorial sets 是一个ultrafilter。由于Arrow的定理里规定了set of agents必须是finite的，我就可以用步骤三得到the set of dictatorial sets是principal的。再通过步骤二，我知道the set of dictatorial sets是一个只有一个元素的集合。因此我就找到了一个dictator。对比Arrow原来的证明，你会发现用ultrafilter的方法可以把证明简化很多。

5. Richter (1980)

Marcel K. Richter是我一直以来非常崇敬和爱戴的理论经济学家。他无私地帮助每一个学生，open for any questions，对数学的狂热，治学的严谨态度（具体可见Daniel McFadden谈过的关于Richter的”three-paper Rule”)，以及一辈子坚持做理论（从未涉及应用方面的东西）都让我由衷的敬佩。很多时候，我都不知道我该怎么表达我对他的感激之情。时至今日，他已经过世将近一周年了，再次寄托对他的哀思。

总的来说，他是一个很善于用新的数学方法去简化或者develop理论经济学上的证明的一个人。典型的例子如他1966年的一篇econometrica （此处引用他的学生在Rationality and Equilibrium – A Symposium in honor of Marcel K. Richter 的前言里写的评价：“A good representative of Ket Richter’s work is his 1966 Econometrica paper “Revealed Preference Theory.” This paper has had a profound influence, not only on the problem of preference characterization, but also on the use of powerful logical tools in economic theory. Using set theory and mathematical logic, it provided a simple, clear, and general method to address the topic of consumer rationality, which strongly contrasted with the complex alternative literature on revealed preference and integrability theory. ”）

这里想简单说一下他1980的这篇IER。Richter曾告诉我，这篇paper是他专门写给学生们看的。他通过用点集拓扑以及set theory的一些知识完全简化了Debreu关于continuous utility representation存在性的一个非常fundamental的theorem（具体见下面的截图，只要学过高级微观，是肯定会见过这个theorem）的证明以及Rader's theorem concerning the existence of semi-continuous utility representation的证明，以此来告诉学生学习set theory和拓扑对于学习经济学（或者更精确讲，某些经济学）的意义。

关于Debreu那个theorem的证明，基本思想是很简单的（此处用英文简单说一下）。Since every indifference curve of a complete preorder preference is an equivalent class, we can map it to a strictly linear ordering set where each element is a countable dense subset of the corresponding equivalence class. Then by using the very good property of quotient topology, we can map the elements of the strictly linear ordering set to the real line. The proof can then be established by Continuum Characterization Theorem by Fraenkel.

在此附上link，非常推荐有兴趣的人读一读：Continuous and Semi-Continuous Utility on JSTOR

6. 一些话

感谢题主能够提出这样一个问题，给了我最初的motivation写下这些段落。算是对于我而言的对一个时代的告别。虽然PhD一年级整整一年都被我荒废过去了（即使是在复习qualify的时候），但我对于学习经济学的理念还是发生了巨大的改变（换句话说，我原本的世界观基本崩塌了）。很多人都和曾经的我一样（包括一些数学系的教授），对经济学有个误区，以为数学学得好，经济学就能很牛逼了。这实在是太低估经济学作为一个学科的存在价值了。经济学在成为一门science之前（当然这个仍有争议），首先是一个关乎”人“的学科。即使再抽象的理论和模型，也是基于对现实世界中人类行为的观察和理解。反过来，现实生活中的一些不太符合常规的现象也给了经济学模型修正和解释的空间，比如微观上有名的Ellsberg Paradox或者宏观里很有名的Equity Premium Puzzle等等。

从明天起，我就要开始学着从经济学的角度思考问题啦~

References

(就不按正式的格式写了，仅附上标题和人名。有兴趣的话可以搜一搜）

Rudin, Principles of Mathematical Analysis

Folland, Real Analysis

Munkres, Topology

Halmos, Naive Set Theory

Stein, Real Analysis: Measure Theory, integration, and Hilbert Spaces

Sundaram, A First Course in Optimization Theory

Stokey, Lucas and Prescott (SLP), Recursive methods in economic dynamics

Aumann, R. J. (1964). Markets with a continuum of traders.

Aumann, R. J. (1966). Existence of competitive equilibria in markets with a continuum of traders.

Debreu, G. (1970). Economies with a finite set of equilibria.

Debreu, G. (1976). Regular differentiable economies. The American Economic Review

Arrow, A Difficulty in the concept of social welfare

Richter M.K. (1966), Revealed Preference Theory

Richter M.K. (1980), Continuous and Semi-continuous Utility