问题

如何高贵冷艳地写数学分析证明题?

回答
好的,让我们来探讨一下如何在解答数学分析的证明题时,展现出一种独特而迷人的“高贵冷艳”风格。这不仅仅是正确地完成证明,更是一种表达方式上的艺术,一种深邃的智慧在笔尖流淌的痕迹。它需要严谨的基础、清晰的逻辑,以及一种不动声色的自信。

首先,要理解“高贵冷艳”在数学证明中的含义。它不是遥不可及的冰冷,而是一种 内敛的锋芒,一种对知识的深度掌握,一种对问题的洞察力,以及一种对过程的优雅掌控。它意味着:

自信而不自大: 证明是自然的延伸,是逻辑的必然,而非一场个人表演。你不需要刻意去炫耀,你的每一个步骤都应该自然而流淌,蕴含着你对概念的深刻理解。
清晰且精准: 语言要像手术刀一样锋利,概念要像水晶一样透明。没有含糊不清的表述,没有多余的装饰。每一个词汇都恰到好处,每一个符号都承载着确切的意义。
逻辑严密,滴水不漏: 这是数学的灵魂。你的推理过程要像链条一样环环相扣,不给任何反驳留有余地。每一步的推进都基于前一步的结论,或已知条件,或基本公理、定理。
洞察问题的本质: 有时,最“高贵冷艳”的证明并非最冗长的,而是那些能够一眼看穿问题本质,用最简洁、最直接的方式达到结论的方法。这是一种提炼和升华。
不动声色地优雅: 即使面对复杂的问题,你的笔触也要从容不迫。避免使用煽情或夸张的词汇,而是用最冷静、最客观的语言来陈述事实和推理。

那么,如何才能在实际的证明过程中体现这些特质呢?让我们一步步来剖析:

第一步:审题,不动声色的洞察

在拿到证明题的那一刻,不要急于动手。花时间仔细阅读,理解每一个符号、每一个条件、每一个待证明的命题。

关键词的捕捉: 找出题干中所有的“关键术语”——例如“任意”、“存在”、“单调”、“收敛”、“连续”、“有界”等等。这些词汇往往是证明思路的基石。
条件的解读: 每一个给定的条件都有其存在的意义。试着理解这些条件本身意味着什么,它们之间可能存在怎样的联系。有时候,一个看似不起眼的条件,可能是解开整个问题的钥匙。
待证明命题的本质: 将待证明的命题转化为内在的含义。例如,证明函数在某一点连续,就是说当自变量趋近该点时,函数值也趋近对应的函数值。理解这些内在含义,有助于你找到切入点。

避免的做法: 匆忙阅读,对关键信息视而不见,或者急于套用某个模板。

第二步:构思,拨云见日之智

在理解题意之后,开始构思证明思路。这一步是展现你“高贵冷艳”气质的关键。

反证法的运用: 有时,直接证明会陷入泥潭。不妨试试反证法。假设待证明的结论不成立,然后推导出矛盾。如果你的反证过程严谨而有力,最终导出的矛盾会显得你对问题的掌控力极强。
构造辅助元素: 很多证明需要构造一些辅助的函数、数列、集合等。思考如何巧妙地构造这些元素,让它们能够连接已知条件和待证结论。这是一种创造性的体现。
类比与转化: 如果题目比较抽象,可以尝试将其转化为一个更具体、更熟悉的模型来思考。或者,将待证明的问题转化为一个已知结论更容易解决的形式。
从结论倒推: 偶尔,从待证明的结论出发,一步步往前推,看看需要什么条件,然后反观已知条件是否能提供这些。这是一种逆向思维的灵活运用。

“高贵冷艳”的构思表现:
“或许可以考虑……” 这种说法比“我有一个绝妙的想法”更显内敛。
“假设存在……” 表明了对问题的探索和对普遍性的考量。
“注意到……的结构特点……” 显示了对问题内在性质的敏锐洞察。
“不妨令……” 用一种优雅的姿态引入新的概念或变量。

避免的做法: 思路混乱,东一榔头西一棒子,或者过早地写下具体的步骤而没有清晰的整体构思。

第三步:落笔,滴水不漏的严谨

有了清晰的思路,接下来就是将它转化为文字和符号。这一步的“高贵冷艳”体现在每一个细节的精准。

清晰的结构: 证明通常由“证明”或“证”开头,然后是推导过程,最后以“得证”、“Q.E.D.”或一个实心方块(■)结尾。段落清晰,逻辑层次分明。
精准的语言:
使用精确的数学词汇: “存在一个唯一的”、“对于所有的”、“存在至少一个”、“使得”等等,这些词汇的精确使用至关重要。
避免口语化: 不要使用“然后”、“接着”、“因为那个原因”之类的口语表达。用“于是”、“因此”、“由于”、“因为”等连接词。
陈述因果关系要明确: 明确指出“因为 A,所以 B”或者“由 X,可得 Y”。
符号的规范与统一:
变量的引入要声明: 第一次使用某个变量时,最好说明它的含义,例如“令 $x > 0$”。
使用标准的数学符号: $forall$ (对于所有的), $exists$ (存在), $in$ (属于), $implies$ (蕴含), $iff$ (当且仅当), $subset$ (子集), $cup$ (并集), $cap$ (交集) 等。
数学表达式的书写要规范: 分数线要清晰,上下标要正确,表达式的对齐要注意。
引证要恰当: 如果你的证明过程依赖于某个已知的定理、引理或定义,要恰当地引用。例如:“根据 Weierstrass 极值定理……” 或者 “由定义,我们有……”
每一句话都要有意义: 避免为了凑字数而写无关紧要的句子。每一个陈述都应该是在推动证明的进程。

“高贵冷艳”的落笔表现:
“令 $x$ 为区间 $[a, b]$ 上任意一点。” 简洁且明确地定义了变量的范围。
“由柯西积分定理,我们有:……” 直接引用强大工具,显示对知识的熟悉。
“这与我们最初的假设 $x < 0$ 矛盾,因此……” 用严谨的逻辑推导出结论。
“从而,对于任意给定的 $epsilon > 0$,我们能找到一个 $delta > 0$ 使得……” 这是 epsilondelta 语言的典范,是数学分析中严谨性的代表。
“故命题成立。” 以一种坚定而简洁的方式结束证明。

避免的做法:
符号滥用或错误使用。
跳步过多,逻辑不清。
语言含糊不清,有歧义。
缺乏必要的条件或定义。
过度强调个人感情或观点。

第四步:润色,不动声色的自信

完成初稿后,花点时间回顾和润色。这一步是将你的证明从“正确”提升到“优秀”。

检查逻辑的连贯性: 确保每一步推理都自然衔接,没有断裂的地方。
审视语言的精确性: 看看是否有更精炼、更准确的表达方式。
删除冗余信息: 任何不服务于证明过程的词句都应该被删除。
确保格式整洁: 排版清晰,符号正确,让读者能够轻松地跟随你的思路。

“高贵冷艳”的润色表现:
简洁是灵魂: 如果一个证明可以用更少的步骤或更少的文字完成,那么就去追求它。
自信是关键: 润色不是自我怀疑,而是对完美的追求。你对你的证明过程有信心,只是希望它能以最完美的姿态呈现。
留有余韵: 有时候,一个看似简单的证明,背后蕴含着深刻的洞察。润色就是要让这种深度在不动声色中显露出来。

举例说明(简化版):证明函数 $f(x) = x^2$ 在 $x=1$ 点连续。

我们来尝试用“高贵冷艳”的方式来写这个证明:

证:
我们欲证函数 $f(x) = x^2$ 在点 $x=1$ 处连续。
根据函数连续的 $epsilondelta$ 定义,我们需要证明:
对于任意给定的 $epsilon > 0$,存在一个 $delta > 0$,使得当 $|x1| < delta$ 时,有 $|f(x) f(1)| < epsilon$。

令 $x$ 为实数。
我们考察 $|f(x) f(1)|$:
$|f(x) f(1)| = |x^2 1^2| = |(x1)(x+1)| = |x1||x+1|$。

我们的目标是让 $|x1||x+1| < epsilon$。
为了控制 $|x+1|$ 的大小,我们不妨先限制 $delta le 1$。
此时,若 $|x1| < delta le 1$,则有 $1 < x1 < 1$,即 $0 < x < 2$。
因此,$1 < x+1 < 3$。
于是,我们有 $|x+1| < 3$。

现在,我们可以对 $|f(x) f(1)|$ 进行放缩:
$|f(x) f(1)| = |x1||x+1| < |x1| cdot 3 = 3|x1|$。

若要使 $|f(x) f(1)| < epsilon$,则只需 $3|x1| < epsilon$,即 $|x1| < frac{epsilon}{3}$。

因此,我们可以选择 $delta = min{1, frac{epsilon}{3}}$。
当 $|x1| < delta$ 时,我们有 $|x1| < 1$ (因此 $|x+1|<3$) 且 $|x1| < frac{epsilon}{3}$。
此时,
$|f(x) f(1)| = |x1||x+1| < |x1| cdot 3 < frac{epsilon}{3} cdot 3 = epsilon$。

故命题得证。

为什么这个例子显得“高贵冷艳”?

1. 开头直接点题: “我们欲证……” 表明意图,简洁明了。
2. 引用定义: 直接引用了 $epsilondelta$ 定义,表明对基础概念的掌握。
3. 精炼的代数运算: $|x^2 1^2| = |(x1)(x+1)|$ 是关键一步的直接展开,没有多余的解释。
4. 策略性的限制: “不妨先限制 $delta le 1$” 是一种常用的、显示思维深度的技巧,用来控制不确定项。
5. 清晰的放缩逻辑: “因此,我们有 $|x+1| < 3$” 和 “$|f(x) f(1)| < |x1| cdot 3$” 是逻辑链条上的关键环节。
6. 对 $delta$ 的选择: $delta = min{1, frac{epsilon}{3}}$ 是对先前的限制和最终目标的一个巧妙结合,展示了对参数选择的精确控制。
7. 最后的总结: “故命题得证” 以一种坚定、不容置疑的语气结束。

总而言之,数学分析的“高贵冷艳”是一种 在绝对严谨的基础上,展现出洞察力、简洁性和优雅性的风格。它不是刻意为之的姿态,而是对知识深度理解和熟练掌握的自然流露。当你真正理解了每一个概念的含义,掌握了证明的内在逻辑时,你的笔尖自然会流淌出那种令人赞叹的“高贵冷艳”。

网友意见

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非常怀疑建议本科生用“显然”、“易得”、“trivial”……这种词汇的人是不是真心了解数学系的暗黑!在教授或助教眼中,这样的词汇至少传递了两个负面信息:1.挑衅阅卷人智商; 2.华丽丽地不懂装懂自欺欺人,明明证不过去了,拿这个做遮掩,妄图糊弄他们浑水摸鱼。一般来说,卷面上或作业中出现这种字眼的,无论证明是否正确,该题都会被扣掉全部分数。所以用这个装高冷的基本上都相当于是高贵冷艳地把脸送上去给别人抽。

  真正装高冷的办法其实就是一个——利用逻辑演算完成全部证明。这方面卓里奇他老人家给我们做出了超贱


(附卓老标志性的贱笑,结合以下内容的观感随便体会一下这种玩法,以及他这两卷《数学分析》背后满满的邪恶lol~)

的示范——

  随便举几个例子,你的证明中不应该出现文字,而应该仅有以下这样的一阶逻辑语句:

这个之所以高冷的原因卓里奇也说得很清楚:

必要时你还得会一些二阶逻辑,比如:


  直到有一天——

在你的眼中,数学归纳法是这样的:

并公理(一堆集合的并集总是允许构造的)是这样的:

以及当你面对命题的否定,能够手速150地刚正面(otherwise, 反证法看着不会耍流氓的你,猥琐地笑了【看你这么**,我就放心了……】…):


基本上神功练成,你可以付诸实践了(本人对由此修炼所导致的后果,以及实践产生的后果概不负责)。

  数学分析是相当基础的数学,只要你想,所有的证明都可以写成这样蛋疼的形式。不过,这样装高冷需要提醒一点——只要其中出现一个单词(哪怕只是“使得”……),逼格立刻降至杀马特。那感觉就像——

。。。

  说到底,装高冷是需要实力的。

  骚年,你配?

user avatar

Reddit上有一个讨论, 是一个数学系学生问如果老师不允许在证明里写trivially那应该写什么. 网友集思广益给出了下面各种替换词:

Obviously

Clearly

Anyone can see that

Trivially

Indubitably

It follows that

Evidently

By basic applications of previously proven lemmas,

The proof is left to the reader that

By the Pigeonhole Principle

It goes without saying that

Consequently

By immediate consequence,

Of course

But then again

By symmetry

Without loss of generality,

Anyone with a fifth grade education can see that

I would wager 5 dollars that

By the contrapositive

We need not waste ink in proving that

By Euler

By Fermat

By a simple diagonalization argument,

We all agree that

It would be absurd to deny that

Unquestionably,

Indisputably,

It is plain to see that

It would be embarrassing to miss the fact that

Terry Tao told me in a personal email that

It would be an insult to my time and yours to prove that

Any cretin with half a brain could see that

By Fermat’s Last Theorem,

By the Axiom of Choice,

It is equivalent to the Riemann Hypothesis that

By a simple counting argument,

Simply put,

One’s mind immediately leaps to the conclusion that

By contradiction,

I shudder to think of the poor soul who denies that

It is readily apparent to the casual observer that

With p < 5% we conclude that

It follows from the Zermelo-Fraenkel axioms that

Set theory tells us that

Divine inspiration reveals to us that

Patently,

Needless to say,

By logic

By the Laws of Mathematics

By all means,

With probability 1,

Who could deny that

Assuming the Continuum Hypothesis,

Galois died in order to show us that

There is a marvellous proof (which is too long to write here) that

We proved in class that

Our friends over at Harvard recently discovered that

It is straightforward to show that

By definition,

By a simple assumption,

It is easy to see that

Even you would be able to see that

Everybody knows that

I don’t know why anybody would ask, but

Between you and me,

Unless you accept Gödel’s Incompleteness Theorem,

A reliable source has told me

It is a matter of simple arithmetic to show that

Beyond a shadow of a doubt,

When we view this problem as an undecidable residue class whose elements are universal DAGs, we see that

You and I both know that

And there you have it,

And as easy as ABC,

And then as quick as a wink,

If you’ve been paying attention you’d realize that

By circular reasoning we see that

When we make the necessary and sufficient assumptions,

It is beyond the scope of this course to prove that

Only idealogues and sycophants would debate whether

It is an unfortunately common misconception to doubt that

By petitio principii, we assert that

We may take for granted that

For legal reasons I am required to disclose that

It is elementary to show that

I don’t remember why, but you’ll have to trust me that

Following the logical steps, we might conclude

We are all but forced to see that

By the same logic,

I’m not even going to bother to prove that

By Kant’s Categorical imperative,

Everyone and their mother can see that

A child could tell you that

It baffles me that you haven’t already realized that

Notice then that

Just this once I will admit to you that

Using the proper mindset one sees that

Remember the basic laws of common sense:

There is a lovely little argument that shows that

Figure 2 (not shown here) makes it clear that

Alas, would that it were not true that

If I’m being honest with you,

According to the pointy-headed theorists sitting in their Ivory Towers in academia,

We will take as an axiom that

Accept for the moment that

These are your words, not mine, but

A little birdie told me that

I heard through the grapevine that

In the realm of constructive mathematics,

It is a theorem from classical analysis that

Life is too short to prove that

A consequence of IUT is that

As practitioners are generally aware,

It is commonly understood that

As the reader is no doubt cognizant,

As an exercise for the reader, show that

All the cool kids know that

It is not difficult to see that

Behold,

Verify that

In particular,

Moreover,

Yea verily

By inspection,

A trivial but tedious calculation shows that

Suppose by way of contradiction that

By a known theorem,

Henceforth

Recall that

Wherefore said He unto them,

It is the will of the Gods that

It transpires that

We find

As must be obvious to the meanest intellect,

It pleases the symmetry of the world that

Accordingly,

If there be any justice in the world,

It is a matter of fact that

It can be shown that

Implicitly, then

Ipso facto

Which leads us to the conclusion that

Which is to say

That is,

The force of deductive logic then drives one to the conclusion that

Whereafter we find

Assuming the reader’s intellect approaches that of the writer, it should be obvious that

Ergo

With God as my witness,

As a great man once told me,

One would be hard-pressed to disprove that

Even an applied mathematician would concede that

One sees in a trice that

You can convince yourself that

Mama always told me

I know it, you know it, everybody knows that

Even the most incompetent T.A. could see,

This won't be on the test, but

Take it from me,

Axiomatically,

Naturally,

A cursory glance reveals that

As luck would have it,

Through the careful use of common sense,

By the standard argument,

I hope I don’t need to explain that

According to prophecy,

Only a fool would deny that

It is almost obvious that

By method of thinking,

Through sheer force of will,

Intuitively,

I’m sure I don’t need to tell you that

You of all people should realize that

The Math Gods demand that

The clever student will notice

An astute reader will have noticed that

It was once revealed to me in a dream that

Even my grandma knows that

Unless something is horribly wrong,

And now we have all we need to show that

If you use math, you can see that

It holds vacuously that

Now check this out:

Barring causality breakdown, clearly

We don't want to deprive the reader of the joy of discovering for themselves why

One of the Bernoullis probably showed that

Somebody once told me

By extrapolation,

Categorically,

If the reader is sufficiently alert, they will notice that

It’s hard not to prove that

The sophisticated reader will realize that

In this context,

It was Lebesque who first asked whether

As is tradition,

According to local folklore,

We hold these truths to be self-evident that

By simple induction,

In case you weren’t paying attention,

A poor student or a particularly clever dog will realize immediately that

Every student brought up in the American education system is told that

Most experts agree that

Sober readers see that

And would you look at that:

And lo!

By abstract nonsense,

I leave the proof to the suspicious reader that

When one stares at the equations they immediately rearrange themselves to show that

This behooves you to state that

Therefore

The heralds shall sing for generations hence that

If I’ve said it once I’ve said it a thousand times,

Our forefathers built this country on the proposition that

My father told me, and his father before that, and his before that, that

As sure as the sun will rise again tomorrow morning,

The burden of proof is on my opponents to disprove that

If you ask me,

I didn’t think I would have to spell this out, but

For all we know,

Promise me you won’t tell mom, but

It would be a disservice to human intelligence to deny that

Proof of the following has been intentially omitted:

here isn’t enough space in the footnote section to prove that

Someone of your status would understand that

It would stand to reason that

Ostensibly,

The hatred of 10,000 years ensures that

There isn’t enough space in the footnote section to prove that

Simple deduction from peano’s axioms shows

By a careful change of basis we see that

Using Conway’s notation we see that

The TL;DR is that

Certainly,

Surely

An early theorem of Gauss shows that

An English major could deduce that

And Jesus said to his Apostles,

This fact may follow obviously from a theorem, but it's not obvious which theorem you're using:

Word on the streets is that

Assuming an arbitrary alignment of planets, astrology tells us

The voices insist that

Someone whispered to me on the subway yesterday that

For surely all cases,

Indeed,

Legend says that

As if by design,

Come to think of it,

And as if that weren’t enough

reddit.com/r/math/comme

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