怎么学习算法信息论?
首先，我们需要明确什么是算法信息论，以及它为什么如此重要。
简单来说，算法信息论关注的是信息的“压缩性”，也就是一个对象的“最小描述长度”。这个描述长度不是随意的，而是指能够精确地重构出这个对象所需的最短的计算机程序的长度。想象一下，一个完全随机的字符串，你很难用一个简短的程序来描述它，它就像一个没有任何规律的噪音。但一个有结构的字符串，比如“aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa”，你就可以用一个非常简短的程序来生成它（比如“打印'a'20次”）。算法信息论的核心就是量化这种“规律性”或“压缩性”，它提供了衡量信息复杂度的终极标准。
它之所以重要，是因为它渗透到计算机科学的许多重要领域：
理论计算机科学： 它是理解计算能力极限、随机性本质、可计算性以及计算复杂度的重要基石。
机器学习： 很多现代机器学习模型的设计和优化都蕴含着算法信息论的思想，例如模型的简洁性原则（奥卡姆剃刀）常常与最小描述长度有关。
数据压缩： 它是最高理论的压缩界限，虽然实际的压缩算法往往有工程上的妥协，但理解算法信息论能帮助我们设计更优的压缩策略。
统计学与概率论： 它提供了一种全新的视角来理解概率分布和统计推断。
那么，如何踏上这条学习之路呢？我将其分解为几个阶段，每个阶段都有其侧重点和建议的学习方法。
第一阶段：打牢基础——数学与计算机科学的软实力
在开始算法信息论的“硬菜”之前，你需要具备一些必要的“餐具”。
1. 扎实的数学功底：
离散数学： 这是算法信息论的语言。集合论、逻辑、图论、组合数学是必不可少的。你需要能够理解和操作数学定义，能够进行清晰的逻辑推理。
概率论与统计学： 核心中的核心。你需要深刻理解概率的定义、独立性、条件概率、期望、方差、随机变量、概率分布（特别是离散概率分布）。贝叶斯定理及其在信息论中的应用尤为重要。
可计算性理论（递归论）： 这是算法信息论的另一大基石。你需要了解图灵机模型、可判定性、不可判定性（如停机问题）、图灵等价性。理解什么信息是“可计算”的，什么不是，是算法信息论的起点。
一些基础的数理逻辑知识： 能够理解和构建数学证明。
学习建议：
复习或重新学习大学的离散数学、概率论课程。有很多优秀的教材可供选择，比如 Kenneth H. Rosen 的《离散数学及其应用》，或者 Sheldon Ross 的《概率论基础》。
对于可计算性理论，经典的教材如 Michael Sipser 的《Introduction to the Theory of Computation》是极好的入门读物。
2. 计算机科学基础：
算法与数据结构： 理解算法的效率，特别是时间复杂度和空间复杂度。你需要熟悉基本的排序、搜索算法，以及树、图等数据结构。
编程能力： 你需要能够用一种或多种编程语言（如 Python, C++, Java）来实现一些简单的算法，并且理解程序的结构和工作原理。这有助于你直观地理解“描述长度”的概念。
学习建议：
回顾你熟悉的编程语言和数据结构教材，确保基本概念清晰。
尝试用代码实现一些简单的序列生成器，体会不同描述方式带来的长度差异。
第二阶段：进入核心——经典信息论与概率编码
在数学和CS基础之上，我们开始接触信息论的核心概念。
1. 经典信息论（香农信息论）：
信息熵（Entropy）： 理解熵作为信息量的度量，特别是对于离散随机变量的熵。知道如何计算一个事件发生或一个随机变量取值的“意外程度”。
互信息（Mutual Information）： 理解两个随机变量之间共享的信息量。
信道容量（Channel Capacity）： 了解信息如何通过有噪声的信道传输，以及信道容量的意义。
编码理论（Coding Theory）： 虽然与算法信息论有所区别，但理解信源编码（如霍夫曼编码）和信道编码的思想，能帮助你建立对“压缩”和“错误纠正”的直观认识。
学习建议：
Thomas M. Cover 和 Joy A. Thomas 的《Elements of Information Theory》是信息论领域的“圣经”。可以先从前几章，特别是关于熵、互信息和数据处理不等式的章节开始。
观看一些关于信息论的在线课程或讲座，如 MIT OpenCourseware 上的信息论课程。
2. 概率编码（Probabilistic Encoding）：
理解“根据概率进行编码”的理念。例如，出现概率越高的事件，应该用越短的编码表示。
将这个思想与前面提到的“最短描述长度”联系起来。
学习建议：
思考如何利用概率来“描述”一个对象。一个随机生成的序列，如果其背后的概率分布已知，我们就能用一个生成该分布的算法来“描述”它。
第三阶段：跨越鸿沟——算法信息论的基石
这是算法信息论真正展开的部分，也是最具挑战性的地方。
1. Kolmogorov 复杂度 (KC)：
定义： 这是算法信息论的核心概念。一个字符串 $x$ 的 Kolmogorov 复杂度 $K(x)$ 被定义为能够生成 $x$ 的最短计算机程序的长度（通常以比特为单位）。程序的描述语言需要是通用图灵机可识别的。
不变性原理： 理解不同通用图灵机（或编程语言）之间的描述长度最多相差一个常数，不影响其“复杂度”的相对度量。这保证了 KC 的数学意义是稳健的。
不可计算性： 最重要的一点是，KC 是不可计算的。也就是说，不存在一个算法能够计算出任意字符串的 KC。这直接引出了算法信息论的一些核心问题和思想。
与熵的关系： 理解 KC 与信息熵的联系。对于具有高熵（随机）的字符串，其 KC 接近其长度本身。对于有结构的字符串，其 KC远小于其长度。
学习建议：
核心教材：
Li, Ming, and Vitányi, Paul. An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications. Springer. 这是该领域的经典之作，内容全面且深入。但初读可能会觉得艰深。
Calude, Cristian S. Information and Randomness: An Algebraic Approach to Kolmogorov Complexity. Springer. 另一本经典的参考书，提供了更严谨的数学视角。
Wallace, Chris. Algorithmic Information Theory. Cambridge University Press. 相对较新且易于理解的一些教材。
入门文章和教程： 寻找一些关于 Kolmogorov 复杂度入门的文章和博客。一些学者（如 Marcus Hutter, Cristopher Moore）的讲义或论文导读也会非常有帮助。
理解证明： 重点理解 KC 定义以及它不可计算性的证明。这需要你扎实的数理逻辑和可计算性基础。
2. 随机性（Randomness）：
算法随机性： KC 为我们提供了一个衡量字符串随机性的标准：一个字符串是随机的，当且仅当它的 KC 与其长度相当。这意味着它没有“模式”或“规律”可以被压缩。
Chaitin 的常数 $Omega$： 理解这个“随机实数”的概念。它是一个随机的、不可计算的概率，其二进制表示的每一位都可以被视为一个随机硬币抛掷的结果。Chaitin $Omega$ 的定义依赖于一个特定的通用图灵机，但其不可计算性和随机性与选择何种图灵机关系不大（不变性原理）。
学习建议：
深入理解 KC 定义如何衡量随机性。思考为什么一个不可压缩的字符串就是随机的。
阅读关于 Chaitin 的工作和 $Omega$ 数的文章。它极具哲学意义，并且深刻地揭示了计算与随机性之间的联系。
3. 描述语言与编码模型：
理解程序是如何被“编码”的。通常使用通用图灵机的编码方式，或者固定 alphabet 的二进制编码。
了解如何将各种算法（如排序算法、生成器）表示为程序字符串。
第四阶段：应用与扩展——深化理解
在掌握了基本概念后，开始探索算法信息论的应用和更高级的主题。
1. 算法概率与统计推断：
Minimum Description Length (MDL) 原则： 这是算法信息论最重要的应用之一。MDL 原则认为，最好的模型是能够最小化“数据描述长度”的模型。这里的描述长度包括模型本身的复杂度加上模型对数据的编码长度。它提供了一种通用的模型选择和正则化原则，在机器学习中应用广泛。
算法概率（Algorithmic Probability）： 这是一个基于 KC 的概率理论，由 Ray Solomonoff 提出。它尝试为所有可能的模型或程序分配概率，并用它们来预测未来事件。这是所有模型中最“无偏见”的预测方法，尽管它也是不可计算的。
学习建议：
重点学习 MDL 原则： 阅读关于 MDL 的综述文章和教材。理解它是如何从 KC 思想推导出来的。
了解 Solomonoff 的工作： 这是一个更抽象但非常强大的理论框架。阅读相关论文或介绍性文章。
2. 算法信息论的其他方面：
条件 Kolmogorov 复杂度： $K(x|y)$，描述了在已知 $y$ 的情况下描述 $x$ 所需的最短程序长度。它与互信息有深刻联系。
字符串的模式匹配与 KC： 理解 KC 如何描述字符串的模式和结构。
随机性测试（Randomness Tests）： 由于 KC 不可计算，人们开发了各种统计方法来“测试”一个序列是否“看起来像”随机的。这些测试方法也与算法信息论的思想息息相关。
学习建议：
阅读 Li & Vitányi 的书的后续章节，它们会涵盖这些主题。
关注在机器学习和数据科学领域中应用 MDL 的案例研究。
学习过程中的几个关键点和建议：
循序渐进，不要急于求成： 这是一门需要时间沉淀的学科。先打好基础，理解了KC的不可计算性，再去深入挖掘它的应用。
直觉与严谨并重： 算法信息论既有深刻的直觉（压缩性、随机性），也有非常严谨的数学定义和证明。在学习时，尝试在两者之间建立联系。
多思考，多提问： 很多概念（如 KC 不可计算性）可能初听起来难以置信。多问“为什么”，多追溯定义和证明，会帮助你加深理解。
联系实际应用： 尝试将算法信息论的思想与你熟悉的计算机科学问题联系起来。例如，思考一个复杂的软件系统，它的“算法描述长度”是多少？一个好的软件是否具有“低 KC”？
阅读原始文献（有一定基础后）： 一旦你掌握了基础知识，尝试阅读一些经典论文，如 Kolmogorov、Chaitin、Solomonoff 的早期工作。这能让你感受到这个领域的历史和发展。
参与讨论： 如果有机会，与同行或老师讨论相关概念，交流学习心得。
总结一下，学习算法信息论就像攀登一座高峰。 起点是坚实的数学和计算机科学基础，然后是信息论的经典概念，接着是算法信息论的核心——Kolmogorov 复杂度及其引申出的随机性概念，最后是其在统计推断、机器学习等领域的广泛应用。这条路充满挑战，需要耐心和毅力，但它会为你打开一扇通往计算本质的窗户，让你以一种全新的视角理解信息、复杂度和随机性。祝你在探索算法信息论的旅程中收获满满！
网友意见
与1950年代不同，彼时柯尔莫哥洛夫的工作集中在将信息论应用到数学的各个分支上，而1960年代他创建了新的数学领域：
算法信息论，算法概率论。
通过分析各种信息理论，柯尔莫哥洛夫区分了其中三种方法（[IA]，第251-253页）：
1.纯粹的组合学方法。 2.纯粹的概率论方法。 3.算法方法。
在关于他的信息论著作以及各种应用的评论中（[IA]，第251-253页），柯尔莫哥洛夫描述了第一种方法的本质：
“在组合学方法中，一个包含 个对象的集合，其中某元素能传输的信息量（quantity of information）被视为 的二进制对数（R. Hartley，1928年）。例如，对 个字母的字母表，能组成的不同单词数目是
，
这里 是包含第 个字母的次数（ ）。
对应的信息量是
如果 趋于无穷大，我们可得到如下渐进公式
读者肯定注意到了该式与信息论中表达式的相似性：
“如果我们的工作是通过众所周知的独立试验的模式构建，那么渐近公式（i）是（ii）式和大数定律的显然结果，但是（i）的适用范围是更广的（例如，可参见有关通过非平稳信道传输信息的工作）。总的来说，我认为尽可能消除多余的概率假设非常有用。我在讲课中反复强调过纯粹组合学方法解决信息理论问题的适当价值。
我和我的同事有关 熵和紧函数类的 容量的工作，基于熵的纯组合学方法。这里的 熵 是从一类函数中选择某个函数所需的信息量；而 容量 则是指能由中的元素编码的信息量，若来自 的这些元素（彼此间的距离不小于）可被置信地区分。”
以上已经描述了信息论基本概念的概率方法（1950年代）。对于算法方法，柯尔莫哥洛夫的思路是在算法和可计算函数的基础上定义熵（或者，复杂度）和信息量。
在1963年4月24日莫斯科数学会概率部的报告中，柯尔莫哥洛夫描述了算法方法的本质和背景：
“人们在很多情形下，不得不处理非常长的符号序列。其中一些序列（例如5位对数表中的符号序列）允许用简单的逻辑定义，因此可以通过对简单模式的计算（尽管有时会显得笨拙）来得到。
其他一些序列似乎没法用足够简单的”合理“方式来构建。例如，对于随机数表中相当长的片段，情况就是这样。
这里就出现了构建严格的数学理论以解决这些差异的需要。
让我们遵循信息论的传统，将讨论限于二进制序列，即如下类型：
其中 或 1。记长度为 的此种序列构成的集合是 ， .“
柯尔莫哥洛夫强调，与以上成形的想法相应，在引入序列 的“复杂度”的度量 时，采用不同的方法是可能的，尽管很难避免某些任意性。 柯尔莫哥洛夫在[IA，第253页]中写道：“这项基本发现，是由我与R. Solomonoff独立且同时完成的：即算法理论使我们能够通过近不变性的复杂度来对此任意性加以限制（不同方法的区别仅在于边界项）。”
让我们用自然数来标识每个序列 ，其二进制扩展由有序集 唯一地确定。这种标识使我们能够讨论定义域和值域均在 上的部分递归（可计算）函数 。根据定义，柯尔莫哥洛夫假设对于任一个函数 ，
并称之为模式 下的”对象 的复杂度“。
然后，柯尔莫哥洛夫引入了最优（Optimal）函数 的类 ，其性质为，对于任何其他函数 都存在一个常数C，使得对于所有
。
由柯尔莫哥洛夫和Solomonoff [185]独立发现的基本结果指出，可计算函数 的类 不为空。于是我们总可以构造函数
,
称之为序列 的”复杂度“（复杂性的度量）。在这个意义上，类 的所有最优函数都是等价的，因而 ([K461] [[A-13], page 243)：”从渐进的观点，复杂度 并不依赖于所选最优方法的随机特性“。
与单个对象 的“复杂度” （也称为“简单柯尔莫哥洛夫熵”）一起，柯尔莫哥洛夫引入了对象 相对 的条件熵 ，以及信息 。 [柯尔莫哥洛夫引入的熵 ， ，...与后来发展的“递归函数的复杂度”的概念有密切关联，后者由Schnorr于1970年代引入[166-168]，定义为某函数相对“最优枚举”的数目的对数。]
所有这些概念都由柯尔莫哥洛夫在如下三篇论文得以引入和研究：“定义信息量的三种方法(Three approaches to the definition of the quantity of information)” [K320][IA-10]，“信息论和概率论的逻辑基础(On the logical foundations of information theory and probability theory)” [K354]， [IA-12]和“信息论的组合学基础和概率演算（Combinatorial foundations of information theory and the calculus of probability）” [K461][[A-13]，也可参见他的学生和其他研究人员的工作（更多详细信息，见AH Sheny在[IA]第257-261页的评论）。这些概念催生了算法信息论这一新领域的发展。另见Chaitin的书[28]。
柯尔莫哥洛夫引入的“复杂度”的思想使他重新思考了由0和1组成的序列 ，例如，哪一类可以被视为随机的，哪一类不能。
举个例子，如果某人公正地将无偏硬币扔了 次，并用1和0表示结果，那么对于足够大的 ，结果 或 很难被认为是随机的，尽管从概率的角度来看，每个这样的序列（与其他序列一样）具有相同的概率 。因此，经典概率论无法回答如何区分“随机”和“非随机”序列，以及单个序列的“随机性”的真正含义是什么。
区分无限序列（例如二进制） 的子类的想法可以追溯到 R. von Mises，他使用了德语单词“ Kollectiv”。在他的方案下，要使序列 是“随机的”，必要条件是存在极限 ，其中 是 中1的个数。序列 存在此极限，这表明此条件对于“随机性”是必要的，但绝非充分的。 ”
这就是von Mises 提出进一步要求的原因，他说，序列及其任一无限子序列（通过任何可接受的选择规则得到），1的平均频率应当相同。但是他没有提供确切的定义。 1940年，Church [81]给出了“可接受的选择规则”的可能定义，从而正式定义了随机序列，并使von Mises的概念更为精准。
柯尔莫哥洛夫的工作“关于随机数表（On tables of random numbers）” [K311]，[IA-9]的重要性，正如他在[IA-9]引言中所说的那样，代表了他“尝试理解 von Mises 对概率的频率诠释”的阶段，主要在于引入一种更笼统的选择模式，该模式扩大了可接受的选择规则的类，并指出“子序列中的项的顺序不一定与它们在原序列中的一致”（Loveland在1966年独立获得了这一结果[119，120]）。如此定义的这类序列在von Mises-Kolmogorov-Loveland的意义上称为随机序列的类，且所有这些序列在von Mises（Church）的意义上都是随机的。但是，相反的说法是不正确的（如Loveland所示）。
在[K311]中（另见著作[IA]俄语版204页的“作者评论”），柯尔莫哥洛夫讨论了他对随机选择算法的更宽泛的定义（与von Mises相比），并强调“与von Mises相比，主要差异是整个概念的严格有限的实质，并为频率稳定性引入了定量界限。” 柯尔莫哥洛夫的意思是，可以为足够长的有限序列以及无限序列定义随机性的度量。
由柯尔莫哥洛夫在[K311]中发展的，基于有限选择规则系统的方法，自然可以称为“频率”方法。
后来，柯尔莫哥洛夫与他两位学生Martin-Léf[125]和Levin [107]基于复杂度的概念发展了一种方法，其中复杂度最大的那些序列 被称为随机的。 [由于复杂度 ，那么当度 ，则称序列 是随机的。] 更多详细信息，请参见[IA]第272页。
此后，柯尔莫哥洛夫反复提到“随机性和复杂度”问题。在1970年尼斯举行的国际数学大会上，他作了题为“信息理论和概率演算的组合学基础”的报告，不幸的是，该报告直到1983年才发表[K461][IA-13]。在1982年第比利斯举行的第四届苏联-日本概率论与数理统计研讨会上，柯尔莫哥洛夫作了报告“论概率论的逻辑基础 (On logical foundations of probability theory)” [K462]，[PS-53]，其中他认为“随机性意味着规则（regularity）的缺失”，并解释了有限对象的复杂度概念如何使这一思想变得精确。
柯尔莫哥洛夫和他的学生V. A. Uspenskii撰写的论坛报告“算法和随机性（ Algorithms and randomness ）”提交给了1986年伯努利学会（Bernoulli Society）第一次世界大会，它的全文在[K475]。它包含了柯尔莫哥洛夫与其学生和追随者关于“随机性”定义的算法方法的概念和结果的最详尽的阐述。另可参见论文Zvonkin和Levin [215]和Vovk [207]，以及Li和Vitanyi的详尽研究[112]。
本系列文章翻译自Shiryaev院士在1989年，为他的老师柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）写的长文《Kolmogorov：life and creative activities》（俄文Жизнь и творчество. Биографический очерк ），感谢Shiryaev院士允许我翻译他的著作。
流传的说法——柯尔莫哥洛夫”放弃“概率论，就是指本文讲到的、1960年代柯大师基于算法思想对概率论、信息论的重构工作。
本阶段柯尔莫哥洛夫对确定性、随机性、复杂性、概率论等概念的数学和哲学思考，几乎是他一生兴趣的总结。
本文是系列文章的第九篇，我根据相关内容补充了一些图片。还会间断做些优化更新，准确性、行文等问题，欢迎指教~。
第一篇：宋维凯HEOM：译作——老师柯尔莫戈洛夫的生平和工作（1）：童年和中小学
第二篇：宋维凯HEOM：译作——老师柯尔莫戈洛夫的生平和工作（2）：大学时代
第三篇：宋维凯HEOM：译作——老师柯尔莫戈洛夫的生平和工作（3）：1930年代，现代概率论、随机过程的创立
第七篇：宋维凯HEOM：译作——老师柯尔莫戈洛夫的生平和工作（7）：1950年代之动力系统，三体问题与KAM理论，信息论数学基础，熵
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