为什么群元素要相乘，而不是其他运算呢？
这个问题问得很好，也触及了群论的核心。我们为什么要把群里的元素“相乘”呢？感觉有点随意，对吧？其实，这背后有着深刻的原因，而且所谓的“相乘”也不是我们平常理解的那个简单的乘法。
首先，我们得明确，群论里的“运算”并不是预设好的，而是我们为了描述一类集合及其上的一种关系而“规定”的。就像我们定义数字的加法和乘法一样，群的运算也是一种抽象的概念。我们之所以选择一个类似“乘法”的符号，比如 $a cdot b$ 或者 $ab$，是因为它在很多我们熟悉的数学对象中都自然出现，并且能很好地捕捉到这些对象的组合性质。
为什么“相乘”这个概念如此普适和重要？
1. 组合的自然表达： 生活中有很多现象，我们可以通过将事物“组合”起来产生新的事物，而且这种组合是有顺序和规律的。
几何变换： 想象一下，你先旋转一个正方形，再平移它。这两次操作可以看作是两个“群元素”。你把这两个操作合起来，得到一个新的操作（先旋转后平移）。这个“合起来”的过程，我们就可以用一个运算来表示。如果一个操作是 $A$，另一个是 $B$，那么“先 $A$ 后 $B$”这个组合操作，我们就可以记为 $B circ A$（注意顺序）。这和我们写 $ab$ 类似，表示两个元素的“作用”或“组合”。
函数的复合： 如果我们有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，我们可以定义它们的复合函数 $(g circ f)(x) = g(f(x))$。这个复合操作，同样是把两个函数“组合”起来。
数字的乘法： 数字的乘法本身就是一种重复的加法，$3 imes 4$ 就是 $3+3+3+3$。或者说，乘法可以看作是数的伸缩（缩放）。
排列的组合： 考虑一个集合 ${1, 2, 3}$ 的排列。比如，先将 1 和 2 交换，再将 2 和 3 交换。这两次“置换”操作合起来，就是一个新的置换。这种操作的组合，非常自然地遵循群的规则。
2. 抽象的统一性： 群论的强大之处在于，它能把这些看起来不相关的操作（旋转、函数复合、排列）统一在同一个抽象框架下。我们不需要关心具体是什么操作，只需要关心它们是否满足群的四个公理：封闭性、结合律、单位元和逆元。而“相乘”这个记号，恰恰是一种非常通用的方式来表示这种满足公理的组合过程。
3. 历史的惯性与便利性： 最初发展群论的时候，很多研究都源于解决多项式方程的根的置换群（伽罗瓦理论）。在置换群中，操作就是“置换”，置换的组合自然就是执行完一个置换再执行另一个置换，这和我们理解的“相乘”非常接近。而且，用乘法记号比用其他符号（比如加号）更有“执行”或“作用”的意味，显得更主动，更符合“组合”的直观感觉。
为什么不是其他运算？
让我们想想，如果用加法 (+) 来表示群的运算，会怎么样？
直观上的不符： 很多群的例子，比如几何变换，用加法来描述就很别扭。你不会说“旋转加上平移”吧？
概念上的混淆： 我们已经习惯了加法表示累加、合并等操作。如果群里的运算是加法，那它和我们熟悉的加法有什么区别？如果一样，那群论就成了普通的数论，失去其普遍性；如果不一样，又会造成概念上的混乱。
性质上的不匹配： 虽然某些群（例如整数集 $mathbb{Z}$ 在加法下构成一个群）确实使用加法作为运算，但许多群并不满足加法的性质。比如，在置换群中，操作的顺序很重要， $AB eq BA$ 是常有的事，这和普通加法交换律 $a+b=b+a$ 不同。用“乘法”记号，可以更灵活地处理非交换的情况。即使是交换群，我们也可以用加法或乘法来记号，但乘法记号显得更通用。
“相乘”的真正含义：
需要强调的是，群里的“相乘”不是指我们小学学的 $3 imes 4 = 12$ 这种具体的数值计算。它是一种抽象的组合规则。
对于几何变换群，它是变换的先后顺序执行。
对于函数群，它是函数的复合。
对于置换群，它是置换的执行。
对于矩阵群，它是矩阵的乘法。
对于整数模 $n$ 加法群，它其实是模 $n$ 加法，但我们仍然可以用加号记号来表示。甚至为了与更一般的群保持一致，有时我们也会用乘法符号，只不过在这个特定例子里，它表现出了加法的性质。
总结来说，群元素相乘这个“说法”和符号选择，是一种高度抽象和通用的表示方式，因为它：
1. 能自然地捕捉到各种数学和现实世界中的组合、变换和作用过程。
2. 提供了一种统一的语言来描述不同对象的结构和性质。
3. 避免了与特定具体运算概念的混淆，保留了其抽象的灵活性。
4. 遵循了数学发展中由具体到抽象的惯例，且记号本身具有一定的直观性。
所以，当我们谈论群元素“相乘”时，请将其理解为一种对两个元素进行“组合”并产生另一个群内元素的抽象操作，这个操作遵循群的公理，而不是狭义的数值乘法。这种“乘法”就像一个万能的连接器，将各种数学对象按照特定的规则组合起来，展现出其内在的结构美。
首先，我们得明确，群论里的“运算”并不是预设好的，而是我们为了描述一类集合及其上的一种关系而“规定”的。就像我们定义数字的加法和乘法一样，群的运算也是一种抽象的概念。我们之所以选择一个类似“乘法”的符号，比如 $a cdot b$ 或者 $ab$，是因为它在很多我们熟悉的数学对象中都自然出现，并且能很好地捕捉到这些对象的组合性质。
为什么“相乘”这个概念如此普适和重要？
1. 组合的自然表达： 生活中有很多现象，我们可以通过将事物“组合”起来产生新的事物，而且这种组合是有顺序和规律的。
几何变换： 想象一下，你先旋转一个正方形，再平移它。这两次操作可以看作是两个“群元素”。你把这两个操作合起来，得到一个新的操作（先旋转后平移）。这个“合起来”的过程，我们就可以用一个运算来表示。如果一个操作是 $A$，另一个是 $B$，那么“先 $A$ 后 $B$”这个组合操作，我们就可以记为 $B circ A$（注意顺序）。这和我们写 $ab$ 类似，表示两个元素的“作用”或“组合”。
函数的复合： 如果我们有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，我们可以定义它们的复合函数 $(g circ f)(x) = g(f(x))$。这个复合操作，同样是把两个函数“组合”起来。
数字的乘法： 数字的乘法本身就是一种重复的加法，$3 imes 4$ 就是 $3+3+3+3$。或者说，乘法可以看作是数的伸缩（缩放）。
排列的组合： 考虑一个集合 ${1, 2, 3}$ 的排列。比如，先将 1 和 2 交换，再将 2 和 3 交换。这两次“置换”操作合起来，就是一个新的置换。这种操作的组合，非常自然地遵循群的规则。
2. 抽象的统一性： 群论的强大之处在于，它能把这些看起来不相关的操作（旋转、函数复合、排列）统一在同一个抽象框架下。我们不需要关心具体是什么操作，只需要关心它们是否满足群的四个公理：封闭性、结合律、单位元和逆元。而“相乘”这个记号，恰恰是一种非常通用的方式来表示这种满足公理的组合过程。
3. 历史的惯性与便利性： 最初发展群论的时候，很多研究都源于解决多项式方程的根的置换群（伽罗瓦理论）。在置换群中，操作就是“置换”，置换的组合自然就是执行完一个置换再执行另一个置换，这和我们理解的“相乘”非常接近。而且，用乘法记号比用其他符号（比如加号）更有“执行”或“作用”的意味，显得更主动，更符合“组合”的直观感觉。
为什么不是其他运算？
让我们想想，如果用加法 (+) 来表示群的运算，会怎么样？
直观上的不符： 很多群的例子，比如几何变换，用加法来描述就很别扭。你不会说“旋转加上平移”吧？
概念上的混淆： 我们已经习惯了加法表示累加、合并等操作。如果群里的运算是加法，那它和我们熟悉的加法有什么区别？如果一样，那群论就成了普通的数论，失去其普遍性；如果不一样，又会造成概念上的混乱。
性质上的不匹配： 虽然某些群（例如整数集 $mathbb{Z}$ 在加法下构成一个群）确实使用加法作为运算，但许多群并不满足加法的性质。比如，在置换群中，操作的顺序很重要， $AB eq BA$ 是常有的事，这和普通加法交换律 $a+b=b+a$ 不同。用“乘法”记号，可以更灵活地处理非交换的情况。即使是交换群，我们也可以用加法或乘法来记号，但乘法记号显得更通用。
“相乘”的真正含义：
需要强调的是，群里的“相乘”不是指我们小学学的 $3 imes 4 = 12$ 这种具体的数值计算。它是一种抽象的组合规则。
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对于置换群，它是置换的执行。
对于矩阵群，它是矩阵的乘法。
对于整数模 $n$ 加法群，它其实是模 $n$ 加法，但我们仍然可以用加号记号来表示。甚至为了与更一般的群保持一致，有时我们也会用乘法符号，只不过在这个特定例子里，它表现出了加法的性质。
总结来说，群元素相乘这个“说法”和符号选择，是一种高度抽象和通用的表示方式，因为它：
1. 能自然地捕捉到各种数学和现实世界中的组合、变换和作用过程。
2. 提供了一种统一的语言来描述不同对象的结构和性质。
3. 避免了与特定具体运算概念的混淆，保留了其抽象的灵活性。
4. 遵循了数学发展中由具体到抽象的惯例，且记号本身具有一定的直观性。
所以，当我们谈论群元素“相乘”时，请将其理解为一种对两个元素进行“组合”并产生另一个群内元素的抽象操作，这个操作遵循群的公理，而不是狭义的数值乘法。这种“乘法”就像一个万能的连接器，将各种数学对象按照特定的规则组合起来，展现出其内在的结构美。
网友意见
不用，那个所谓乘法你叫加法也行，叫魔法也行，叫吸星大法也行。
这就是数学这种形式科学和自然科学的区别了。数学处理的对象，不必有实际内容，不必有物理对应，只要满足给定的规则就行。所以某种意义上数学处理的是“模式”，不是实体。具体到群论的例子，满足结合律的可逆的二元运算都可以算群运算，都可以构成一个群——“可逆”这个条件非常重要，他同时包含了单位元的存在性和每个元素都可逆。不管你是GL(n)的矩阵乘法，还是有限个元素的置换，还是模n的算术，都可以放在这个统一的框架里处理。至于这个运算叫“加法”还是“乘法”还是“映射复合”还是“基本群里两条路径的拼接”，这都不重要，重要的是，这个运算满足群运算公理，那么群的性质，他就应该自动满足（这个信心来自于逻辑，而不是经验）。
引用一下希尔伯特的一句话吧，可惜原始表述我不记得了。。大意是说，在几何学公理中，即使我们把直线、平面换成苹果、香蕉，表达的意思在数学上也相同。比如“通过两点有且只有一条直线”这条公理，我们如果表述成“对于两个不同的苹果，存在唯一一根香蕉与他们相关联”，在逻辑结构上也是一样的。我们不关心什么是“点”，什么是“直线”，我们只关心点和直线应该满足什么样的逻辑关系。
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