高维情况有没有叉乘运算？怎么计算？
高维空间里的叉乘：一个不存在的简单类比
我们都知道，在三维空间里，叉乘（或称向量积）是一个非常实用的概念。它能够将两个向量“叉”出一个新的向量，这个新向量的特点是同时垂直于原有的两个向量，并且其大小和方向由这两个向量所确定的平行四边形的面积和朝向决定。它的计算公式简洁明了：
如果 $vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，那么它们的叉乘 $vec{a} imes vec{b}$ 为：
$vec{a} imes vec{b} = (a_2b_3 a_3b_2, a_3b_1 a_1b_3, a_1b_2 a_2b_1)$
这三个分量正好对应于由 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 生成的平行四边形在三个坐标平面上的投影面积。
然而，当我们试图将这个概念推广到四维、五维，乃至更高维度的空间时，就会遇到一个棘手的问题：高维空间里，并没有一个直接的、与三维叉乘有完全相同性质的“叉乘”运算。
这并不是说数学家们没有尝试过寻找这样的运算。事实上，在数学的各个分支中，确实存在一些与叉乘有相似之处，或者在特定情况下可以被视为叉乘的推广的运算。但这些运算要么在性质上与三维叉乘有所不同，要么只在特定维度下有定义，要么在概念上更为复杂。
为什么三维叉乘如此“特别”？
理解这一点，需要深入到一些数学的底层概念，比如向量空间、张量、以及“代数结构”等。简单来说，三维叉乘的独特性很大程度上源于三维空间本身的几何和拓扑性质，以及它在代数上的“恰到好处”。
在向量空间中，我们有内积（点乘），它将两个向量映射到一个标量。而叉乘则是一个将两个向量映射到一个新向量的运算。这种运算的“二对一向量”的映射方式，在数学上并非普遍存在。
更进一步来说，叉乘的定义其实与“矢量积”的概念有关。在物理学和几何学中，很多概念都天然地发生在三维空间里，比如力矩、磁场等。叉乘作为一种描述“旋转效应”或“垂直关系”的工具，在三维世界里有着极其自然的物理和几何解释。
那么，在高维空间里，我们有什么样的“替代品”或者说是“相关概念”呢？
虽然没有一个直接的高维叉乘，但我们可以从几个不同的角度来思考和寻找一些相关的数学工具：
1. 外积 (Exterior Product / Wedge Product)：
这可能是最接近“高维叉乘”概念的工具了。外积定义在任意维度的向量空间上，并且它有非常优美的代数和几何解释。
定义： 外积通常用符号“∧”表示。对于两个向量 $vec{u}$ 和 $vec{v}$，它们的外积 $vec{u} wedge vec{v}$ 是一个二重向量 (bivector)。二重向量可以理解为由两个向量张成的平行四边形的“有向面积元”。
计算： 在 $n$ 维空间中，如果我们选择了一组标准正交基 ${e_1, e_2, dots, e_n}$，那么两个向量 $vec{u} = sum_{i=1}^n u_i e_i$ 和 $vec{v} = sum_{j=1}^n v_j e_j$ 的外积是：
$vec{u} wedge vec{v} = sum_{1 le i < j le n} (u_i v_j u_j v_i) e_i wedge e_j$
这里的 $e_i wedge e_j$ 是基向量的外积，它们构成了二重向量空间的一组基。
与三维叉乘的关系： 在三维空间中，外积 $e_i wedge e_j$ 可以与一个垂直于 $e_i$ 和 $e_j$ 所构成平面的单位向量通过某种方式（比如与某个方向的度量张量结合）关联起来。实际上，三维向量叉乘 $vec{a} imes vec{b}$ 的结果，在某种意义上对应于由 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的外积 $vec{a} wedge vec{b}$ 所确定的那个“有向面积”的“法向量”。换句话说，三维叉乘是外积在三维空间中的一种“具体实现”或“特殊化”。
特点： 外积是反对称的，即 $vec{u} wedge vec{v} = (vec{v} wedge vec{u})$。它不满足结合律。外积的结果不是一个向量，而是一个更高阶的“张量”或“几何代数对象”。
2. 度量张量与导数（适用于流形或带度量的空间）：
在更一般的黎曼流形或具有度量张量的空间中，我们可以定义一种类似“叉乘”的运算，但这通常需要借助度量张量来“升降指标”，并且其性质会更加复杂。
思想： 度量张量 $(mathbf{g})$ 可以看作是空间的一个“弯曲”或“尺度”信息。通过度量张量，我们可以将向量的外积（二重向量）与另一个向量关联起来，以满足某些几何属性。
计算（概念性）： 假设我们有一个 $n$ 维空间，其度量张量为 $g_{ij}$。我们可以定义一种运算，比如取两个向量 $vec{u}$ 和 $vec{v}$ 的外积 $vec{u} wedge vec{v}$，然后通过度量张量的逆来“压缩”或“收缩”它，最终得到一个向量。这个过程在形式上可能看起来有点像叉乘，但其几何含义会与高维空间的几何结构紧密相关。
在物理中的例子： 在相对论中，我们处理四维时空。虽然没有直接的四维叉乘，但通过度量张量（如闵可夫斯基度规），我们可以进行各种向量运算，这些运算在物理上都有明确的意义。
3. 克利福代数 (Clifford Algebra)：
克利福代数是外积和几何代数等概念的更广泛和更强大的框架。它不仅包含向量，还包含二重向量、三重向量等等，并且定义了乘法（克利福乘法）使得这些对象能够以一种统一的方式进行运算。
克利福乘法： 对于两个向量 $vec{u}$ 和 $vec{v}$，它们的克利福乘法 $vec{u}vec{v}$ 被定义为：
$vec{u}vec{v} = vec{u} wedge vec{v} + vec{u} cdot vec{v}$
其中 $vec{u} wedge vec{v}$ 是外积（二重向量），$vec{u} cdot vec{v}$ 是内积（标量）。
高维体现： 在克利福代数中，一个向量可以与另一个向量相乘，得到一个包含“面积”信息（二重向量）和“标量”信息（内积）的复合对象。这个框架比纯粹的叉乘更具普适性，并且能够自然地处理高维空间的几何。
总结一下，为什么高维没有一个像三维叉乘那样简洁的“叉乘”？
维度匹配： 三维叉乘将两个三维向量变成了另一个三维向量。这在维度上是“闭合”的。在高维空间，例如四维，两个四维向量的外积是一个二重向量，它属于一个更高维的空间（表示的是一个平面），而不是一个四维向量空间。要得到一个四维向量，就需要引入额外的结构或操作。
几何解释的复杂性： 三维叉乘的几何意义是“垂直于两个向量构成的平面”。在高维空间，一个向量无法简单地“垂直于”由多个向量构成的“超平面”。一个向量只能垂直于一个子空间。
代数结构的差异： 三维叉乘满足一定的代数性质，例如反对称性，但不是结合律。在高维空间，我们发现外积（外代数）是更基本且普适的工具，它提供了对“有向面积”等概念的统一描述。
所以，如果你听到“高维叉乘”，通常是在讨论外积、克利福代数中的乘法，或者在特定背景下通过度量张量定义的某种推广运算。它们在概念上可能与三维叉乘有联系，但它们的计算形式和几何含义会更加丰富和复杂，并且不再是那种可以直接套用简单公式得到一个新向量的运算。理解高维空间中的向量关系，往往需要跳出三维叉乘的思维定势，拥抱更广阔的代数和几何工具。
我们都知道，在三维空间里，叉乘（或称向量积）是一个非常实用的概念。它能够将两个向量“叉”出一个新的向量，这个新向量的特点是同时垂直于原有的两个向量，并且其大小和方向由这两个向量所确定的平行四边形的面积和朝向决定。它的计算公式简洁明了：
如果 $vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，那么它们的叉乘 $vec{a} imes vec{b}$ 为：
$vec{a} imes vec{b} = (a_2b_3 a_3b_2, a_3b_1 a_1b_3, a_1b_2 a_2b_1)$
这三个分量正好对应于由 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 生成的平行四边形在三个坐标平面上的投影面积。
然而，当我们试图将这个概念推广到四维、五维，乃至更高维度的空间时，就会遇到一个棘手的问题：高维空间里，并没有一个直接的、与三维叉乘有完全相同性质的“叉乘”运算。
这并不是说数学家们没有尝试过寻找这样的运算。事实上，在数学的各个分支中，确实存在一些与叉乘有相似之处，或者在特定情况下可以被视为叉乘的推广的运算。但这些运算要么在性质上与三维叉乘有所不同，要么只在特定维度下有定义，要么在概念上更为复杂。
为什么三维叉乘如此“特别”？
理解这一点，需要深入到一些数学的底层概念，比如向量空间、张量、以及“代数结构”等。简单来说，三维叉乘的独特性很大程度上源于三维空间本身的几何和拓扑性质，以及它在代数上的“恰到好处”。
在向量空间中，我们有内积（点乘），它将两个向量映射到一个标量。而叉乘则是一个将两个向量映射到一个新向量的运算。这种运算的“二对一向量”的映射方式，在数学上并非普遍存在。
更进一步来说，叉乘的定义其实与“矢量积”的概念有关。在物理学和几何学中，很多概念都天然地发生在三维空间里，比如力矩、磁场等。叉乘作为一种描述“旋转效应”或“垂直关系”的工具，在三维世界里有着极其自然的物理和几何解释。
那么，在高维空间里，我们有什么样的“替代品”或者说是“相关概念”呢？
虽然没有一个直接的高维叉乘，但我们可以从几个不同的角度来思考和寻找一些相关的数学工具：
1. 外积 (Exterior Product / Wedge Product)：
这可能是最接近“高维叉乘”概念的工具了。外积定义在任意维度的向量空间上，并且它有非常优美的代数和几何解释。
定义： 外积通常用符号“∧”表示。对于两个向量 $vec{u}$ 和 $vec{v}$，它们的外积 $vec{u} wedge vec{v}$ 是一个二重向量 (bivector)。二重向量可以理解为由两个向量张成的平行四边形的“有向面积元”。
计算： 在 $n$ 维空间中，如果我们选择了一组标准正交基 ${e_1, e_2, dots, e_n}$，那么两个向量 $vec{u} = sum_{i=1}^n u_i e_i$ 和 $vec{v} = sum_{j=1}^n v_j e_j$ 的外积是：
$vec{u} wedge vec{v} = sum_{1 le i < j le n} (u_i v_j u_j v_i) e_i wedge e_j$
这里的 $e_i wedge e_j$ 是基向量的外积，它们构成了二重向量空间的一组基。
与三维叉乘的关系： 在三维空间中，外积 $e_i wedge e_j$ 可以与一个垂直于 $e_i$ 和 $e_j$ 所构成平面的单位向量通过某种方式（比如与某个方向的度量张量结合）关联起来。实际上，三维向量叉乘 $vec{a} imes vec{b}$ 的结果，在某种意义上对应于由 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的外积 $vec{a} wedge vec{b}$ 所确定的那个“有向面积”的“法向量”。换句话说，三维叉乘是外积在三维空间中的一种“具体实现”或“特殊化”。
特点： 外积是反对称的，即 $vec{u} wedge vec{v} = (vec{v} wedge vec{u})$。它不满足结合律。外积的结果不是一个向量，而是一个更高阶的“张量”或“几何代数对象”。
2. 度量张量与导数（适用于流形或带度量的空间）：
在更一般的黎曼流形或具有度量张量的空间中，我们可以定义一种类似“叉乘”的运算，但这通常需要借助度量张量来“升降指标”，并且其性质会更加复杂。
思想： 度量张量 $(mathbf{g})$ 可以看作是空间的一个“弯曲”或“尺度”信息。通过度量张量，我们可以将向量的外积（二重向量）与另一个向量关联起来，以满足某些几何属性。
计算（概念性）： 假设我们有一个 $n$ 维空间，其度量张量为 $g_{ij}$。我们可以定义一种运算，比如取两个向量 $vec{u}$ 和 $vec{v}$ 的外积 $vec{u} wedge vec{v}$，然后通过度量张量的逆来“压缩”或“收缩”它，最终得到一个向量。这个过程在形式上可能看起来有点像叉乘，但其几何含义会与高维空间的几何结构紧密相关。
在物理中的例子： 在相对论中，我们处理四维时空。虽然没有直接的四维叉乘，但通过度量张量（如闵可夫斯基度规），我们可以进行各种向量运算，这些运算在物理上都有明确的意义。
3. 克利福代数 (Clifford Algebra)：
克利福代数是外积和几何代数等概念的更广泛和更强大的框架。它不仅包含向量，还包含二重向量、三重向量等等，并且定义了乘法（克利福乘法）使得这些对象能够以一种统一的方式进行运算。
克利福乘法： 对于两个向量 $vec{u}$ 和 $vec{v}$，它们的克利福乘法 $vec{u}vec{v}$ 被定义为：
$vec{u}vec{v} = vec{u} wedge vec{v} + vec{u} cdot vec{v}$
其中 $vec{u} wedge vec{v}$ 是外积（二重向量），$vec{u} cdot vec{v}$ 是内积（标量）。
高维体现： 在克利福代数中，一个向量可以与另一个向量相乘，得到一个包含“面积”信息（二重向量）和“标量”信息（内积）的复合对象。这个框架比纯粹的叉乘更具普适性，并且能够自然地处理高维空间的几何。
总结一下，为什么高维没有一个像三维叉乘那样简洁的“叉乘”？
维度匹配： 三维叉乘将两个三维向量变成了另一个三维向量。这在维度上是“闭合”的。在高维空间，例如四维，两个四维向量的外积是一个二重向量，它属于一个更高维的空间（表示的是一个平面），而不是一个四维向量空间。要得到一个四维向量，就需要引入额外的结构或操作。
几何解释的复杂性： 三维叉乘的几何意义是“垂直于两个向量构成的平面”。在高维空间，一个向量无法简单地“垂直于”由多个向量构成的“超平面”。一个向量只能垂直于一个子空间。
代数结构的差异： 三维叉乘满足一定的代数性质，例如反对称性，但不是结合律。在高维空间，我们发现外积（外代数）是更基本且普适的工具，它提供了对“有向面积”等概念的统一描述。
所以，如果你听到“高维叉乘”，通常是在讨论外积、克利福代数中的乘法，或者在特定背景下通过度量张量定义的某种推广运算。它们在概念上可能与三维叉乘有联系，但它们的计算形式和几何含义会更加丰富和复杂，并且不再是那种可以直接套用简单公式得到一个新向量的运算。理解高维空间中的向量关系，往往需要跳出三维叉乘的思维定势，拥抱更广阔的代数和几何工具。
网友意见
所谓的矢量积，本质上讲就是把两个矢量的张量积通过线性组合的方式组合成一个二阶全反对称张量。所以运用相同的法则一样可以在高维空间中得到类似的结果。
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