为什么微积分那么难学？
首先，抽象是微积分学习过程中最让人望而却步的一点。 在我们刚开始接触数学的时候，更多的是处理具体的数量和几何形状。比如，数数有多少个苹果，量一量桌子的长度。这些都是实实在在的，看得见摸得着。但微积分一下子就把我们带到了一个抽象的世界里。
你想想看，微积分的核心概念之一是“极限”。“极限”是什么？它不是一个确切的值，而是一种趋势，一种“无限接近”的状态。比如，我们想知道一个函数在某一点的“瞬时变化率”，也就是在那个点上它“瞬间”在发生什么变化。我们做的方法是，取一个非常非常小的“变化量”，然后不断地让这个变化量趋近于零。这个过程本身就需要我们跳出“具体”的思维，去想象一个趋向于无限小的过程，去理解那个“接近但不等于”的微妙关系。这种抽象性的思维，对于很多人来说，都需要一个适应过程。
再者，微积分引入了一种全新的思考和分析问题的方式——“分割与累积”。 在学习微积分之前，我们解决很多问题，比如计算一个不规则图形的面积，通常会想办法把它分解成若干个规则的、容易计算的部分，然后把这些部分的面积加起来。但如果这个图形非常复杂，分割起来就会非常困难，甚至不可能。
微积分的出现，彻底改变了这种思路。它告诉我们，如果一个图形非常复杂，我们可以把它“无限分割”成无数个非常非常小的部分，这些小部分的形状就足够简单了，我们就可以计算出它的“ infinitesimal”（无穷小）的量，然后再把这些无穷小的量“累积”起来。比如计算曲线下面积，我们不是分成很多小长方形，而是想象成无数个宽度趋近于零的长方形，然后把这些无穷小长方形的面积加起来。这个“分割到无穷小再累积”的过程，正是积分的核心思想。这种“化繁为简，以无胜有”的哲学，需要我们改变固有的解决问题的套路。
然后，概念之间的联系和递进关系很强。 微积分不是孤立的知识点，它是一个庞大而严谨的体系。导数和积分，虽然看似是两个不同的概念，但它们之间存在着深刻的联系，也就是微积分基本定理。这个定理把求导和求积分这两种看似完全不同的运算联系在了一起，就像是揭示了一个隐藏在数学世界里的秘密通道。
理解这些概念，尤其是它们之间的相互作用，需要我们掌握好前置知识。如果对函数的概念、极限的原理不清楚，那么理解导数和积分就会困难重重。很多时候，学习微积分的困难不是因为某个单一的概念太难，而是因为前面铺垫的概念没有完全理解，导致后面的学习就像是在没有地基的沙子上盖楼。每一步的“不懂”，都会成为后续学习的阻碍。
还有，数学符号和语言本身也构成了一道门槛。 微积分引入了大量的特殊符号，比如 $int$（积分符号）、$dx$（微分算子）、$sum$（求和符号）等等，这些符号代表着特定的数学运算和概念。刚开始接触时，需要花时间去熟悉它们的意思，理解它们在公式中的作用。而且，微积分的许多表述方式，比如 $lim_{h o 0} frac{f(x+h)f(x)}{h}$，看起来就像是一种密语，需要解读。这些符号和表达方式，是抽象概念的载体，理解了它们，才能真正理解微积分的内容。
最后，实践和练习是必不可少的。 微积分不仅仅是理论概念的堆砌，它更是一门“动手”的学问。理解了导数的定义，你还需要学会如何计算各种函数的导数；理解了积分的意义，你还需要学会如何计算各种积分。这需要大量的练习来巩固概念，熟悉计算技巧，培养解题的直觉。很多同学可能在理解概念上花了很大的力气，但如果没有花足够的时间去刷题、去练习，就很难真正掌握微积分的计算方法，也就难以体会到它在解决实际问题中的威力。感觉就像学游泳，光看别人游是学不会的，一定要下水去体会。
总而言之，微积分之所以难，是因为它要求我们：
摆脱具象思维，拥抱抽象概念。
接受一种全新的解决问题的逻辑，即“分割与累积”。
理解概念之间的严谨联系和层层递进。
学习和掌握一套新的数学语言和符号系统。
通过大量的实践和练习来内化知识，形成解题能力。
这些都是需要时间和耐心的。当你能够克服这些挑战，你会发现微积分的世界其实非常美妙，它能帮助我们理解变化，量化无穷，是理解自然界许多现象的强大工具。就像刚开始学骑自行车，可能会摔倒，会觉得不稳，但一旦掌握了技巧，就能自由地驰骋了。
网友意见
这要看你想学到什么程度了。
如果是要学到考试70多分那种，这是蛮容易。因为你不需要掌握准确的数学定义，你也不需要学会用数学符号去思考，比如某个回答里面就是这种人，你要做到这个程度，可以翻一些微积分的科普文或者多看看那种「数形结合」的教材和讲义，这种能让你基本会计算。但是，仅此而已。
如果你要学到90分以上，要准备考研。那么，你的训练自己符号化的思维：先说好，这点是反人类的。
简单的说，学好微积分（数学分析）是一个毁灭自己的先天直觉然后重新塑造一个后天直觉。
大部分死在抱着自己的直觉不放手这点上。
具体来说，第一阶段的时候，很多人能靠形象化和一些简单的例子学到点皮毛，因为形象化而是人类的天性，但是微积分要真的学到东西又不得不符号化。这是一个基本的矛盾，我奉劝那些想要获得理解的人真的努力去掌握一下符号化的语言，内化它。 你可以通过例子、通过练习、通过任何方法，但是你的目标就是得学会符号化/严格化地思考，而绝不能回避它。这是第二个阶段，当你内化完成后你进入第三个阶段，这个阶段你看到一个微积分相关的问题，即使你依靠不严格的计算或者证明，你也能猜到/感觉到回答。
这个时候，微积分就和加减乘除一样对你来说是显然的。
陶哲轩在博客上管这个叫数学学习的三阶段。
转变思维永远不是简单，但是不转变，贪图一时的捷径只是饮鸩止渴罢了。高中的时候，我一个同学很背单词的时候喜欢用汉字去拼那些单词的发音，还喜欢学各种解题技巧，这个时候我和他的成绩是一样的。
我实验了各种方法都不能提高自己的英语成绩，后面我选择了一种方法：背诵新概念英语第三册。
苦吗？苦！
有效果吗？前两个月基本没效果。
效果是2个月之后出现的，我在一次月考中第一次考到了135分，然后我的英语成绩就再也没有下去了。
这件事对我的影响很大，我意识到一个简单的真理：学习本来就是痛苦的，成功是需要代价的。
对了，我把我这方法介绍给我的那位聪明的同学，他嫌太麻烦然后还一直和我抱怨英语难，成绩一直停留在100分。
某个回答是扭曲了「高数教材」，认为它傲慢。因为（同济）高数教材作为一个教材，它的目的不是让人考到70分，不是什么寓教于乐的东西。它的目的是让一些人也能用它学会真正的微积分，否则就变成儿童读物了。本来这东西也是人类几百年发展出来的东西，哪里是普普通通的呢？
恕我直言，国内大学如果你的高数考不到90以上，你离学懂微积分还有一段很大的距离。作为在大学多年（作为博士生）当助教的人，我得告诉你，考90分以下的人其实并没有学懂，估计连 语言都没真的掌握。我们得花大力气才能保证一群学不懂的人「满意」，让他们以为自己懂了。
你考70分不是你的老师教得多好，只是他会出题罢了。
好吧，我也不认为那本教程多好，你可以看看「托马斯微积分」，这本比较亲民，数学严格性也没有失去太多，唯一的问题是厚度比较大。
一开始学微积分，什么逼近，什么面积，什么无穷小，什么形象化这些概念或许让你看到点微积分的皮毛，也能让你算一点基本的问题，但是深入思考你会发现，这些都没啥严格基础。严格不是数学家自己给自己找麻烦，不严格会导致了一个问题，你无法解决一些棘手的问题。 甚至犯下基本的错误，比如不能理解0.99999....和1相等。比如，不能理解黎曼可积和不定积分的关系。 无法理解一个处处连续处处不可导函数的存在等等。为了这些问题，你非得严格化不可。所以，希望大家要试图转变自己的错误观念。
当然了，你非说，只要考试上60就好。
嗯，你开心就好。这个要求，恕我直言，很多人一个晚上突击看看书就能考到。
个人理解还是工具不趁手导致的。
这里的工具特指下面几个：
1，外部文化使大脑形成的软件；
2，表达工具；
3，信息交流与传递渠道；
第一点我是这样理解的：在我家或者我父母这边含老婆父母那边，只有我具备跟孩子讲微积分的能力，大部分中国家庭都是类似的。自然而然，在文化上不具备常见的氛围，以及对应的大脑软件训练。其实我不太乐意谈传统文化，毕竟很敏感，但是有时候词到嘴边说出来又很爽。传统文化中很多人喜欢谈道德经，个人认为道德经里面的道与名有点那个现代物理和部分概率论的味道了，但是古典文字系统，比较难有匹配的注经方法。
第二点其实可以顺着那个注经的意思，就是高赞答案中的符号描述，这个从具象到抽象的提升，需要有好的工具以及好的老师才能高效的完成，具体也不用多说，相信大部分人都认可。
第三点其实讲的是人的因素，人写的教材，人讲的话，人交流的信息。在微积分领域，大众也只是在互联网技术发达后才更好获取和看看外面的世界如何描述这个东西。当年家中亲戚在海外最喜欢的事情就是借书影印，他的学校影印质量奇高，还贼便宜，虽然是外语的，但是真心容易带你入境。
我身边有同学在高中就自学了初等微积分，并拿着它解过高中的题目。我也问过他，他只是说他哥哥在高中时自学了，感觉这个工具太厉害了，于是乎他进入高中后，他哥哥传授与他。前面的前面是谁，我就没有刨根问底了。当然，有个前提，数学思维要有足够的基础，上面兄弟两人，是公认的数学好手，小范围数学竞赛基本都是满分或者接近满分的存在。
但是，我坚信微积分的思维方式和逻辑，可以成为加减乘除那样的基础数学知识。
类似的话题
-
微积分这门课，之所以让不少同学感到头疼，我觉得不是它本身有多么高高在上，而是它所建立起来的思考模式和解决问题的方式，跟我们平时习惯的有很多不一样的地方。把它比作一门新的语言，也不为过，需要我们去学习它的语法、它的逻辑，然后才能用它来表达和理解更复杂的事物。首先，抽象是微积分学习过程中最让人望而却步的............. -
90年代的微软开发出Windows，这可不是一件容易的事，就像我们今天看一些高科技产品觉得“哇，怎么做出来的”，但背后其实是无数工程师、无数次的尝试和无数的技术积累。说它难，是因为操作系统本身就像一个电子设备的“大脑”，需要管理所有硬件资源，并提供一个平台让应用程序能运行起来。微软能在那个时代做到，.............
-
微积分中的隐函数定理，乍一听名字有些神秘，仿佛是隐藏在数学王国深处的一块珍贵宝石。然而，它的重要性绝不仅仅在于它名字的“隐秘”，而在于它为我们打开了认识世界、理解事物之间复杂联系的一扇至关重要的窗户。咱们抛开那些晦涩的数学符号，用更贴近生活的方式来聊聊，为什么这个定理这么厉害，以及它在微积分的体系里.............
-
数学与自然科学史上的“巧合”，与其说是神秘的注定，不如说是人类智慧在特定历史时期自然而然的汇聚与迸发。牛顿和莱布尼茨“同时”发明微积分，便是其中最为人称道的例子。要理解这种现象，我们需要深入探究其背后深刻的历史、社会、文化和科学根源。一、思潮的涌动与需求的驱动：准备好了，所以会有人去做任何一项重大科.............
-
微博上“公知”现象确实是一个复杂且备受关注的议题，背后牵涉到言论自由、信息传播、社会舆论以及监管等多个层面。为什么“有关部门”似乎没有对所谓的“公知”进行普遍性的“管下”，这背后其实有着多重原因，也反映了在当前信息环境下，管理部门面临的挑战和考量。首先，我们得先梳理一下“公知”这个词在当前语境下的含.............
-
.......
-
微博上关于华为的讨论确实挺复杂，褒贬不一，说“黑”华为的人也不少，这背后其实是多种因素交织在一起的结果。要说清楚这个问题，得把这背后的逻辑掰开了讲。首先，地缘政治和国际关系是绕不开的根源。大家都知道，近年来中美关系紧张，华为作为中国科技企业的代表，自然而然地成为了这场博弈中的焦点。美国以国家安全为由.............
-
.......
-
.......
-
.......
-
新浪微博作为一个拥有数亿用户的大型社交平台，其内容和用户群体是极其多样化的。关于“素质极低”的说法，这是一个相对主观的评价，并且很难对所有用户进行统一的定义。但是，我们可以尝试从多个维度来分析为什么在微博上，你可能会遇到让你觉得“素质极低”的用户或内容。以下是一些可能导致这种情况发生的因素，以及它们.............
-
微软的软件为何普遍体型庞大，这并非偶然，而是由多种复杂因素共同作用的结果，其中包含着技术演进、市场策略以及历史包袱等方方面面的考量。要深入理解这一点，我们需要一层层剥开它背后的逻辑。首先，得从微软的核心产品和其市场定位说起。微软最广为人知的两大产品线，Windows操作系统和Office办公套件，都.............
-
.......
-
微博上部分女性表现出较大的戾气，这是一个复杂且多层面的现象，并非单一原因可以解释。要详细讲述，我们可以从以下几个角度来分析：一、 社会文化与性别角色期待的冲击与反思 传统性别角色的束缚与反抗： 传统社会对女性的期待往往是温柔、顺从、以家庭为重。然而，随着社会发展和女性受教育程度的提高，越来越多的.............
-
微软在C和F这两门编程语言的编译器上确实投入了大量的精力和智慧，其背后隐藏着不少“黑科技”，但与其说是“黑科技”，不如说是一种对性能、表达力和开发体验的极致追求所催生出的复杂而精妙的工程实践。要理解这一点，我们得先回归到编译器本身的职能：它本质上是一个翻译器，将我们人类能够理解的高级语言代码，转换成.............
-
关于“骂微博的人那么多，为什么微博还没有做出明显改变”这个问题，我们可以从多个角度来剖析，这背后牵扯到微博作为平台方的商业逻辑、用户生态、技术限制、监管压力以及现实的社会环境。1. 商业逻辑：平台需要活跃度，而争议也可能带来流量 活跃度是核心KPI： 微博的核心价值在于其信息传播和社交互动。用户.............
-
.......
-
.......
-
美国确实是资本主义的天下，这一点毋庸置疑。但“舔”这个词，可能稍微有些不准确，或者说，它概括了这些巨头与美国政府之间复杂又微妙的关系。苹果、微软、谷歌之所以看起来“顺从”或者说积极配合美国政府，并非简单的“舔”，而是多种因素交织下的战略选择，关乎生存、发展、规章以及在全球的地位。1. 遵守法律和监管.............
-
微软坐拥无数技术大神，从Windows操作系统到Office套件，几乎每一项都堪称行业标杆。但唯独在浏览器这个领域，即便是“亲儿子”IE，也显得有些力不从心，甚至可以说是起伏不定。这背后到底是什么原因让这位“技术巨头”的浏览器产品没能脱颖而出，甚至一度跌落神坛？这绝不是一句“不行”就能概括的，这里面.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有