有哪些统计学专业反直觉的知识？
1. “我看到的就是我想看到的”—— 幸存者偏差 (Survivorship Bias)
这事儿说起来就让人郁闷。你可能听过一个故事，说二战时期的飞机在返航后，机身上被打了很多弹孔，科学家们就想把这些弹孔补上，让飞机更安全。但统计学家发现，这个思路是错的。他们仔细分析后发现，那些没能返航的飞机才是真正被打穿、损失惨重的地方，而那些返航的飞机上弹孔多，说明这些地方即便被打到，飞机依然能飞回来。
所以，真正需要加固的不是弹孔密集的地方，而是那些你没能看到的“弹孔”所在的地方。这就像你只看到朋友圈里那些光鲜亮丽的成功人士，却很少看到那些在背后默默努力、甚至跌倒无数次的人。你看到的“幸存者”故事，可能只是冰山一角，背后隐藏着更多失败的案例，而这些失败案例才往往能提供更有价值的经验。
为什么反直觉？
我们的直觉倾向于关注显而易见的东西，容易被“幸存者”的光环吸引，忽略了那些“消失的”和“失败的”。我们习惯性地从已有的样本中总结经验，而忽略了样本本身可能就经过了一层残酷的筛选。
2. “不是我吹，是真的”—— 辛普森悖论 (Simpson's Paradox)
这玩意儿简直是统计学界的“伪君子”，它能让本来对立的趋势在合并数据后出现戏剧性的反转。
举个例子，假设有两个大学，A校和B校，我们想比较它们在两个专业（比如文科和理科）的招生录取率。
情况一：分开看
文科：A校录取率 70%，B校录取率 60% (A校优于B校)
理科：A校录取率 80%，B校录取率 75% (A校优于B校)
直觉判断： A校整体录取率肯定比B校高！
情况二：合起来看
我们把所有申请者和被录取者加起来算个总数。
假设A校招了大量文科生（低录取率），而B校招了大量理科生（高录取率）。
那么，当把文科和理科数据合并后，可能会出现这样的情况：
A校总录取率 65%
B校总录取率 70%
惊掉下巴了！ 合并后B校反而比A校录取率高了！
为什么反直觉？
我们总觉得，如果一个事物在所有子群体中都优于另一个事物，那么它在总体上一定也优于另一个事物。但辛普森悖论告诉我们，当不同子群体的大小（这里就是文科和理科的申请人数）差异很大时，合并后的整体趋势可能会被样本量大的子群体“绑架”，从而颠倒了原有的方向。这就像你觉得两款产品在两个细分市场都卖得比对手好，结果一算总销量，发现对手反而赢了，因为人家在一个特别大的细分市场里销量遥遥领先。
3. “我不是故意选的，是它碰巧”—— 相关不等于因果 (Correlation Does Not Imply Causation)
这是最最最常见也最容易被误解的了。你可能听说过，吃冰淇淋销量高的时候，溺水事件也多；夏天穿短袖的人多了，蚊子也多了。你是不是觉得，吃冰淇淋会让人想去游泳然后溺水？或者短袖会吸引蚊子？
这完全是瞎想！
冰淇淋销量高和溺水事件多，最可能的原因是有一个共同的“驱动因素”—— 天气热。天气热的时候，大家更爱吃冰淇淋，也更爱去游泳（所以溺水事件增多）；夏天蚊子多，和穿短袖没关系，穿短袖只是让你更容易被蚊子咬而已。
为什么反直觉？
我们的脑袋就像个雷达，总喜欢把两个同时发生的事情联系起来，找到一个“解释”。当两个变量之间存在强烈的相关性时，我们的大脑会非常自然地往“一个导致另一个”的方向去想。但统计学告诉你，很多时候它们只是“巧合”，或者背后有一个我们没看见的“第三者”在操纵一切。这种误解很容易导致错误的决策，比如因为看到“研究表明喝红酒有益健康”，就拼命喝酒，结果肝脏出了问题。
4. “看不见的手，也看得见”—— 随机抽样下的异常值 (Outliers in Random Sampling)
你是不是觉得，随机抽样就是公平地从整体里抓点东西出来，然后就能代表整体？嗯，理论上是这样，但现实有时会很“调皮”。
假设你要调查某个城市居民的平均月收入。你用了严格的随机抽样方法，抽了1000个人。结果非常不幸，这1000个人里，恰好有10个是超级富豪，他们月收入可能是几十万甚至几百万。而剩下990个人的月收入可能在几千到几万之间。
这10个超级富豪会把你的“平均月收入”这个统计量拉高到令人发指的地步，让这个平均值完全无法代表剩下99%的普通市民的收入水平。
为什么反直觉？
我们期望随机抽样能够“平滑”掉极端情况，得到一个“平均”的样子。但随机性本身就包含了出现极端情况的可能性。一个看似小概率事件的发生，可能会对整体的统计结果产生巨大的影响，尤其是在样本量不够大的时候。这让你觉得，即使抽样方法没问题，得到的结果也可能完全不靠谱。
5. “我以为我懂了，但我好像没懂”—— 统计学显著性与实际意义的差距 (Statistical Significance vs. Practical Significance)
这事儿最让人抓狂。你辛辛苦苦做了一个实验，计算P值，发现结果是0.04。恭喜你！你的研究结果“在统计学上显著”了，意味着你的发现不是随机产生的。
但！这不代表你的发现有实际意义。
举个例子，你开发了一个新药，宣称能降低血压。你在实验中发现，服用新药的患者平均血压比安慰剂组低了0.5 mmHg。这个0.5 mmHg，在统计学上可能因为你的样本量足够大，而显得“非常显著”（P值很小）。
但是，0.5 mmHg的血压降低，对于一个人的健康来说，可能完全微不足道，甚至没有临床意义。病人吃了药，血压只是理论上“统计学上显著地低了一点点”，但感受不到任何变化，也对健康没有实质性帮助。
为什么反直觉？
我们通常把“显著”等同于“重要”，觉得统计学上的显著性就是一种“真理”或“了不起的发现”。但统计显著性仅仅告诉你，观察到的差异不太可能是由偶然造成的。它并没有告诉你这个差异有多大，或者这个差异在现实世界中是否重要。一个极其微小的、没有实际影响的差异，在足够大的样本量面前，也能变成“统计学上显著”的结果，反之，一个非常有实际意义的巨大差异，如果样本量太小，也可能因为不确定性太高而无法通过统计学检验。
总结一下，这些反直觉的统计学知识，都在提醒我们：
不要轻易相信你看到的表面现象：数据背后可能隐藏着更复杂的逻辑和筛选过程。
要警惕合并数据带来的误导：分而治之，或者理解各个子群体的差异，比盲目合并更重要。
时刻提醒自己“相关不等于因果”：找到背后的真正原因，而不是只看到事物之间的联系。
理解随机性的“威力”：即使是随机的，也可能出现极端情况，样本量和抽样方法很重要。
区分统计显著性和实际意义：统计上的“好消息”，不一定是现实中的“大新闻”。
统计学就像一本武林秘籍，里面藏着各种“不按常理出牌”的招数。要想练好它，就得抛开很多固有想法，用心去体会那些隐藏在数字背后的真相。下次当你看到一组数据时，多问问自己：“这真的就这么简单吗？” 也许你会发现更多有趣的“反直觉”！
网友意见
高维统计里有一个简单而深刻的结论，涉及到欧式空间中高维随机变量的几何特点。令 为一个 维的标准正态分布，那么我们有
上式中 表示欧式距离，也就是说 这个随机向量的模长大约是 。在 比较大的时候（ ），概率意义上的误差项 几乎是可以忽略的，这意味着这个时候 的模长几乎是非随机的。
这个结论为什么反直观呢？因为它意味着对于很大的 ， 维的标准正态样本几乎分布在一个半径为 的大球上！这和我们熟知的低维正态样本呈现的那种「自然」的圆形（边缘分布独立）或椭圆形状（边缘分布不独立，见下图）简直大相径庭！
不仅如此，如果我们考虑两个独立的 ，那么 ，也就是两个它们之间的距离，在 很大的时候也有近似于非随机的表现。另外我们还有
，
也就是说两个随机向量的角度近似是 度（同样要在 很大的情况下，因为 小的时候误差项 不一定小）。
类似的结论还可以推广到很多非正态分布数据上去。这些结论从数学的角度非常精确而优美的解释了我们熟知的「curse of dimensionality」现象产生的重要原因之一——高维数据的稀疏性。举个例子，正是这种稀疏性使得高维数据中 kNN 方法会变得特别困难。
以上这些结论来自这篇文章：
Hall, P., Marron, J., & Neeman, A. (2005). Geometric Representation of High Dimension, Low Sample Size Data.Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Statistical Methodology),67(3), 427-444.
剑桥的 Richard Samworth 在评述这篇文章的贡献时说「这篇文章迫使研究者们改写他们对高维数据的直观」（the paper forced researchers to rewrite their intuitions about high dimensional data）[1]，也算是呼应了这里「反直觉」这个题眼。
最后顺便提一下，已故的 Peter Hall 教授对统计的贡献广泛而深刻，他的六百多篇文章里蕴含的财富可能还需要至少一两代人来慢慢发掘。
受到一些评论的启发我想我或许可以再多解释（复制粘贴）一点。@屈文 的评论提到这个这些性质可以从卡方分布的角度来理解，这个实在是非常的正确——这些性质就是这么证明的。比如要求 的模长 ，我们有
其中 表示 的第 i 维，服从一维标准正态分布。从而 服从一个自由度为 p 的卡方分布。再经过一些相对直接的计算就可以得到上面的两个结论。
这两个结论只是原文的一小部分，文章接下去讨论了 n 固定而 p 发散到无穷时数据点的分布情况。注意这里的假设和我们一般看到的高维文献的假设略有不同（一般假设 n 也发散到无穷），但含义是相近的。
如果我们考虑 而 p 很大的情况，也就是说我们的数据只包含三个高维随机向量 。上面的结论意味着什么呢？首先， 几乎是垂直的；其次，三个数据点 之间两两间的距离几乎是固定的。结论： 几乎构成一个等边三角形。原文的图示如下：
这里的示意图只能表现出 的情况，但不妨碍我们想象更高维的情形。原文中的图二则表现了模拟数据的情况：
上图表现了十个 n=3 的样本（不同形状的点表示）在 p=2，20，200，20000 时的分布情况——准确的说，是所有数据点在图一所示的那个平面上的投影情况。可以看到在维度较低的情况下数据比较分散，而后两张图上数据则基本上都集中到了等边三角形的三个顶点上了。
这里讲的是 n=3 的情况，对于更大的 n，数据倾向于分布在一个 (n-1)-单纯形的 n 个顶点上（2-单纯形即是等边三角形）。文章接下去谈了这些几何特点对于 SVM（support vector machine）和 DWD（distance-weighted discrimination）等分类方法的影响。这里我就不再赘述（复制粘贴）了。
@王希 的评论事实上道出了为什么以上结论可以推广到很多非正态分布的原因。感谢补充。我觉得大家再努力一把基本都可以把文章的前半部分重制出来了
首先，对于正态分布的情况，前面说了 服从一个自由度为 p 的卡方分布。根据卡方分布的一个基本性质，我们有
这里 表示弱（依分布）收敛。也就是说 的表现不断接近一个均值为 p 方差为 2p 的正态分布。正如 @王希 指出的，这个时候相对于均值， 的标准差（标准差可以衡量分布的尺度，scale，最简单的例子如切比雪夫不等式）与均值相比非常的小。
对于很多非正态分布的情况，虽然 一般不再服从卡方分布，但只要有类似上面的收敛结果，我们讨论的那些性质就依然是成立的。因为中心极限定理可以推广到非常一般的情形（非独立非同分布），所以这里的条件也可以放的非常宽。具体可以参考 Hall et al (2005) 431 页的讨论。
感谢 @Yeung Evan 的补充！估计协方差矩阵是一个很好的例子——我们可以比较精确的估计矩阵里的每一个元素，但估计的误差积累起来会导致对整个矩阵的估计比较差。因为最近在读分类分析（classification）的文章，所以我也想补充一点 @Yeung Evan 所提到的这个问题对分类分析的影响。
经典的方法如线性/二次判别分析（linear/quadratic discriminant analysis）假设每个类别的数据来自一个正态分布，因此需要估计正态分布的协方差矩阵来构造分类器（classifier）。而数据的维度稍微大一点就会出现 @Yeung Evan 回答中提到的矩阵估计不准的问题，这些误差累积起来会对分类的准确度造成很大负面影响。而所谓的 naive Bayes 方法就通过只估计协方差矩阵的对角项，也就是方差，而假设协方差均为零的办法来大大减少需要估计的参数数量。这事实上就是强行假设正态分布的各边际分布独立。之所以可以这么「naive」，一个直观解释是这么做所造成的「信号」（signal）的损失，要远小于「噪声」（noise）的降低。因此信号/噪声比还是大大提高了。这方面最经典的工作包括：
Bickel, Peter J.; Levina, Elizaveta. Some theory for Fisher's linear discriminant function, `naive Bayes', and some alternatives when there are many more variables than observations. Bernoulli 10 (2004), no. 6, 989--1010. doi:10.3150/bj/1106314847. https://projecteuclid.org/euclid.bj/1106314847
Fan, Jianqing; Fan, Yingying. High-dimensional classification using features annealed independence rules. Ann. Statist. 36 (2008), no. 6, 2605--2637. doi:10.1214/07-AOS504. https://projecteuclid.org/euclid.aos/1231165181
参考
- ^ 参见他 16 年的 Peter Hall’s work on high-dimensional data and classification 一文。
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