如何描述二维物理体系的边缘态？

要理解二维物理体系的边缘态，我们得先抛开那些听起来就让人望而却步的“拓扑”、“朗道能级”之类的术语，试着用更直观的方式来“看”它们。想象一下，我们不是在玩那个抽象的电子游戏，而是在一个真实世界的微观空间里探索。

想象一个“岛屿”和“海洋”

我们先构建一个最基础的二维体系。最简单不过的，就是一块平坦的二维“大陆”，上面住着许许多多的“居民”（粒子）。这些居民在大陆上可以自由地“行走”。

现在，我们给这个大陆加上“海岸线”。这条海岸线就是我们今天要聊的“边缘”。

边缘上的“特别待遇”：为什么居民在这里不一样？

在大多数情况下，大陆内部的居民们生活得“差不多”，他们的能量、运动方式都比较统一。但是，一旦走到海岸边，情况就变了。

守卫的“特殊通道”： 想象一下，大陆的内部就像一个有着严格管理规定的大城市，居民进出都需要遵守各种规则。而边缘，就像一个海关或者边境检查站。在这里，外面的“世界”（也就是海岸线之外的虚空）和大陆内部是隔开的，但总有一些“守卫”或者“特殊通道”允许居民在那里以一种非常规的方式活动。

“单行道”的奇特现象： 最让人觉得奇怪的是，在某些特殊的海岸线（也就是我们说的“狄拉克锥”或者“费米面”上的某些特性），居民们只能沿着海岸线朝一个方向“走”，而不能往反方向去。这就像在很多地方，汽车只能单向行驶，一旦你开始往一个方向走，就很难或者根本不可能掉头往回走。这跟大陆内部居民的“自由选择”方向的权利完全不一样。

“顽固不化”的边缘： 还有一个很关键的点。就算你把大陆内部的“管理规定”改变了，比如改变了居民的“心情”（能量），或者加了新的“规则”（磁场），大陆内部的居民们的生活状态可能会发生翻天覆地的变化，甚至可能就“消失”了（比如变成绝缘体）。但是，这些边缘上的“守卫”或者“单行道”却非常“顽固”，它们会一直存在，而且会顽强地保持那种只能单向移动的特性。除非你把整个海岸线给“推平”了，否则它们就不会消失。

为什么会有这种“边缘现象”？

这一切，归根结底是因为我们构建的这个“大陆”本身有一些非常特别的“内在属性”。

“地质构造”的差异： 想象一下，大陆内部可能有着非常平整的“地层”，居民们在那里遵循一套统一的“物理定律”。但是，到了海岸线，地层突然变得不一样了，可能突然断裂，或者出现了一个新的“地质构造”。这种“地质构造”的改变，就导致了在那里的居民（电子）的行为模式和能量状态和大陆内部的居民完全不同。

“天气预报”的失效： 在大陆内部，我们通常可以用一套“天气预报”来预测居民的行为。但是，边缘上的居民，他们的行为模式和能量状态，已经超出了这套“天气预报”的范畴。他们受到的是一种更“古老”或者说更“基础”的物理规律的支配。

几个更具体的例子，帮助大家理解：

1. “量子霍尔效应”中的边缘态： 想象一下，我们把这个二维大陆放在一个非常强的磁场里。这时候，大陆内部的居民会开始绕着圈子（朗道能级）运动，能量变得很不连续。但是，在海岸线上，那些居民却会沿着海岸线以一个非常稳定的速度，只能朝一个方向前进，而且他们的能量非常固定，几乎不受大陆内部“天气”变化（比如磁场强度微调）的影响。这就像海岸边出现了一条“风平浪静”的“贸易风”，不受内陆季风的影响，永远朝一个方向吹。

2. “拓扑绝缘体”的边缘态： 这种体系更有意思。大陆内部是“绝缘”的，居民们根本无法自由移动，就像一片被冰封的土地。但是，在海岸线上，却出现了一条“解冻的河流”，居民们可以在这条河流里自由地、单向地流动，而且他们的能量状态非常特殊，几乎没有阻碍。即使你把海岸线挖断一点，这条“河流”也会自己“绕过去”，继续保持那种单向流动的特性。

总结一下：

二维物理体系的边缘态，就像是在一个宏观的、有序的二维世界中，沿着其边界出现的一系列异常的、特殊的、常常是单向的、且对内部扰动具有鲁棒性的物理行为。它们不是偶然出现的，而是由体系本身的“内在属性”（比如它的“地质构造”）所决定的。理解这些边缘态，就像是发现了隐藏在表面之下的更深层的物理规律，它们在很多前沿的物理研究和技术应用中都扮演着至关重要的角色。

所以，下次看到什么“边缘态”的时候，不妨想象一下那条特别的海岸线，以及在上面那些只能单向行走、不受内部“天气”轻易影响的居民们。它们是物理世界中一些非常迷人且充满惊喜的存在。

网友意见

谢谢 @paid Pay ，不知道现在回答还有没有用。简要地，我们梳理一下处理问题的逻辑。

1、把二维相互作用物理体系和磁场耦合在一起，做出一些变换，给出一个Chern-simons作用量，然后把费米子部分HS变换掉积分掉费米子场然后做effective field analysis。（凝聚态的作业题）

2、发现得到的有效作用量(Chern-Simons term + 能量)在周期性边条件下是规范不变的，然而在有限大的格点上不是规范不变的，因此我们的有效作用量在有限大的格点上不能得到理论所有的信息，为了构建边缘态理论，我们现在添加一个边界作用量，对于场量依然是二次的，根据规范不变性的要求我们可以得到流关联函数（也就是边界作用量二次型的核），进而发现边界上的流满足KM代数——我们看到无论是IQH和限制性的FQH态都可以用费米液体理论去描述了。（文小刚著名的工作）很显然在一维，这是一套用玻色化的语言去描述边界的动力学。

3、无相互作用的理论是二次的因而非常的简单，由于哈密顿是exactly solvable的，直接的办法就是去找守恒量，接下来我们只考虑离散的情况，找一个合适的gauge，发现H只和一个方向的离散平移算符（动能算符）对易，而和另一个方向不对易，那么就沿着一个方向（例如y）去傅里叶变换然后映射到一个含（ky）参数的1D模型。解1D模型这下子就是一个作业题了，转移矩阵、追赶法一票方法都可以。连续情况相对来说就是大家上课学习的：求解本征函数拿slater套一下即可。

最后，随手写个最短的，方格子在磁场里的。

       M=100; alpha = 1/5; tx = 1; ty = 1; step_ky = 100;  ky_list = linspace(-pi,pi,step_ky); eigen_list = zeros(step_ky,M); for i = 1:step_ky     temp = create_H(M,alpha,tx,ty,ky_list(i));     eigen_list(i,:) = eig(temp); end plot(ky_list,eigen_list,'.k','MarkerSize',1,'MarkerFaceColor','k')  function H = create_H(M,alpha,tx,ty,ky) d = zeros(M,1); d1 = -tx*ones(M-1,1); for m = 1:M     d(m) = -2*ty*cos(ky  - 2*pi*alpha*m); end  H = diag(d) + diag(d1,1) + diag(d1,-1);  end     

最后我们考虑一个有限大小的格子，那就是一个TB模型，三四行代码就可以了。。会发现bulk(也就是浓密的本征谱)里面还可以混着一些稀疏的态，那些边缘态了，不信你把相应态矢量对应的密度分布画出来。

有了这样一个入门，相信做其他的二维体系，更加复杂的情况，都是更加容易的了，这个答案就当抛砖引玉了。

参考佟大为的QHE lecture note，格点二维+磁场入门可以看Aidelsburg非常棒的一个博士论文。

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看了看别的答案，发现自己说了一堆detail没有说最重要的。就是怎么去看symmetry, topology和edge-bulk correspondence..... 对于二次的体系这个已经比较清楚了,我也是挑简单的办法去说。由于这个体系可以用平移对称性map到一个含kx,ky参数0-D量子系统(所谓的单粒子图景)，而0-D量子系统的波函数与参数所在空间的拓扑，可以简单的用wilson loop去看，这其中就诞生出了很多拓扑不变量，而边缘态就可以发生在拓扑不等价的两个2D体系之间。

我们举一个最简单的例子，从准经典的图景，这些拓扑数标志着电子怎么转: 因为在参数空间中，我们有 ，其中B是波函数的curvature，符号不同，打转方式不同。

最后加上拓扑，陈数之外就得更加的细分了, 如果有TR，C = 0，但是我们进一步可以定义spin C（无耦合）和Z2，这就进入了拓扑绝缘体理论了。

经过提醒，程序中的M不宜取100，应当取137之类的数字。

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