你们会觉得测度论反直觉吗？
说它“反直觉”，我觉得更多的是因为它跳脱了我们日常对“大小”、“数量”的直观认知框架，尤其是当这个框架被应用到一些“不那么乖巧”的集合上时。
我们来掰开了讲讲为什么会有这种感觉：
1. “测度”本身就带点抽象的意味
在没有测度论之前，我们对集合的大小衡量是很直接的：
有限集： 数数就行。这是最直观的。
可数无穷集（比如自然数）： 我们能接受它们有“无穷多”个元素，并且能通过一一对应来比较它们的大小（例如，偶数和自然数“一样多”，这本身就够反直觉的了，但这是康托尔的集合论打下的基础，我们相对容易接受）。
区间（比如 [0, 1]）： 我们知道它有无穷多点，并且通过长度来衡量。这里的长度是我们最熟悉的“大小”概念。
但测度论要做的，是将“长度”这个概念推广到更广泛的集合上，不仅仅是简单的区间，而是任意的子集。这就意味着我们要给一些在我们眼里“不成体统”的集合赋予“大小”。
2. 构建测度的过程：小心翼翼，步步为营
为了给“任意”集合赋予测度，测度论采取了一种非常严谨，甚至可以说是“防御性”的数学构造方法。最经典的例子就是勒贝格测度。
从简单的区间开始： 我们知道开区间 (a, b) 的长度是 ba。这是我们最基本的直觉。
集合的测度要“加性”： 如果两个集合是“不相交”的，那么它们的测度之和应该等于它们的并集的测度。比如 [0, 1] 和 [1, 2]，它们的并集是 [0, 2]，测度就是 1 + 1 = 2。这个也很直观。
关键来了：可数可加性！ 这是测度论的核心之一，也是很多反直觉感的源头。它要求的是：如果有一列互不相交的集合 $E_1, E_2, E_3, dots$，那么它们并集的测度等于它们各自测度之和的极限：$m(cup_{i=1}^{infty} E_i) = sum_{i=1}^{infty} m(E_i)$。
听起来没啥问题对不对？但想象一下，如果我们把一些“奇怪”的集合，比如康托尔集，塞进这个框架里会怎样？
康托尔集是一个很有名的例子。它是怎么构造的呢？
1. 从区间 [0, 1] 开始。
2. 把 [0, 1] 中间三分之一的点去掉，留下 [0, 1/3] 和 [2/3, 1]。
3. 再把剩下的每个区间的中间三分之一去掉……
4. 不断重复这个过程。
最后剩下的点就构成了康托尔集。我们直觉上会觉得，去掉了很多东西，康托尔集应该“很小”吧？但它恰恰包含了无穷多个点，而且它还有一些奇特的性质，比如它的测度是零！
那么，为什么康托尔集的测度是零呢？测度论就是用那种“用更小的区间去覆盖它，然后看覆盖的总长度能不能趋近于零”的方法来证明的。
3. 可测集与不可测集：打破对称性的尴尬
为了保证可加性，特别是可数可加性，我们不能给“所有”的子集都赋予测度。如果我们尝试这样做，就会遇到矛盾（比如巴拿赫塔斯基悖论，虽然它不直接是测度论的问题，但它暴露了在一些非常规空间里，分解和重组物体可能带来违反直觉的结果）。
于是，我们被迫引入了可测集的概念。只有属于“可测集”这个特殊集合里的子集，我们才能给它赋予一个明确的“测度”。
直觉打击点： 为什么有些集合就可以，有些就不行？这听起来像是把我们想度量的对象分成了“合法”和“非法”两类，感觉有点武断。我们本能地想给“所有”集合都算个大小。
选择公理的阴影： 可测集的构造，特别是在证明存在不可测集时，往往需要用到选择公理。选择公理本身就有些反直觉，它允许我们从无限多个集合中各取一个元素，即使我们没有给出具体的选择规则。这就像说“我总能选出来”，但具体怎么选我不知道。这种“存在性证明”而不给出构造方法，对于习惯了具体计算的我们来说，多少有点儿摸不着头脑。
4. 积分的革命性，但也带来了对“点”的弱化
测度论的巨大成功在于它支撑了勒贝格积分。勒贝格积分比黎曼积分更强大，能够积分更广泛的函数。
积分的意义改变： 黎曼积分是把定义域（x轴）划分成小段，然后求和；勒贝格积分则是把值域（y轴）划分成小段，然后看每个值落在哪里的集合的测度。这就像是，“我们关注的是函数的取值范围有多‘大’，以及在这些取值范围内‘对应的点’有多少”。这种视角从“x”转移到“y”，再结合测度，一下子就放大了计算的威力。
弱化点的重要性： 勒贝格积分的威力在于它不关心函数在“少数几个点”上的行为。即使一个函数在 countably infinite 个点上取值不同，只要它的测度为零，对积分结果的影响就微乎其微。这从“点的集合”到“值的集合”的转换，在数学上极度优雅，但对于习惯了“每一个点都重要”的思维模式来说，会觉得“有些点就这样被忽略了，有点奇怪”。
总结一下，测度论让人觉得反直觉，主要是因为它：
1. 抽象化了“大小”的概念： 将长度推广到更广阔、更“怪异”的集合上。
2. 依赖于精妙的构造： 通过可数可加性等性质构建测度，这要求我们对集合的性质有非常细致的理解。
3. 引入了“可测集”的限制： 为了数学上的自洽，不得不区分哪些集合可以“测量”，哪些不行，而这种区分的背后常常与选择公理等数学哲学议题相关。
4. 改变了我们看待集合和函数的方式： 尤其是在积分领域，它强调集合的“测度”而非个别点的属性。
尽管如此，测度论的强大之处也正是在于它能够克服这些“直觉上的障碍”，构建出能够处理无穷和复杂集合的严谨框架，并在概率论、泛函分析、偏微分方程等众多数学分支中发挥着基石作用。就像一个精密的工具，它可能初看起来构造复杂，但一旦掌握了它的原理，就能解决很多我们之前无法触及的问题。
所以，如果非要说“反直觉”，那更多的是它挑战了我们对“数数”、“测量”这些最基本概念的日常认知，迫使我们进入一个更抽象、更严谨但同时也更强大的数学世界。
网友意见
一点也不…
补充：首先声明一下，是我个人的疏忽，只看到“测度论”，“反直觉”几个关键词，便向从几何的角度谈一谈测度论并没有正面回答题主问题补充下面的问题。
那么我先来回答一下题主的困惑再来讨论一下测度的几何意味。实际上对于Cantor集这个问题， @林东 已经回答的很好了，实际上这涉及到一个概念Hausdorff维数，本着自己一贯喜欢啰嗦废话的风格，我会对这个概念的引入动机，一些计算方法进行一个补充，也算勉强解答了题主的困惑。
我们知道，实分析一直以来都被认为是研究一些“病态”的函数和集合，相比于我们的复分析，可以说是一个天堂，一个地狱。我们的常规研究手段或者是我们以往保持的一贯直觉，可能并不能够来处理一些比较“病态”的实例，需要引入一些新的概念手段进而也可以修正我们的数学直觉。为什么说实分析和抽象代数是学生面向现代数学的窗口？在我看来，实分析告诉你：我们普遍固有的直觉不一定是正确的，因而我们需要严密的证明体系来验证我们的直觉是否正确，并进一步修正我们的直觉。所以很多看似显然的结论，我们仍然需要进行严格证明。这是实分析能够带给你的一种思维习惯。
而不幸的是，作为“数学精神病院”的一员，我们的Cantor集也仍然是其中的“佼佼者”，它是一个很特殊的例子。正如题主所困惑的，为什么基数相同，测度却可以不同呢？当然了，我们的基数和测度之间没有什么必然联系，但是在直觉上，我们总认为这两者之间有某种等价关系，不光是题主这样想，曾经的数学家说不定也是这样的想法。而实际上，基数与我们的维数之间也没有必然联系，但可能在很多人看来，基数和维数的关系会比基数和测度的关系还要强一些。关于这一点，我这里可以给一个比Cantor三分集更常见且有趣的例子，著名的Peano曲线，利用一维的曲线可以填满我们的二维正方形，此时，曲线与正方形建立了一一对应，但是它们的维数显然不同。
而我们的测度是给予集合一个标尺，进而来对我们的集合进行一个度量比较，这样一个度量实际上就必然会牵涉到几何上的“维度”问题，当我们在处理一些“高维测度”的时候，或者是 中相对低维的点集的时候，传统的Lebesgue手段是难以解决的，显然用“相对高维”的测度来处理低维集合时，得到的会是零测集（直观上看，可以用很小的 维方体紧密覆盖我们的 维集合空间（ ），方体体积之和太小了，几乎可以忽略不计，因而在 维外测度中我们的低维集合零测）。更可怕的是，是否有可能存在分数维度呢？ 这就牵引出了两条分支，一个是我们的抽象测度（准确地说应该是Carathéodory外测度），另一个则是我们今天的主题Hausdorff测度。要想了解我们的Hausdorff测度，首先需要对于维数这一概念进行明确。
我们正常的维数的定义是通过坐标参数化实现的，这种代数概念的维度实际上并不能推广到分数维，而且维数本身也依赖于坐标的选取。而在数学上种种现象又暗示我们需要引入分数维度（例如一些分形的现象），如何在空间的坐标等不断变换的时候定义它的维数呢？那么我们显然只能从几何上来重新得到我们的“维数”观念，这个概念的得到依赖于我们的拓扑学，需要借助我们判断两个拓扑空间是否等价的概念——同胚。如果一个拓扑空间（假定是Hausdorff空间）同胚于 ，那么它的维数也应该与 相同。
同胚映射的好处在于它可以将一个拓扑空间中的开集映射到另一个拓扑空间的开集中，并且存在对应的逆映射。这就帮助我们找到了普适的维度观念而一定程度摆脱了坐标系的选取（实际上这时的维数与拓扑基的个数有关），因此拓扑空间的维数定义是通过开覆盖给出的。遗憾的是，拓扑维数仍然只能处理维数 的情况。于是发展了利用开覆盖定义维数这一观点，Hausdorff正式提出了分形维数，真正进入到处理Cantor三分集与Peano曲线的时代。
那么，如何计算分形维数呢？我们首先给出分形维数的计算公式： ，之所以要先给出这个公式(这个公式来自万能的百度百科)，一方面，这个公式方便直观理解；另一方面，它具有很好的直观意义。但是，这个公式实际上并不适合拿来进行计算，同时它的公式本身也没有太多可以追究的东西。
式中 是小立方体一边的长度， 是用此小立方体覆盖被测形体所得的数目，维数公式意味着通过用边长为 的小立方体覆盖被测形体来确定形体的维数。对于通常的规则物体 ，覆盖一根单位长度的线段所需的方体数目为 ，覆盖一个单位边长的正方形， ，覆盖单位边长的立方体， ,依此类推。
实际上从这个公式中我们可以直观感受到分形维数的“覆盖”思想，而这种覆盖与我们的测度之间也存在一定联系。实际上如果不借助“Hausdorff测度”，要想计算"Hausdorff维数"是很困难的。实际上细心的读者可能会发现，我并没有特意区分"Hausdorff测度"与“Hausdorff维数”。这是因为很大程度上，我们的"Hausdorff维数"的计算都需要借助我们的"Hausdorff测度"。
在上面的直观基础之上，可以抽象出更严谨的Hausdorff测度概念：
.（这还不是我们的Hausdorff测度，我们的Hausdorff测度还需要取极限）
其中 是指集合 的直径，即 ，
对于一个集合 ，它的Hausdorff测度为： .
我们的Hausdorff测度满足：
对于 ,如果 ,
那么 ;如果 ,那么 .
这是符合我们的直觉的。
借助上面的概念，我们可以得到Hausdorff维数：
对于 , .
显然我们会有：如果 ，那么 .
这实际上就说明我们的 中存在着低维点集（尽管是句废话，但是还是说一下），于是我们可以正式计算Cantor三分集的分形维数了（准确来说，Cantor类的集合分形维数都能够进行计算）。
我们的Cantor集 ,叫做 的第一层分解。
其中 是两个线性映射： .
实际上我们还可以对上式进行迭代，得到 的 层分解。实际上，这种分解可以看作是一种特殊的压缩映射。
为了能够计算 的Hausdorff维数，我们需要给出有关压缩映射的一些定义和性质：
对于集合 ，我们可以固定一族映射 ,其中 ,使得每个映射 ,有： 其中 是一个正交矩阵， 这里的 被称为 的压缩比例。
这时，我们可以找到唯一的一个紧集 ，使得它关于映射族 满足：
这个集合 称为关于映射族 的不变集合（关于集合 的存在性需要依托Banach压缩映射定理）。
如果一个集合 关于某个映射族 不变，且满足开集分离条件，我们称集合 关于映射族 满足自相似性质， 称为相似映射。
关于自相似的集合与映射族，Hausdorff给出了如下定理：
如果集合S关于某个映射族 自相似，那么存在唯一的数 使得 .这个 就是该集合的Hausdorff维数。
于是，我们的Cantor集 由于：
所以 .
总之，我们的Cantor三分集的维数小于1，当你用一维Lebesgue测度来测量Cantor集的“长度”时，得到的会是我们的零测集。如果有错误或者表述问题欢迎指正！
以下是原回答
你认为测度反直觉，只是你不愿意培养正确的数学直觉。实际上测度具有深厚的几何背景。另外，基数是集合论的内容，我们的测度虽然也依托于选择公理，却与集合论的研究角度存在很大差异。基数相同而测度不同，就像一个人语文好，不一定数学也好一样。我们的 维空间看起来也反直觉，现在却成为了很多领域必不可少的基础概念。而我们的拓扑的定义（就那个集合化的定义）初看非常地抽象而无用，但很少人会认为拓扑是不直观的（尤其是低维拓扑），我们应该建立一个正确的直觉再来谈是否符合我们的直觉。下面我们来稍微讨论一下测度的直观性（逻辑很乱，因为没怎么睡觉）。
首先，从分析学和集合论的观点，测度是一个能够赋予实数集簇中的每一个集合一个非负扩充实数的集函数。这个概念并不抽象。实际上从字面意义上来理解，测度就是给我们的集合一个统一的标准，方便我们进行比较分类，这样的思想在拓扑学中也很常见，在拓扑学中我们也时常试图找到某种代数或者拓扑结构来对我们的拓扑空间进行分类。例如我们的代数拓扑，就梦想找到这样一个拓扑不变量（一个函子 ） ,对每个 中的拓扑空间 定义一个群 ，对每一个连续映射 定义一个群同态 ,当 时（同构），也会有我们的 是一个同胚映射。
那么测度有怎样的几何意义呢，又具备哪些良好的性质呢？首先我们来考虑测度的几何意义，我们定义 的 维勒贝格外测度为： .可以理解为利用 维正方体去紧密覆盖我们的集合空间得到的最小体积。如果一个集合 是勒贝格可测的，那么对于任意的集合 ,都有 ，也就是说，可测集将任意集合分为两部分，并且这两部分的外测度之和与原来集合外测度相同。
看到这里，我们应该能够大概清楚，测度论在很大程度上和集合的“覆盖”有一定联系，这样的覆盖往往牵涉到我们拓扑空间的紧致，连通等等性质；与此同时，我们的所谓的“高维测度”也很难从单纯的分析学上进行一个很好的研究，需要借助我们的几何手段对于高维测度的性质进行一个研究，实际上我们的可测性与连续性之间存在密切联系，而拓扑在很大程度上是一门研究连续（或者说整体性）的数学。这里会有一个重要的概念，Lipschitz映射，由这个概念可以引出 可积集的概念。可求积性质可以看成是一阶光滑流形的某种推广，而Lipschitz映射本身也蕴含了正交射影与仿射空间的几何信息。这实际上就是我们的几何测度论的基础。我们的几何测度论的引入动机就是：处理曲面维数超过2或者是 中的低维点集的测度。
另一方面，对于可积性和光滑性，de Rham为了研究Hodge理论引入了流的相关概念，而这个概念完美地符合了我们的要求——既能够保留微分流形光滑性与整系数多面体链的组合性质的良好信息，同时又能满足变分的需要。这同时也为我们的变分法引入了新的几何方法。在实分析中我们有一个“有界变差”的概念，在几何测度论角度下，有界变差可以视作是“弱”可微性质。而这种弱可微在极小曲面的理论中将会成为强大工具。回到对于“流”的讨论中来，对于一个流 ，我们可以引入一个边缘算子 , , 为外微分运算，如果 能表示为 , 都是可求积流，则称 为整平坦链。利用边缘算子可以建立这类流的同调理论。它与局部李普希茨范畴内的、整系数的经典奇异同调论同构，这就将代数拓扑与测度论联系起来了。因此，我们可以看出，测度论是极具几何意味的，而几何通常都是直观 的（这种直观相对于代数而言）。
我们最应该建立起的观念我认为是：实数域和欧氏空间不是数学的全部，结构才是数学的灵魂。当你站在一个足够高的角度看你曾经驻足的 时，你将会看到很多，首先就是连续性，它不需要借助度量来实现，而是仅仅定义我们的“开”的集合与邻域（当然还有我们的拓扑学公理）就可以做到，而引入度量则会给我们带来更多良好的性质，带给我们研究距离的强大工具，并且带领我们进入一个熟悉的“数”的领域。类似的，还有我们研究映射之间关系的代数结构，研究数的序结构。就像Bourbaki所宣扬的那样，赋予一定的结构，就会有数学存在。
测度论发展至今，已经成为了一门在几何上很“美”的数学，具有不亚于复分析的优美结构。说这样漂亮的数学是反直觉的，实在是太过分了...
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