如何证明以下微分方程组的解是周期解？
首先，我们要明确什么是“周期解”。简单来说，一个函数 $x(t)$ 是周期解，意味着存在一个非零的常数 $T > 0$，使得对于所有的 $t$，都有 $x(t+T) = x(t)$。对于一个微分方程组 $frac{dx}{dt} = f(x, t)$（其中 $x$ 是一个向量，$f$ 是一个向量函数），它的解 $x(t)$ 是周期解，如果存在一个 $T > 0$ 使得 $x(t+T) = x(t)$ 对所有 $t$ 都成立。
证明周期解的方法有很多，最常见和有力的几种包括：
1. 直接检验定义（通常适用于结构简单或已知的周期性函数）
这是最直接的方法，但通常只在方程的形式非常特殊或者我们已经猜到了周期性时才奏效。
思路： 假设我们有一个解的表达式（例如，它是某个三角函数或它们的组合），然后直接将 $t+T$ 代入到解的表达式中，看看是否能恢复原表达式。
步骤：
1. 找到或猜测一个可能的解 $x(t)$。
2. 猜测一个可能的周期 $T$。
3. 将 $x(t+T)$ 代入到微分方程组的右侧 $f(x, t)$ 中。
4. 检查 $f(x(t+T), t+T)$ 是否等于 $frac{dx(t+T)}{dt}$。如果等式成立，并且 $x(t+T) = x(t)$，那么 $x(t)$ 就是一个周期解。
例子： 考虑一个非常简单的单自由度振子方程（没有阻尼和外力）：
$frac{d^2x}{dt^2} = x$
我们可以猜想解的形式是 $x(t) = A cos(omega t + phi)$。
我们知道这个解的周期是 $T = frac{2pi}{omega}$。
那么，
$x(t+T) = A cos(omega (t+T) + phi) = A cos(omega t + omega T + phi) = A cos(omega t + phi + 2pi) = A cos(omega t + phi) = x(t)$。
同时，
$frac{dx}{dt} = Aomega sin(omega t + phi)$
$frac{d^2x}{dt^2} = Aomega^2 cos(omega t + phi) = Aomega^2 (frac{x(t)}{A}) = omega^2 x(t)$。
如果 $omega^2 = 1$，那么这个解就满足方程，并且是周期解。
局限性： 这种方法非常依赖于“猜”到正确的解和周期，对于复杂的、没有解析解的方程组几乎不可行。
2. 利用不动点和庞加莱映射（适用于自治系统，即 $f$ 不显含 $t$）
对于自治系统 $frac{dx}{dt} = f(x)$，如果存在一个周期解，那么这个解会在相空间中描绘出一个闭合的轨迹。庞加莱映射是一种强大的工具来分析这类系统。
思路： 定义一个“截面”穿过相空间中的一个点，然后追踪解曲线，观察它第一次回到这个截面时，相对于初始点的“位置”。如果解是周期性的，那么它最终会回到初始点，这对应于庞加莱映射的一个不动点。
步骤：
1. 选择一个截面 $Sigma$： 选择一个 $(n1)$ 维的超平面，它被解的轨迹“横穿”而不是“沿着”它运动。例如，在一个二维系统中，可以是一条线段，它与解轨迹有一个非零的交角。
2. 定义庞加莱映射 $P: Sigma o Sigma$： 对于截面上的一点 $x_0 in Sigma$，找到通过 $x_0$ 的解轨迹。追踪这个轨迹，直到它第一次回到 $Sigma$ 上的点 $x_1$。那么，$P(x_0) = x_1$。
3. 寻找不动点： 如果存在一个点 $x^ in Sigma$ 使得 $P(x^) = x^$，那么通过 $x^$ 的解轨迹就是周期解，其周期是追踪这个轨迹从 $x^$ 到 $P(x^)$ 所经过的时间。
4. 进一步分析不动点的稳定性： 如果庞加莱映射的不动点是吸引的（例如，由一个线性化映射的特征值小于1决定），那么系统可能存在一个极限环（吸引周期解）。
例子： 考虑著名的“霍普夫分岔”来产生极限环。在一个参数下，系统可能只有一个稳定不动点，当参数变化时，这个不动点变成不稳定的，并伴随一对复共轭的特征值穿过虚轴。这时，会在不动点附近出现一个吸引的周期解（极限环）。庞加莱映射在这种情况下可以用来证明极限环的存在和吸引性。
局限性： 定义一个合适的截面并计算庞加莱映射通常非常困难，除非系统非常简单或者有特殊的对称性。它主要用于证明周期解的存在性，而不是找到具体的解或周期。
3. 利用线性化和特征值（适用于线性系统或线性化后的系统）
如果微分方程组是线性的，或者我们可以将其线性化，那么解的性质可以从线性化矩阵的特征值来推断。
思路： 对于自治线性系统 $frac{dx}{dt} = Ax$，其中 $A$ 是一个常数矩阵。解的性质由矩阵 $A$ 的特征值决定。
步骤：
1. 检查特征值：
如果 $A$ 有纯虚数特征值（例如，$lambda = pm iomega$），并且这些特征值是简单的（即在特征多项式中只出现一次），那么系统存在周期解。
更一般地，如果所有特征值都位于虚轴上（实部为零），且对应于每个纯虚数特征值的代数重数等于几何重数，则系统是周期性的。
如果存在纯虚数特征值，但也有实部非零的特征值（正实部意味着不稳定，负实部意味着衰减），那么系统可能不会是全局周期性的，但可能在某些条件下存在局部周期行为。
2. 对于非自治线性系统 $frac{dx}{dt} = A(t)x$： 如果矩阵 $A(t)$ 本身是周期性的，比如 $A(t+T) = A(t)$，那么可以使用 Floquet理论。Floquet理论表明，在这种情况下，系统解的形式可以写成 $x(t) = e^{Rt}P(t)v$，其中 $R$ 是常数矩阵，$P(t)$ 是一个以 $T$ 为周期的矩阵函数，$v$ 是一个常向量。如果 $R$ 是一个具有纯虚数特征值的矩阵，那么系统就有周期性行为。
局限性： 这种方法主要适用于线性系统。对于非线性系统，我们需要将其线性化。线性化能提供关于不动点附近的局部行为的信息，但不能保证全局的周期性。一个非线性系统可能在不动点附近有周期解，但整体行为却不是周期性的。
4. 利用能量守恒或第一积分
某些微分方程组（尤其是物理系统）可能存在守恒量或“第一积分”。
思路： 如果一个系统有一个第一积分 $H(x)$，这意味着沿着系统的解轨迹，$H(x(t))$ 是一个常数。如果这个常数对应的“水平集”（即所有满足 $H(x) = c$ 的点的集合）是一个闭合的曲线（在相空间中），并且系统在这个曲线上运动，那么解就是周期性的。
步骤：
1. 找到第一积分： 寻找一个函数 $H(x)$，使得 $frac{dH}{dt} = abla H cdot frac{dx}{dt} = abla H cdot f(x) = 0$。
2. 分析水平集： 研究方程 $H(x) = c$ 所定义的轨道的几何形状。如果对于某个常数 $c$，这个轨迹是一个闭合的曲线，并且系统确实在这个轨迹上运动（例如，这是一个吸引的极限环），那么解就是周期性的。
3. 关联到周期性： 在保守系统中，能量守恒是常见的。如果一个保守系统在某个能量水平上，其相空间轨迹是闭合的，那么解就是周期性的。例如，单摆在小角度近似下的运动就是周期性的，因为它遵守能量守恒，且其相轨迹是椭圆（闭合的）。
局限性： 找到第一积分本身就是一个挑战。即使找到了，证明其水平集是闭合的也需要进一步的几何分析。
5. 利用BendixsonDulac定理和PoincaréBendixson定理
这些是用于证明周期解（尤其是极限环）存在的强有力定理，尤其适用于二维自治系统。
BendixsonDulac定理： 对于二维自治系统 $frac{dx}{dt} = f(x, y)$, $frac{dy}{dt} = g(x, y)$，如果在某个区域 $D$ 内，$div(vec{F}) = frac{partial f}{partial x} + frac{partial g}{partial y}$ 在 $D$ 上恒为负或恒为正，那么在 $D$ 内不存在周期解。
证明周期解存在： 通常是先证明系统在某个区域内 没有 周期解，然后通过其他方法（如寻找不动点和分析其稳定性）来证明该区域外（或边界上）存在周期解。
PoincaréBendixson定理： 对于二维自治系统，如果存在一个闭合的有界集 $S$，使得 $S$ 是一个向内定向的（所有轨迹都指向 $S$ 的内部或在 $S$ 上），并且 $S$ 内部不包含任何不动点，那么 $S$ 的一个极限圈（一个吸引的周期解）必然存在于 $S$ 中。
证明周期解存在： 这是证明极限环存在的最常用方法之一。你需要找到一个区域（比如一个圆盘），证明所有轨迹都最终进入这个区域，并且这个区域内没有不动点。
局限性： 这些定理仅适用于二维自治系统。对于高维系统或非自治系统，它们不能直接应用。
总结如何着手证明一个微分方程组的解是周期解：
1. 识别系统类型： 是自治的还是非自治的？是线性的还是非线性的？是二维的还是高维的？
2. 寻找不动点： 令 $frac{dx}{dt} = 0$，解出所有不动点。分析这些不动点的稳定性（通过线性化矩阵的特征值）。如果所有不动点都是不稳定的，或者存在一个吸引的周期性行为，这可能是周期解的迹象。
3. 检查周期性函数的可能性： 如果你对系统的物理背景有所了解，可以尝试猜想解的形式（例如，基于振动、振荡的物理过程）。然后直接验证。
4. 寻找守恒量： 特别是对于物理系统，尝试找到第一积分。如果存在，分析其水平集。
5. 利用特定定理： 如果是二维自治系统，考虑 PoincaréBendixson 定理来证明极限环的存在。
6. 数值模拟： 虽然数值模拟不能提供严格的数学证明，但它可以帮助你可视化系统的行为，发现周期性，并为你提供猜测解和周期值的灵感。
关键要点和注意事项：
吸引子与周期解： 周期解通常表现为系统的极限环。极限环可以是一个吸引的（所有附近的轨迹都趋向于它），也可以是排斥的（所有附近的轨迹都离开它），或者是中性的。证明周期解的存在性通常意味着证明存在一个极限环。
全局周期性 vs. 局部周期性： 有些系统可能只在某个区域内表现出周期性，而整体不是周期性的。
周期与相位： 即使证明了周期性，确定具体的周期 $T$ 和相位的偏移 $phi$ 通常需要更进一步的分析，或者依赖于已知的解的形式。
数学严谨性： 任何证明都需要精确的数学论证，避免模糊的陈述。
证明微分方程组的周期解是一个系统性的过程，需要根据方程的具体形式选择合适的工具和理论。希望这些详细的解释能帮助你理解如何着手进行这类证明。
网友意见
设有 Lotka-Volterra 系统
其中 为正常数. 将逐步讨论该系统性质.该系统诱导的解算子群记作 . 记 .
注意：有可能解存在区间不能是全实轴，但是下面的论述表明，至少对于初值在 时，解存在区间为全实轴。为论述方面起见，简单地这样写。
Prop.1: , 以下 9 个不交区域是 不变的:
这 9 个区域构成平面的划分.
仅证明 的不变性.
考虑一个解, 其初值为
设 . 记 的原函数为 ,则 则 . 同理.
设 . 此时方程为 . 结论显然.
其余的情况或者类似上面, 或者考虑半坐标轴自封闭, 以及参考命题: 自治系统在相空间的两个轨线, 若相交, 则重合.
Prop.2: 系统在坐标轴以外 (即 ), 有首次积分:
直接计算 沿系统 (*) 的导数即可:设 是一个解, 那么
该首次积分的直觉来源: 将系统两式相除即可看出.
Prop.3: 系统所有的平衡点为:
记 .下面将只考虑系统在 上的行为, 因为这是我们所关心的区域.
考察函数 , 其零点即 ,
即最小值点 , 最小值 .
. 最小值点 , 最小值 .
Prop.4: , 解 是周期的.
下面的分析主要考察首次积分的性质.
若 , 显然. 下面设 .
根据首次积分, 设该解落在区域 上,
这里的不等号来自 最小值点的分析. 我们知道
结合 的图像, 我们知道: 存在 由 确定,
由 确定, 使得
于是可知 是有界闭集, 是紧集.
根据 的紧性, 在其上有最大, 最小值:
下支撑来自在 上, 没有平衡点: .
根据
我们知道: 在 时, 是 的正则值, 其原像 是光滑流形, 维数为 1.这一命题参考张筑生, 微分拓扑新讲, 第五章.
令 是 所在的连通分支. 那么其是紧连通 1 维光滑流形. 其只能光滑同胚于圆周. 并且其周长是有限的.
显然成立.
而 不是周期解当且仅当 是单射, 这来自系统自治性. 那么 的长度不小于解曲线在任意时间区间 上的长度.
然而解曲线在 上的长度不小于 让 , 矛盾于 周长有限.
注记: 实际上应当有 等更为精细的结论. 但是我懒得去搞了.
Lotka-Volterra系统（简称LV系统）是一类重要又相对简单的微分方程。在具有竞争、捕食、合作关系的生态模型中往往有应用，近些年关于高维LV系统的极限环、随机扰动等的研究也风生水起。
题主问的这种是二维捕食LV系统。下面先介绍一下它的生物背景，再说怎么证明它有周期解。
假设有两个物种，一个是捕食者（以下称为狼），其数量是 另一个是被捕食者（以下称为羊），其数量是 羊有一个稳定的出生率 而单位时间内羊的死亡数应该和 都成正比——因为两倍的狼会吃掉两倍的羊，两倍的羊也会使狼有两倍机会遇到羊。设单位时间内羊的死亡数为 所以羊的增长率为 于是得到羊的数量满足的微分方程：
再考虑狼。狼捕食羊，首先要有机会遇到羊，因此如果要维持狼的生存，羊的数量必须有一个最小值 当羊的数量 大于 时，狼的增长率为正；当羊的数量 小于 时，狼的增长率为负。满足这种条件的增长率的最简单形式为 于是得到狼的数量满足的微分方程：
联立这两个方程，得到二维捕食LV系统：
题主的系统是上述 的特殊形式，所以下面仍然讲述这个系统。因为物种的数量都是非负的，所以只考虑系统 在第一象限的性态。
显然坐标轴是系统 的不变集。系统 有奇点 和 用线性化方法得知 是鞍点，而 有虚特征值。为了判断奇点 的类型，将系统 的两式相除，得到
分离变量，求出一个首次积分：
易见 以点 为极小值点，所以在 附近 的等高线是闭曲线。换言之， 是系统 的中心，环绕 的轨线都是闭轨，它们是周期解。因为第一象限中没有其它奇点，所以这些闭轨充满了第一象限。
从相图可见，如果一开始只有狼没有羊，那么结果是狼灭绝；如果一开始只有羊没有狼，那么羊将会无限增长；如果既有狼也有羊，那么两个物种此消彼长，数量随着时间而周期变化。
稍微多说一点。如果研究一下二维竞争LV系统，就会发现，这种系统（比如牛和羊抢着吃草）多数情况下会让一个物种趋于灭绝。所以，看似文明的竞争系统往往隐藏着更大的凶残性。
再者，对于一般的二维LV系统
利用微分方程的Dulac准则，可以证明如下定理：
记 则二维LV系统有中心的充要条件是：
（1） 或者
（2）
此时 是中心。
进一步，结合坐标轴的不变性可知，二维LV系统如果有闭轨，那么闭轨包围的区域中除了一个奇点之外，其它都是闭轨，且这个奇点是中心。二维LV系统没有孤立闭轨，即极限环。
用这个高级结论也可以解决题主的问题。
本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布
感谢dalao@inversioner的邀请（受宠若惊ing）
方程为：
一般来说，方程是关于自变量的。对于此方程也不求精确解，而求其相图。消去有：
方程易解，为：
此为方程的相函数（后也称为“方程”，因为后面即对此视为方程来分析）。先单独分析二者。记，方程化为：
在此只分析；同理。
对于，求导易知其在处有一最大值，记：
且：
因此函数图像应该可以在脑子里勾勒出来了（所以就不画了/逃）。同理，有。
初值条件确定的取值：
在时方程无解。
在时仅有唯一解，则不考虑周期性。
在时，先分析关于取何值时，方程仅为唯一解的情况。令。
考虑函数，由于，因此方程
总有两个解，记为且。考虑在以及的区域。若，则：
于是
此时关于的方程无解，同理可得的情形。因此可以判定，在时方程无解。时为常数解。
因此我们不需要的情况，在时，记此时有，于是，则：
因此对于总有两个解。
综上：
在时不能找到一个是方程的解。
在时，只有是方程的解。
在时，方程关于总有两个解。
这是在的基础上分析的取值，反之，在的基础上分析的取值同样如此。
很显然解是光滑的，因此相函数是闭的（为什么？）。
相函数是闭的那就是周期解了。
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