如何证明Q[³√5]是域？
好的，我们来深入探讨一下如何证明 $Q[sqrt[3]{5}]$ 是一个域。我会尽量用一种清晰、有条理且不带 AI 特有痕迹的方式来讲解。
首先，我们得明确什么是域。一个域，简单来说，就是一个集合，在这个集合上定义了两种运算：加法和乘法。这两种运算要满足一系列的性质。我们通常用 $(F, +, cdot)$ 来表示一个域，其中 $F$ 是集合，'+' 是加法，'$cdot$' 是乘法。
一个集合 $F$ 如果满足以下条件，则称其为域：
1. 加法性质（满足交换群）：
封闭性： 对任意 $a, b in F$，有 $a + b in F$。
结合律： 对任意 $a, b, c in F$，有 $(a + b) + c = a + (b + c)$。
单位元（零元）： 存在一个元素 $0 in F$，使得对任意 $a in F$，有 $a + 0 = 0 + a = a$。
逆元： 对任意 $a in F$，存在一个元素 $a in F$，使得 $a + (a) = (a) + a = 0$。
交换律： 对任意 $a, b in F$，有 $a + b = b + a$。
2. 乘法性质（满足交换半群且除零环的乘法性质）：
封闭性： 对任意 $a, b in F$，有 $a cdot b in F$。
结合律： 对任意 $a, b, c in F$，有 $(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元（幺元）： 存在一个元素 $1 in F$，且 $1 eq 0$，使得对任意 $a in F$，有 $a cdot 1 = 1 cdot a = a$。
交换律： 对任意 $a, b in F$，有 $a cdot b = b cdot a$。
3. 乘法对加法的分配律：
对任意 $a, b, c in F$，有 $a cdot (b + c) = (a cdot b) + (a cdot c)$ 和 $(a + b) cdot c = (a cdot c) + (b cdot c)$。
4. 乘法逆元：
对任意非零元素 $a in F$，存在一个元素 $a^{1} in F$，使得 $a cdot a^{1} = a^{1} cdot a = 1$。
现在，我们来看我们要证明的对象：$Q[sqrt[3]{5}]$。
$Q[sqrt[3]{5}]$ 是由有理数域 $Q$ 和元素 $sqrt[3]{5}$ 生成的代数扩张域。它包含所有可以表示为 $sqrt[3]{5}$ 的多项式，且系数是有理数。换句话说，$Q[sqrt[3]{5}]$ 中的元素都可以写成如下形式：
$a + bsqrt[3]{5} + c(sqrt[3]{5})^2$
其中 $a, b, c in Q$。更一般地，它包含所有形如 $f(sqrt[3]{5})$ 的元素，其中 $f(x)$ 是 $Q[x]$ 中的一个多项式。但由于 $sqrt[3]{5}$ 是一个代数数，它满足多项式 $x^3 5 = 0$。这是一个以有理数为系数的不可约多项式（根据艾森斯坦判别法，取素数 $p=5$）。这意味着 $Q[sqrt[3]{5}]$ 实际上就是 $Q[x] / langle x^3 5 angle$。所以，$Q[sqrt[3]{5}}$ 中的每个元素都可以唯一地表示为 $a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$，其中 $a, b, c in Q$。
为了证明 $Q[sqrt[3]{5}]$ 是一个域，我们需要逐一验证上面列出的域的性质。
第一部分：加法性质
1. 封闭性：
设 $alpha = a_1 + b_1sqrt[3]{5} + c_1sqrt[3]{25}$ 和 $eta = a_2 + b_2sqrt[3]{5} + c_2sqrt[3]{25}$ 是 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的任意两个元素，其中 $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 in Q$。
它们的和是：
$alpha + eta = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)sqrt[3]{5} + (c_1 + c_2)sqrt[3]{25}$
因为 $Q$ 是一个域，所以 $a_1 + a_2 in Q$, $b_1 + b_2 in Q$, $c_1 + c_2 in Q$。因此，$alpha + eta$ 也是 $Q[sqrt[3]{5}]$ 的一个元素。加法是封闭的。
2. 结合律：
加法结合律在 $Q$ 中已经成立，并且我们是将 $Q$ 中的数进行加法运算，所以加法结合律在 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中自然成立。假设 $alpha, eta, gamma in Q[sqrt[3]{5}]$。
$(alpha + eta) + gamma = alpha + (eta + gamma)$
3. 单位元（零元）：
考虑元素 $0 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25}$。这个元素显然属于 $Q[sqrt[3]{5}]$。
对于 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的任意元素 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$，有：
$alpha + (0 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25}) = (a+0) + (b+0)sqrt[3]{5} + (c+0)sqrt[3]{25} = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25} = alpha$
因此，$0 = 0 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25}$ 是加法单位元。
4. 逆元：
对于 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的元素 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$，考虑元素 $alpha = (a) + (b)sqrt[3]{5} + (c)sqrt[3]{25}$。
因为 $a, b, c in Q$，所以 $a, b, c in Q$。因此 $alpha in Q[sqrt[3]{5}]$。
$alpha + (alpha) = (a + (a)) + (b + (b))sqrt[3]{5} + (c + (c))sqrt[3]{25} = 0 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25} = 0$
所以每个元素都有加法逆元。
5. 交换律：
加法交换律在 $Q$ 中成立，并且我们是将 $Q$ 中的数进行加法运算，所以加法交换律在 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中自然成立。假设 $alpha, eta in Q[sqrt[3]{5}]$。
$alpha + eta = eta + alpha$
到目前为止，$Q[sqrt[3]{5}]$ 满足了加法群的所有性质。
第二部分：乘法性质
1. 封闭性：
设 $alpha = a_1 + b_1sqrt[3]{5} + c_1sqrt[3]{25}$ 和 $eta = a_2 + b_2sqrt[3]{5} + c_2sqrt[3]{25}$ 是 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的任意两个元素。
它们的积是：
$alpha cdot eta = (a_1 + b_1sqrt[3]{5} + c_1sqrt[3]{25})(a_2 + b_2sqrt[3]{5} + c_2sqrt[3]{25})$
展开这个乘积，我们会得到形如 $k cdot (sqrt[3]{5})^n$ 的项，其中 $k in Q$ 且 $n$ 是非负整数。
关键在于处理 $(sqrt[3]{5})^n$。我们知道 $(sqrt[3]{5})^3 = 5$。
$(sqrt[3]{5})^0 = 1$
$(sqrt[3]{5})^1 = sqrt[3]{5}$
$(sqrt[3]{5})^2 = sqrt[3]{25}$
$(sqrt[3]{5})^3 = 5 cdot 1 = 5$
$(sqrt[3]{5})^4 = (sqrt[3]{5})^3 cdot sqrt[3]{5} = 5sqrt[3]{5}$
$(sqrt[3]{5})^5 = (sqrt[3]{5})^3 cdot (sqrt[3]{5})^2 = 5sqrt[3]{25}$
$(sqrt[3]{5})^6 = ((sqrt[3]{5})^3)^2 = 5^2 = 25$
可以看到，所有大于等于3次的幂都可以化简为 $Q$ 中的数、$sqrt[3]{5}$ 或 $sqrt[3]{25}$ 的有理数倍。
例如， $(c_1sqrt[3]{25})(c_2sqrt[3]{25}) = c_1c_2(sqrt[3]{25})^2 = c_1c_2sqrt[3]{625} = c_1c_2sqrt[3]{125 cdot 5} = c_1c_2 cdot 5 sqrt[3]{5} = (5c_1c_2)sqrt[3]{5}$。
将所有乘积展开后，所有形如 $(sqrt[3]{5})^n$ 的项都可以表示为 $k_1 cdot 1 + k_2 sqrt[3]{5} + k_3 sqrt[3]{25}$ 的形式，其中 $k_1, k_2, k_3 in Q$。
因此，$alpha cdot eta$ 的结果将是一个形如 $A + Bsqrt[3]{5} + Csqrt[3]{25}$ 的元素，其中 $A, B, C in Q$。乘法是封闭的。
2. 结合律：
乘法结合律在 $Q$ 中已经成立，并且我们是将 $Q$ 中的数进行乘法运算，所以乘法结合律在 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中自然成立。假设 $alpha, eta, gamma in Q[sqrt[3]{5}]$。
$(alpha cdot eta) cdot gamma = alpha cdot (eta cdot gamma)$
3. 单位元（幺元）：
考虑元素 $1 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25}$。这个元素显然属于 $Q[sqrt[3]{5}]$ 且不等于零元。
对于 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的任意元素 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$，有：
$alpha cdot (1 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25}) = (a+bsqrt[3]{5}+csqrt[3]{25})(1) = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25} = alpha$
因此，$1 = 1 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25}$ 是乘法单位元。
4. 交换律：
乘法交换律在 $Q$ 中成立，并且我们是将 $Q$ 中的数进行乘法运算，所以乘法交换律在 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中自然成立。假设 $alpha, eta in Q[sqrt[3]{5}]$。
$alpha cdot eta = eta cdot alpha$
到目前为止，$Q[sqrt[3]{5}]$ 满足了乘法群（除去零元）的大部分性质。
第三部分：分配律
分配律在 $Q$ 中成立，并且我们是将 $Q$ 中的数进行加法和乘法运算，所以分配律在 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中自然成立。假设 $alpha, eta, gamma in Q[sqrt[3]{5}]$。
$alpha cdot (eta + gamma) = (alpha cdot eta) + (alpha cdot gamma)$
第四部分：乘法逆元
这是证明域的最关键也是最需要细致处理的一步。我们需要证明对于任何非零元素 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25} in Q[sqrt[3]{5}]$，都存在一个元素 $eta in Q[sqrt[3]{5}]$ 使得 $alpha cdot eta = 1$。
我们知道 $Q[sqrt[3]{5}]$ 是域 $Q$ 的一个代数扩张，其次数是 $[mathbb{Q}[sqrt[3]{5}] : mathbb{Q}] = 3$，因为 $x^3 5$ 是 $sqrt[3]{5}$ 的最小多项式，且是一个3次多项式。
根据域扩张理论，如果 $K$ 是域 $F$ 的一个有限扩张，那么 $K$ 中的每个非零元素在 $K$ 的乘法中都有逆元。
另一种更具体的方法是，利用 $x^3 5$ 这个多项式。
对于 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25} eq 0$，我们要找到 $eta = a' + b'sqrt[3]{5} + c'sqrt[3]{25}$ 使得 $alpha eta = 1$。
写成方程组的话会比较繁琐，我们换个思路。
考虑 $Q[x]$ 中的多项式 $f(x) = x^3 5$。我们在 $Q[x]$ 中考虑元素 $a + bx + cx^2$（我们用 $x$ 来代替 $sqrt[3]{5}$）。
我们要找一个多项式 $g(x) = a' + b'x + c'x^2$ 使得 $(a + bx + cx^2)(a' + b'x + c'x^2) equiv 1 pmod{x^3 5}$。
这意味着 $(a + bx + cx^2)(a' + b'x + c'x^2) = 1 + h(x)(x^3 5)$ 对于某个多项式 $h(x)$。
更直接的方式是利用欧几里得算法在多项式环 $Q[x]$ 中对多项式 $x^3 5$ 和 $alpha(x) = a + bx + cx^2$ 进行运算。
因为 $x^3 5$ 是不可约的，所以对于任何非零多项式 $alpha(x)$（其次数小于3），$alpha(x)$ 和 $x^3 5$ 在 $Q[x]$ 中是互素的。
根据贝祖定理（或者说扩展欧几里得算法），存在 $s(x), t(x) in Q[x]$ 使得 $alpha(x)s(x) + (x^3 5)t(x) = 1$。
将这个等式在模 $x^3 5$ 下考虑，我们得到 $alpha(x)s(x) equiv 1 pmod{x^3 5}$。
令 $s(x) = q(x)(x^3 5) + r(x)$，其中 $r(x)$ 是 $s(x)$ 除以 $x^3 5$ 的余项，且 $deg(r(x)) < 3$。
那么 $alpha(x)r(x) equiv 1 pmod{x^3 5}$。
这个余项 $r(x)$ 就是我们要找的乘法逆元，并且因为 $deg(r(x)) < 3$，它可以写成 $r(x) = a' + b'x + c'x^2$ 的形式，这就对应了 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的一个元素。
我们来演示一下如何实际求逆元。
考虑非零元素 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$。我们需要找到 $eta = a' + b'sqrt[3]{5} + c'sqrt[3]{25}$ 使得 $alpha eta = 1$。
$alpha eta = (a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25})(a' + b'sqrt[3]{5} + c'sqrt[3]{25}) = 1$
展开并利用 $(sqrt[3]{5})^3 = 5$, $(sqrt[3]{5})^4 = 5sqrt[3]{5}$, $(sqrt[3]{5})^5 = 5sqrt[3]{25}$ 等关系，我们可以将结果写成 $A + Bsqrt[3]{5} + Csqrt[3]{25}$ 的形式，其中 $A, B, C$ 是关于 $a, b, c, a', b', c'$ 的表达式。
然后，我们令 $A=1, B=0, C=0$，这样我们就得到了一个关于 $a', b', c'$ 的线性方程组。
由于 $a+bsqrt[3]{5}+csqrt[3]{25}$ 是 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的一个非零元素，它对应的最小多项式 $x^3 5$ 是不可约的，并且 $alpha$ 不是 $Q$ 中的元素（除非 $b=c=0$），所以这个逆元是存在的。
一个更简洁的说明方法是利用范数（Norm）。
元素 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$ 的范数 $N(alpha)$ 定义为它在域扩张 $Q[sqrt[3]{5}]/Q$ 下的特征多项式的常数项的符号调整。
或者直接看作是 $alpha$ 乘以它的共轭的乘积。
因为 $x^3 5$ 是不可约的，$sqrt[3]{5}$ 的三个共轭根是 $sqrt[3]{5}$, $omegasqrt[3]{5}$, $omega^2sqrt[3]{5}$，其中 $omega = e^{2pi i / 3}$。
对应的 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的元素是 $alpha_1 = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$, $alpha_2 = a + bomegasqrt[3]{5} + comega^2sqrt[3]{25}$, $alpha_3 = a + bomega^2sqrt[3]{5} + comegasqrt[3]{25}$。
范数 $N(alpha) = alpha_1 alpha_2 alpha_3$。
我们可以证明 $N(alpha)$ 是一个有理数。
$N(alpha) = det(M_alpha)$，其中 $M_alpha$ 是 $alpha$ 作为 $Q[sqrt[3]{5}]/Q$ 上的线性变换的矩阵表示。
$M_alpha = egin{pmatrix} a & 5c & 5b \ b & a & 5c \ c & b & a end{pmatrix}$
$N(alpha) = a(a^2 5bc) 5c(ab 5c^2) + 5b(b^2 ac)$
$N(alpha) = a^3 5abc 5abc + 25c^3 + 5b^3 5abc$
$N(alpha) = a^3 + 5b^3 + 25c^3 15abc$
如果 $alpha eq 0$，那么 $N(alpha) eq 0$（这是另一个需要证明的点，但通常是在代数数论中作为基本性质）。
假设 $N(alpha) eq 0$。
我们想找到 $eta$ 使得 $alpha eta = 1$。
我们可以考虑 $eta = frac{1}{N(alpha)} cdot alpha_2 alpha_3$。
我们知道 $alpha cdot (alpha_2 alpha_3) = N(alpha)$。
所以 $alpha cdot frac{1}{N(alpha)} (alpha_2 alpha_3) = 1$。
因为 $N(alpha) in Q$ 且非零，所以 $frac{1}{N(alpha)} in Q$。
而 $alpha_2 alpha_3$ 是形如 $a'' + b''sqrt[3]{5} + c''sqrt[3]{25}$ 的元素（需要展开验证）。
所以 $eta = frac{1}{N(alpha)} (alpha_2 alpha_3)$ 也是 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的一个元素。
因此，每个非零元素都有乘法逆元。
总结
我们已经逐一验证了域的各个性质：
加法方面： $Q[sqrt[3]{5}]$ 构成一个交换群，有封闭性、结合律、零元、负元和交换律。
乘法方面： $Q[sqrt[3]{5}]$ 的非零元素构成一个交换群（除去零元），有封闭性、结合律、幺元和交换律。
分配律： 乘法对加法满足分配律。
乘法逆元： 每个非零元素都有乘法逆元。
因此，$Q[sqrt[3]{5}]$ 满足了域的所有定义条件，它是一个域。
整个证明过程的关键在于理解 $Q[sqrt[3]{5}]$ 的结构是 $Q[x]/langle x^35 angle$，其中 $x^35$ 在 $Q[x]$ 中是不可约的。这个性质保证了所有需要的运算的封闭性，以及最关键的乘法逆元的存在性。
首先，我们得明确什么是域。一个域，简单来说，就是一个集合，在这个集合上定义了两种运算：加法和乘法。这两种运算要满足一系列的性质。我们通常用 $(F, +, cdot)$ 来表示一个域，其中 $F$ 是集合，'+' 是加法，'$cdot$' 是乘法。
一个集合 $F$ 如果满足以下条件，则称其为域：
1. 加法性质（满足交换群）：
封闭性： 对任意 $a, b in F$，有 $a + b in F$。
结合律： 对任意 $a, b, c in F$，有 $(a + b) + c = a + (b + c)$。
单位元（零元）： 存在一个元素 $0 in F$，使得对任意 $a in F$，有 $a + 0 = 0 + a = a$。
逆元： 对任意 $a in F$，存在一个元素 $a in F$，使得 $a + (a) = (a) + a = 0$。
交换律： 对任意 $a, b in F$，有 $a + b = b + a$。
2. 乘法性质（满足交换半群且除零环的乘法性质）：
封闭性： 对任意 $a, b in F$，有 $a cdot b in F$。
结合律： 对任意 $a, b, c in F$，有 $(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元（幺元）： 存在一个元素 $1 in F$，且 $1 eq 0$，使得对任意 $a in F$，有 $a cdot 1 = 1 cdot a = a$。
交换律： 对任意 $a, b in F$，有 $a cdot b = b cdot a$。
3. 乘法对加法的分配律：
对任意 $a, b, c in F$，有 $a cdot (b + c) = (a cdot b) + (a cdot c)$ 和 $(a + b) cdot c = (a cdot c) + (b cdot c)$。
4. 乘法逆元：
对任意非零元素 $a in F$，存在一个元素 $a^{1} in F$，使得 $a cdot a^{1} = a^{1} cdot a = 1$。
现在，我们来看我们要证明的对象：$Q[sqrt[3]{5}]$。
$Q[sqrt[3]{5}]$ 是由有理数域 $Q$ 和元素 $sqrt[3]{5}$ 生成的代数扩张域。它包含所有可以表示为 $sqrt[3]{5}$ 的多项式，且系数是有理数。换句话说，$Q[sqrt[3]{5}]$ 中的元素都可以写成如下形式：
$a + bsqrt[3]{5} + c(sqrt[3]{5})^2$
其中 $a, b, c in Q$。更一般地，它包含所有形如 $f(sqrt[3]{5})$ 的元素，其中 $f(x)$ 是 $Q[x]$ 中的一个多项式。但由于 $sqrt[3]{5}$ 是一个代数数，它满足多项式 $x^3 5 = 0$。这是一个以有理数为系数的不可约多项式（根据艾森斯坦判别法，取素数 $p=5$）。这意味着 $Q[sqrt[3]{5}]$ 实际上就是 $Q[x] / langle x^3 5 angle$。所以，$Q[sqrt[3]{5}}$ 中的每个元素都可以唯一地表示为 $a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$，其中 $a, b, c in Q$。
为了证明 $Q[sqrt[3]{5}]$ 是一个域，我们需要逐一验证上面列出的域的性质。
第一部分：加法性质
1. 封闭性：
设 $alpha = a_1 + b_1sqrt[3]{5} + c_1sqrt[3]{25}$ 和 $eta = a_2 + b_2sqrt[3]{5} + c_2sqrt[3]{25}$ 是 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的任意两个元素，其中 $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 in Q$。
它们的和是：
$alpha + eta = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)sqrt[3]{5} + (c_1 + c_2)sqrt[3]{25}$
因为 $Q$ 是一个域，所以 $a_1 + a_2 in Q$, $b_1 + b_2 in Q$, $c_1 + c_2 in Q$。因此，$alpha + eta$ 也是 $Q[sqrt[3]{5}]$ 的一个元素。加法是封闭的。
2. 结合律：
加法结合律在 $Q$ 中已经成立，并且我们是将 $Q$ 中的数进行加法运算，所以加法结合律在 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中自然成立。假设 $alpha, eta, gamma in Q[sqrt[3]{5}]$。
$(alpha + eta) + gamma = alpha + (eta + gamma)$
3. 单位元（零元）：
考虑元素 $0 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25}$。这个元素显然属于 $Q[sqrt[3]{5}]$。
对于 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的任意元素 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$，有：
$alpha + (0 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25}) = (a+0) + (b+0)sqrt[3]{5} + (c+0)sqrt[3]{25} = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25} = alpha$
因此，$0 = 0 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25}$ 是加法单位元。
4. 逆元：
对于 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的元素 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$，考虑元素 $alpha = (a) + (b)sqrt[3]{5} + (c)sqrt[3]{25}$。
因为 $a, b, c in Q$，所以 $a, b, c in Q$。因此 $alpha in Q[sqrt[3]{5}]$。
$alpha + (alpha) = (a + (a)) + (b + (b))sqrt[3]{5} + (c + (c))sqrt[3]{25} = 0 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25} = 0$
所以每个元素都有加法逆元。
5. 交换律：
加法交换律在 $Q$ 中成立，并且我们是将 $Q$ 中的数进行加法运算，所以加法交换律在 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中自然成立。假设 $alpha, eta in Q[sqrt[3]{5}]$。
$alpha + eta = eta + alpha$
到目前为止，$Q[sqrt[3]{5}]$ 满足了加法群的所有性质。
第二部分：乘法性质
1. 封闭性：
设 $alpha = a_1 + b_1sqrt[3]{5} + c_1sqrt[3]{25}$ 和 $eta = a_2 + b_2sqrt[3]{5} + c_2sqrt[3]{25}$ 是 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的任意两个元素。
它们的积是：
$alpha cdot eta = (a_1 + b_1sqrt[3]{5} + c_1sqrt[3]{25})(a_2 + b_2sqrt[3]{5} + c_2sqrt[3]{25})$
展开这个乘积，我们会得到形如 $k cdot (sqrt[3]{5})^n$ 的项，其中 $k in Q$ 且 $n$ 是非负整数。
关键在于处理 $(sqrt[3]{5})^n$。我们知道 $(sqrt[3]{5})^3 = 5$。
$(sqrt[3]{5})^0 = 1$
$(sqrt[3]{5})^1 = sqrt[3]{5}$
$(sqrt[3]{5})^2 = sqrt[3]{25}$
$(sqrt[3]{5})^3 = 5 cdot 1 = 5$
$(sqrt[3]{5})^4 = (sqrt[3]{5})^3 cdot sqrt[3]{5} = 5sqrt[3]{5}$
$(sqrt[3]{5})^5 = (sqrt[3]{5})^3 cdot (sqrt[3]{5})^2 = 5sqrt[3]{25}$
$(sqrt[3]{5})^6 = ((sqrt[3]{5})^3)^2 = 5^2 = 25$
可以看到，所有大于等于3次的幂都可以化简为 $Q$ 中的数、$sqrt[3]{5}$ 或 $sqrt[3]{25}$ 的有理数倍。
例如， $(c_1sqrt[3]{25})(c_2sqrt[3]{25}) = c_1c_2(sqrt[3]{25})^2 = c_1c_2sqrt[3]{625} = c_1c_2sqrt[3]{125 cdot 5} = c_1c_2 cdot 5 sqrt[3]{5} = (5c_1c_2)sqrt[3]{5}$。
将所有乘积展开后，所有形如 $(sqrt[3]{5})^n$ 的项都可以表示为 $k_1 cdot 1 + k_2 sqrt[3]{5} + k_3 sqrt[3]{25}$ 的形式，其中 $k_1, k_2, k_3 in Q$。
因此，$alpha cdot eta$ 的结果将是一个形如 $A + Bsqrt[3]{5} + Csqrt[3]{25}$ 的元素，其中 $A, B, C in Q$。乘法是封闭的。
2. 结合律：
乘法结合律在 $Q$ 中已经成立，并且我们是将 $Q$ 中的数进行乘法运算，所以乘法结合律在 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中自然成立。假设 $alpha, eta, gamma in Q[sqrt[3]{5}]$。
$(alpha cdot eta) cdot gamma = alpha cdot (eta cdot gamma)$
3. 单位元（幺元）：
考虑元素 $1 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25}$。这个元素显然属于 $Q[sqrt[3]{5}]$ 且不等于零元。
对于 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的任意元素 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$，有：
$alpha cdot (1 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25}) = (a+bsqrt[3]{5}+csqrt[3]{25})(1) = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25} = alpha$
因此，$1 = 1 + 0sqrt[3]{5} + 0sqrt[3]{25}$ 是乘法单位元。
4. 交换律：
乘法交换律在 $Q$ 中成立，并且我们是将 $Q$ 中的数进行乘法运算，所以乘法交换律在 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中自然成立。假设 $alpha, eta in Q[sqrt[3]{5}]$。
$alpha cdot eta = eta cdot alpha$
到目前为止，$Q[sqrt[3]{5}]$ 满足了乘法群（除去零元）的大部分性质。
第三部分：分配律
分配律在 $Q$ 中成立，并且我们是将 $Q$ 中的数进行加法和乘法运算，所以分配律在 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中自然成立。假设 $alpha, eta, gamma in Q[sqrt[3]{5}]$。
$alpha cdot (eta + gamma) = (alpha cdot eta) + (alpha cdot gamma)$
第四部分：乘法逆元
这是证明域的最关键也是最需要细致处理的一步。我们需要证明对于任何非零元素 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25} in Q[sqrt[3]{5}]$，都存在一个元素 $eta in Q[sqrt[3]{5}]$ 使得 $alpha cdot eta = 1$。
我们知道 $Q[sqrt[3]{5}]$ 是域 $Q$ 的一个代数扩张，其次数是 $[mathbb{Q}[sqrt[3]{5}] : mathbb{Q}] = 3$，因为 $x^3 5$ 是 $sqrt[3]{5}$ 的最小多项式，且是一个3次多项式。
根据域扩张理论，如果 $K$ 是域 $F$ 的一个有限扩张，那么 $K$ 中的每个非零元素在 $K$ 的乘法中都有逆元。
另一种更具体的方法是，利用 $x^3 5$ 这个多项式。
对于 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25} eq 0$，我们要找到 $eta = a' + b'sqrt[3]{5} + c'sqrt[3]{25}$ 使得 $alpha eta = 1$。
写成方程组的话会比较繁琐，我们换个思路。
考虑 $Q[x]$ 中的多项式 $f(x) = x^3 5$。我们在 $Q[x]$ 中考虑元素 $a + bx + cx^2$（我们用 $x$ 来代替 $sqrt[3]{5}$）。
我们要找一个多项式 $g(x) = a' + b'x + c'x^2$ 使得 $(a + bx + cx^2)(a' + b'x + c'x^2) equiv 1 pmod{x^3 5}$。
这意味着 $(a + bx + cx^2)(a' + b'x + c'x^2) = 1 + h(x)(x^3 5)$ 对于某个多项式 $h(x)$。
更直接的方式是利用欧几里得算法在多项式环 $Q[x]$ 中对多项式 $x^3 5$ 和 $alpha(x) = a + bx + cx^2$ 进行运算。
因为 $x^3 5$ 是不可约的，所以对于任何非零多项式 $alpha(x)$（其次数小于3），$alpha(x)$ 和 $x^3 5$ 在 $Q[x]$ 中是互素的。
根据贝祖定理（或者说扩展欧几里得算法），存在 $s(x), t(x) in Q[x]$ 使得 $alpha(x)s(x) + (x^3 5)t(x) = 1$。
将这个等式在模 $x^3 5$ 下考虑，我们得到 $alpha(x)s(x) equiv 1 pmod{x^3 5}$。
令 $s(x) = q(x)(x^3 5) + r(x)$，其中 $r(x)$ 是 $s(x)$ 除以 $x^3 5$ 的余项，且 $deg(r(x)) < 3$。
那么 $alpha(x)r(x) equiv 1 pmod{x^3 5}$。
这个余项 $r(x)$ 就是我们要找的乘法逆元，并且因为 $deg(r(x)) < 3$，它可以写成 $r(x) = a' + b'x + c'x^2$ 的形式，这就对应了 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的一个元素。
我们来演示一下如何实际求逆元。
考虑非零元素 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$。我们需要找到 $eta = a' + b'sqrt[3]{5} + c'sqrt[3]{25}$ 使得 $alpha eta = 1$。
$alpha eta = (a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25})(a' + b'sqrt[3]{5} + c'sqrt[3]{25}) = 1$
展开并利用 $(sqrt[3]{5})^3 = 5$, $(sqrt[3]{5})^4 = 5sqrt[3]{5}$, $(sqrt[3]{5})^5 = 5sqrt[3]{25}$ 等关系，我们可以将结果写成 $A + Bsqrt[3]{5} + Csqrt[3]{25}$ 的形式，其中 $A, B, C$ 是关于 $a, b, c, a', b', c'$ 的表达式。
然后，我们令 $A=1, B=0, C=0$，这样我们就得到了一个关于 $a', b', c'$ 的线性方程组。
由于 $a+bsqrt[3]{5}+csqrt[3]{25}$ 是 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的一个非零元素，它对应的最小多项式 $x^3 5$ 是不可约的，并且 $alpha$ 不是 $Q$ 中的元素（除非 $b=c=0$），所以这个逆元是存在的。
一个更简洁的说明方法是利用范数（Norm）。
元素 $alpha = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$ 的范数 $N(alpha)$ 定义为它在域扩张 $Q[sqrt[3]{5}]/Q$ 下的特征多项式的常数项的符号调整。
或者直接看作是 $alpha$ 乘以它的共轭的乘积。
因为 $x^3 5$ 是不可约的，$sqrt[3]{5}$ 的三个共轭根是 $sqrt[3]{5}$, $omegasqrt[3]{5}$, $omega^2sqrt[3]{5}$，其中 $omega = e^{2pi i / 3}$。
对应的 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的元素是 $alpha_1 = a + bsqrt[3]{5} + csqrt[3]{25}$, $alpha_2 = a + bomegasqrt[3]{5} + comega^2sqrt[3]{25}$, $alpha_3 = a + bomega^2sqrt[3]{5} + comegasqrt[3]{25}$。
范数 $N(alpha) = alpha_1 alpha_2 alpha_3$。
我们可以证明 $N(alpha)$ 是一个有理数。
$N(alpha) = det(M_alpha)$，其中 $M_alpha$ 是 $alpha$ 作为 $Q[sqrt[3]{5}]/Q$ 上的线性变换的矩阵表示。
$M_alpha = egin{pmatrix} a & 5c & 5b \ b & a & 5c \ c & b & a end{pmatrix}$
$N(alpha) = a(a^2 5bc) 5c(ab 5c^2) + 5b(b^2 ac)$
$N(alpha) = a^3 5abc 5abc + 25c^3 + 5b^3 5abc$
$N(alpha) = a^3 + 5b^3 + 25c^3 15abc$
如果 $alpha eq 0$，那么 $N(alpha) eq 0$（这是另一个需要证明的点，但通常是在代数数论中作为基本性质）。
假设 $N(alpha) eq 0$。
我们想找到 $eta$ 使得 $alpha eta = 1$。
我们可以考虑 $eta = frac{1}{N(alpha)} cdot alpha_2 alpha_3$。
我们知道 $alpha cdot (alpha_2 alpha_3) = N(alpha)$。
所以 $alpha cdot frac{1}{N(alpha)} (alpha_2 alpha_3) = 1$。
因为 $N(alpha) in Q$ 且非零，所以 $frac{1}{N(alpha)} in Q$。
而 $alpha_2 alpha_3$ 是形如 $a'' + b''sqrt[3]{5} + c''sqrt[3]{25}$ 的元素（需要展开验证）。
所以 $eta = frac{1}{N(alpha)} (alpha_2 alpha_3)$ 也是 $Q[sqrt[3]{5}]$ 中的一个元素。
因此，每个非零元素都有乘法逆元。
总结
我们已经逐一验证了域的各个性质：
加法方面： $Q[sqrt[3]{5}]$ 构成一个交换群，有封闭性、结合律、零元、负元和交换律。
乘法方面： $Q[sqrt[3]{5}]$ 的非零元素构成一个交换群（除去零元），有封闭性、结合律、幺元和交换律。
分配律： 乘法对加法满足分配律。
乘法逆元： 每个非零元素都有乘法逆元。
因此，$Q[sqrt[3]{5}]$ 满足了域的所有定义条件，它是一个域。
整个证明过程的关键在于理解 $Q[sqrt[3]{5}]$ 的结构是 $Q[x]/langle x^35 angle$，其中 $x^35$ 在 $Q[x]$ 中是不可约的。这个性质保证了所有需要的运算的封闭性，以及最关键的乘法逆元的存在性。
网友意见
记 ，显然有 有幺元且是 环.
那接下来只需要证明 ， 有乘法逆元即可，这可以直接待定系数得到.
接下来提供一个更代数的解法：
显然有 .
其中 是 在 上的极小多项式.
由于 是有单位元的交换环，故它是域等价于 是主理想.
也就等价于 为 上的不可约多项式 ( 的性质).
不难得到
那么不可约是显然的（艾森斯坦判别法取 即可）.
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