环面为什么可以表示成商集？
环面（Torus）之所以可以表示成商集，是因为我们可以通过在二维平面上进行“粘合”操作来构造它，而这个粘合过程恰好可以用商集的概念来精确描述。让我来详细地解释一下。
什么是环面？
首先，我们脑海中对环面（比如甜甜圈或者轮胎的形状）的直观认识，是在三维空间中的一个曲面。但从拓扑学的角度来看，一个拓扑空间的“形状”并不完全依赖于它所在的嵌入空间，而是由它的内在的连接性和连续性决定的。环面在拓扑学上，就是我们在三维空间里看到的那种形状，但我们可以通过在二维平面上操作来“制造”它。
如何从二维平面构造环面？
想象一下我们有一个标准的二维正方形（或者矩形）。这个正方形有四条边。现在，我们要做两件事情：
1. 将正方形的左边和右边粘合起来。 想象一下，你把正方形的左边边缘沿着它自身卷曲，然后让左边和右边的边缘完全重合，并且连接起来。这样，你就把一个二维平面变成了一个圆柱体。
2. 将圆柱体的底部圆周和顶部圆周粘合起来。 现在你有一个圆柱体。如果我们将这个圆柱体的底部圆周沿着它自身卷曲，并让它与顶部的圆周重合、连接，那么你就得到了一个甜甜圈的形状，也就是一个环面。
为什么这和商集有关？
商集的概念是用于描述“将某些元素视为相同”的集合。在拓扑学中，商集是通过定义一个等价关系来实现的。如果我们将一个集合 $X$ 上的元素 $a$ 和 $b$ 定义为等价的（记作 $a sim b$），那么在商集 $X/sim$ 中，$a$ 和 $b$ 就属于同一个“点”或者说“等价类”。
让我们用数学语言来描述环面的构造过程，并引入商集的概念：
考虑一个二维平面上的单位正方形，可以表示为集合 $S = [0, 1] imes [0, 1]$。这个正方形有四条边：
底部边：$y=0$, $0 le x le 1$
顶部边：$y=1$, $0 le x le 1$
左侧边：$x=0$, $0 le y le 1$
右侧边：$x=1$, $0 le y le 1$
现在，我们定义一种等价关系 $sim$ 在这个正方形 $S$ 的所有点 $(x, y)$ 上：
1. 水平粘合（左边和右边）：
我们定义 $(x, y) sim (x', y')$ 如果且仅如果它们是同一点，或者它们满足以下条件：
$y = y'$ (在同一水平线上)
$x equiv x' pmod{1}$ (这里的 $pmod{1}$ 意味着我们将 $x=0$ 和 $x=1$ 视为等价的，因为我们要把这两条边粘合在一起)。
具体来说，对于正方形的边界上的点：
$(0, y) sim (1, y)$ 对于所有 $0 le y le 1$。
这意味着左侧的每一个点都和右侧同一高度的点被“视为”同一个点。
2. 垂直粘合（底部和顶部）：
我们也定义 $(x, y) sim (x', y')$ 如果它们满足以下条件：
$x = x'$ (在同一垂直线上)
$y equiv y' pmod{1}$ (将 $y=0$ 和 $y=1$ 视为等价的)。
具体来说，对于正方形的边界上的点：
$(x, 0) sim (x, 1)$ 对于所有 $0 le x le 1$。
这意味着底部的每一个点都和顶部同一位置的点被“视为”同一个点。
将这两个粘合过程结合起来：
我们在正方形 $S$ 上定义的等价关系 $sim$ 是同时包含以上两种粘合的。换句话说，如果一个点 $(x, y)$ 在正方形内，它只与它自己等价。如果它在边界上，它会与边界上其他根据规则需要粘合的点等价。
例如，点 $(0, 0)$ (左下角) 会与 $(1, 0)$ (右下角) 通过第一条粘合规则等价。
同时，点 $(0, 0)$ (左下角) 也会与 $(0, 1)$ (左上角) 通过第二条粘合规则等价。
因此，根据传递性，$ (0, 0) sim (1, 0) sim (1, 1) sim (0, 1) $。这意味着正方形的四个角点在商集里会聚成同一个“点”。
商集 $S/sim$ 就是环面
商集 $S/sim$ 中的每一个元素代表了正方形 $S$ 中所有通过等价关系 $sim$ 相互关联的点集合（这些集合被称为等价类）。
正方形内部的点 $(x, y)$（不在任何边界上）只与自身等价，所以它们在商集中仍然是“独立”的点。
左侧边缘上的点 $(0, y)$ 与右侧边缘上的点 $(1, y)$ 被粘合后，形成了一个圆周。
底部边缘上的点 $(x, 0)$ 与顶部边缘上的点 $(x, 1)$ 被粘合后，也形成了一个圆周。
当我们同时进行这两种粘合时，你可以想象：
首先，把左右两边粘合，得到一个圆柱体。这个圆柱体的侧面是由正方形内部的点和原先的左右边缘组成。
然后，把这个圆柱体的底部圆周和顶部圆周粘合起来，就形成了环面的形状。
用更专业的语言表述：
拓扑学上，环面 $T^2$ 可以定义为乘积空间 $S^1 imes S^1$，其中 $S^1$ 是圆周。而圆周 $S^1$ 本身可以看作是实数线 $mathbb{R}$ 在整数加法群 $mathbb{Z}$ 作用下的商集：$mathbb{R}/mathbb{Z}$。当我们在 $mathbb{R}$ 上定义 $x sim y$ 当且仅当 $xy in mathbb{Z}$ 时，$mathbb{R}/mathbb{Z}$ 就是一个圆周。
环面 $T^2$ 就可以表示为 $(mathbb{R}/mathbb{Z}) imes (mathbb{R}/mathbb{Z})$。
另一种更直接的表示方式就是我们上面描述的从正方形出发的商集：
$T^2 cong frac{[0,1] imes [0,1]}{sim}$
其中等价关系 $sim$ 定义为：
$(x_1, y_1) sim (x_2, y_2)$ 当且仅当 $(x_1x_2, y_1y_2)$ 属于 $mathbb{Z} imes mathbb{Z}$（或者更具体的，当且仅当 $x_1 equiv x_2 pmod{1}$ 且 $y_1 equiv y_2 pmod{1}$，并考虑 $[0,1]$ 区间上的边界粘合）。
总结一下：
环面之所以可以表示成商集，是因为它的形成过程就是一个“识别”或“粘合”了二维平面上某些点的过程。我们通过在正方形上定义一个特定的等价关系（即把对边等同），然后取这个正方形的商集。商集中的每一个“点”代表了原正方形中所有根据等价关系被粘合在一起的点的集合。这种将集合元素通过等价关系进行“打包”或“合并”的操作，正是商集的核心思想，也恰好完美地描述了环面构造的几何意义。
我们不再把环面看作是嵌入在三维空间中的一个物体，而是看作一个由二维平面通过特定粘合规则得到的拓扑空间，而这个粘合规则正是通过商集来数学化的。这使得环面可以用非常简洁和抽象的数学语言来定义和研究，并在此基础上进行更深入的拓扑学分析。
什么是环面？
首先，我们脑海中对环面（比如甜甜圈或者轮胎的形状）的直观认识，是在三维空间中的一个曲面。但从拓扑学的角度来看，一个拓扑空间的“形状”并不完全依赖于它所在的嵌入空间，而是由它的内在的连接性和连续性决定的。环面在拓扑学上，就是我们在三维空间里看到的那种形状，但我们可以通过在二维平面上操作来“制造”它。
如何从二维平面构造环面？
想象一下我们有一个标准的二维正方形（或者矩形）。这个正方形有四条边。现在，我们要做两件事情：
1. 将正方形的左边和右边粘合起来。 想象一下，你把正方形的左边边缘沿着它自身卷曲，然后让左边和右边的边缘完全重合，并且连接起来。这样，你就把一个二维平面变成了一个圆柱体。
2. 将圆柱体的底部圆周和顶部圆周粘合起来。 现在你有一个圆柱体。如果我们将这个圆柱体的底部圆周沿着它自身卷曲，并让它与顶部的圆周重合、连接，那么你就得到了一个甜甜圈的形状，也就是一个环面。
为什么这和商集有关？
商集的概念是用于描述“将某些元素视为相同”的集合。在拓扑学中，商集是通过定义一个等价关系来实现的。如果我们将一个集合 $X$ 上的元素 $a$ 和 $b$ 定义为等价的（记作 $a sim b$），那么在商集 $X/sim$ 中，$a$ 和 $b$ 就属于同一个“点”或者说“等价类”。
让我们用数学语言来描述环面的构造过程，并引入商集的概念：
考虑一个二维平面上的单位正方形，可以表示为集合 $S = [0, 1] imes [0, 1]$。这个正方形有四条边：
底部边：$y=0$, $0 le x le 1$
顶部边：$y=1$, $0 le x le 1$
左侧边：$x=0$, $0 le y le 1$
右侧边：$x=1$, $0 le y le 1$
现在，我们定义一种等价关系 $sim$ 在这个正方形 $S$ 的所有点 $(x, y)$ 上：
1. 水平粘合（左边和右边）：
我们定义 $(x, y) sim (x', y')$ 如果且仅如果它们是同一点，或者它们满足以下条件：
$y = y'$ (在同一水平线上)
$x equiv x' pmod{1}$ (这里的 $pmod{1}$ 意味着我们将 $x=0$ 和 $x=1$ 视为等价的，因为我们要把这两条边粘合在一起)。
具体来说，对于正方形的边界上的点：
$(0, y) sim (1, y)$ 对于所有 $0 le y le 1$。
这意味着左侧的每一个点都和右侧同一高度的点被“视为”同一个点。
2. 垂直粘合（底部和顶部）：
我们也定义 $(x, y) sim (x', y')$ 如果它们满足以下条件：
$x = x'$ (在同一垂直线上)
$y equiv y' pmod{1}$ (将 $y=0$ 和 $y=1$ 视为等价的)。
具体来说，对于正方形的边界上的点：
$(x, 0) sim (x, 1)$ 对于所有 $0 le x le 1$。
这意味着底部的每一个点都和顶部同一位置的点被“视为”同一个点。
将这两个粘合过程结合起来：
我们在正方形 $S$ 上定义的等价关系 $sim$ 是同时包含以上两种粘合的。换句话说，如果一个点 $(x, y)$ 在正方形内，它只与它自己等价。如果它在边界上，它会与边界上其他根据规则需要粘合的点等价。
例如，点 $(0, 0)$ (左下角) 会与 $(1, 0)$ (右下角) 通过第一条粘合规则等价。
同时，点 $(0, 0)$ (左下角) 也会与 $(0, 1)$ (左上角) 通过第二条粘合规则等价。
因此，根据传递性，$ (0, 0) sim (1, 0) sim (1, 1) sim (0, 1) $。这意味着正方形的四个角点在商集里会聚成同一个“点”。
商集 $S/sim$ 就是环面
商集 $S/sim$ 中的每一个元素代表了正方形 $S$ 中所有通过等价关系 $sim$ 相互关联的点集合（这些集合被称为等价类）。
正方形内部的点 $(x, y)$（不在任何边界上）只与自身等价，所以它们在商集中仍然是“独立”的点。
左侧边缘上的点 $(0, y)$ 与右侧边缘上的点 $(1, y)$ 被粘合后，形成了一个圆周。
底部边缘上的点 $(x, 0)$ 与顶部边缘上的点 $(x, 1)$ 被粘合后，也形成了一个圆周。
当我们同时进行这两种粘合时，你可以想象：
首先，把左右两边粘合，得到一个圆柱体。这个圆柱体的侧面是由正方形内部的点和原先的左右边缘组成。
然后，把这个圆柱体的底部圆周和顶部圆周粘合起来，就形成了环面的形状。
用更专业的语言表述：
拓扑学上，环面 $T^2$ 可以定义为乘积空间 $S^1 imes S^1$，其中 $S^1$ 是圆周。而圆周 $S^1$ 本身可以看作是实数线 $mathbb{R}$ 在整数加法群 $mathbb{Z}$ 作用下的商集：$mathbb{R}/mathbb{Z}$。当我们在 $mathbb{R}$ 上定义 $x sim y$ 当且仅当 $xy in mathbb{Z}$ 时，$mathbb{R}/mathbb{Z}$ 就是一个圆周。
环面 $T^2$ 就可以表示为 $(mathbb{R}/mathbb{Z}) imes (mathbb{R}/mathbb{Z})$。
另一种更直接的表示方式就是我们上面描述的从正方形出发的商集：
$T^2 cong frac{[0,1] imes [0,1]}{sim}$
其中等价关系 $sim$ 定义为：
$(x_1, y_1) sim (x_2, y_2)$ 当且仅当 $(x_1x_2, y_1y_2)$ 属于 $mathbb{Z} imes mathbb{Z}$（或者更具体的，当且仅当 $x_1 equiv x_2 pmod{1}$ 且 $y_1 equiv y_2 pmod{1}$，并考虑 $[0,1]$ 区间上的边界粘合）。
总结一下：
环面之所以可以表示成商集，是因为它的形成过程就是一个“识别”或“粘合”了二维平面上某些点的过程。我们通过在正方形上定义一个特定的等价关系（即把对边等同），然后取这个正方形的商集。商集中的每一个“点”代表了原正方形中所有根据等价关系被粘合在一起的点的集合。这种将集合元素通过等价关系进行“打包”或“合并”的操作，正是商集的核心思想，也恰好完美地描述了环面构造的几何意义。
我们不再把环面看作是嵌入在三维空间中的一个物体，而是看作一个由二维平面通过特定粘合规则得到的拓扑空间，而这个粘合规则正是通过商集来数学化的。这使得环面可以用非常简洁和抽象的数学语言来定义和研究，并在此基础上进行更深入的拓扑学分析。
网友意见
额，能学到pde的话点集拓扑怎么也接触过了吧。。。我就用工科生也能懂的方法讲吧。
直白的说做商空间就是把原有空间中的某些点看成相同的点。你这里写的T就是一维环面，即圆周。这里相当于把实数轴上的a＋2kπ的点看做和a对等。
你可以想象一个半径为1周长为2π的圆周，就是这个商空间T，它上面的一个点对应的是R上的无数个点。一个点在R上向右移时，在圆周上就是逆时针转圈，所谓周期性你应该也可以发现了吧。
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